資源簡介

第05講 7.3.2 離散型隨機變量的方差
課程標準 學(xué)習(xí)目標
①通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列的方差。 ②能解決與離散型隨機變量相關(guān)的數(shù)學(xué)問題與實際問題中與方差的求解問題。 ③能解決一些穩(wěn)定性的簡單問題與決策性問題。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),要求掌握離散型隨機變量的方差、標準差的求解，能解決與之相關(guān)的簡單問題，有關(guān)決策性問題的處理意見與建議。
知識點1：離散型隨機變量的方差
（1）離散型隨機變量的方差的概念
一般地，若離散型隨機變量的概率分布列為：
… …
… …
則稱
為隨機變量的方差，有時也記為.
稱為隨機變量的標準差.
（2）離散型隨機變量的方差的深層理解
①離散型隨機變量的方差是個數(shù)值，是隨機變量的一個重要特征數(shù).
描述了()相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均值，刻畫了隨機變量的取值與其均值的平均偏離程度.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方.
③均值與方差的關(guān)系
在實際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機變量的特征，還必須研究隨機變量的集中與離散程度，這就需要求出方差.
④方差公式的變形：
⑤方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機性，方差的值一定非負.
（3）兩點分布的方差公式
一般地，如果隨機變量服從兩點分布，那么:.
1 0
【即學(xué)即練1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】∵，，∴，
∵，，
二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，，且.
故選：D
（4）方差的性質(zhì)
若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.
【即學(xué)即練2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機變量滿足，則（ ）
A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2
【答案】C
【詳解】因為，所以.
故選：C
知識點2：樣本方差與離散型隨機變量方差的比較
（1）樣本方差
樣本數(shù)據(jù)；；；；記
均值：，其中.
方差：
（2）離散型隨機變量方差
離散型隨機變量的分布列
… …
… …
均值
方差：
【即學(xué)即練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是 ．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
【答案】乙
【詳解】由題意知：，
，
所以，
，
因為，所以乙更穩(wěn)定．
故答案為:乙．
知識點3：求離散型隨機變量的方差步驟
(1)理解離散型隨機變量的意義，寫出所有可能的取值.
(2)判斷離散型隨機變量是否服從特殊分布（如兩點分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續(xù)下面步驟.
(3)求出離散型隨機變量取每個值的概率.
(4)寫出離散型隨機變量的分布列.
(5)利用均值的定義求.
(6)利用求方差.
其中求均值的關(guān)鍵是寫出離散型隨機變量的分布列，前提是準確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.
題型01 求離散型隨機變量的方差、標準差
【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）甲乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）袋中有形狀、大小完全相同的3個球，編號分別為1，2，3.用表示取出的2個球中的最大號碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個球
(1)寫出的分布列；
(2)求的均值與方差.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.
(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大小（直接寫出結(jié)果）.
【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，．在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的概率分布、均值及標準差．
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）小王去自動取款機取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．
(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；
(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．
【變式3】（2023下·湖北宜昌·高二校考階段練習(xí)）新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．在做數(shù)學(xué)卷多選題時考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯得0分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選題當(dāng)作“單選題”來做；策略B：爭取得5分，選出自己認為正確的全部選項，本次考試前，某同學(xué)通過模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：
策略 概率 每題耗時（分鐘）
第11題 第12題
A 選對選項 0.8 0.5 3
B 部分選對 0.6 0.2 6
全部選對 0.3 0.7
已知該同學(xué)作答兩題的狀態(tài)互不影響，若該同學(xué)此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設(shè)他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差．
題型02 離散型隨機變量的方差公式及性質(zhì)
【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，則 ．
【典例2】（2024上·陜西渭南·高二校考期末）隨機變量的分布列如下表，則 ； .
0 1 2
【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）離散型隨機變量X的分布為：
0 1 2 4 5
若離散型隨機變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為 ．
①；②；③；④．
【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)隨機變量的方差，則的值為 .
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若，，且的均值為5，則方差為 .
【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量X的分布列如表所示，若，則 .
X －1 0 1
P a b
題型03兩點分布的方差
【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知隨機變量滿足，，其中.令隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023下·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為 ．
題型04方差的實際應(yīng)用
【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為
甲品牌的走時誤差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
試對兩種品牌手表的性能作出描述： ．
【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.
【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個風(fēng)險理財項目的年利潤率分別為和，利潤率為負表示虧損，根據(jù)往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到和的分布列：
5 10 -2
P 0.6 0.15 0.25
4 6 12 -2.5
P 0.2 0.5 0.1 0.2
現(xiàn)有200萬元資金準備投資到甲、乙兩個風(fēng)險理財項目一年．
(1)在甲、乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目甲和乙所獲得的年利潤，求和；
(2)項目甲投資x萬元，項目乙投資萬元，其中，，用表示投資甲項目的年利潤方差與投資乙項目的年利潤方差之和，問該如何分配這200萬元資金，能使的數(shù)值最小？
【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)有甲、乙兩地生產(chǎn)的兩批原棉，它們的纖維長度X，Y的分布如表1、表2所示．
表1
X 25 24 23 22 21 20
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
表2
Y 25 24 23 22 21 20
P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1
試問：這兩批原棉的質(zhì)量哪一批較好？
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的(1)班(8)班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（軸表示對應(yīng)的班號，軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；
(2)若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．
【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營造良好的文化氛圍，增強文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競答活動，該活動有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項.據(jù)統(tǒng)計，中小學(xué)生參與該項知識競答活動的人數(shù)共計4.8萬，其中獲獎學(xué)生情況統(tǒng)計如下：
獎項 組別 單人賽 PK賽獲獎
一等獎 二等獎 三等獎
中學(xué)組 40 40 120 100
小學(xué)組 32 58 210 100
(1)從獲獎學(xué)生中隨機抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自中學(xué)組的概率；
(2)從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎?wù)咧懈麟S機抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從獲獎學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中來自中學(xué)組的人數(shù)為，來自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
A夯實基礎(chǔ) B能力提升
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）若隨機變量滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·高二課時練習(xí)）已知隨機變量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
則等于（ ）
A．0 B．0.8 C．2 D．1
3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，則（ ）
A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列為：
則隨機變量的方差的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·高二課時練習(xí)）已知隨機變量ξ的分布列如下：
若，則的最小值等于（ ）
A．0 B．2
C．1 D．
7．（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)，隨機變量的分布列為
0 1 2
P b
則當(dāng)在內(nèi)增大時（ ）
A．增大
B．減小
C．先減小后增大
D．先增大后減小
8．（2023下·廣東東莞·高二東莞實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知隨機變量X的概率分布如表.當(dāng)在內(nèi)增大時，方差的變化為（ ）
X 1
P
A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大
二、多選題
9．（2023下·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023下·高二課時練習(xí)）（多選）下列說法中錯誤的是（ ）
A．離散型隨機變量的均值反映了取值的概率的平均值
B．離散型隨機變量的方差反映了取值的平均水平
C．離散型隨機變量的均值反映了取值的平均水平
D．離散型隨機變量的方差反映了取值的概率的平均值
三、填空題
11．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學(xué)校考期末）離散型隨機變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則 .
12．（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）隨機變量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差數(shù)列，若隨機變量的期望，則其方差＝ ．
四、解答題
13．（2023上·江西上饒·高二校考期末）某網(wǎng)站為研究新聞點擊量的變化情況，收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點擊量變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述新聞點擊量變化時，用“↑”表示“上漲”，即當(dāng)天新聞點擊量比前一天新聞點擊量高；用“↓”表示“下降”，即當(dāng)天新聞點擊量比前一天新聞點擊量低；用“－”表示“不變”，即當(dāng)天新聞點擊量與前一天新聞點擊量相同.
時段 新聞點擊量
第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓
第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑
用頻率估計概率.
(1)試估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率；
(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機抽取1天，記表示其中該網(wǎng)站新聞點擊量“上漲”的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從樣本給出的30天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，然后繼續(xù)統(tǒng)計接下來的10天的新聞點擊量，其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”，相應(yīng)地，從這40天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，直接寫出方差，大小關(guān)系.
14．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
B能力提升
1．（2023上·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：
運動鞋款式 A B C D E
回訪顧客（人數(shù)） 700 350 300 250 400
滿意度
注：
1．滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；
2．對于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運動鞋的滿意度．假設(shè)顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．
(1)從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；
(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結(jié)論不要求證明）
2．（2023上·高二課時練習(xí)）某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5，0.6，0.4．經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；
(2)經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為，求隨機變量的期望與方差．
3．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)校考三模）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的5位學(xué)生在一次考試后調(diào)整了學(xué)習(xí)方法，一段時間后又參加了第二次考試．兩次考試的成績?nèi)缦卤硭荆M分100分）
學(xué)生1 學(xué)生2 學(xué)生3 學(xué)生4 學(xué)生5
第一次 82 89 78 92 81
第二次 83 90 75 95 76
(1)在5位學(xué)生中依次抽取3位學(xué)生．在前2位學(xué)生中至少有1位學(xué)生第一次成績高于第二次成績的條件下，求第三位學(xué)生第二次考試成績高于第一次考試成績的概率；
(2)設(shè)（，2，…，5）表示第i位學(xué)生第二次考試成績減去第一次考試成績的值．從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組5位學(xué)生中隨機選取2位，得到數(shù)據(jù)，定義隨機變量X如下：求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX和方差．
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第05講 7.3.2 離散型隨機變量的方差
課程標準 學(xué)習(xí)目標
①通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列的方差。 ②能解決與離散型隨機變量相關(guān)的數(shù)學(xué)問題與實際問題中與方差的求解問題。 ③能解決一些穩(wěn)定性的簡單問題與決策性問題。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),要求掌握離散型隨機變量的方差、標準差的求解，能解決與之相關(guān)的簡單問題，有關(guān)決策性問題的處理意見與建議。
知識點1：離散型隨機變量的方差
（1）離散型隨機變量的方差的概念
一般地，若離散型隨機變量的概率分布列為：
… …
… …
則稱
為隨機變量的方差，有時也記為.
稱為隨機變量的標準差.
（2）離散型隨機變量的方差的深層理解
①離散型隨機變量的方差是個數(shù)值，是隨機變量的一個重要特征數(shù).
描述了()相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均值，刻畫了隨機變量的取值與其均值的平均偏離程度.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方.
③均值與方差的關(guān)系
在實際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機變量的特征，還必須研究隨機變量的集中與離散程度，這就需要求出方差.
④方差公式的變形：
⑤方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機性，方差的值一定非負.
（3）兩點分布的方差公式
一般地，如果隨機變量服從兩點分布，那么:.
1 0
【即學(xué)即練1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】∵，，∴，
∵，，
二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，，且.
故選：D
（4）方差的性質(zhì)
若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.
【即學(xué)即練2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機變量滿足，則（ ）
A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2
【答案】C
【詳解】因為，所以.
故選：C
知識點2：樣本方差與離散型隨機變量方差的比較
（1）樣本方差
樣本數(shù)據(jù)；；；；記
均值：，其中.
方差：
（2）離散型隨機變量方差
離散型隨機變量的分布列
… …
… …
均值
方差：
【即學(xué)即練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是 ．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
【答案】乙
【詳解】由題意知：，
，
所以，
，
因為，所以乙更穩(wěn)定．
故答案為:乙．
知識點3：求離散型隨機變量的方差步驟
(1)理解離散型隨機變量的意義，寫出所有可能的取值.
(2)判斷離散型隨機變量是否服從特殊分布（如兩點分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續(xù)下面步驟.
(3)求出離散型隨機變量取每個值的概率.
(4)寫出離散型隨機變量的分布列.
(5)利用均值的定義求.
(6)利用求方差.
其中求均值的關(guān)鍵是寫出離散型隨機變量的分布列，前提是準確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.
題型01 求離散型隨機變量的方差、標準差
【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）甲乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．
【答案】分布列見解析，均值為，方差為.
【詳解】依題意，的所有可能取值為0,1,2，
；；，
所以的概率分布為：
0 1 2
P
數(shù)學(xué)期望，
方差.
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）袋中有形狀、大小完全相同的3個球，編號分別為1，2，3.用表示取出的2個球中的最大號碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個球
(1)寫出的分布列；
(2)求的均值與方差.
【答案】(1)
1 2 3
(2)；
【詳解】（1）題意知的可能取值為1，2，3，
當(dāng)時，有一種情況；
當(dāng)時，有，，三種情況；
當(dāng)時，有，，，，五種情況；
則，，，
所以的分布列：
1 2 3
（2）的均值為：，
方差為.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.
(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大小（直接寫出結(jié)果）.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，的期望為
(3)
【詳解】（1）甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：
第一場比賽 第二場比賽 第三場比賽
甲學(xué)校獲勝概率 0.5 0.4 0.8
乙學(xué)校獲勝概率 0.5 0.6 0.2
甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，
①甲學(xué)校3場全勝，概率為：，
②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：，
所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；
（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：
，
，
，
，
則的分布列為：
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
的期望；
（3）甲學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：
，
，
，
，
則的分布列為：
0 10 20 30
0.06 0.34 0.44 0.16
的期望；
故，
由（2）可得，
故.
【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，．在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的概率分布、均值及標準差．
【答案】分布列見解析，均值為，標準差為
【詳解】由題意，得X的所有可能取值為0,1,2，
故X的概率分布為:
X 0 1 2
P
，
，所以.
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）小王去自動取款機取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．
(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；
(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望，方差．
【詳解】（1）設(shè)“小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，
則．
（2）由題意，X的所有可能取值為1，2，3，
則，，，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
所以數(shù)學(xué)期望，
方差．
【變式3】（2023下·湖北宜昌·高二校考階段練習(xí)）新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．在做數(shù)學(xué)卷多選題時考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯得0分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選題當(dāng)作“單選題”來做；策略B：爭取得5分，選出自己認為正確的全部選項，本次考試前，某同學(xué)通過模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：
策略 概率 每題耗時（分鐘）
第11題 第12題
A 選對選項 0.8 0.5 3
B 部分選對 0.6 0.2 6
全部選對 0.3 0.7
已知該同學(xué)作答兩題的狀態(tài)互不影響，若該同學(xué)此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設(shè)他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差．
【答案】分布列見解析，均值為3.7，方差為3.61.
【詳解】設(shè)事件為“第11題得0分”，事件為“第11題得2分”，事件為“第11題得5分”，事件為“第12題得0分”，事件為“第12題得2分”，
則，，，，，
由題意知，X的可能取值為0，2，4，5，7，
所以，
，
，
，
，
所以X的分布列為
X 0 2 4 5 7
P 0.05 0.35 0.3 0.15 0.15
所以，
.
題型02 離散型隨機變量的方差公式及性質(zhì)
【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，則 ．
【答案】
【詳解】，①，
又②，
聯(lián)立①②得，
所以，
則．
故答案為：．
【典例2】（2024上·陜西渭南·高二校考期末）隨機變量的分布列如下表，則 ； .
0 1 2
【答案】 1 2.4
【詳解】由題知：，，
.
，.
故答案為：，
【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）離散型隨機變量X的分布為：
0 1 2 4 5
若離散型隨機變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為 ．
①；②；③；④．
【答案】①③
【詳解】由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)，可得，
則，
，
所以①③正確；
又由離散型隨機變量Y滿足，所以，
，所以②④錯誤，
故答案為：①③．
【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)隨機變量的方差，則的值為 .
【答案】12
【詳解】
故答案為：12
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若，，且的均值為5，則方差為 .
【答案】
【詳解】由題設(shè)，則，
所以.
故答案為：
【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）隨機變量X的分布列如表所示，若，則 .
X －1 0 1
P a b
【答案】5
【詳解】依題意可得，解得，
所以，
所以.
故答案為：5.
題型03兩點分布的方差
【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知隨機變量滿足，，其中.令隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】隨機變量滿足,,其中.
則隨機變量的分布列為:
所以
隨機變量,
所以當(dāng)時,,當(dāng)時,
所以隨機變量的分布列如下表所示(當(dāng)時,只有一個情況,概率為1):
則
當(dāng)即,解得.所以A、B錯誤.
恒成立.
所以C錯誤,D正確
故選:D
【變式1】（2023下·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為 ．
【答案】
【詳解】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設(shè)，所以，
所以，代入有：，
解得：，，
因為離散型隨機變量X服從兩點分布，所以.
故答案為：.
題型04方差的實際應(yīng)用
【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為
甲品牌的走時誤差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
試對兩種品牌手表的性能作出描述： ．
【答案】甲種手表的性能更好，更穩(wěn)定
【詳解】由甲品牌的走時誤差分布列，可得：
，
；
由乙品牌的走時誤差分布列，可得：
，
,
則甲、乙兩種手表走時誤差的期望一樣，但甲種手表的方差小于乙種手表的方差，
所以認為甲種手表的性能更好，更穩(wěn)定．
【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.
【答案】(1)
(2)方案二，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)顧客的獎勵額為X,依題意得
（2）根據(jù)方案一，設(shè)顧客的獎勵額為其可能取值為30，，30m60，90
，，
根據(jù)方案二，設(shè)顧客的獎勵額為其可能取值為40，60，80
，，
商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，故每個顧客平均獎勵額最多為60，兩方案均符合要求，但方案二獎勵的方差比方案一小，所以應(yīng)選擇方案二
【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個風(fēng)險理財項目的年利潤率分別為和，利潤率為負表示虧損，根據(jù)往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到和的分布列：
5 10 -2
P 0.6 0.15 0.25
4 6 12 -2.5
P 0.2 0.5 0.1 0.2
現(xiàn)有200萬元資金準備投資到甲、乙兩個風(fēng)險理財項目一年．
(1)在甲、乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目甲和乙所獲得的年利潤，求和；
(2)項目甲投資x萬元，項目乙投資萬元，其中，，用表示投資甲項目的年利潤方差與投資乙項目的年利潤方差之和，問該如何分配這200萬元資金，能使的數(shù)值最小？
【答案】(1)，
(2)投資甲項目105萬元，投資乙項目95萬元時有最小值
【詳解】（1）由題意可知（萬元）和（萬元）的分布列分別為
5 10 -2
P 0.6 0.15 0.25
4 6 12 -2.5
P 0.2 0.5 0.1 0.2
所以．
．
于是．
（2）由題意可知，根據(jù)方差性質(zhì)可得
．
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)，即時，取得最小值．
因此投資甲項目105萬元，投資乙項目95萬元時有最小值．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)有甲、乙兩地生產(chǎn)的兩批原棉，它們的纖維長度X，Y的分布如表1、表2所示．
表1
X 25 24 23 22 21 20
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
表2
Y 25 24 23 22 21 20
P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1
試問：這兩批原棉的質(zhì)量哪一批較好？
【答案】乙地原棉比甲地原棉的質(zhì)量要好一些
【詳解】兩批原棉纖維長度的均值分別為
，
．
這兩批原棉的纖維平均長度相等．
兩批原棉纖維長度的方差分別為
，
．
這說明乙地原棉纖維更加齊整，故乙地原棉比甲地原棉的質(zhì)量要好一些．
【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的(1)班(8)班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（軸表示對應(yīng)的班號，軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；
(2)若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，1
(3)
【詳解】（1）從高一年級（1）班~（8）班學(xué)生中抽測了80人，
其中身體素質(zhì)檢測成績優(yōu)秀的人數(shù)有人，所以，優(yōu)秀的概率是
因為是隨機抽樣，所以用樣本估計總體，可知從高一年級學(xué)生中任意抽測一人，
該生身體素質(zhì)檢測成績達到優(yōu)秀的概率是
（2）因為高一（2）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)有6人，不優(yōu)秀的有4人，
因為高一（4）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)有4人，不優(yōu)秀的有6人，
所以從中抽出2人，的可能取值為
，，，
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望
（3），
理由：由于
且服從二點分布，所以，
由于在單調(diào)遞減，
所以.
【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營造良好的文化氛圍，增強文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競答活動，該活動有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項.據(jù)統(tǒng)計，中小學(xué)生參與該項知識競答活動的人數(shù)共計4.8萬，其中獲獎學(xué)生情況統(tǒng)計如下：
獎項 組別 單人賽 PK賽獲獎
一等獎 二等獎 三等獎
中學(xué)組 40 40 120 100
小學(xué)組 32 58 210 100
(1)從獲獎學(xué)生中隨機抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自中學(xué)組的概率；
(2)從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎?wù)咧懈麟S機抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從獲獎學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中來自中學(xué)組的人數(shù)為，來自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望為
(3)，理由見解析
【詳解】（1）若事件表示抽到的學(xué)生獲得一等獎，事件表示抽到的學(xué)生來自中學(xué)組，
所以抽到的1個學(xué)生獲得一等獎，學(xué)生來自中學(xué)組的概率為，
由表格知：，則.
（2）由題意，可能值為，
，，，
的分布列如下：
0 1 2
所以.
（3）由題設(shè)知，所以.
A夯實基礎(chǔ) B能力提升
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）若隨機變量滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為，所以.
故選：A
2．（2023上·高二課時練習(xí)）已知隨機變量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
則等于（ ）
A．0 B．0.8 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)離散型隨機變量的方差公式求解即可.
【詳解】∵，
∴．
故選:B.
3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【分析】由方差的性質(zhì)求解即可.
【詳解】數(shù)據(jù)，，…，的方差，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為.
故選：A
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，則（ ）
A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
【答案】A
【分析】通過計算期望和方差來求得正確答案.
【詳解】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故選：A
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列為：
則隨機變量的方差的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由隨機變量的分布列，求出的值，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【詳解】解：由題意可得，，
則，
當(dāng)，有最大值為．
故選：A．
6．（2023上·高二課時練習(xí)）已知隨機變量ξ的分布列如下：
若，則的最小值等于（ ）
A．0 B．2
C．1 D．
【答案】A
【分析】由分布列的性質(zhì)求出，由期望公式可得，由方差公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意得，
所以，即.
又，
所以當(dāng)時，取最小值為0.
故選:A.
7．（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)，隨機變量的分布列為
0 1 2
P b
則當(dāng)在內(nèi)增大時（ ）
A．增大
B．減小
C．先減小后增大
D．先增大后減小
【答案】A
【分析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，結(jié)合方差的公式、二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)可知，所以，
所以，
所以
，
因為，所以單調(diào)遞增，
故選：A
8．（2023下·廣東東莞·高二東莞實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知隨機變量X的概率分布如表.當(dāng)在內(nèi)增大時，方差的變化為（ ）
X 1
P
A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大
【答案】D
【分析】求出期望與方差，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷方差的單調(diào)性．
【詳解】由分布列可得，
所以，
所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．
故選：D．
二、多選題
9．（2023下·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)期望及方差的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，則,故A正確，B錯誤；
，則，故C正確，D錯誤.
故選：AC
10．（2023下·高二課時練習(xí)）（多選）下列說法中錯誤的是（ ）
A．離散型隨機變量的均值反映了取值的概率的平均值
B．離散型隨機變量的方差反映了取值的平均水平
C．離散型隨機變量的均值反映了取值的平均水平
D．離散型隨機變量的方差反映了取值的概率的平均值
【答案】ABD
【分析】由均值和方差的定義，均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，即可判斷A、C是否正確；方差反映了隨機變量取值的集中分散情況，即可判斷B、D是否正確；即可得答案．
【詳解】離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，故C正確，A錯誤；
離散型隨機變量的方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，故B、D錯誤.
故選：ABD．
三、填空題
11．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學(xué)校考期末）離散型隨機變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)方差的定義求得，然后利用方差性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意及方差定義知，所以.
故答案為：
12．（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）隨機變量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差數(shù)列，若隨機變量的期望，則其方差＝ ．
【答案】
【分析】利用等差中項的性質(zhì)，分布列中概率和為1以及均值的計算公式構(gòu)建方程求得，，，再由方差的計算公式求得答案.
【詳解】因為，，成等差數(shù)列，則，又由分布列的性質(zhì)，則，
所以得，
又因為隨機變量的均值且,
故解得，，
所以.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023上·江西上饒·高二校考期末）某網(wǎng)站為研究新聞點擊量的變化情況，收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點擊量變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述新聞點擊量變化時，用“↑”表示“上漲”，即當(dāng)天新聞點擊量比前一天新聞點擊量高；用“↓”表示“下降”，即當(dāng)天新聞點擊量比前一天新聞點擊量低；用“－”表示“不變”，即當(dāng)天新聞點擊量與前一天新聞點擊量相同.
時段 新聞點擊量
第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓
第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑
用頻率估計概率.
(1)試估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率；
(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機抽取1天，記表示其中該網(wǎng)站新聞點擊量“上漲”的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從樣本給出的30天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，然后繼續(xù)統(tǒng)計接下來的10天的新聞點擊量，其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”，相應(yīng)地，從這40天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，直接寫出方差，大小關(guān)系.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)，理由見解析
【詳解】（1）30天中，有10天點擊量下降，故估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率為；
（2）前15天中，有5天的點擊量上漲，后15天中，有7天上漲，
故的可能取值為，
則，，
，
故的分布列如下：
0 1 2
；
（3），理由如下：
由（2）知，樣本給出的30天中點擊量上漲的天數(shù)為12，
故，，
則，，
這40天中點擊量上漲的天數(shù)為，
故，，
故，，
由于，故.
14．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可得：，解得，
所以.
（2）因為，則，
所以.
B能力提升
1．（2023上·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：
運動鞋款式 A B C D E
回訪顧客（人數(shù)） 700 350 300 250 400
滿意度
注：
1．滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；
2．對于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運動鞋的滿意度．假設(shè)顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．
(1)從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；
(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)顧客是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是．
(2)的分布列見解答．的期望是1
(3)
【詳解】（1）由題意知，是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的人數(shù)為，
故從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是．
（2）的取值為0，1，2．設(shè)事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，
事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，
且事件與相互獨立．
根據(jù)題意，，．
則，
，
，
所以的分布列為：
0 1 2
0.24 0.52 0.24
的期望是：．（3）都服從兩點分布，，，
，，
所以.
2．（2023上·高二課時練習(xí)）某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5，0.6，0.4．經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；
(2)經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為，求隨機變量的期望與方差．
【答案】(1)0.38
(2)
【詳解】（1）分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，，，
則，，，
設(shè)表示第一次燒制后恰好有一件合格， ，
所以
；
（2）設(shè)甲、乙、丙經(jīng)第二次燒制后合格為事件，，，分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，，，則，，，，，，
，，
所以，
，
，
，
于是，，
.
3．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)校考三模）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的5位學(xué)生在一次考試后調(diào)整了學(xué)習(xí)方法，一段時間后又參加了第二次考試．兩次考試的成績?nèi)缦卤硭荆M分100分）
學(xué)生1 學(xué)生2 學(xué)生3 學(xué)生4 學(xué)生5
第一次 82 89 78 92 81
第二次 83 90 75 95 76
(1)在5位學(xué)生中依次抽取3位學(xué)生．在前2位學(xué)生中至少有1位學(xué)生第一次成績高于第二次成績的條件下，求第三位學(xué)生第二次考試成績高于第一次考試成績的概率；
(2)設(shè)（，2，…，5）表示第i位學(xué)生第二次考試成績減去第一次考試成績的值．從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組5位學(xué)生中隨機選取2位，得到數(shù)據(jù)，定義隨機變量X如下：求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX和方差．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望為1，方差為.
【詳解】（1）表中2人第一次成績優(yōu)于第二次成績,3人第二次成績優(yōu)于第一次成績.
設(shè)事件為在5名學(xué)生中先抽取2名學(xué)生其中至少有1名同學(xué)第一次成績高于第二次成績,事件為抽取的第三名學(xué)生第二次考試成績高于第一次考試成績.
則，
，
所以，
則抽一名學(xué)生，且該生第二次考試成績高于第一次考試成績的概率為 .
（2）共種，
，
，
隨機變量可能的取值為0,1,2.
，
則隨機變量的分布列為:，
的數(shù)學(xué)期望，
.
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