資源簡介

第08講 2.4.2圓的一般方程
課程標準 學習目標
①理解與掌握圓的一般方程的形式與條件。 ②能準確的判定圓的存在所滿足的條件。 ③會判斷點與圓的位置關系。 ④會用待定系數法求圓的一般方程，并能解決與圓有關的位置、距離的綜合問題。 通過本節課的學習，要求會判斷圓存在的條件，會將圓的標準形式與一般形式熟練轉化，會根椐圓存的條件求待定參數的值，會用待定系數法求圓的一般式方程，會求簡單問題中的軌跡問題，會解決與圓有關的位置與距離問題.
知識點01：圓的一般方程
對于方程（為常數），當時，方程叫做圓的一般方程.
①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當時，方程表示一個點
③當時，方程不表示任何圖形
說明：圓的一般式方程特點：①和前系數相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.
【即學即練1】（多選）（2022秋·高二課時練習）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】根據二元二次方程表示圓的條件，
對于A中，方程，可得，
所以方程是圓的一般方程；
對于B中，方程，可得，
所以方程不是圓的一般方程；
對于C中，方程中，和的系數不相等，
所以方程不是圓的一般方程；
對于D中，方程中，存在項，所以方程不是圓的一般方程.
故選：BCD.
知識點02：圓的一般方程與圓的標準方程的特點
圓的標準方程 圓的一般方程
方程 （）
圓心
半徑
知識點03：在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關系
已知點和圓的一般式方程：（），
則點與圓的位置關系：
①點在外
②點在上
③點在內
【即學即練2】（2022·高二課時練習）點與圓的位置關系是_____________．（填“在圓內”、“在圓上”、“在圓外”）
【答案】在圓內
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為2
點到圓心的距離，
因為，所以點在圓內．
故答案為：在圓內
題型01圓的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學校聯考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高二課時練習）方程表示圓的充要條件是______．
【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級中學校考階段練習）方程表示圓，則實數的可能取值為（ ）
A． B．2 C．0 D．
【變式2】（2023春·上海寶山·高二統考期末）若表示圓，則實數的值為______.
題型02求圓的一般方程
【典例1】（2023·高二課時練習）過三點的圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學校考期中）求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線上，且過點的圓；
(2)過三點的圓.
【典例3】（2023·高二課時練習）已知圓經過兩點，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）過坐標原點，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學校考期中）在平面直角坐標系中，已知的頂點，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：
(1)頂點的坐標；
(2)外接圓的一般方程.
題型03圓的一般方程與標準方程轉化
【典例1】（2023·高二課時練習）若圓的圓心到直線的距離為，則實數的值為（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【典例2】（2023秋·內蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·高二課時練習）求圓關于直線的對稱圓方程.
【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯考期中）圓上的點到直線的最大距離是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·遼寧朝陽·高二校聯考期中）已知點在圓 上，則點到軸的距離的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
題型04點與圓的位置關系
【典例1】（2023·江蘇揚州·高二校考階段練習）已知點為圓外一點，則實數的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知點在圓的外部，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2022·高二課時練習）若點是圓內一點，則過點的最長的弦所在的直線方程是__________.
【變式2】（2023·湖北·高二校聯考期中）過點可作圓的兩條切線，則實數的取值范圍______.
題型05圓過定點問題
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中校考階段練習）對任意實數，圓恒過定點，則其坐標為______.
【典例2】（2023·高二課時練習）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實數，上述圓恒過的定點的坐標是________________.
【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學校考期中）對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為__．
【變式2】（2013·遼寧大連·高二統考期中）對于任意實數，曲線恒過定點
題型06求動點的軌跡方程
【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學校考期中）點與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為______．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上.
(1)求圓的方程；
(2)已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
【變式1】（2022秋·高二課時練習）過點的直線與圓交于點，則線段中點的軌跡方程為___________.
【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標系中，點滿足，則動點的運動軌跡方程為__________；的最小值為__________.
題型07與圓有關的最值問題
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）設是圓上的動點，是圓的切線，且，則點到點距離的最小值為（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【典例2】（2023·山東煙臺·統考二模）已知實數滿足，則的最大值為__________．
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學校考期末）已知為圓上任意一點．則的最大值為__________
【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學校考期中）在中，，若的平面內有一點滿足，則的最小值為__________.
【變式2】（2023春·江西·高二校聯考階段練習）直線始終平分圓的周長，則的最小值為______．
題型08關于點或直線對稱的圓
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）與圓關于直線對稱的圓的標準方程是______.
【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學校校考期末）圓關于直線的對稱圓的標準方程為__________.
【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統考期末）如果圓關于直線對稱，則有（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知圓與圓關于直線對稱，則圓的方程是__________
題型09圓的綜合問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為.
(1)求實數b的取值范圍；
(2)求圓的方程；
(3)請問圓是否經過某定點（其坐標與無關）？請證明你的結論.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知經過圓上點的切線方程是.
（1）類比上述性質，直接寫出經過橢圓上一點的切線方程；
（2）已知橢圓，為直線上的動點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為
①求證：直線過定點.
②當點到直線的距離為時，求三角形的外接圓方程.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為．
（Ⅰ）若，求圓的方程；
（Ⅱ）當取所允許的不同的實數值時（，且），圓是否經過某定點（其坐標與無關）？請證明你的結論．
【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期末）已知圓C經過，兩點．
(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無論取何正實數，圓恒經過除外的另一個定點，求出這個定點坐標．
(2)已知點關于直線的對稱點也在圓，且過點的直線與兩坐標軸分別交于不同兩點和，當圓的面積最小時，試求的最小值.
題型10圓的實際應用
【典例1】（2022·高二課時練習）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國語學校校考階段練習）如圖所示，某隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側墻高，為，弧頂高為.
（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長度建立平面直角坐標系，求圓弧所在的圓的標準方程；
（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？
【變式1】（2023秋·高一單元測試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當的平面直角坐標系，求圓拱所在圓的方程；
(2)求橋面在圓拱內部分的長度.（結果精確到）
【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈
5．（2023·北京海淀·中關村中學校考三模）在平面直角坐標系中，已知是圓上的動點．若，，，則的最大值為（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
6．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校考階段練習）已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
7．（2023秋·高一單元測試）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
8．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知點，，，若點是的外接圓上一點，則點到直線：的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．14
二、多選題
9．（2023秋·廣東揭陽·高二統考期末）已知方程表示一個圓，則實數可能的取值為（ ）
A． B．0 C． D．
三、填空題
10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）已知拋物線的頂點為，與坐標軸交于三點，則過四點中的三點的一個圓的標準方程為__________.
11．（2023·全國·高三專題練習）直角坐標平面中，若定點A（1，2）與動點P（x，y）滿足，則點P的軌跡方程是___________.
四、解答題
12．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，四點在同一個圓E上．
(1)求實數a的值；
(2)若點在圓E上，求的取值范圍．
13．（2023秋·河北滄州·高二統考期末）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線為．
(1)求點坐標；
(2)求的外接圓方程．
B能力提升
1．（2023秋·高一單元測試）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發現：“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知動點在圓上，若點，點，則的最小值為 __．
2．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x，y的二元二次方程，當t為________時，方程表示的圓的半徑最大．
3．（2023·江蘇·高二假期作業）已知圓及點．
（1）若在圓上，求線段的長及直線的斜率；
（2）若M為圓C上的任一點，求的最大值和最小值．
C綜合素養
1．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知平面上兩定點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體的一個側面上運動，且滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）當切線PA的長度為時，求點P的坐標；
（2）若的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）求線段AB長度的最小值．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，點是直線上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，.
（1）當時，求點的坐標；
（2）設的外接圓為圓，當點在直線上運動時，圓是否過定點（異于原點）？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
第08講 2.4.2圓的一般方程
課程標準 學習目標
①理解與掌握圓的一般方程的形式與條件。 ②能準確的判定圓的存在所滿足的條件。 ③會判斷點與圓的位置關系。 ④會用待定系數法求圓的一般方程，并能解決與圓有關的位置、距離的綜合問題。 通過本節課的學習，要求會判斷圓存在的條件，會將圓的標準形式與一般形式熟練轉化，會根椐圓存的條件求待定參數的值，會用待定系數法求圓的一般式方程，會求簡單問題中的軌跡問題，會解決與圓有關的位置與距離問題.
知識點01：圓的一般方程
對于方程（為常數），當時，方程叫做圓的一般方程.
①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當時，方程表示一個點
③當時，方程不表示任何圖形
說明：圓的一般式方程特點：①和前系數相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.
【即學即練1】（多選）（2022秋·高二課時練習）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】根據二元二次方程表示圓的條件，
對于A中，方程，可得，
所以方程是圓的一般方程；
對于B中，方程，可得，
所以方程不是圓的一般方程；
對于C中，方程中，和的系數不相等，
所以方程不是圓的一般方程；
對于D中，方程中，存在項，所以方程不是圓的一般方程.
故選：BCD.
知識點02：圓的一般方程與圓的標準方程的特點
圓的標準方程 圓的一般方程
方程 （）
圓心
半徑
知識點03：在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關系
已知點和圓的一般式方程：（），
則點與圓的位置關系：
①點在外
②點在上
③點在內
【即學即練2】（2022·高二課時練習）點與圓的位置關系是_____________．（填“在圓內”、“在圓上”、“在圓外”）
【答案】在圓內
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為2
點到圓心的距離，
因為，所以點在圓內．
故答案為：在圓內
題型01圓的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學校聯考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為表示圓，
所以，解得，
得的取值范圍是.
故選：C
【典例2】（2023·高二課時練習）方程表示圓的充要條件是______．
【答案】或
【詳解】由題意知：，即，解得或.
故答案為：或.
【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級中學校考階段練習）方程表示圓，則實數的可能取值為（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】D
【詳解】由，可得，
所以，
解得或，
選項中只有符合題意.
故選：D.
【變式2】（2023春·上海寶山·高二統考期末）若表示圓，則實數的值為______.
【答案】
【詳解】因為表示圓，所以，
解得或，
當時方程，即，不表示任何圖形，故舍去；
當時方程，即，表示以為圓心，為半徑的圓，符合題意；
故答案為：
題型02求圓的一般方程
【典例1】（2023·高二課時練習）過三點的圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設圓的方程為，將A，B，C三點的坐標代入方程，
整理可得，解得，
故所求的圓的一般方程為，
故選：D．
【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學校考期中）求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線上，且過點的圓；
(2)過三點的圓.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設圓的標準方程為，由題知：
，解得.
所以圓的標準方程為：.
（2）設圓的一般方程為：，，
由題知：，
所以圓的方程為：.
【典例3】（2023·高二課時練習）已知圓經過兩點，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．
【答案】
【詳解】設圓C的方程為，
由條件，得，解得，
因此圓的一般方程為，
故圓心，因此圓心到直線l的距離，解得．
故答案為：；.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）過坐標原點，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設圓的方程為，
由題意知,圓過點，和，
所以，解得，
所以所求圓的方程為.
故選：A
【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學校考期中）在平面直角坐標系中，已知的頂點，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：
(1)頂點的坐標；
(2)外接圓的一般方程.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為邊上的高所在直線方程為，
所以,解得：.
所以直線的方程為，即.
由解得：，即.
（2）因為點C在直線上，所以可設，則中點為.
把代入直線：，有，解得：，所以.
經過，，可設為：,
所以，解得：,
所以外接圓的方程為.
題型03圓的一般方程與標準方程轉化
【典例1】（2023·高二課時練習）若圓的圓心到直線的距離為，則實數的值為（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【答案】A
【詳解】將圓的方程化為標準方程為：，
所以，圓心為，半徑.
因為圓心到直線的距離為，
所以，，即，
所以，所以或.
故選：A.
【典例2】（2023秋·內蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】圓的標準方程為，圓心．因為點為弦MN的中點，所以，
又AP的斜率，所以直線MN的斜率為2，弦MN所在直線的方程為，即.
故選：D
【典例3】（2023秋·高二課時練習）求圓關于直線的對稱圓方程.
【答案】
【詳解】由可得，
故圓心坐標為 ，半徑為1，
設點P關于直線的對稱點為 ，
則有 ，解得，故 ，
所以圓關于直線的對稱圓的方程為：.
【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯考期中）圓上的點到直線的最大距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】圓化為標準方程得，
圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為
所以圓上的點到直線的最大距離為.
故選:C.
【變式2】（2023春·遼寧朝陽·高二校聯考期中）已知點在圓 上，則點到軸的距離的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【詳解】圓 ,即圓
圓心為，半徑，得點P到x軸的距離的最大值為.
故選：B.
題型04點與圓的位置關系
【典例1】（2023·江蘇揚州·高二校考階段練習）已知點為圓外一點，則實數的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因在圓外，則，得.
又表示圓，則，得.
綜上：.
故選：D
【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知點在圓的外部，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】由題意可得，解得，
故選：AC.
【變式1】（2022·高二課時練習）若點是圓內一點，則過點的最長的弦所在的直線方程是__________.
【答案】
【詳解】圓可整理為，所以圓心，，
當過點的弦經過圓心時，弦長最長，所以過點的最長的弦所在的直線方程為，整理得.
故答案為：.
【變式2】（2023·湖北·高二校聯考期中）過點可作圓的兩條切線，則實數的取值范圍______.
【答案】
【詳解】因為方程表示圓，
過點可作圓的兩條切線，則點在圓外，
所以，解得：.
故答案為：.
題型05圓過定點問題
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中校考階段練習）對任意實數，圓恒過定點，則其坐標為______.
【答案】、
【詳解】由由得，故，解得或.
故填：、.
【典例2】（2023·高二課時練習）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實數，上述圓恒過的定點的坐標是________________.
【答案】
【詳解】由已知得，它表示過圓與直線交點的圓.
由，解得
即定點坐標為.
故答案為
【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學校考期中）對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為__．
【答案】或
【詳解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定點的坐標是或．
故答案為：或.
【變式2】（2013·遼寧大連·高二統考期中）對于任意實數，曲線恒過定點
【答案】
【詳解】變形為，令得，所以定點為
故答案為：
題型06求動點的軌跡方程
【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學校考期中）點與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為______．
【答案】
【詳解】設點，由題知，兩邊平方化簡得，即，
所以點的軌跡方程為.
故答案為：.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上.
(1)求圓的方程；
(2)已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
（1）由，
令，解得或；令，得，
所以圓過.
設圓的方程為，
，解得，
所以圓的方程為.
（2）
設，則，
將的坐標代入圓的方程得，
即.
【變式1】（2022秋·高二課時練習）過點的直線與圓交于點，則線段中點的軌跡方程為___________.
【答案】
【詳解】設點P的坐標為，點B為，
由題意，結合中點坐標公式可得，
故，化簡得.
即線段AB中點P的軌跡方程為.
故答案為：
【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標系中，點滿足，則動點的運動軌跡方程為__________；的最小值為__________.
【答案】
【詳解】設，由題意可得，
整理得，故動點的運動軌跡方程為，
如圖所示，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點在圓內部，
所以，
當且僅當在線段上時等號成立，
所以的最小值為，
故答案為：；
題型07與圓有關的最值問題
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）設是圓上的動點，是圓的切線，且，則點到點距離的最小值為（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【詳解】解：由圓的方程，易知圓心，半徑為，
因為是圓的切線，且，
所以，，
所以，點的軌跡方程為，
點到點距離的最小值為，
故選：D.
【典例2】（2023·山東煙臺·統考二模）已知實數滿足，則的最大值為__________．
【答案】/
【詳解】方程整理得，設點，即點是圓上一點
又點在圓外，所以，
則，所以的最大值為.
故答案為：.
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學校考期末）已知為圓上任意一點．則的最大值為__________
【答案】/
【詳解】圓即，
故圓心，半徑為，
又表示圓C上的點M到點的距離，
故其最大值為，
故答案為：
【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學校考期中）在中，，若的平面內有一點滿足，則的最小值為__________.
【答案】
【詳解】
由題意，由余弦定理得 ，
， ，即以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，
則，設，則 ，
由已知 ，
即點D是在以AC的中點 為圓心，半徑為1的圓周上，
，即是求 的最小值，
其幾何意義為圓周上的一點D到AB的中點 的距離的平方的最小值，顯然當D，E，O共線時DE最小（如上圖），即 ，
的最小值為 ；
故答案為： .
【變式2】（2023春·江西·高二校聯考階段練習）直線始終平分圓的周長，則的最小值為______．
【答案】/
【詳解】解：圓化為標準方程：，
圓心為，
因為直線始終平分圓的周長，
所以直線過圓心，
則，所以，
則，
當時，取得最小值.
故答案為：.
題型08關于點或直線對稱的圓
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）與圓關于直線對稱的圓的標準方程是______.
【答案】
【詳解】圓的圓心，半徑，
點關于直線對稱的點坐標為
則所求圓的標準方程為
故答案為：
【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學校校考期末）圓關于直線的對稱圓的標準方程為__________.
【答案】
【詳解】圓的圓心，半徑，
設點關于直線的對稱點，
則有，解得，因此所求圓的圓心，半徑為，
所以所求圓的標準方程為：.
故答案為：
【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統考期末）如果圓關于直線對稱，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由圓的對稱性知，圓心在直線上，故有，即.
故選：B
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知圓與圓關于直線對稱，則圓的方程是__________
【答案】
【詳解】圓圓心為，半徑等于1，
設圓心關于直線對稱點，
則有，且，
解得，故點，
由于對稱圓的半徑與圓的半徑相等，
故圓的方程為，
故答案為.
題型09圓的綜合問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為.
(1)求實數b的取值范圍；
(2)求圓的方程；
(3)請問圓是否經過某定點（其坐標與無關）？請證明你的結論.
【答案】(1)，且；
(2)（，且）；
(3)過定點和.
【詳解】（1）令得拋物線與軸交點是；
令，
由題意，且，解得，且．
即實數的取值范圍，且．
（2）設所求圓的一般方程為，
由題意得的圖象與兩坐標軸的三個交點即為圓和坐標軸的交點，
令得，，由題意可得，這與是同一個方程，故，．
令得，，由題意可得，此方程有一個根為，代入此方程得出，
∴圓的方程為（，且）．
（3）把圓的方程改寫為，令，
解得或，故圓過定點和．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知經過圓上點的切線方程是.
（1）類比上述性質，直接寫出經過橢圓上一點的切線方程；
（2）已知橢圓，為直線上的動點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為
①求證：直線過定點.
②當點到直線的距離為時，求三角形的外接圓方程.
【答案】（1）.（2）①證明見解析；②，.
【詳解】（1）類比上述性質知：切線方程為.
（2）①設切點為，點，
由（1）的結論的AP直線方程：，BP直線方程：，
通過點，∴有， ∴A，B滿足方程：，
∴直線AB恒過點：，即直線AB恒過點.
②已知點到直線AB的距離為. ∴，
故，， ∴.
當時，點，直線AB的方程為：， ，
解得或，故點.
設的外接圓方程為：，代入得，
解得,所以的外接圓方程為，
即的外接圓方程為： ，
當時，由對稱性可知，三角形PAB的外接圓方程為：.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為．
（Ⅰ）若，求圓的方程；
（Ⅱ）當取所允許的不同的實數值時（，且），圓是否經過某定點（其坐標與無關）？請證明你的結論．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【詳解】（Ⅰ）設圓的方程為，
令 得，與是同一方程，
所以，
令 得，方程有一根為，
所以，
所以圓的方程為，
當時，圓C的方程為 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓的方程為，
轉化為： ，
令，
解得 或.
故圓經過定點 .
【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期末）已知圓C經過，兩點．
(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無論取何正實數，圓恒經過除外的另一個定點，求出這個定點坐標．
(2)已知點關于直線的對稱點也在圓，且過點的直線與兩坐標軸分別交于不同兩點和，當圓的面積最小時，試求的最小值.
【答案】(1)證明見解析，定點為
(2)
【詳解】（1）設點是圓上任意一點，
因為AB是圓C的直徑，所以，
即，
所以圓的方程為：，
則，時等式恒成立，故定點為，
所以無論a取何正實數，圓C恒經過除A外的另一個定點，定點坐標為；
（2）因點A關于直線的對稱點也在圓C上，
所以點C在直線上，
又圓C的面積最小，所以圓C是以直徑的圓，
設過點A與直線垂直的直線方程為，
由方程組得，則
所以圓C的方程為，
當時，或，又，所以，即，
由題意知直線l斜率存在且不為零，設直線l的方程為，
當時，當，時，
所以，
（當且僅當，即時取等號）
則當時，
題型10圓的實際應用
【典例1】（2022·高二課時練習）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.
【答案】（米）
【詳解】以為原點，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系
根據題意可知，，所以，
設圓心為，圓拱所在圓的方程為，則
因為在圓拱所在圓的方程上，
所以，解得.
即圓拱所在的圓方程為，
將代入圓方程，得，解得
，.
所以與OP相距30米的支柱MN的高度為（米）.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國語學校校考階段練習）如圖所示，某隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側墻高，為，弧頂高為.
（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長度建立平面直角坐標系，求圓弧所在的圓的標準方程；
（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由題意，有，，.
所求圓的圓心在軸上，設圓的方程為（，），
，都在圓上，
，解得.
圓的標準方程是.
（2）設限高為，作，交圓弧于點，
則.
將點的橫坐標代入圓的方程，得，
得或（舍去）.
.
故車輛通過隧道的限制高度為.
【變式1】（2023秋·高一單元測試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當的平面直角坐標系，求圓拱所在圓的方程；
(2)求橋面在圓拱內部分的長度.（結果精確到）
【答案】(1)建系見解析，圓拱方程為，.
(2)橋面在圓拱內部分的長度約為367.4m
【詳解】（1）設圓拱所在圓的圓心為，以為原點，方向為軸正方向，
中垂線向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.

設與軸交于點，與軸交于點，連接
設圓的半徑為，
則，，，
在直角中，，
所以，解得，
所以，
所以圓拱方程為，.
（2）由題意得，，
令，得，
所以，
所以，所以.
所以橋面在圓拱內部分的長度約為367.4m
【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8，燈桿是半徑為的圓的一段劣弧．路燈采用錐形燈罩，燈罩頂到路面的距離為10，到燈柱所在直線的距離為2．設為圓心與連線與路面的交點．
（1）當為何值時，點恰好在路面中線上？
（2）記圓心在路面上的射影為，且H在線段上，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）以O為原點，以所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：
則，
∴直線的方程為．
設，則，兩式相減得：，
又，解得，
∴．
∴當時，點Q恰好在路面中線上．
（2）由（1）知，
當時，燈罩軸線所在直線方程為，此時
當時，燈罩軸線所在方程為：，
令可得，即，
∵H在線段上，∴，解得．
∴，
當且僅當即時取等號．
∴的最大值為．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
1．（2023·江蘇·高二假期作業）將圓平分的直線是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】要使直線平分圓，只要直線經過圓的圓心即可，
由，得，
所以圓心坐標為，
對于A，因為，所以直線不過圓心，所以A錯誤，
對于B，因為，所以直線不過圓心，所以B錯誤，
對于C，因為，所以直線過圓心，所以C正確，
對于D，因為，所以直線不過圓心，所以D錯誤，
故選：C
2．（2023秋·高二課時練習）若圓關于直線l的對稱圖形為圓，則直線l的方程為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】的圓心為，半徑為；
的圓心為，半徑為.
由題意知，直線l是線段的垂直平分線.
線段的中點為，斜率為，所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即.
故選：B.
3．（2023春·山東臨沂·高二統考期末）已知圓，則圓心及半徑分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】圓，
即，
所以圓心為，半徑為.
故選：A
4．（2023·高三課時練習）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【詳解】關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是
，即，且，.
故選：D
5．（2023·北京海淀·中關村中學校考三模）在平面直角坐標系中，已知是圓上的動點．若，，，則的最大值為（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【詳解】因為，，
所以.
故選：B
6．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校考階段練習）已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】圓即,半徑
因為,所以
又是的中點,所以
所以點的軌跡方程為
故選：B
7．（2023秋·高一單元測試）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【詳解】解：圓：與圓：的圓心分別為：，
由題意得的最小值為的最小值，
設關于直線的對稱點為，
則，解得，則，
如圖所示：

當三點共線時，取得最小值，
最小值為，
所以的最小值為，
故選：B
8．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知點，，，若點是的外接圓上一點，則點到直線：的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．14
【答案】C
【詳解】解：設所求圓的方程為，
因為的三個頂點分別為，，，
則，
解得，
所以外接圓的一般方程為，
其圓心為，半徑為5，
因為直線，即，
所以點到直線的距離為，
所以直線與的外接圓相離，
所以點到直線的距離的最大值為.
故選：.
二、多選題
9．（2023秋·廣東揭陽·高二統考期末）已知方程表示一個圓，則實數可能的取值為（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】BC
【詳解】因為方程表示一個圓，所以，化簡得，解得.
故選：BC.
三、填空題
10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）已知拋物線的頂點為，與坐標軸交于三點，則過四點中的三點的一個圓的標準方程為__________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】令，則，
解得，不妨設；
令0，得，則；拋物線的頂點的坐標為.
設所求圓的方程為.
當圓過三點時，,
所以圓的方程為.
當圓過三點時，,
所以圓的方程為.
當圓過三點時，,
所以圓的程為.
當圓過三點時，,
當圓過三點方程為.
故答案為：（答案不唯一）
11．（2023·全國·高三專題練習）直角坐標平面中，若定點A（1，2）與動點P（x，y）滿足，則點P的軌跡方程是___________.
【答案】
【詳解】設點，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
即.
因此點P的軌跡方程是.
故答案為：
四、解答題
12．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，四點在同一個圓E上．
(1)求實數a的值；
(2)若點在圓E上，求的取值范圍．
【答案】(1)或5；
(2)[，]．
【詳解】（1）設過A、B、C的圓的方程為
將點A、B、C的坐標分別代入圓的方程，
得，
解得：
得圓的方程為
將點D的坐標代入上述所得圓的方程，
得解得a＝1或5；
（2）點在圓E：上，
其幾何意義為圓E上的點到距離的平方減1．
如圖：
∴的最小值為＝；
的最大值為．
∴的取值范圍是[，]．
13．（2023秋·河北滄州·高二統考期末）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線為．
(1)求點坐標；
(2)求的外接圓方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設，則的中點在直線上，∴．點在直線上，故，．∴點的坐標為．
（2）由題得直線OB的斜率為，方程為，聯立，則，設圓的方程為，代入三點得
，解得，，，故的外接圓方程為．
B能力提升
1．（2023秋·高一單元測試）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發現：“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知動點在圓上，若點，點，則的最小值為 __．
【答案】
【詳解】設，不妨取，使得，所以，
整理得：.
此方程與為同一方程，所以，解得：，即.
所以（當且僅當P、B、C三點共線時等號成立）
此時.
所以的最小值為.
故答案為：.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x，y的二元二次方程，當t為________時，方程表示的圓的半徑最大．
【答案】
【詳解】
即，
，解得，
設圓的半徑為r，則，
所以當時，，所以．
故答案為：．
3．（2023·江蘇·高二假期作業）已知圓及點．
（1）若在圓上，求線段的長及直線的斜率；
（2）若M為圓C上的任一點，求的最大值和最小值．
【答案】（1），；（2），.
【詳解】（1）因為點在圓上，所以，所以，

故選：B.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）當切線PA的長度為時，求點P的坐標；
（2）若的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）求線段AB長度的最小值．
【答案】（1）或；（2）圓過定點，；（3）當時，AB有最小值．
【詳解】（1）由題可知，圓M的半徑，設，
因為PA是圓M的一條切線，所以，
所以，
解得或，
所以點P的坐標為或．
（2）設，因為，
所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，
其方程為，
即，
由，
解得或，
所以圓過定點，．
（3）因為圓N方程為，
即①
又圓②
①-②得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為
．
點到直線AB的距離，
所以相交弦長
，
所以當時，AB有最小值．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，點是直線上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，.
（1）當時，求點的坐標；
（2）設的外接圓為圓，當點在直線上運動時，圓是否過定點（異于原點）？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
【答案】（1）或；（2）是過定點，.
【詳解】（1）設，∵，∴，，
∵，∴，
∴解得或
∴或；
（2）設，則，
∴的外接圓方程為，
∵，∴，
∴，令
則或（舍去），∴圓過定點.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑