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第05講 直線的一般式方程
課程標準 學習目標
①理解與掌握直線的一般式方程的形式 及條件.會求直線的一般式方程。 ②能準確的將直線的五種形式的方程進 行形式上的轉換.理解直線的代數形式與幾何意義。 ③會用直線的一般式進行有關的直線位置的判定與參數的求解，能解決與直線有關的綜合問題。 通過本節課的學習要求能掌握直線一般式方程的形式，會求直線一般式方程，能進行五種形式直線方程的相互轉換，并能處理與直線位置有關的問題，并能解決與之有關的綜合問題.
知識點01：直線的一般式方程
定義:關于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于,的二元一次方程(其中
,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.
說明：
1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.
當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．
當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．
由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．
2．在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數個關于、的一次方程.
3.解題時,如無特殊說明,應把最終結果化為一般式.
【即學即練1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線和直線都過點，求過點和點的直線方程.
【答案】
【詳解】把坐標代入直線和直線，
得,，
∴，
過點和點的直線的方程是：，
∴，則，
∵，
∴，
∴所求直線方程為．
知識點02：直線的一般式方程與其它形式方程的互化
【即學即練2】（2023·上海·高二專題練習）如果且，那么直線不經過第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【詳解】∵且，則
∴，，
∴直線，即直線的斜率小于零，在y軸上的截距大于零，
故直線經過第一、第二、第四象限，不經過第三象限，
故選：C．
知識點03：直線系方程
1．平行直線系方程
把平面內具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為 (其中為參數且≠C)，然后依據題設中另一個條件來確定的值.
【即學即練3】（2023秋·高二課時練習）經過點，且平行于直線的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】平行于直線的直線方程可設為，
又所求直線過點，
則，解之得，
則所求直線為.
故選：A
2．垂直直線系方程
一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數），然后依據題設中的另一個條件來確定的值.
【即學即練4】（2023秋·重慶長壽·高二統考期末）經過點且與直線垂直的直線方程是________．（用一般式表示）
【答案】
【詳解】設與直線垂直的直線方程為，
于是，解得，
所以所求的直線方程為.
故答案為：
題型01直線的一般式方程及其辨析
【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知直線在軸的截距大于在軸的截距，則、、應滿足條件（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·廣東江門·高二統考期末）直線（不同時為0），則下列選項正確的是（ ）
A．無論取任何值，直線都存在斜率
B．當，且時，直線只與軸相交
C．當，或時，直線與兩條坐標軸都相交
D．當，且，且時，直線是軸所在直線
【典例3】（2023秋·高二課時練習）當直線方程的系數，，滿足什么條件時，該直線分別具有以下性質？
(1)過坐標原點；
(2)與兩條坐標軸都相交；
(3)只與軸相交；
(4)是軸所在直線；
(5)設為直線上一點，證明：這條直線的方程可以寫成．
【變式1】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知與是直線（為常數）上兩個不同的點，則關于和的交點情況是（ ）
A．無論，，如何，總有唯一交點 B．存在，，使之有無窮多個交點
C．無論，，如何，總是無交點 D．存在，，使之無交點
【變式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期中）若，且，則經過的直線的一般方程為_________
題型02直線的一般式方程與其他形式的相互轉化
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）過點且斜率為的直線的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統考期末）直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習）過點，且在兩坐標軸上截距相等的直線一般式方程是______．
【變式1】（2023春·上海寶山·高二統考期末）若，，則直線不經過第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）直線：的斜率和在軸上的截距分別為（ ）
A．，3 B．， C．，3 D．，
題型03根據直線平行求參數
【典例1】（2023·廣東深圳·紅嶺中學校考模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】（2023秋·江西新余·高三統考期末）已知直線：與直線；相互平行，則實數的值是（ ）
A． B．1 C． D．或1
【典例3】（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學校聯考期末）若直線和直線平行，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若直線與直線平行，則m的值為（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
【變式2】（2023春·高二單元測試）“”是“直線和直線平行且不重合”的（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【變式3】（2023春·海南·高二統考學業考試）若直線與平行，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
題型04根據直線垂直求參數
【典例1】（2023·北京·高三專題練習）“”是“直線與直線相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·貴州·高二校聯考期中）直線與直線垂直，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）“”是“直線與直線互相垂直”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式31】（2023·上海·高二專題練習）直線與直線垂直，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．9
題型05由兩條直線平行求方程
【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校聯考期中）過點且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知直線：，則與已知直線平行且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為_________．
【變式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學校考階段練習）過點且平行于直線的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）已知直線過點，且與直線平行，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統考期中）過點且與直線平行的直線方程為_________.
題型06由兩條直線垂直求方程
【典例1】（2023·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習）過點且垂直于直線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）已知直線與垂直，求.
【變式1】（2023秋·高二課時練習）經過點，且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高級中學校考期中）過點且垂直于直線 的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型07直線過定點問題
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）直線，當變動時，所有直線恒過定點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）若直線恒過點，點也在直線上，其中均為正數，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例3】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知點，.若直線與線段恒相交，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023秋·高二課時練習）不論取何值，直線都過定點（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·高二課時練習）不論為何實數，直線恒通過一個定點，這個定點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）不論取何值時，直線恒過第____象限．
題型08直線綜合
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直線的方程為．
(1)求直線過的定點的坐標；
(2)直線與 軸正半軸和 軸正半軸分別交于點， ，當面積最小時，求直線的方程；
【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯考期中）已知直線：，.
(1)證明直線過定點，并求出點的坐標；
(2)在（1）的條件下，若直線過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；
(3)若直線不經過第四象限，求的取值范圍.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線：，
（1）直線過定點，求點P坐標；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設三角形的面積為4，求出直線方程．
【變式1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二興城市高級中學校考期末）已知直線，若直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數的值為___________；若直線不經過第三象限，則的取值范圍是___________.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點.
(1)求的最小值，及此時直線的截距式方程；
(2)求的最小值，及此時直線的截距式方程.
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線.
（1）若直線不經過第四象限，求的取值范圍；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求面積的最小值；
（3）已知，若點到直線的距離為，求最大時直線的方程.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知直線，的傾斜角分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·高二課時練習）若直線與垂直，則m的值為（ ）
A． B． C．5 D．
3．（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯考階段練習）過點且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·高二課時練習）經過點，且傾斜角為的直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高三對口高考）如果且，那么直線不通過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（2023·江西·江西師大附中校考三模）若為實數，則“”是“直線與平行”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
14．（2023·上海·高二專題練習）已知直線l過定點，且交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B，點O為坐標原點．
(1)若的面積為4，求直線l的方程；
(2)求的最小值，并求此時直線l的方程；
(3)求的最小值，并求此時直線l的方程．
B能力提升
1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市天河中學校考期末）已知直線：經過定點P，直線經過點P，且的方向向量，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高二專題練習）設，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
3．（2023·全國·高二專題練習）萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，，則的垂心坐標為______，的歐拉線方程為______．
4．（2023·上海·高二專題練習）直線l過點P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．
(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫出直線l的方程；
(2)求△AOB面積的最小值；
(3)如圖，若點P分向量AB所成的比的值為2，過點P作平行于x軸的直線交y軸于點M，動點E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過一定點，并求出該定點坐標．
C綜合素養
1．（2023秋·全國·高二期末）已知直線方程為.
（1）證明：直線恒過定點；
（2）為何值時，點到直線的距離最大，最大值為多少
（3）若直線分別與軸，軸的負半軸交于兩點，求面積的最小值及此時直線的方程.
2．（2022·高二課時練習）如圖直線過點(3，4)，與軸、軸的正半軸分別交于、兩點，的面積為24.點為線段上一動點，且交于點.
（1）求直線斜率的大小；
（2）若的面積與四邊形的面積滿足：時，請你確定點在上的位置，并求出線段的長；
（3）在軸上是否存在點，使為等腰直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
3．（2022秋·河南·高二校聯考期中）已知直線．
(1)證明: 無論取何值，直線與直線總相交．
(2)若，直線與軸分別交于兩點，，求面積的最小值．
第05講 直線的一般式方程
課程標準 學習目標
①理解與掌握直線的一般式方程的形式 及條件.會求直線的一般式方程。 ②能準確的將直線的五種形式的方程進 行形式上的轉換.理解直線的代數形式與幾何意義。 ③會用直線的一般式進行有關的直線位置的判定與參數的求解，能解決與直線有關的綜合問題。 通過本節課的學習要求能掌握直線一般式方程的形式，會求直線一般式方程，能進行五種形式直線方程的相互轉換，并能處理與直線位置有關的問題，并能解決與之有關的綜合問題.
知識點01：直線的一般式方程
定義:關于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于,的二元一次方程(其中
,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.
說明：
1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.
當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．
當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．
由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．
2．在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數個關于、的一次方程.
3.解題時,如無特殊說明,應把最終結果化為一般式.
【即學即練1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線和直線都過點，求過點和點的直線方程.
【答案】
【詳解】把坐標代入直線和直線，
得,，
∴，
過點和點的直線的方程是：，
∴，則，
∵，
∴，
∴所求直線方程為．
知識點02：直線的一般式方程與其它形式方程的互化
【即學即練2】（2023·上海·高二專題練習）如果且，那么直線不經過第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【詳解】∵且，則
∴，，
∴直線，即直線的斜率小于零，在y軸上的截距大于零，
故直線經過第一、第二、第四象限，不經過第三象限，
故選：C．
知識點03：直線系方程
1．平行直線系方程
把平面內具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為 (其中為參數且≠C)，然后依據題設中另一個條件來確定的值.
【即學即練3】（2023秋·高二課時練習）經過點，且平行于直線的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】平行于直線的直線方程可設為，
又所求直線過點，
則，解之得，
則所求直線為.
故選：A
2．垂直直線系方程
一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數），然后依據題設中的另一個條件來確定的值.
【即學即練4】（2023秋·重慶長壽·高二統考期末）經過點且與直線垂直的直線方程是________．（用一般式表示）
【答案】
【詳解】設與直線垂直的直線方程為，
于是，解得，
所以所求的直線方程為.
故答案為：
題型01直線的一般式方程及其辨析
【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知直線在軸的截距大于在軸的截距，則、、應滿足條件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由已知，
令得直線在y軸的截距為，
令得直線在x軸的截距為，
由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，
即.
故選：D.
【典例2】（2023秋·廣東江門·高二統考期末）直線（不同時為0），則下列選項正確的是（ ）
A．無論取任何值，直線都存在斜率
B．當，且時，直線只與軸相交
C．當，或時，直線與兩條坐標軸都相交
D．當，且，且時，直線是軸所在直線
【答案】D
【詳解】解：對于A選項，當，且時，直線斜率不存在，故錯誤；
對于B選項，當，且，時，直線只與軸相交；當，且，時，直線與軸重合，故錯誤；
對于C選項，當，且時，直線與兩條坐標軸都相交，故錯誤；
對于D選項，當，且，且時，直線方程為，即軸所在直線，故正確.
故選：D
【典例3】（2023秋·高二課時練習）當直線方程的系數，，滿足什么條件時，該直線分別具有以下性質？
(1)過坐標原點；
(2)與兩條坐標軸都相交；
(3)只與軸相交；
(4)是軸所在直線；
(5)設為直線上一點，證明：這條直線的方程可以寫成．
【答案】(1)且不同為
(2)都不為0
(3)且
(4)
(5)證明見解析
【詳解】（1）將代入得，
當且不同為方程表示過坐標原點的直線；
（2）直線與兩條坐標軸都相交說明橫縱截距都存在，
當且時直線過原點滿足條件，
當時，令時，令時，
所以都不為0，
綜上所述，時直線與兩條坐標軸都相交；
（3）直線只與x軸相交，就是與軸平行、重合均可，
因此直線方程可化成形式，
故且；
（4）x軸的方程為，因此方程中時
方程表示的直線是x軸所在直線；
（5）因為為直線上一點，所以，
所以，
所以方程可化為，
即，
所以這條直線的方程可以寫成．
【變式1】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知與是直線（為常數）上兩個不同的點，則關于和的交點情況是（ ）
A．無論，，如何，總有唯一交點 B．存在，，使之有無窮多個交點
C．無論，，如何，總是無交點 D．存在，，使之無交點
【答案】A
【詳解】因為與是直線（為常數）上兩個不同的點，
所以即，
故既在直線上，也在直線上.
因為與是兩個不同的點，故、不重合，
故無論，，如何，總有唯一交點.
故選：A.
【變式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期中）若，且，則經過的直線的一般方程為_________
【答案】
【詳解】若,
則點在直線上,
點在直線上
即、都在同一直線上
因為兩點確定一條直線,所以由、確定的直線即為
故答案為:
題型02直線的一般式方程與其他形式的相互轉化
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）過點且斜率為的直線的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】過點且斜率為的直線的方程是，
即.
故選：C
【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統考期末）直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：直線的方程可化為，可知傾斜角，滿足，因此.
故選：B.
【典例3】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習）過點，且在兩坐標軸上截距相等的直線一般式方程是______．
【答案】或
【詳解】解：由題意，當直線過原點時，此時所求直線方程的斜率，
所以直線方程為，即；
當直線不過原點時，設直線方程為，代入點，
可得，所以直線方程為，
故答案為：或.
【變式1】（2023春·上海寶山·高二統考期末）若，，則直線不經過第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【詳解】依題意、、均不為，所以直線可化為，
因為，，所以，，
所以直線的斜率為正，縱截距為正，
即直線通過第一、二、三象限，不通過第四象限.
故選：D
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）直線：的斜率和在軸上的截距分別為（ ）
A．，3 B．， C．，3 D．，
【答案】B
【詳解】，則直線斜率為，
又令，則，故直線在x軸上的截距分別為.
故選：B
題型03根據直線平行求參數
【典例1】（2023·廣東深圳·紅嶺中學校考模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】若直線與直線平行，則有解得或，所以當時，直線與直線平行，當直線與直線平行時，或.
故選：A
【典例2】（2023秋·江西新余·高三統考期末）已知直線：與直線；相互平行，則實數的值是（ ）
A． B．1 C． D．或1
【答案】A
【詳解】因為直線：的斜率，斜率存在，且，
所以直線；的斜率存在，且，
化簡得：，解得或.
當時，直線：，直線；，此時.
當時，直線：，直線；，此時重合，舍去.
所以.
故選：A
【典例3】（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學校聯考期末）若直線和直線平行，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【詳解】直線和直線平行，
可得，得.
故選：A.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若直線與直線平行，則m的值為（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
【答案】B
【詳解】由題意知直線與直線平行，
而直線的斜率為，
則直線必有斜率，即，則，
故，解得或，
當時，直線與直線重合，不合題意；
當時，直線與直線平行，符合題意，
故，
故選：B
【變式2】（2023春·高二單元測試）“”是“直線和直線平行且不重合”的（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】C
【詳解】當時，兩直線分別為：，，
∴兩直線斜率相等且，
∴兩條直線平行且不重合；
若兩直線平行且不重合，則，∴，綜上所述，是兩直線平行且不重合的充要條件，
故選：C.
【變式3】（2023春·海南·高二統考學業考試）若直線與平行，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由可知，其斜率為，
又兩直線平行，所以可得，解得.
故選：B
題型04根據直線垂直求參數
【典例1】（2023·北京·高三專題練習）“”是“直線與直線相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】因為直線與直線相互垂直，
所以，
所以.
所以時，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；
當直線與直線相互垂直時，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.
所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.
故選：A
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由兩直線垂直得，解得，
所以原直線直線可寫為，
又因為垂足為同時滿足兩直線方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故選:D
【變式1】（2023春·貴州·高二校聯考期中）直線與直線垂直，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為直線與直線垂直，
所以，解得.
故選：B
【變式2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）“”是“直線與直線互相垂直”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】若直線與直線互相垂直，
則，解得.
所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，選C.
【變式31】（2023·上海·高二專題練習）直線與直線垂直，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【詳解】由題意，得，解得.
故選：B.
題型05由兩條直線平行求方程
【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校聯考期中）過點且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設過點且與直線平行的直線方程是，
將點的坐標代入直線的方程得，解得，
故所求直線方程為，即.
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知直線：，則與已知直線平行且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為_________．
【答案】
【詳解】
由題意可設方程為：，
令，得，
令，得，
由題意知：，
得，
故直線方程為：，
故答案為：
【變式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學校考階段練習）過點且平行于直線的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】平行于直線的直線方程可設為
又所求直線過點
則，解之得，
則所求直線為
故選：A
【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）已知直線過點，且與直線平行，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設與直線即平行的直線l的方程為，
把點代入可得，解得．
因此直線l的方程為
故選：D
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統考期中）過點且與直線平行的直線方程為_________.
【答案】
【詳解】令所求直線為，且在直線上，
所以，即，故所求直線為.
故答案為：
題型06由兩條直線垂直求方程
【典例1】（2023·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習）過點且垂直于直線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設垂直于直線的直線為，
代入點得，
則所求直線為.
故選：A.
【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）已知直線與垂直，求.
【答案】m=1或m=3
【詳解】因為直線與垂直，
所以，解得m=1或m=3.
【變式1】（2023秋·高二課時練習）經過點，且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設與直線垂直的直線方程為，于是，解得，
所以所求的直線方程為.
故選：A
【變式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高級中學校考期中）過點且垂直于直線 的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】設所求的直線方程為，
代入方程解得，
所求的直線方程為.
故選：B.
題型07直線過定點問題
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）直線，當變動時，所有直線恒過定點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】把直線方程整理為，
令，故，所以直線恒過定點為.
故選：C.
【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）若直線恒過點，點也在直線上，其中均為正數，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【詳解】因為，則，
令，解得，
即直線恒過點.
又因為點A也在直線上，則，
可得，且，
則，即，當且僅當時，等號成立
所以的最大值為.
故選：B.
【典例3】（2023春·江蘇南通·高一期末）已知點，.若直線與線段恒相交，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由直線方程，令，解得，故直線過定點，如下圖：
則直線的斜率，直線的斜率，
由圖可知：.
故選：D.
【變式1】（2023秋·高二課時練習）不論取何值，直線都過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，整理得，
令，解得，
所以直線過定點.
故選：B.
【變式2】（2023·高二課時練習）不論為何實數，直線恒通過一個定點，這個定點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】原方程可化為，由直線恒過定點可知，
，解得，所以直線恒過定點
故選：B
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）不論取何值時，直線恒過第____象限．
【答案】四
【詳解】直線可化為，
由，得，
所以直線恒過定點，
因為在第四象限，
故直線恒過第四象限．
故答案為：四.
題型08直線綜合
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直線的方程為．
(1)求直線過的定點的坐標；
(2)直線與 軸正半軸和 軸正半軸分別交于點， ，當面積最小時，求直線的方程；
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）由題意，直線的方程可化為，
聯立方程組解得，
所以直線過的定點．
（2）設直線 ，則，
由 （1） 知，直線 過的定點，可得，
因為，
所以，解得，
當且僅當且即時，等號成立，
所以面積為 ，
此時對應的直線方程為，即．
【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯考期中）已知直線：，.
(1)證明直線過定點，并求出點的坐標；
(2)在（1）的條件下，若直線過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；
(3)若直線不經過第四象限，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析，點的坐標為
(2)或
(3)
【詳解】（1）證明：整理直線的方程，得，
所以直線過直線與的交點，
聯立方程組，
解得，
所以直線過定點，點的坐標為.
（2）當截距為0時，直線的方程為，即，
當截距不為0時，設直線的方程為，
則，
解得，
直線的方程為，即，
故直線的方程為或.
（3）當時，直線的方程為，符合題意；
當時，直線的方程為，不符合題意；
當，且時，，
所以
解得或，
綜上所述，當直線不經過第四象限時，
的取值范圍是：.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線：，
（1）直線過定點，求點P坐標；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設三角形的面積為4，求出直線方程．
【答案】（1）（2）
【詳解】解：（1）由，可得，
∴直線：必過直線，的交點，
∴；
（2）∵直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，
∴，
令，得；令，得，
三角形的面積為，
解得，
∴直線方程為：.
【變式1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二興城市高級中學校考期末）已知直線，若直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數的值為___________；若直線不經過第三象限，則的取值范圍是___________.
【答案】 或； .
【詳解】因為直線l在兩坐標軸上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依題意可得，即，
解得或；
直線的方程可化為，所以，
所以，所以直線過定點，
所以，由直線可得：，
若不經過第三象限，則，
故答案為：或；.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點.
(1)求的最小值，及此時直線的截距式方程；
(2)求的最小值，及此時直線的截距式方程.
【答案】(1)8，
(2)4，
【詳解】（1）根據題意可設直線l的方程為，則，，
因為直線l過點，所以，
又（當且僅當，即，時取等號），
所以，即，
所以的最小值為8，此時直線l的截距式方程為.
（2）由（1）可知，
所以，則，
所以
，
當且僅當，即時取等號.
所以的最小值為4，此時，，直線l的截距式方程為.
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線.
（1）若直線不經過第四象限，求的取值范圍；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求面積的最小值；
（3）已知，若點到直線的距離為，求最大時直線的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【詳解】（1）直線l的方程為，直線l恒過定點，
∴若直線l不經過第四象限，則，
（2）因為直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，所以
取，，，，
所以，當且僅當時等號成立.
（3）當時，d最大，，可得直線的斜率為，
則直線的方程，即.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知直線，的傾斜角分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意得，，所以為鈍角，為銳角，所以．
故選：A．
2．（2023秋·高二課時練習）若直線與垂直，則m的值為（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【詳解】直線：的斜率，
當時，直線：的斜率為，由于兩直線垂直，
，解得；
若，，直線的斜率不存在，要保證必有，顯然不成立；
；
故選：D.
3．（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯考階段練習）過點且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】直線的斜率為-2，所以所求直線的方程為，
即.
故選：A.
4．（2023秋·高二課時練習）經過點，且傾斜角為的直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由直線的傾斜角為知，直線的斜率，
因此，其直線方程為，即.
故選：A
5．（2023·全國·高三對口高考）如果且，那么直線不通過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【詳解】因為，且，所以、、均不為零，
由直線方程，可化為，
因為，且，可得，，
所以直線經過第一、二、四象限，所以不經過第三象限．
故選：C.
6．（2023·江西·江西師大附中校考三模）若為實數，則“”是“直線與平行”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【詳解】若“直線與平行”，
則，解得或，
當時，直線，，此時//，符合題意；
當時，直線，即，，
此時，重合，不符合題意；
綜上所述：“直線與平行”等價于.
所以“”是“直線與平行”的充要條件.
故選：C.
7．（2023秋·高二課時練習）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】直線過點.
如圖，

由題意，直線與線段總有公共點，
即直線以直線為起始位置，繞點P逆時針旋轉到直線即可，
直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，
而，因此或，
所以或，解得或，即a的取值范圍是.
故選：D.
8．（2023·山東青島·統考三模）瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實數a的值為（ ）
A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3
【答案】B
【詳解】由的頂點，，知，
重心為，即，
又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點，即，
所以可得的歐拉線方程，即，
因為與平行，
所以，
解得，
故選：B
二、多選題
9．（2023秋·福建莆田·高二校考期末）已知直線，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若與坐標軸圍成的三角形面積為1，則
D．當時，不經過第一象限
【答案】BCD
【詳解】由題知，直線
對于A，當時，，解得或，故A錯誤；
對于B，當時，，解得，故B正確；
對于C，在直線中，
當時，，當時，，
所以與坐標軸圍成的三角形面積為，解得，故C正確；
對于D，由題知當時，的圖象為
故D正確；
故選：BCD
10．（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）下列說法錯誤的是（ ）
A．直線必過定點
B．過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為
C．經過點，傾斜角為的直線方程為
D．已知直線和以，為端點的線段相交，則實數k的取值范圍為
【答案】BCD
【詳解】A選項，直線方程變形為，令，解得，即原直線必過定點，A正確；
B選項，當直線l過原點時，也滿足在兩坐標軸上的截距相等，此時直線l的方程為，B不正確；
C選項，當時，無意義，故C不正確；
D選項，直線經過定點，當直線經過M時，斜率為，當直線經過N點時，斜率為，由于線段MN與y軸相交，故實數k的取值范圍為或，D不正確.
故選：BCD.
三、填空題
11．（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則 ________.
【答案】/-0.5
【詳解】令，得，令，得．
由于直線在軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，
故，解得．
故答案為：
12．（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）已知直線，當變化時，直線總是經過定點，則定點坐標為______.
【答案】
【詳解】因為直線可化為，
令，解得，
所以直線過定點，
故答案為：.
四、解答題
13．（2023秋·安徽蚌埠·高二統考期末）已知直線和直線.
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值.
【答案】(1)0或2
(2)
【詳解】（1）若，則
，解得或2；
（2）若，則
，解得或1.
時，，滿足，
時，，此時與重合，
所以.
14．（2023·上海·高二專題練習）已知直線l過定點，且交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B，點O為坐標原點．
(1)若的面積為4，求直線l的方程；
(2)求的最小值，并求此時直線l的方程；
(3)求的最小值，并求此時直線l的方程．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【詳解】（1）設直線l：，由直線過可得，∴，
由可得.
所以直線l的方程為，即.
（2）設直線l：，則，
，
當且僅當時，即時取等號，
此時直線方程.
（3）設直線l：，∵三點共線，且，，
即，，
∴
|，
當且僅當時，即時取等號，此時直線方程．
B能力提升
1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市天河中學校考期末）已知直線：經過定點P，直線經過點P，且的方向向量，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】可變形為，
解得，即點坐標為.
因為，所以直線的斜率為，又過點，
代入點斜式方程可得，整理可得.
故選：A.
2．（2023·全國·高二專題練習）設，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【詳解】由題意直線過定點，
直線可變為，所以該直線過定點，
所以，
又，
所以直線與直線互相垂直，
所以，
所以即，
當且僅當時取等號,
所以，，即面積的最大值是.
故選：D.
3．（2023·全國·高二專題練習）萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，，則的垂心坐標為______，的歐拉線方程為______．
【答案】 /(0,1.5)
【詳解】由，可知邊上的高所在的直線為，
又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，
所以邊上的高所在的直線為：，即，
所以，所以的垂心坐標為，
由重心坐標公式可得的重心坐標為，
所以的歐拉線方程為：，化簡得.
故答案為：；
4．（2023·上海·高二專題練習）直線l過點P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．
(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫出直線l的方程；
(2)求△AOB面積的最小值；
(3)如圖，若點P分向量AB所成的比的值為2，過點P作平行于x軸的直線交y軸于點M，動點E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過一定點，并求出該定點坐標．
【答案】(1)3x﹣2y﹣5＝0；
(2)12；
(3)證明見解析，定點（3，1）．
【詳解】（1）由題設直線l：3x﹣2y+C＝0，將點（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直線l的方程為3x﹣2y﹣5＝0.
（2）設直線l的方程為，
將點（3，2）代入得，則ab≥24，
則，當且僅當，結合，即a＝6，b＝4時等號成立，
故△AOB的面積最小值為12.
（3）證明：點P分向量所成的比的值為2，即為，
設A（a，0），B（0，b），由P（3，2），，
即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），
可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，
梯形AOMP的面積為，由題意可得梯形FOME的面積為6，
設E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6，
由直線EF的方程為，
將n＝6﹣m代入上式可得，
由，解得x＝3，y＝1，
則直線EF經過定點（3，1）．
C綜合素養
1．（2023秋·全國·高二期末）已知直線方程為.
（1）證明：直線恒過定點；
（2）為何值時，點到直線的距離最大，最大值為多少
（3）若直線分別與軸，軸的負半軸交于兩點，求面積的最小值及此時直線的方程.
【答案】（1）證明見解析；（2）時，距離最大，最大值為；（3）面積的最小值為，此時直線方程為.
【詳解】（1）由直線方程整理可得：，
由得：，直線恒過定點；
（2）由（1）知：直線恒過定點，
則當與直線垂直時，點到直線距離最大，
又所在直線方程為：，即，
當與直線垂直時，，解得：；
則最大值；
【答案】（1）；（2）點是線段的中點，；（3）存在點或或使為等腰直角三角形.
【詳解】1）顯然直線斜率存在，設直線方程為，
則直線交軸的正半軸于點，交軸的正半軸于點，
于是得，解得，
所以直線斜率為；
（2）由（1）知直線的方程為：，即，，
因，則，
又，則與相似，于是有，即，得，此時點為線段中點，
所以時，點為線段中點，且；
（3）假定在軸上存在點，使為等腰直角三角形，由(1)知直線的方程為：，如圖，
當時，而點在軸上，點Q在x軸的正半軸上，則M必與原點O重合，
設，因，則，于是有，解得，此時，
當時，由，知四邊形為正方形，
設，則，于是有，解得，此時，
當時，由，得，即，
設，則，直線上點，
顯然直線斜率為-1，則斜率必為1，即，解得，此時，
綜上，軸上存在點或或使為等腰直角三角形.
3．（2022秋·河南·高二校聯考期中）已知直線．
(1)證明: 無論取何值，直線與直線總相交．
(2)若，直線與軸分別交于兩點，，求面積的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：直線的方程可化為．
令解得，故直線經過定點．
當直線的斜率不存在時，方程為，顯然與相交，
當直線的斜率存在時，直線l的斜率為，
故直線與直線不重合．
又因為滿足，即是直線上一點，
所以，是直線與直線的公共點，
綜上，無論取何值，直線l與直線總相交．
（2）解：由（1）可知，直線經過定點，不妨設的方程為．
因為，，
所以．
令得，令得，
所以，，．
所以的面積，
當且僅當，即時，等號成立．
所以，面積的最小值為
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