資源簡介

第04講 7.3.1 離散型隨機變量的均值
課程標準 學習目標
①通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列的均值。 ②能解決與離散型隨機變量相關的數學問題與實際問題中的均值的求解問題。 ③能解決一些與平均水平有關的簡單問題與決策性問題。 通過本節課的學習,要求掌握離散型隨機變量的均值，能解決與之相關的簡單問題，有關決策性問題的處理意見與建議.會判斷平均水平
知識點01：離散型隨機變量的均值
（1）離散型隨機變量的均值的概念
一般地，若離散型隨機變量的概率分布為：
… …
… …
則稱為隨機變量的均值(mean)或數學期望(mathematical expectation),數學期望簡稱期望.
均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數,它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的平均水平.
【即學即練1】（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
則其數學期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【答案】D
【詳解】分布列中出現的所有的概率之和等于1．，，
隨機變量的數學期望．
故選：D.
（2）離散型隨機變量的均值的深層理解
①離散型隨機變量的均值（數學期望）是個數值，是隨機變量的一個重要特征數，反映的是離散型隨機變量取值的平均水平.即若隨機試驗進行了次，根據的分布列，在次試驗中，有次出現了,有次出現了,…,有次出現了，則次試驗中，出現的平均值為，即.
②隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位.
③是一個實數，由的分布列唯一確定，即作為隨機變量，是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態.
（3）兩點分布的均值公式
一般地，如果隨機變量服從兩點分布，那么:
1 0
【即學即練2】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：因為隨機變量X的分布列服從兩點分布，
所以，
則，解得或，
又因，
所以，則，
所以.
故選：C.
（4）均值的性質
①若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關系可知.
②若與相互獨立，則.
知識點02：樣本均值與離散型隨機變量均值的比較
（1）樣本均值
樣本數據；；；；記
均值：，其中.
（2）離散型隨機變量均值
離散型隨機變量的分布列
… …
… …
均值
知識點03：求離散型隨機變量的均值步驟
(1)理解離散型隨機變量的意義，寫出所有可能的取值.
(2)判斷離散型隨機變量是否服從特殊分布（如兩點分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續下面步驟.
(3)求出離散型隨機變量取每個值的概率.
(4)寫出離散型隨機變量的分布列.
(5)利用均值的定義求.
其中求均值的關鍵是寫出離散型隨機變量的分布列，前提是準確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.
題型01 兩點分布的均值
【典例1】（2023下·山西呂梁·高二山西省交城中學校統考期中）已知隨機變量服從兩點分布，，則其成功概率為（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【典例2】（2023下·浙江嘉興·高二校考期中）已知隨機變量X的取值為0，1，若，則X的均值為 .
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【變式2】（2023下·山西朔州·高二校聯考階段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，，則 ， .
題型02 離散型隨機變量均值公式及性質
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）設的分布列如圖，又，則 .
1 2 3 4
P a
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）隨機變量的分布列如下列表格所示，其中為的數學期望，則 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）隨機變量X的分布列如表，則的值為（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列如表：若離散型隨機變量，則 ．
0 1 2 3
【變式3】（2024上·河南漯河·高三漯河高中校考階段練習）已知，則 .
題型03離散型隨機變量的均值
【典例1】（2024·福建漳州·統考模擬預測）2023年12月11日至12日中央經濟工作會議在北京舉行，會議再次強調要提振新能源汽車消費.發展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續航測試，測試的結果只有三種等次：優秀、良好、合格，優秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為；在續航測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.
(1)求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；
(2)求離散型隨機變量的分布列與期望.
【典例2】（2024上·云南·高三校聯考階段練習）某學校有1000人，想通過驗血的方式篩查出某種病毒的攜帶者，如果對每個人的血樣逐一化驗，需要化驗1000次，統計專家提出了一種方法：隨機地按10人一組分組，然后將各組10個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這10個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一個人呈陽性，就需要對這組的每個人再分別化驗一次．假設某學校攜帶病毒的人數有10人．（）
(1)用樣本的頻率估計概率，若5個人一組，求一組混合血樣呈陽性的概率；
(2)用統計專家這種方法按照5個人一組或10個人一組，問哪種分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗次數較少？為什么？
【典例3】（2024上·北京通州·高三統考期末）民航招飛是指普通高校飛行技術專業（本科）通過高考招收飛行學生，報名的學生參加預選初檢 體檢鑒定 飛行職業心理學檢測 背景調查 高考選拔等5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優錄取.據統計，每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為.假設學生能否通過這5項流程相互獨立，現有某校高三學生甲 乙 丙三人報名民航招飛.
(1)估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率；
(3)根據甲 乙 丙三人的平時學習成績，預估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設甲 乙 丙三人能被招飛院校錄取的人數為X，求X的分布列及數學期望.
【典例4】（2024上·山西朔州·高三統考期末）已知某足球賽事的決賽將在甲、乙兩隊之間進行.其規則為：每一場比賽均須決出勝負，按主、客場制先進行兩場比賽（第一場在甲隊主場比賽），若某一隊在前兩場比賽中均獲勝，則該隊獲得冠軍；否則，兩隊需在中立場進行第三場比賽，且其獲勝方為冠軍.已知甲隊在主場、客場、中立場獲勝的概率依次為，，，且每場比賽的勝負均相互獨立.
(1)當甲隊獲得冠軍時，求決賽需進行三場比賽的概率；
(2)若主辦方在決賽的前兩場中共投資（千萬元），則能在這兩場比賽中共盈利（千萬元）.如果需進行第三場比賽，且主辦方在第三場比賽中投資（千萬元），則能在該場比賽中盈利（千萬元）.若主辦方最多能投資一千萬元，請以決賽總盈利的數學期望為決策依據，則其在前兩場的投資額應為多少萬元？
【變式1】（2024·吉林長春·東北師大附中校聯考模擬預測）為了更好地推廣冰雪體育運動項目，某中學要求每位同學必須在高中三年的每個冬季學期選修滑冰 滑雪 冰壺三類體育課程之一，且不可連續選修同一類課程，若某生在選修滑冰后，下一次選修滑雪的概率為：在選修滑雪后，下一次選修冰壺的概率為，在選修冰壺后，下一次選修滑冰的概率為.
(1)若某生在高一冬季學期選修了滑雪，求他在高三冬季學期選修滑冰的概率：
(2)若某生在高一冬季學期選修了滑冰，設該生在高中三個冬季學期中選修滑冰課程的次數為隨機變量X，求X的分布列及期望，
【變式2】（2024上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）某校高三年級嘟嘟老師準備利用高中數學知識對甲、乙、丙三名學生在即將到來的全省適應性考試成績進行預測，為此，他收集了三位同學近三個月的數學月考、周測成績（滿分150分），若考試成績超過100分則稱為“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三名同學的考試成績相互獨立．
(1)分別估計甲、乙、丙三名同學“破百”的概率；
(2)設這甲、乙、丙三名同學在這次決賽上“破百”的人數為，求的分布列和數學期望．
【變式3】（2024·全國·模擬預測）2023年國慶節假期期間，某超市舉行了購物抽獎贏手機活動．活動規則如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期間，消費金額（單位：元）不低于100元的顧客可以參與一次活動（假設每名顧客只消費一次），每5人一組，每人可以隨機選取A或B兩個字母，其中選取相同字母的人數較少者每人獲得10元購物券，其他人獲得抽取價值6999元手機的資格（例如5人中有2人選取A，則這2人每人獲得10元購物券，另外3人獲得抽取手機的資格；5人全部選取A，則這5人均獲得抽取手機的資格），根據統計，在此活動期間，顧客在該超市消費金額的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)從活動期間在該超市購物的顧客中隨機選取2名，求這2名顧客中恰有1人獲得10元購物券的概率
(2)設每5人組獲得購物券的人數為X．
（ⅰ）求X的分布列與數學期望：
（ⅰⅰ）若超市計劃投入的活動經費（購買手機的費用與發放的購物券金額總和）不超過顧客消費總金額的10%，則每1000名顧客最多送出多少部手機？（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）
【變式4】（2024·河南·模擬預測）矮化密植是指應用生物或栽培措施使果樹生長樹冠緊湊的方法，它與常規的矮小栽培相比有許多優勢，如采用這種矮化果樹可以建立比常規果園定植密度更高的果園，不僅能提高土壤及光能利用率，還能夠獲得更多的早期經濟效益.某鄉鎮計劃引進A，B兩種矮化果樹，已知A種矮化果樹種植成功率為，成功后每公頃收益7.5萬元；B種矮化果樹種植成功率為，成功后每公頃收益9萬元.假設種植不成功時，種植A，B兩種矮化果樹每公頃均損失1.5萬元，每公頃是否種植成功相互獨立.
(1)甲種植戶試種兩種矮化果樹各1公頃，總收益為X萬元，求X的分布列及數學期望；
(2)乙種植戶有良田6公頃，本計劃全部種植A，但是甲勸說乙應該種植兩種矮化果樹各3公頃，請按照總收益的角度分析一下，乙應選擇哪一種方案
題型04均值的實際應用
【典例1】（2024·山西臨汾·統考一模）現有5個紅色氣球和4個黃色氣球，紅色氣球內分別裝有編號為1，3，5，7，9的號簽，黃色氣球內分別裝有編號為2，4，6，8的號簽.參加游戲者，先對紅色氣球隨機射擊一次，記所得編號為，然后對黃色氣球隨機射擊一次，若所得編號為，則游戲結束；否則再對黃色氣球隨機射擊一次，將從黃色氣球中所得編號相加，若和為，則游戲結束；否則繼續對剩余的黃色氣球進行射擊，直到和為為止，或者到黃色氣球打完為止，游戲結束.
(1)求某人只射擊兩次的概率；
(2)若某人射擊氣球的次數與所得獎金的關系為，求此人所得獎金的分布列和期望.
【典例2】（2024上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）某校高三年級嘟嘟老師準備利用高中數學知識對甲、乙、丙三名學生在即將到來的全省適應性考試成績進行預測，為此，他收集了三位同學近三個月的數學月考、周測成績（滿分150分），若考試成績超過100分則稱為“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三名同學的考試成績相互獨立．
(1)分別估計甲、乙、丙三名同學“破百”的概率；
(2)設這甲、乙、丙三名同學在這次決賽上“破百”的人數為，求的分布列和數學期望．
【典例3】（2024上·上海·高二統考期末）年月日至月日在國家會展中心舉辦中國國際進口博覽會期間，為保障展會的順利進行，有、兩家外賣公司負責為部分工作者送餐.兩公司某天各自隨機抽取名送餐員工，統計公司送餐員工送餐數，得到如圖頻率分布直方圖；統計兩公司樣本送餐數，得到如圖送餐數分布莖葉圖，已知兩公司樣本送餐數平均值相同.

(1)求的值
(2)求、的值
(3)為宣傳道路交通安全法，并遵循按勞分配原則，公司決定員工送餐份后，每多送份餐對其進行一次獎勵，并制定了兩種不同獎勵方案：
方案一：獎勵現金紅包元.
方案二：答兩道交通安全題，答對題獎勵元，答對題獎勵元，答對題獎勵元.員工每一道題答題相互獨立且每題答對概率為與該員工交通安全重視程度相關）.
求下表中的值（用表示）；從員工收益角度出發，如何選擇方案較優？并說明理由.
附：方案二綜合收益滿足公式，為該員工被獎勵次數.
方案二獎勵 元 元 元
概率
【變式1】（2024·福建漳州·統考模擬預測）2023年12月11日至12日中央經濟工作會議在北京舉行，會議再次強調要提振新能源汽車消費.發展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續航測試，測試的結果只有三種等次：優秀、良好、合格，優秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為；在續航測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.
(1)求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；
(2)求離散型隨機變量的分布列與期望.
【變式2】（2024上·北京通州·高三統考期末）民航招飛是指普通高校飛行技術專業（本科）通過高考招收飛行學生，報名的學生參加預選初檢 體檢鑒定 飛行職業心理學檢測 背景調查 高考選拔等5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優錄取.據統計，每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為.假設學生能否通過這5項流程相互獨立，現有某校高三學生甲 乙 丙三人報名民航招飛.
(1)估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率；
(3)根據甲 乙 丙三人的平時學習成績，預估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設甲 乙 丙三人能被招飛院校錄取的人數為X，求X的分布列及數學期望.
【變式3】（2024上·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習）甲、乙兩人準備進行羽毛球比賽，比賽規定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發球方.若甲發球，則本回合甲贏的概率為，若乙發球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結果相互獨立.經抽簽決定，第1回合由甲發球.
(1)求第4個回合甲發球的概率；
(2)設前4個回合中，甲發球的次數為，求的分布列及期望.
題型05由離散型隨機變量的均值求參數
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）某醫院對10名入院人員進行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗需檢驗10次；若采用10合一混管檢驗，檢驗結果為陰性則只要檢驗1次，如果檢驗結果為陽性，就要再全部進行單管檢驗．記10合一混管檢驗次數為，當時，10名人員均為陰性的概率為（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知隨機變量滿足，其中，若，則 ， ．
【變式1】（2024·江蘇·高二假期作業）若隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P a b
且，則a，b分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的概率分布列為：
X 1 2 3 4
P m n
已知，則 .
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布為，且，若，則實數 ．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024·全國·高二假期作業）某同學求得的一個離散型隨機變量的分布列為（ ）
X 1 2 3
P 0.2 m n
若，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量的期望為，則（ ）
A．9 B．11 C．27 D．29
3．（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量的概率分布列如下表：則數學期望等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·高三專題練習）隨機變量X的分布列如表，則的值為（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
6．（2024上·江西宜春·高三江西省宜豐中學校考階段練習）從1-20中隨機抽取3個數，記隨機變量為這3個數中相鄰數組的個數.如當這三個數為11，12，14時，；當這三個數為7，8，9時，.則的值約為（ ）
A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53
7．（2024·全國·模擬預測）已知某多選題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．若選項中有（其中）個選項符合題目要求，記隨機作答該題時（至少選擇一個選項）所得的分數為隨機變量，則（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全國·高二假期作業）某實驗測試的規則是：每位學生最多可做實驗3次，一旦實驗成功，則停止實驗，否則一直做到3次為止.設某學生一次實驗成功的概率為，實驗次數為隨機變量，若的數學期望，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024下·全國·高二隨堂練習）（多選）已知隨機變量的分布列為：
4 9 10
0.3 0.1 0.2
若，則以下結論正確的是（ ）
A．無法確定 B．
C． D．
10．（2023·全國·高二專題練習）設隨機變量X表示從1到n這n個整數中隨機抽取的一個整數，Y表示從1到X這X個整數中隨機抽取的一個整數，則下列正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，
C．當（且）時，
D．當時，Y的均值為
三、填空題
11．（2023上·上海·高二上海市第二中學校考階段練習）已知隨機變量的分布為，且，則 .
12．（2023上·天津河東·高三校考階段練習）設隨機變量X的概率分布列為：
X 1 2 3 4
P m n
已知，則 .
四、解答題
13．（2023·全國·校聯考模擬預測）新冠疫情下，為了應對新冠病毒極強的傳染性，每個人出門做好口罩防護工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由三道工序組成，每道工序之間相互獨立，且每道工序加工質量分為高和低兩種層次級別，三道工序加工的質量層次決定口罩的過濾等級；工序加工質量層次均為高時，口罩過濾等級為100等級(表示最低過濾效率為99.97%)；工序的加工質量層次為高，工序至少有一個質量層次為低時，口罩過濾等級為99等級(表示最低過濾效率為99%)；其余均為95級(表示最低過濾效率為95%)．
表①:表示三道工序加工質量層次為高的概率；表②:表示加工一個口罩的利潤．
表①
工序
概率
表②
口罩等級 100等級 99等級 95等級
利潤/元
(1)表示一個口罩的利潤，求的分布列和數學期望；
(2)由于工廠中工序加工質量層次為高的概率較低，工廠計劃通過增加檢測環節對工序進行升級．在升級過程中，每個口罩檢測成本增加了()元時，相應的工序加工層次為高的概率在原來的基礎上增加了;試問：若工廠升級方案后對一個口罩利潤的期望有所提高，則與應該滿足怎樣的關系
14．（2023上·四川雅安·高三校聯考期中）為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；
(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望
B能力提升
1．（2023·湖南株洲·株洲二中校考一模）民航招飛是指普通高校飛行技術專業（本科）通過高考招收飛行學生，報名的學生參加預選初檢 體檢鑒定 飛行職業心理學檢測 背景調查 高考選拔等5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優錄取.據統計，每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為.假設學生能否通過這5項流程相互獨立，現有某校高三學生甲 乙 丙三人報名民航招飛.
(1)估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率；
(3)根據甲 乙 丙三人的平時學習成績，預估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設甲 乙 丙三人能被招飛院校錄取的人數為X，求X的分布列及數學期望.
2．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學校聯考期中）根據社會人口學研究發現，一個家庭有個孩子的概率模型為：
1 2 3 0
概率
其中，.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子（），事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多.）
(1)為了調控未來人口結構，其中參數受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫療福利的增加等），是否存在的值使得，請說明理由；
(2)若，求，并根據全概率公式，求.
3．（2023·山西臨汾·校考模擬預測）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內復原．廣義的魔方，指各類可以通過轉動打亂和復原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復原的世界紀錄，勇奪世界魔方運動的冠軍，并成為世界上第一個三階魔方速擰進入4秒的選手．
(1)小王和小吳同學比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進行了局比賽，求的分布列和數學期望；
(2)小王和小吳同學比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？
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第04講 7.3.1 離散型隨機變量的均值
課程標準 學習目標
①通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列的均值。 ②能解決與離散型隨機變量相關的數學問題與實際問題中的均值的求解問題。 ③能解決一些與平均水平有關的簡單問題與決策性問題。 通過本節課的學習,要求掌握離散型隨機變量的均值，能解決與之相關的簡單問題，有關決策性問題的處理意見與建議.會判斷平均水平
知識點01：離散型隨機變量的均值
（1）離散型隨機變量的均值的概念
一般地，若離散型隨機變量的概率分布為：
… …
… …
則稱為隨機變量的均值(mean)或數學期望(mathematical expectation),數學期望簡稱期望.
均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數,它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的平均水平.
【即學即練1】（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
則其數學期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【答案】D
【詳解】分布列中出現的所有的概率之和等于1．，，
隨機變量的數學期望．
故選：D.
（2）離散型隨機變量的均值的深層理解
①離散型隨機變量的均值（數學期望）是個數值，是隨機變量的一個重要特征數，反映的是離散型隨機變量取值的平均水平.即若隨機試驗進行了次，根據的分布列，在次試驗中，有次出現了,有次出現了,…,有次出現了，則次試驗中，出現的平均值為，即.
②隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位.
③是一個實數，由的分布列唯一確定，即作為隨機變量，是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態.
（3）兩點分布的均值公式
一般地，如果隨機變量服從兩點分布，那么:
1 0
【即學即練2】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：因為隨機變量X的分布列服從兩點分布，
所以，
則，解得或，
又因，
所以，則，
所以.
故選：C.
（4）均值的性質
①若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關系可知.
②若與相互獨立，則.
知識點02：樣本均值與離散型隨機變量均值的比較
（1）樣本均值
樣本數據；；；；記
均值：，其中.
（2）離散型隨機變量均值
離散型隨機變量的分布列
… …
… …
均值
知識點03：求離散型隨機變量的均值步驟
(1)理解離散型隨機變量的意義，寫出所有可能的取值.
(2)判斷離散型隨機變量是否服從特殊分布（如兩點分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續下面步驟.
(3)求出離散型隨機變量取每個值的概率.
(4)寫出離散型隨機變量的分布列.
(5)利用均值的定義求.
其中求均值的關鍵是寫出離散型隨機變量的分布列，前提是準確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.
題型01 兩點分布的均值
【典例1】（2023下·山西呂梁·高二山西省交城中學校統考期中）已知隨機變量服從兩點分布，，則其成功概率為（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【詳解】隨機變量服從兩點分布，設成功的概率為，
．
故選:D．
【典例2】（2023下·浙江嘉興·高二校考期中）已知隨機變量X的取值為0，1，若，則X的均值為 .
【答案】/
【詳解】由題意可得，X服從兩點分布，
，
故.
故答案為：.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【詳解】由題意得，
因為，
所以解得，
所以，
故選：D
【變式2】（2023下·山西朔州·高二校聯考階段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，，則 ， .
【答案】 0.66 0.34
【詳解】由兩點分布可知，
.
故答案為：0.66;0.34.
題型02 離散型隨機變量均值公式及性質
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】結合題意：，
因為，所以，解得：，
故選：A.
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）設的分布列如圖，又，則 .
1 2 3 4
P a
【答案】
【詳解】由分布列的性質得，得，
從而，
而，
所以.
故答案為：.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）隨機變量的分布列如下列表格所示，其中為的數學期望，則 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【答案】0
【詳解】根據概率的性質可得解得，
所以，
所以.
故答案為:0.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）隨機變量X的分布列如表，則的值為（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
【答案】B
【詳解】由得，
所以，
所以.
故選：B
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列如表：若離散型隨機變量，則 ．
0 1 2 3
【答案】/
【詳解】由題
，
所以，
由，
所以，
故答案為：.
【變式3】（2024上·河南漯河·高三漯河高中校考階段練習）已知，則 .
【答案】
【詳解】由，可得.
故答案為：
題型03離散型隨機變量的均值
【典例1】（2024·福建漳州·統考模擬預測）2023年12月11日至12日中央經濟工作會議在北京舉行，會議再次強調要提振新能源汽車消費.發展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續航測試，測試的結果只有三種等次：優秀、良好、合格，優秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為；在續航測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.
(1)求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；
(2)求離散型隨機變量的分布列與期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數學期望為
【詳解】（1）記事件為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，
則，，.
記事件為“該型號新能源汽車參加續航測試的得分為分”，
則，，.
記事件為“該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格”，
則
，
則該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率為.
（2）由題知離散型隨機變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，
，
，
，
，
，
則離散型隨機變量的分布列為
2 4 6 8 10
所以數學期望.
【典例2】（2024上·云南·高三校聯考階段練習）某學校有1000人，想通過驗血的方式篩查出某種病毒的攜帶者，如果對每個人的血樣逐一化驗，需要化驗1000次，統計專家提出了一種方法：隨機地按10人一組分組，然后將各組10個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這10個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一個人呈陽性，就需要對這組的每個人再分別化驗一次．假設某學校攜帶病毒的人數有10人．（）
(1)用樣本的頻率估計概率，若5個人一組，求一組混合血樣呈陽性的概率；
(2)用統計專家這種方法按照5個人一組或10個人一組，問哪種分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗次數較少？為什么？
【答案】(1)
(2)10個人一組的分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗次數較少，理由見解析
【詳解】（1）由已知可得，該單位每個人攜帶病毒的概率為．
所以5個人一組，該組混合血樣不是陽性的概率為，
所以，一組混合血樣呈陽性的概率為．
（2）設5個人一組，每組需要化驗的次數為隨機變量，則．
由（1）知，5個人一組，需要重新化驗的概率為0.05，
則X的分布列為
1 6
所以，，
總的化驗次數為；
設10個人一組，每組需要化驗的次數為隨機變量，則．
10個人一組，該組混合血樣不是陽性的概率為0.9，則10個人一組，需要重新化驗的概率為0.1，
則Y的分布列為
1 11
所以，總的化驗次數為，
所以，10個人一組的分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗次數較少．
【典例3】（2024上·北京通州·高三統考期末）民航招飛是指普通高校飛行技術專業（本科）通過高考招收飛行學生，報名的學生參加預選初檢 體檢鑒定 飛行職業心理學檢測 背景調查 高考選拔等5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優錄取.據統計，每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為.假設學生能否通過這5項流程相互獨立，現有某校高三學生甲 乙 丙三人報名民航招飛.
(1)估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率；
(3)根據甲 乙 丙三人的平時學習成績，預估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設甲 乙 丙三人能被招飛院校錄取的人數為X，求X的分布列及數學期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列見解析，
【詳解】（1）因為每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為，且能否通過相互獨立，
所以估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率.
（2）因為每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率為，
所以甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率.
（3）因為每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率為，且預估甲 乙 丙三人的高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，
所以甲能被招飛院校錄取的概率，
乙能被招飛院校錄取的概率，
丙能被招飛院校錄取概率.
依題意的可能取值為，
所以，
，
，
.
所以的分布列為：
0 1 2 3
所以.
【典例4】（2024上·山西朔州·高三統考期末）已知某足球賽事的決賽將在甲、乙兩隊之間進行.其規則為：每一場比賽均須決出勝負，按主、客場制先進行兩場比賽（第一場在甲隊主場比賽），若某一隊在前兩場比賽中均獲勝，則該隊獲得冠軍；否則，兩隊需在中立場進行第三場比賽，且其獲勝方為冠軍.已知甲隊在主場、客場、中立場獲勝的概率依次為，，，且每場比賽的勝負均相互獨立.
(1)當甲隊獲得冠軍時，求決賽需進行三場比賽的概率；
(2)若主辦方在決賽的前兩場中共投資（千萬元），則能在這兩場比賽中共盈利（千萬元）.如果需進行第三場比賽，且主辦方在第三場比賽中投資（千萬元），則能在該場比賽中盈利（千萬元）.若主辦方最多能投資一千萬元，請以決賽總盈利的數學期望為決策依據，則其在前兩場的投資額應為多少萬元？
【答案】(1)
(2)主辦方在決賽的前兩場的投資額應為千萬元，即萬元.
【詳解】（1）記“甲隊獲得冠軍”為事件，“決賽進行三場比賽”為事件，
由題可知，
，
∴當甲隊獲得冠軍時，決賽需進行三場比賽的概率為.
（2）設主辦方在決賽前兩場中共投資（千萬元）， 其中，
若需進行第三場比賽，則還可投資（千萬元），
記隨機變量為決賽的總盈利，則可以取，，
∴，，
∴隨機變量的分布列為
∴的數學期望，
令，則，
∴當，即時，取得最大值，
∴主辦方在決賽的前兩場的投資額應為千萬元，即萬元.
【變式1】（2024·吉林長春·東北師大附中校聯考模擬預測）為了更好地推廣冰雪體育運動項目，某中學要求每位同學必須在高中三年的每個冬季學期選修滑冰 滑雪 冰壺三類體育課程之一，且不可連續選修同一類課程，若某生在選修滑冰后，下一次選修滑雪的概率為：在選修滑雪后，下一次選修冰壺的概率為，在選修冰壺后，下一次選修滑冰的概率為.
(1)若某生在高一冬季學期選修了滑雪，求他在高三冬季學期選修滑冰的概率：
(2)若某生在高一冬季學期選修了滑冰，設該生在高中三個冬季學期中選修滑冰課程的次數為隨機變量X，求X的分布列及期望，
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）解：若高一選修滑雪，設高三冬季學期選修滑冰為隨機事件，
則.
（2）隨機變量的可能取值為1，2.
所以的分布列為：
1 2
【變式2】（2024上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）某校高三年級嘟嘟老師準備利用高中數學知識對甲、乙、丙三名學生在即將到來的全省適應性考試成績進行預測，為此，他收集了三位同學近三個月的數學月考、周測成績（滿分150分），若考試成績超過100分則稱為“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三名同學的考試成績相互獨立．
(1)分別估計甲、乙、丙三名同學“破百”的概率；
(2)設這甲、乙、丙三名同學在這次決賽上“破百”的人數為，求的分布列和數學期望．
【答案】(1)甲同學“破百”的概率為，乙同學“破百”的概率為，丙同學“破百”的概率為
(2)分布列見解析；期望為
【詳解】（1）甲同學“破百”的概率為，
乙同學“破百”的概率為，
丙同學“破百”的概率為．
（2）的可能取值為0，1，2，3，則：
，
，
，
，
所以的分布列為
0 1 2 3
所以，期望．
【變式3】（2024·全國·模擬預測）2023年國慶節假期期間，某超市舉行了購物抽獎贏手機活動．活動規則如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期間，消費金額（單位：元）不低于100元的顧客可以參與一次活動（假設每名顧客只消費一次），每5人一組，每人可以隨機選取A或B兩個字母，其中選取相同字母的人數較少者每人獲得10元購物券，其他人獲得抽取價值6999元手機的資格（例如5人中有2人選取A，則這2人每人獲得10元購物券，另外3人獲得抽取手機的資格；5人全部選取A，則這5人均獲得抽取手機的資格），根據統計，在此活動期間，顧客在該超市消費金額的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)從活動期間在該超市購物的顧客中隨機選取2名，求這2名顧客中恰有1人獲得10元購物券的概率
(2)設每5人組獲得購物券的人數為X．
（ⅰ）求X的分布列與數學期望：
（ⅰⅰ）若超市計劃投入的活動經費（購買手機的費用與發放的購物券金額總和）不超過顧客消費總金額的10%，則每1000名顧客最多送出多少部手機？（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列見解析， （ⅱ）3
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，每名顧客獲得抽獎資格的概率為．
參與抽獎的顧客獲得10元購物券的概率為，
則每名顧客獲得10元購物券的概率，
則這2名顧客中恰有1人獲得10元購物券的概率．
（2）（ⅰ）的所有可能取值為0，1，2，
，，，
則的分布列為
0 1 2
則的數學期望．
（ⅱ）由頻率分布直方圖可知，顧客消費金額的平均值（元），
則1000名顧客的消費總金額為（元）．
設每1000名顧客最多送出部手機，
則，
又，所以，故每1000名顧客最多送出3部手機．
【變式4】（2024·河南·模擬預測）矮化密植是指應用生物或栽培措施使果樹生長樹冠緊湊的方法，它與常規的矮小栽培相比有許多優勢，如采用這種矮化果樹可以建立比常規果園定植密度更高的果園，不僅能提高土壤及光能利用率，還能夠獲得更多的早期經濟效益.某鄉鎮計劃引進A，B兩種矮化果樹，已知A種矮化果樹種植成功率為，成功后每公頃收益7.5萬元；B種矮化果樹種植成功率為，成功后每公頃收益9萬元.假設種植不成功時，種植A，B兩種矮化果樹每公頃均損失1.5萬元，每公頃是否種植成功相互獨立.
(1)甲種植戶試種兩種矮化果樹各1公頃，總收益為X萬元，求X的分布列及數學期望；
(2)乙種植戶有良田6公頃，本計劃全部種植A，但是甲勸說乙應該種植兩種矮化果樹各3公頃，請按照總收益的角度分析一下，乙應選擇哪一種方案
【答案】(1)分布列見解析；
(2)乙應選擇兩種果樹各種植3公頃
【詳解】（1）依題意，當均種植成功時，，此時，
當種植不成功，種植成功時，，此時，
當種稙成功，種植不成功時，，此時，
當均種植不成功時，，此時，
所以的可能取值為：，的分布列為：
16.5 7.5 6
數學期望為.
（2）全種植的收益期望為萬元，
由（1）得，各種一半的收益期望為萬元
因為，
乙應選擇兩種果樹各種植3公頃.
題型04均值的實際應用
【典例1】（2024·山西臨汾·統考一模）現有5個紅色氣球和4個黃色氣球，紅色氣球內分別裝有編號為1，3，5，7，9的號簽，黃色氣球內分別裝有編號為2，4，6，8的號簽.參加游戲者，先對紅色氣球隨機射擊一次，記所得編號為，然后對黃色氣球隨機射擊一次，若所得編號為，則游戲結束；否則再對黃色氣球隨機射擊一次，將從黃色氣球中所得編號相加，若和為，則游戲結束；否則繼續對剩余的黃色氣球進行射擊，直到和為為止，或者到黃色氣球打完為止，游戲結束.
(1)求某人只射擊兩次的概率；
(2)若某人射擊氣球的次數與所得獎金的關系為，求此人所得獎金的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）設表示事件：對紅色氣球隨機射擊一次，所得編號為，則，
設表示事件：對黃色氣球隨機射擊一次，所得編號為，則，
表示事件：某人只射擊兩次.
則
.
即某人只射擊兩次的概率為.
（2）由題知的可能取值為2，3，4，5，為30，20，10，0，
其概率分別為，
，
，
，
的分布列為
0 10 20 30
.
【典例2】（2024上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）某校高三年級嘟嘟老師準備利用高中數學知識對甲、乙、丙三名學生在即將到來的全省適應性考試成績進行預測，為此，他收集了三位同學近三個月的數學月考、周測成績（滿分150分），若考試成績超過100分則稱為“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三名同學的考試成績相互獨立．
(1)分別估計甲、乙、丙三名同學“破百”的概率；
(2)設這甲、乙、丙三名同學在這次決賽上“破百”的人數為，求的分布列和數學期望．
【答案】(1)甲同學“破百”的概率為，乙同學“破百”的概率為，丙同學“破百”的概率為
(2)分布列見解析；期望為
【詳解】（1）甲同學“破百”的概率為，
乙同學“破百”的概率為，
丙同學“破百”的概率為．
（2）的可能取值為0，1，2，3，則：
，
，
，
，
所以的分布列為
0 1 2 3
所以，期望．
【典例3】（2024上·上海·高二統考期末）年月日至月日在國家會展中心舉辦中國國際進口博覽會期間，為保障展會的順利進行，有、兩家外賣公司負責為部分工作者送餐.兩公司某天各自隨機抽取名送餐員工，統計公司送餐員工送餐數，得到如圖頻率分布直方圖；統計兩公司樣本送餐數，得到如圖送餐數分布莖葉圖，已知兩公司樣本送餐數平均值相同.

(1)求的值
(2)求、的值
(3)為宣傳道路交通安全法，并遵循按勞分配原則，公司決定員工送餐份后，每多送份餐對其進行一次獎勵，并制定了兩種不同獎勵方案：
方案一：獎勵現金紅包元.
方案二：答兩道交通安全題，答對題獎勵元，答對題獎勵元，答對題獎勵元.員工每一道題答題相互獨立且每題答對概率為與該員工交通安全重視程度相關）.
求下表中的值（用表示）；從員工收益角度出發，如何選擇方案較優？并說明理由.
附：方案二綜合收益滿足公式，為該員工被獎勵次數.
方案二獎勵 元 元 元
概率
【答案】(1)
(2)，
(3)，答案見解析
【詳解】（1）解：因為兩公司樣本送餐數平均值相同，
則，
則.
（2）解：因為公司中，送餐數在區間和送餐數在區間的員工人數之比為，
則，可得，
由頻率分布直方圖可知，.
（3）解：由題意知，，，
方案一的綜合收益滿足，
方案二綜合收益滿足，
，
由可得，解得，
故當時，方案一較優；
由可得，解得，
故當時，方案一和方案二收益相同；
由可得，解得，
故當時，方案二較優.
【變式1】（2024·福建漳州·統考模擬預測）2023年12月11日至12日中央經濟工作會議在北京舉行，會議再次強調要提振新能源汽車消費.發展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續航測試，測試的結果只有三種等次：優秀、良好、合格，優秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為；在續航測試中結果為優秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.
(1)求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；
(2)求離散型隨機變量的分布列與期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數學期望為
【詳解】（1）記事件為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，
則，，.
記事件為“該型號新能源汽車參加續航測試的得分為分”，
則，，.
記事件為“該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格”，
則
，
則該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率為.
（2）由題知離散型隨機變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，
，
，
，
，
，
則離散型隨機變量的分布列為
2 4 6 8 10
所以數學期望.
【變式2】（2024上·北京通州·高三統考期末）民航招飛是指普通高校飛行技術專業（本科）通過高考招收飛行學生，報名的學生參加預選初檢 體檢鑒定 飛行職業心理學檢測 背景調查 高考選拔等5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優錄取.據統計，每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為.假設學生能否通過這5項流程相互獨立，現有某校高三學生甲 乙 丙三人報名民航招飛.
(1)估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率；
(3)根據甲 乙 丙三人的平時學習成績，預估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設甲 乙 丙三人能被招飛院校錄取的人數為X，求X的分布列及數學期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列見解析，
【詳解】（1）因為每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為，且能否通過相互獨立，
所以估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率.
（2）因為每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率為，
所以甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率.
（3）因為每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率為，且預估甲 乙 丙三人的高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，
所以甲能被招飛院校錄取的概率，
乙能被招飛院校錄取的概率，
丙能被招飛院校錄取概率.
依題意的可能取值為，
所以，
，
，
.
所以的分布列為：
0 1 2 3
所以.
【變式3】（2024上·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習）甲、乙兩人準備進行羽毛球比賽，比賽規定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發球方.若甲發球，則本回合甲贏的概率為，若乙發球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結果相互獨立.經抽簽決定，第1回合由甲發球.
(1)求第4個回合甲發球的概率；
(2)設前4個回合中，甲發球的次數為，求的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）由題可知，第2回合甲發球的概率為，乙發球的概率為.
所以第3回合甲發球的概率為，
乙發球的概率為.
可得第4個回合甲發球的概率為.
故第4個回合甲發球的概率為；
（2）由題意可知：可以取1，2，3，4.
當時，；當時，；
當時，前4個回合甲發球兩次的情況分以下三種：
第一種情況，甲第1，2回合發球，乙第3，4回合發球，其概率為.
第二種情況，甲第1，3回合發球，乙第2，4回合發球，其概率為.
第三種情況，甲第1，4回合發球，乙第2，3回合發球，其概率為.
故前4個回合甲發球兩次的概率為；
當時，，
故的分布列為：
1 2 3 4
.
題型05由離散型隨機變量的均值求參數
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】結合題意：，
因為，所以，解得：，
故選：A.
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）某醫院對10名入院人員進行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗需檢驗10次；若采用10合一混管檢驗，檢驗結果為陰性則只要檢驗1次，如果檢驗結果為陽性，就要再全部進行單管檢驗．記10合一混管檢驗次數為，當時，10名人員均為陰性的概率為（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【詳解】設10人全部為陰性的概率為，混有陽性的概率為，
若全部為陰性，需要檢測1次，若混有陽性，需要檢測11次，
則隨機變量的分布列
，解得，
故選：C.
【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知隨機變量滿足，其中，若，則 ， ．
【答案】
【詳解】由，
可得，，，
所以，則，
又，則.
故答案為：；.
【變式1】（2024·江蘇·高二假期作業）若隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P a b
且，則a，b分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由已知，根據分布列的性質可得，，，
因為，所以，
解得，
故選：A.
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的概率分布列為：
X 1 2 3 4
P m n
已知，則 .
【答案】/0.5
【詳解】依題意有，解得，
則.
故答案為：.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布為，且，若，則實數 ．
【答案】
【詳解】因，則.
又，則.
故選：.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024·全國·高二假期作業）某同學求得的一個離散型隨機變量的分布列為（ ）
X 1 2 3
P 0.2 m n
若，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【詳解】由題意可得，，
即，所以.
故選：B
2．（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量的期望為，則（ ）
A．9 B．11 C．27 D．29
【答案】B
【詳解】因為，所以.
故選：B
3．（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量的概率分布列如下表：則數學期望等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】結合表格可知，
即，解得：，
所以.
故選:D.
4．（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】結合題意：，
因為，所以，解得：，
故選：A.
5．（2024·全國·高三專題練習）隨機變量X的分布列如表，則的值為（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
【答案】B
【詳解】由得，
所以，
所以.
故選：B
6．（2024上·江西宜春·高三江西省宜豐中學校考階段練習）從1-20中隨機抽取3個數，記隨機變量為這3個數中相鄰數組的個數.如當這三個數為11，12，14時，；當這三個數為7，8，9時，.則的值約為（ ）
A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53
【答案】B
【詳解】隨機變量的取值為0，1，2，
當時，所取的三個數中僅兩個數相鄰，兩數相鄰有19種情況，
其中相鄰兩數取1，2和19，20時，對應取法為17種，
其余17種情況取法均有16種，，
當時，即所取的三個數中兩兩相鄰，取法有18種，，
所以當時，即所取的三個數彼此不相鄰，取法有種，
，
.
故選：B.
7．（2024·全國·模擬預測）已知某多選題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．若選項中有（其中）個選項符合題目要求，記隨機作答該題時（至少選擇一個選項）所得的分數為隨機變量，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【詳解】由題意可知：當至少選擇一個選項時，共有（種）可能，
因為可取0，2，5，
且，
所以．
又因為可取0，2，5，
且，
所以．
而可取2，5，且，則，
所以；
即，所以，故D正確．
故選：D．
8．（2024·全國·高二假期作業）某實驗測試的規則是：每位學生最多可做實驗3次，一旦實驗成功，則停止實驗，否則一直做到3次為止.設某學生一次實驗成功的概率為，實驗次數為隨機變量，若的數學期望，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】X的所有可能取值為1,2,3，
，，，
由，
解得或，
又因為，所以.
故選：A.
二、多選題
9．（2024下·全國·高二隨堂練習）（多選）已知隨機變量的分布列為：
4 9 10
0.3 0.1 0.2
若，則以下結論正確的是（ ）
A．無法確定 B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】由分布列的性質，可得，解得，故B正確；
又由，解得，故A不正確；
由均值的性質，可知，故C正確；
又由，故D正確．
故選：BCD．
10．（2023·全國·高二專題練習）設隨機變量X表示從1到n這n個整數中隨機抽取的一個整數，Y表示從1到X這X個整數中隨機抽取的一個整數，則下列正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，
C．當（且）時，
D．當時，Y的均值為
【答案】BCD
【詳解】對于選項A：當時，，，
則，故A錯誤；
對于選項B，當時，由，，可得，或，，
所以，故B正確；
對于選項C，當（且）時，，，則，故選項C正確；
對于選項D，當時，Y的可能取值為1，2，
則，
，
所以Y的均值為，故D正確．
故選：BCD
三、填空題
11．（2023上·上海·高二上海市第二中學校考階段練習）已知隨機變量的分布為，且，則 .
【答案】/
【詳解】由題意得，
故.
故答案為：
12．（2023上·天津河東·高三校考階段練習）設隨機變量X的概率分布列為：
X 1 2 3 4
P m n
已知，則 .
【答案】/0.5
【詳解】依題意有，解得，
則.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·全國·校聯考模擬預測）新冠疫情下，為了應對新冠病毒極強的傳染性，每個人出門做好口罩防護工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由三道工序組成，每道工序之間相互獨立，且每道工序加工質量分為高和低兩種層次級別，三道工序加工的質量層次決定口罩的過濾等級；工序加工質量層次均為高時，口罩過濾等級為100等級(表示最低過濾效率為99.97%)；工序的加工質量層次為高，工序至少有一個質量層次為低時，口罩過濾等級為99等級(表示最低過濾效率為99%)；其余均為95級(表示最低過濾效率為95%)．
表①:表示三道工序加工質量層次為高的概率；表②:表示加工一個口罩的利潤．
表①
工序
概率
表②
口罩等級 100等級 99等級 95等級
利潤/元
(1)表示一個口罩的利潤，求的分布列和數學期望；
(2)由于工廠中工序加工質量層次為高的概率較低，工廠計劃通過增加檢測環節對工序進行升級．在升級過程中，每個口罩檢測成本增加了()元時，相應的工序加工層次為高的概率在原來的基礎上增加了;試問：若工廠升級方案后對一個口罩利潤的期望有所提高，則與應該滿足怎樣的關系
【答案】(1)分布列見解析，
(2)()
【詳解】（1）的可能取值為，，，
；；；
所以的分布列為
（2）設升級后一件產品的利潤為，則的可能取值為，，
；
；
；
所以，
由得，解得，
所以與滿足的關系為().
14．（2023上·四川雅安·高三校聯考期中）為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；
(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；
（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，
則的取值可能為0，100，200，300，400，
，，
，，
，
則的分布列為
0 100 200 300 400
.
B能力提升
1．（2023·湖南株洲·株洲二中校考一模）民航招飛是指普通高校飛行技術專業（本科）通過高考招收飛行學生，報名的學生參加預選初檢 體檢鑒定 飛行職業心理學檢測 背景調查 高考選拔等5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優錄取.據統計，每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為.假設學生能否通過這5項流程相互獨立，現有某校高三學生甲 乙 丙三人報名民航招飛.
(1)估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率；
(3)根據甲 乙 丙三人的平時學習成績，預估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設甲 乙 丙三人能被招飛院校錄取的人數為X，求X的分布列及數學期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列見解析，
【詳解】（1）因為每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為，且能否通過相互獨立，
所以估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率.
（2）因為每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率為，
所以甲 乙 丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率.
（3）因為每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率為，且預估甲 乙 丙三人的高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，
所以甲能被招飛院校錄取的概率，
乙能被招飛院校錄取的概率，
丙能被招飛院校錄取概率.
依題意的可能取值為，
所以，
，
，
.
所以的分布列為：
0 1 2 3
所以.
2．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學校聯考期中）根據社會人口學研究發現，一個家庭有個孩子的概率模型為：
1 2 3 0
概率
其中，.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子（），事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多.）
(1)為了調控未來人口結構，其中參數受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫療福利的增加等），是否存在的值使得，請說明理由；
(2)若，求，并根據全概率公式，求.
【答案】(1)不存在的值使得，理由見解析
(2)，
【詳解】（1）不存在的值使得，理由如下：
由題意得，①，
且②，
由②得到，將其代入①，整理得到，
令，，則，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，
又，
故無解，
所以不存在的值使得；
（2）若，則，解得，
，，，
由全概率公式可得，
因為，，所以.
3．（2023·山西臨汾·校考模擬預測）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內復原．廣義的魔方，指各類可以通過轉動打亂和復原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復原的世界紀錄，勇奪世界魔方運動的冠軍，并成為世界上第一個三階魔方速擰進入4秒的選手．
(1)小王和小吳同學比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進行了局比賽，求的分布列和數學期望；
(2)小王和小吳同學比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？
【答案】(1)分布列見解析；
(2)小王應選擇“五局三勝制”
【詳解】（1）因為采用三局兩勝制，所以的可能取值為，
表示小王或小吳連勝兩局；表示小王與小吳前兩局一勝一負；
所以，，
所以的分布列為：
則的數學期望為.
（2）若小王選擇“三局兩勝制”，
則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負勝；負勝勝；
則小王獲勝的概率為；
若小王選擇“五局三勝制”，
則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負勝；勝負勝勝；負勝勝勝；勝勝負負勝；勝負勝負勝；勝負負勝勝；負負勝勝勝；負勝負勝勝；負勝勝負勝；
則小王獲勝的概率為
，
因為，
所以小王應選擇“五局三勝制”.
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