資源簡介

第07講 2.4.1圓的標準方程
課程標準 學習目標
①理解圓的定義及確定圓的幾何要素。 ②理解與掌握平面直角坐標系中圓的標準方程.。 ③會根據相關條件寫出圓的標準方程及圓的圓心，半徑。 通過本節課的學習，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據相關條件求出圓的標準方程，并能解決與圓有關的問題.
知識點01：圓的定義
平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.
如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為, 半徑為, 為圓上任意一點， 可用集合表示為：
知識點02：圓的標準方程
我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.
【即學即練1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）在平面直角坐標系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標為，縱坐標為，即點，
圓的半徑為，
因此，圓的標準方程為.
故選：A.
知識點03：點與圓的位置關系
判斷點與：位置關系的方法:
（1）幾何法（優先推薦）
設到圓心的距離為，則
①則點在外
②則點在上
③則點在內
（2）代數法
將點帶入：方程內
①點在外
②點在上
③點在內
【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業）寫出圓心為,半徑為5的圓的標準方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內？
【答案】答案見解析
【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標準方程是．
把點的坐標代入方程的左邊,
得,左右兩邊相等,
點的坐標滿足圓的方程,所以點在這個圓上．
把點的坐標代入方程的左邊,
得,左右兩邊不相等,
點的坐標不滿足圓的方程,所以點不在這個圓上．
又因為點到圓心A的距離．
故點在圓內．
知識點04：圓上的點到定點的最大、最小距離
設的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內一點；記;
①若點在外，則;
②若點在上，則;
③若點在內，則;
【即學即練3】（2021秋·高二課時練習）已知圓，則圓上的點到點距離的最大值為_____.
【答案】6
【詳解】因為圓的方程為，
所以圓心坐標為，半徑,
又圓心到點的距離為，
所以圓上的點到點的距離的最大值為，
故答案為：6
題型01求圓的標準方程
【典例1】（2023·高二課時練習）已知圓C：，O為原點，則以為直徑的圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·上海崇明·高二統考期末）已知兩點、，則以PQ為直徑的圓的方程是______.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）圓心在軸上，半徑為5，且過點，則圓的標準方程為_______．
【變式2】（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）過三點、、的圓的圓心坐標為___________.
題型02由圓的方程求圓心或半徑
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．圓的圓心為，半徑為5
B．圓的圓心為，半徑為
C．圓的圓心為，半徑為
D．圓的圓心為，半徑為
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【變式1】（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學校考三模）已知直線經過圓的圓心，其中，則的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過圓的圓心，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．2
題型03點與圓的位置關系
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知兩直線與的交點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）點與圓的位置關系是（ ）
A．在圓外 B．在圓內 C．在圓上 D．不確定
【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）（多選）點在圓的內部，則的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若點在圓內，則實數的取值范圍為____________.
題型04與圓有關的最值問題
【典例1】（2023·廣東佛山·統考模擬預測）已知圓：，過點的兩條直線，互相垂直，圓心到直線，的距離分別為，，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．4
【典例2】（2023秋·四川巴中·高二統考期末）已知圓C過點，當圓到原點的距離
在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；
【變式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學校考階段練習）已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是__________．
【變式2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）已知圓心為的圓經過，兩點，且圓心在直線上.
(1)求圓的標準方程；
(2)設為圓上的一個動點，為坐標原點，求的中點的軌跡方程.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·上海徐匯·高二上海中學校考期中）已知一個圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京海淀·校考三模）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023春·四川南充·高二校考階段練習）圓的圓心、半徑是（　　）
A．，4 B．，2 C．，4 D．，2
4．（2023春·新疆省直轄縣級單位·高二校考開學考試）已知點（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內部，則實數a的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
5．（2023秋·河北保定·高二統考期末）圓關于直線對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·安徽·高二校聯考開學考試）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經過點；丙：該圓的圓心為；丁：該圓經過點．如果只有一位同學的結論是錯誤的，那么這位同學是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023春·甘肅蘭州·高二統考期中）已知圓，則過點的直線l與圓C交于A，B兩點，則的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）已知復數滿足，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．3
二、多選題
9．（2023·江蘇·高二假期作業）過點與且半徑為2的圓的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023秋·浙江湖州·高二統考期末）已知直線平分圓且與互相平行，則的距離是__________.
四、解答題
11．（2023春·甘肅蘭州·高二統考期中）已知點求：
(1)過點A，B且周長最小的圓的方程；
(2)過點A，B且圓心在直線上的圓的方程.
12．（2023秋·高一單元測試）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
B能力提升
1．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學校考階段練習）動直線平分圓的周長，則的最小值（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北邯鄲·統考三模）在平面直角坐標系內，已知，，動點滿足，則（）的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
3．（2023·甘肅·模擬預測）已知，是圓上的兩個動點，若點在以為直徑的圓上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
C綜合素養
4．（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考期末）已知中，點，邊上中線所在直線的方程為，邊上的高線所在直線的方程為.
(1)求點和點的坐標：
(2)以為圓心作一個圓，使得、、三點中的一個點在圓內，一個點在圓上，一個點在圓外，求這個圓的方程.
第07講 2.4.1圓的標準方程
課程標準 學習目標
①理解圓的定義及確定圓的幾何要素。 ②理解與掌握平面直角坐標系中圓的標準方程.。 ③會根據相關條件寫出圓的標準方程及圓的圓心，半徑。 通過本節課的學習，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據相關條件求出圓的標準方程，并能解決與圓有關的問題.
知識點01：圓的定義
平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.
如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為, 半徑為, 為圓上任意一點， 可用集合表示為：
知識點02：圓的標準方程
我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.
【即學即練1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）在平面直角坐標系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標為，縱坐標為，即點，
圓的半徑為，
因此，圓的標準方程為.
故選：A.
知識點03：點與圓的位置關系
判斷點與：位置關系的方法:
（1）幾何法（優先推薦）
設到圓心的距離為，則
①則點在外
②則點在上
③則點在內
（2）代數法
將點帶入：方程內
①點在外
②點在上
③點在內
【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業）寫出圓心為,半徑為5的圓的標準方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內？
【答案】答案見解析
【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標準方程是．
把點的坐標代入方程的左邊,
得,左右兩邊相等,
點的坐標滿足圓的方程,所以點在這個圓上．
把點的坐標代入方程的左邊,
得,左右兩邊不相等,
點的坐標不滿足圓的方程,所以點不在這個圓上．
又因為點到圓心A的距離．
故點在圓內．
知識點04：圓上的點到定點的最大、最小距離
設的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內一點；記;
①若點在外，則;
②若點在上，則;
③若點在內，則;
【即學即練3】（2021秋·高二課時練習）已知圓，則圓上的點到點距離的最大值為_____.
【答案】6
【詳解】因為圓的方程為，
所以圓心坐標為，半徑,
又圓心到點的距離為，
所以圓上的點到點的距離的最大值為，
故答案為：6
題型01求圓的標準方程
【典例1】（2023·高二課時練習）已知圓C：，O為原點，則以為直徑的圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由圓C：可知圓心，，
故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
故所求圓的方程為：.
故選：D
【典例2】（2023春·上海崇明·高二統考期末）已知兩點、，則以PQ為直徑的圓的方程是______.
【答案】
【詳解】、,的中點坐標為，即為圓心坐標，
又圓的半徑為
則所求圓的方程為.
故答案為：.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）圓心在軸上，半徑為5，且過點，則圓的標準方程為_______．
【答案】或.
【詳解】由題意，設圓的方程為，
因為點在圓上，可得，解得b＝0或b＝－8，
所以所求圓的方程為或.
故答案為：或.
【變式2】（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）過三點、、的圓的圓心坐標為___________.
【答案】
【詳解】設圓的方程為：，代入點的坐標有：
，所以，
所以圓的方程為：.
故答案為：.
題型02由圓的方程求圓心或半徑
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．圓的圓心為，半徑為5
B．圓的圓心為，半徑為
C．圓的圓心為，半徑為
D．圓的圓心為，半徑為
【答案】ABD
【詳解】對于A：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項A錯誤；
對于B：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項B錯誤，
對于C：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項C正確；
對于D：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項D錯誤，
故選：ABD.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，
因此，即，
∴，
當且僅當，即時取“=”，
所以的最小值為9.
故選：B.
【變式1】（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學校考三模）已知直線經過圓的圓心，其中，則的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】D【詳解】因為直線經過圓的圓心，
故，
所以，
當且僅當 ，即時，等號成立.
故選：D
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過圓的圓心，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【詳解】由題意得圓心為（1,1），因為直線過圓心，
所以，即，
所以，
所以當時，的最小值為.
故選：A
題型03點與圓的位置關系
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知兩直線與的交點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
由得，則兩直線與的交點為，
依題意得，解得.
故選：B
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）點與圓的位置關系是（ ）
A．在圓外 B．在圓內 C．在圓上 D．不確定
【答案】B
【詳解】圓的圓心為，半徑，，
故點在圓內.
故選：B
【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）（多選）點在圓的內部，則的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【詳解】由已知條件可得，即，解得.
故選：AD.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若點在圓內，則實數的取值范圍為____________.
【答案】
【詳解】解：由題意得
點在圓內
，解得
所以實數的取值范圍為
故答案為：
題型04與圓有關的最值問題
【典例1】（2023·廣東佛山·統考模擬預測）已知圓：，過點的兩條直線，互相垂直，圓心到直線，的距離分別為，，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【詳解】過圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．
，互相垂直，所以四邊形為矩形．
由圓C：，可得，又，
，
所以，當且僅當時取等號，即的最大值為1，
故選：B.
【典例2】（2023秋·四川巴中·高二統考期末）已知圓C過點，當圓到原點的距離最小時，圓的標準方程為______．
【答案】
【詳解】由可得線段中點坐標為，又，
所以垂直平分線的方程為，所以圓心C在線段垂直平分線上，
當圓C到原點O的距離最小時，則,所以直線方程為，
聯立，所以圓心,
又半徑,故圓的方程為：
故答案為：
【變式1】（2023春·廣西·高一校聯考階段練習）若復數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【詳解】復數滿足，所以復數對應的點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
的幾何意義為圓上的點與的距離，
所以的最大值為．
故選：C.
【變式2】（2023·甘肅酒泉·統考三模）點在圓上，點，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【詳解】圓的圓心，半徑為，
由于在圓外，
．
故選：D.
題型05與圓有關的對稱問題
【典例1】（2023秋·四川成都·高二統考期末）已知圓和直線.若圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
關于直線的對稱點是，
所以圓的圓心是，半徑是，
所以圓的方程為.
故選：B
【典例2】（2023春·四川涼山·高二校考階段練習）若圓和圓關于直線對稱，則直線的方程是___________
【答案】
【詳解】解：圓的圓心為，圓的圓心為，
則線段的中點為，
因為圓和圓關于直線對稱，
所以，
所以直線的方程是，即，
故答案為：
【變式1】（2023秋·四川成都·高二統考期末）已知圓和直線.若圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】圓與圓關于直線對稱，則圓心與圓關于對稱
可得，化簡得，解得
又兩圓半徑相等，故圓的方程為
故選：B
【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）已知圓的圓心坐標為，半徑為2，圓與圓關于軸對稱，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為圓與圓關于軸對稱，
所以圓的圓心與點關于軸對稱，
所以的坐標為，
又圓的半徑為2，所以圓 半徑為2，
所以圓的方程為，
故選：C.
題型06軌跡方程
【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知定點，是圓上的一動點，是的中點，則點的軌跡方程是_______________.
【答案】
【詳解】如圖所示，

設，，則，①
因為Q為AP的中點，
所以，②
所以由①②得：，即：，
所以點Q的軌跡方程為：.
故答案為：.
【典例2】（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）在平面直角坐標系中，已知點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是______．
【答案】
【詳解】
如圖所示，取OA中點D，連接DQ，則DQ為的一條中位線，，
即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長為半徑的圓上，
所以Q的軌跡方程為.
故答案為：.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；
【答案】
【詳解】
設，線段的中點，
因為為線段的中點，，
，
，即，得.
所以點的軌跡方程是．
【變式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學校考階段練習）已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是__________．
【答案】
【詳解】設，，則由已知可得.
又是線段的中點，所以有，所以，
所以有，整理可得.
所以的軌跡方程是.
故答案為：.
【變式2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）已知圓心為的圓經過，兩點，且圓心在直線上.
(1)求圓的標準方程；
(2)設為圓上的一個動點，為坐標原點，求的中點的軌跡方程.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設圓心C的坐標為，半徑為r，
∵圓心C在直線上，
∴，
∵圓C經過，兩點，
∴，
即，
化簡得：，又，
所以，
∴圓心C的坐標為，，
所以圓C的標準方程為：；
（2）設，，
∵M為OP的中點，
∴，
∴，
∵P在圓C上，
∴，即，
∴OP的中點M的軌跡方程為.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·上海徐匯·高二上海中學校考期中）已知一個圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設圓的半徑為，因為圓心是，且過點，所以，所以半圓的方程為，
故選：D.
2．（2023·北京海淀·校考三模）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【詳解】圓的圓心為，因為直線是圓的一條對稱軸，
所以圓心在直線上，所以，解得.
故選：A
3．（2023春·四川南充·高二校考階段練習）圓的圓心、半徑是（　　）
A．，4 B．，2 C．，4 D．，2
【答案】D
【詳解】圓的圓心為半徑
故選：D
4．（2023春·新疆省直轄縣級單位·高二校考開學考試）已知點（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內部，則實數a的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
【答案】A
【詳解】由于（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內部，
所以點（1，1）到圓心（a，﹣a）的距離d＜2，
即：，整理得：﹣1＜a＜1.
故選：A.
5．（2023秋·河北保定·高二統考期末）圓關于直線對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設圓的圓心
關于直線對稱的點為，
則有整理得解得，
因為關于直線對稱的兩個圓半徑相等，所以所求圓的半徑為2，
所以所求圓方程為，
故選:C.
6．（2023春·安徽·高二校聯考開學考試）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經過點；丙：該圓的圓心為；丁：該圓經過點．如果只有一位同學的結論是錯誤的，那么這位同學是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【詳解】設.
假設甲錯誤，乙丙丁正確，
，
，矛盾，所以甲正確.
假設乙錯誤，甲丙丁正確，
由甲、丙正確可知圓的方程為，
不滿足上式，矛盾，所以乙正確.
假設丙錯誤，甲乙丁正確.
由乙丁得，與半徑為矛盾，所以丙正確.
假設丁錯誤，甲乙丙正確，
則由甲丙可知圓的方程為，
滿足上式，符合題意.
綜上所述，結論錯誤的同學是丁.
故選：D
7．（2023春·甘肅蘭州·高二統考期中）已知圓，則過點的直線l與圓C交于A，B兩點，則的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【詳解】因為，圓的標準方程為，
所以半徑，圓心，
當直線l與直線CP垂直時，所截得弦長AB最短．此時，
所以．
故選：C．
8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）已知復數滿足，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【詳解】設，
因為，
所以，
因為，
所以相當于圓上的點到點距離，
所以的最大值為圓心到點距離與圓的半徑的和，即.
故選：C.

二、多選題
9．（2023·江蘇·高二假期作業）過點與且半徑為2的圓的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】因為圓過點與，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，其中，設圓心所在的直線為l，則，解得：，又因為
與的中點坐標為，所以直線l為，設圓心坐標為，因為半徑為2，所以圓的方程為：，代入得：，解得：，綜上圓的方程為或.
故選：BC
三、填空題
10．（2023秋·浙江湖州·高二統考期末）已知直線平分圓且與互相平行，則的距離是__________.
B能力提升
1．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學校考階段練習）動直線平分圓的周長，則的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，動直線過圓的圓心，
則，又，
則，
當且僅當且，即時，等號成立，
故的最小值為.
故選：D.
2．（2023·河北邯鄲·統考三模）在平面直角坐標系內，已知，，動點滿足，則（）的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
【答案】C
【詳解】因為，，動點滿足，
則，整理得，
可以看成圓上動點與定直線上動點的距離，
其最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑2，即，
因此，的最小值是，
故選：C.
3．（2023·甘肅·模擬預測）已知，是圓上的兩個動點，若點在以為直徑的圓上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖所示，設的中點為，連接，
因為點在以為直徑的圓上，所以，
所以，
連接，，，則，所以，
所以，
設，則，整理得，
所以點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，
因為，所以當取最大值時，取最大值，
又因為，
故的最大值為.
故選：B.
C綜合素養
4．（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考期末）已知中，點，邊上中線所在直線的方程為，邊上的高線所在直線的方程為.
(1)求點和點的坐標：
(2)以為圓心作一個圓，使得、、三點中的一個點在圓內，一個點在圓上，一個點在圓外，求這個圓的方程.
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）解：因為邊上的高線所在直線的方程為，
且直線的斜率為，則，故直線的方程為，即，
聯立直線和直線的方程可得，解得，即點，
設點，則線段的中點為，
由題意可得，解得，即點.
（2）解：因為，，
，則，
故圓的半徑為，所以，圓的方程為.
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