資源簡介

第06講 7.4.1 二項分布
課程標準 學習目標
①理解相互獨立事件的概念，理解獨立重 復試驗的概念，理解二項分布的概率模型。 ②理解相互獨立事件的概率模型.伯努利 試驗的特點。 ③掌握二項分布的特點，會求二項分布 列，期望與方差。 通過本節課的學習，要求會求二項分布列及應用分布列公式的特點求解相關量及參數，會求二項分布列的期望與方差
知識點1：重伯努利試驗(次獨立重復試驗)
（1）重伯努利試驗的定義
①我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
②將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.
（2）重伯努利試驗的特征
①每次試驗是在同樣條件下進行的，有關事件的概率保持不變；
②各次試驗中的事件是相互獨立的，結果互不影響；
③每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生，這兩種結果是對立的
（3）重伯努利試驗的概率公式
一般地，如果在一次試驗中事件發生的概率是,事件在次試驗中發生次，共有種情形，由試驗的獨立性知，每種情形下，在次試驗中發生，而在其余次試驗中不發生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利試驗中，事件恰好發生次的概率為( ) .
知識點2：二項分布
（1）二項分布
一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為()，用表示事件發生的次數，則的分布列為，.
如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．
【即學即練1】（2023·全國·高二專題練習）某公司為招聘新員工設計了一個面試方案：應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成．規定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．
(1)求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；
(2)求乙正確完成面試題數的分布列及其期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）解：由題意得：
設甲正確完成面試的題數為，則的取值范圍是． ；
（2）設乙正確完成面試的題數為，則取值范圍是．
，，
，．
應聘者乙正確完成題數的分布列為
（2）明確二項分布中的各量表示的意義
：伯努利試驗的次數
： 事件發生的次數
：每次試驗中事件發生的概率
分布列：，
結論：隨機變量服從參數為,的二項分布
記法：記作,并稱為成功概率
（3）二項分布的均值與方差
若隨機變量服從參數為,的二項分布，即,則, .
【即學即練2】（2023上·高二課時練習）已知隨機變量X服從二項分布，若，，求的值.
【答案】
【詳解】由二項分布的期望、方差公式可得：.
題型01 重伯努利試驗的判斷
【典例1】（2023上·高二課時練習）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的打寫錯誤）
（1）有放回地抽樣試驗是重伯努利試驗．( )
（2）在重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響．( )
（3）在重伯努利試驗中，各次試驗中事件發生的概率可以不同．( )
（4）如果在1次試驗中某事件發生的概率是，那么在重伯努利試驗中這個事件恰好發生k次的概率.( )
【典例2】（2022·高二課時練習）重伯努利試驗應滿足的條件：
①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結果；
③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發生的事件是互斥的．
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【典例3】（2022·高二課時練習）以下真命題共有 個．
①在n重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響；
②在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發生的概率可以不同；
③如果在1次試驗中某事件發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率．
【變式1】（2022·高二課時練習）判斷正誤
（1）在伯努利試驗中，關注的是事件A是否發生，而在n重伯努利試驗中，關注的是事件A發生的次數．( )
（2）n重伯努利試驗中每次試驗只有發生與不發生兩種結果．( )
（3）將一枚硬幣連續拋擲5次，則正面向上的次數的方差等于．( )
【變式2】（多選）（2022·高二課時練習）（多選）下列試驗不是重伯努利試驗的是（ ）．
A．依次投擲四枚質地不同的硬幣
B．某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了次
C．口袋中裝有個白球，個紅球，個黑球，依次從中抽取個球
D．小明做道難度不同的數學單選題
【變式3】（2023下·高二課時練習）判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：
(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中；
(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．
題型02 重伯努利試驗的概率問題
【典例1】（2023下·福建南平·高二統考期末）在重伯努利試驗中，設每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗進行到恰好出現次成功時結束試驗，用隨機變量表示試驗次數，則稱服從以，為參數的帕斯卡分布，記為.已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）某n重伯努利試驗中，事件A發生的概率為p，事件A發生的次數記為X，，，則 ．
【典例3】（2024·江蘇·高二假期作業）將3個不同的小球隨機投入編號分別為1，2，3，4的4個盒子中（每個盒子容納的小球的個數不限），則1號盒子中有2個小球的概率為 ，2號盒子中小球的個數的數學期望為 .
【變式1】（2021·高二課時練習）若某一試驗中事件發生的概率為，則在重伯努利試驗中，發生次的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗．現進行四次試驗，則恰出現一次成功試驗的概率為 ．
【變式3】（2023下·廣東潮州·高二統考期末）在3重伯努利試驗中事件出現的概率相同，若事件A至少出現1次的概率為，則事件A在1次試驗中出現的概率為 ．
題型03 二項分布及其應用
【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中校考期末）為了響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，某校實施網絡授課，為了檢驗學生上網課的效果，在高三年級進行了一次網絡模擬考試，從中抽取了100人的數學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數學成績落在區間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.

(1)根據頻率分布直方圖求學生成績在區間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學數學成績的中位數
(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級學生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內的學生人數為，求的分布列.
【典例2】（2024上·全國·高三專題練習）某電商車間生產了一批電子元件，為了檢測元件是否合格，質檢員設計了如圖，甲所示的電路.于是他在一批產品中隨機抽取了電子元件，，安裝在如圖甲所示的電路中，已知元件的合格率都為，元件的合格率都為.

(1)質檢員在某次檢測中，發現小燈泡亮了，他認為這三個電子元件都是合格的，求該質檢員犯錯誤的概率；
(2)經反復測驗，質檢員把一些電子元件，接入了圖乙的電路中，記該電路中小燈泡亮的個數為，求的分布列.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備）．已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．
(1)要使系統的可靠度不低于0.992，求的最小值；
(2)當時，求能使系統正常工作的設備數的分布列；
(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：
方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；
方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．
【變式1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學校聯考期末）有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則
A． B． C． D．
【變式2】（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知某地中學生的男生和女生的人數比例是，為了解該地中學生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現隨機抽取部分中學生進行調查，了解到該地中學生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜歡羽毛球 0.3 0.3
只喜歡乒乓球 0.25 0.2
既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球 0.3 0.15
(1)從該地中學生中隨機抽取1人，已知抽取的這名中學生喜歡羽毛球，求該中學生也喜歡乒乓球的概率；
(2)從該地中學生中隨機抽取100人，記抽取到的中學生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數為，求的分布列和期望.
【變式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學校聯考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲 乙各射擊一次，甲 乙每次至少射中8環.根據統計資料可知，甲擊中8環 9環 10環的概率分別為，乙擊中8環 9環 10環的概率分別為，且甲 乙兩人射擊相互獨立.
(1)在一場比賽中，求乙擊中的環數少于甲擊中的環數的概率；
(2)若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，求的分布列與數學期望.
題型04 二項分布的均值與方差
【典例1】（2024上·湖北十堰·高三統考期末）某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數據按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
(2)以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數，求的分布列及數學期望.
【典例2】（2024上·內蒙古鄂爾多斯·高三統考期末）為了檢查工廠生產的某產品的質量指標，隨機抽取了部分產品進行檢測，所得數據統計如下圖所示.（注：產品質量指標達到130及以上為優質品）；
(1)求的值以及這批產品的優質率；
(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產的所有產品中隨機抽出件，記這件中優質產品的件數為，求的分布列與數學期望.
【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）為慶祝中國共產黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學生中隨機抽取了名學生的競賽成績作為樣本，數據整理后，統計結果如表所示．
成績區間
頻數
假設用樣本頻率估計總體概率，且每個學生的競賽成績相互獨立．
(1)為了激勵學生學習黨史的熱情，決定對競賽成績優異的學生進行表彰，如果獲得表彰的學生占樣本總人數的，試估計獲獎分數線；
(2)該市決定從全市成績不低于分的學生中隨機抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數為，求的分布列和數學期望．
【變式1】（2024上·四川內江·高三四川省內江市第一中學校考階段練習）某大型企業生產的產品細分為10個等級，為了解這批產品的等級分布情況，從流水線上隨機抽取了1000件進行檢測、分類和統計，并依據以下規則對產品進行評分：檢測到1級到3級的評為優秀，檢測到4級到6級的評為良好，檢測到7級到9級的評為合格，檢測到10級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現有如下檢測統計表：
等級 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻數 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50
(1)從這1000件產品中隨機抽取1件，請估計這件產品評分為良好或優秀的概率；
(2)從該企業的流水線上隨機抽取4件產品，設這一件產品中評分為優秀的產品個數為，求的分布列、期望.
【變式2】（2024·河南鄭州·統考一模）某自行車廠為了解決復合材料制成的自行車車架應力不斷變化問題，在不同條件下研究結構纖維按不同方向及角度黏合強度，在兩條生產線上同時進行工藝比較實驗，為了比較某項指標的對比情況，隨機地抽取了部分甲生產線上產品該項指標的值，并計算得到其平均數，中位數，隨機地抽得乙生產線上100件產品該項指標的值，并繪制成如下的頻率分布直方圖．
(1)求乙生產線的產品指標值的平均數與中位數（每組值用中間值代替，結果精確到0.01），并判斷乙生產線較甲生產線的產品指標值是否更好（如果，則認為乙生產線的產品指標值較甲生產線的產品指標值更好，否則不認為更好）．
(2)用頻率估計概率，現從乙生產線上隨機抽取5件產品，抽出指標值不小于70的產品個數用表示，求的數學期望與方差．
【變式3】6（2024·全國·高二假期作業）為了檢查工廠生產的某產品的質量指標，隨機抽取了部分產品進行檢測，所得數據統計如下圖所示.

(1)求的值以及這批產品的優質率：（注：產品質量指標達到130及以上為優質品）；
(2)若按照分層的方法從質量指標值在的產品中隨機抽取件，再從這件中隨機抽取件，求至少有一件的指標值在的概率；
(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產的所有產品中隨機抽出件，記這件中優質產品的件數為，求的分布列與數學期望.
題型05服從二項分布的概率最值問題
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量，若對，都有，則的取值范圍是 ．
【典例2】（2024上·江西贛州·高二統考期末）現有一種趣味答題比賽，其比賽規則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰達人”勛章一枚；④結束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應的禮品．據主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．
(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；
(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩定且每輪是否獲得勛章相互獨立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰達人”勛章的概率最大？
【典例3】（2024·全國·高二假期作業）某學校為了提升學生學習數學的興趣，舉行了“趣味數學”闖關比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.
(1)求小明同學在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；
(2)規定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，若參賽者每輪闖關成功的概率穩定且每輪是否闖關成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關比賽中，需幾次闖關成功才能使得對應概率取值最大？
【變式1】（2024·云南昆明·統考一模）聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為10%.
(1)求一個問題的應答被采納的概率；
(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數為，事件（）的概率為，求當最大時的值.
【變式2】（2024上·廣東東莞·高三統考期末）某區域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調查該區域中這兩個亞種的數目比例（A種數目比B種數目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區域中有放回的捕捉50個物種C，統計其中A種數目，以此作為一次試驗的結果；②重復進行這個試驗n次（其中），記第i次試驗中的A種數目為隨機變量（）；③記隨機變量，利用的期望和方差進行估算．設該區域中A種數目為M，B種數目為N，每一次試驗都相互獨立．
(1)已知，，證明：，；
(2)該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（），并計算了數據（）的平均值和方差，然后部分數據丟失，僅剩方差的數據．
（ⅰ）請用和分別代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值．
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在、、三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為，求的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取8名學生，用表示這8名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中.當最大時，請直接寫出的值.（不需要說明理由）
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024·全國·高二假期作業）若隨機變量服從二項分布，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·高二假期作業）某射手每次射擊擊中目標的概率是0.6，且各次射擊的結果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·黑龍江·高二校聯考期末）設隨機變量，則（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
4．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·河南·高二校聯考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小 質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全國·高二假期作業）兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為，若，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全國·高二假期作業）已知，且，，則下列說法不正確的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
8．（2024·全國·高二假期作業）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）若隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全國·高三專題練習）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列說法正確的是（ ）
A．從中任取3球，恰有2個白球的概率是；
B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數為X，則；
C．現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；
D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.
三、填空題
11．（2023下·廣東肇慶·高二校考期末）設隨機變量，，若，則 ， .
12．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
四、解答題
13．（2023·四川達州·統考一模）中國北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統.從全球應用北斗衛星的城市中隨機選取了40個城市進行調研，下圖是這40個城市北斗衛星導航系統與位置服務產業的產值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：
(1)根據頻率分布直方圖，求產值小于610萬元的調研城市個數，并估計產值的中位數；
(2)視頻率為概率，從全球應用北斗衛星的城市中任取5個城市，求恰有2個城市的產值超過600萬元的概率.
14．（2023上·全國·高三專題練習）某地政府為鼓勵大學生創業，制定了一系列優惠政策．已知創業項目甲成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金20萬元；創業項目乙成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金30萬元．項目沒有成功，則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響，項目成功后當地政府兌現獎勵．
(1)大學畢業生張某選擇創業項目甲，畢業生李某選擇創業項目乙，記他們獲得的獎金累計為X(單位：萬元)，若的概率為.求的大小；
(2)若兩位大學畢業生都選擇創業項目甲或創業項目乙進行創業，問：他們選擇何種創業項目，累計得到的獎金的均值更大？
B能力提升
一、單選題
1．（2024·全國·高二假期作業）若隨機變量服從二項分布，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·高二假期作業）某射手每次射擊擊中目標的概率是0.6，且各次射擊的結果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·黑龍江·高二校聯考期末）設隨機變量，則（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
4．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·河南·高二校聯考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小 質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全國·高二假期作業）兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為，若，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全國·高二假期作業）已知，且，，則下列說法不正確的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
8．（2024·全國·高二假期作業）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）若隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全國·高三專題練習）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列說法正確的是（ ）
A．從中任取3球，恰有2個白球的概率是；
B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數為X，則；
C．現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；
D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.
三、填空題
11．（2023下·廣東肇慶·高二校考期末）設隨機變量，，若，則 ， .
12．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
四、解答題
13．（2023·四川達州·統考一模）中國北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統.從全球應用北斗衛星的城市中隨機選取了40個城市進行調研，下圖是這40個城市北斗衛星導航系統與位置服務產業的產值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：
(1)根據頻率分布直方圖，求產值小于610萬元的調研城市個數，并估計產值的中位數；
(2)視頻率為概率，從全球應用北斗衛星的城市中任取5個城市，求恰有2個城市的產值超過600萬元的概率.
14．（2023上·全國·高三專題練習）某地政府為鼓勵大學生創業，制定了一系列優惠政策．已知創業項目甲成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金20萬元；創業項目乙成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金30萬元．項目沒有成功，則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響，項目成功后當地政府兌現獎勵．
(1)大學畢業生張某選擇創業項目甲，畢業生李某選擇創業項目乙，記他們獲得的獎金累計為X(單位：萬元)，若的概率為.求的大小；
(2)若兩位大學畢業生都選擇創業項目甲或創業項目乙進行創業，問：他們選擇何種創業項目，累計得到的獎金的均值更大？
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第06講 7.4.1 二項分布
課程標準 學習目標
①理解相互獨立事件的概念，理解獨立重 復試驗的概念，理解二項分布的概率模型。 ②理解相互獨立事件的概率模型.伯努利 試驗的特點。 ③掌握二項分布的特點，會求二項分布 列，期望與方差。 通過本節課的學習，要求會求二項分布列及應用分布列公式的特點求解相關量及參數，會求二項分布列的期望與方差
知識點1：重伯努利試驗(次獨立重復試驗)
（1）重伯努利試驗的定義
①我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
②將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.
（2）重伯努利試驗的特征
①每次試驗是在同樣條件下進行的，有關事件的概率保持不變；
②各次試驗中的事件是相互獨立的，結果互不影響；
③每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生，這兩種結果是對立的
（3）重伯努利試驗的概率公式
一般地，如果在一次試驗中事件發生的概率是,事件在次試驗中發生次，共有種情形，由試驗的獨立性知，每種情形下，在次試驗中發生，而在其余次試驗中不發生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利試驗中，事件恰好發生次的概率為( ) .
知識點2：二項分布
（1）二項分布
一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為()，用表示事件發生的次數，則的分布列為，.
如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．
【即學即練1】（2023·全國·高二專題練習）某公司為招聘新員工設計了一個面試方案：應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成．規定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．
(1)求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；
(2)求乙正確完成面試題數的分布列及其期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）解：由題意得：
設甲正確完成面試的題數為，則的取值范圍是． ；
（2）設乙正確完成面試的題數為，則取值范圍是．
，，
，．
應聘者乙正確完成題數的分布列為
（2）明確二項分布中的各量表示的意義
：伯努利試驗的次數
： 事件發生的次數
：每次試驗中事件發生的概率
分布列：，
結論：隨機變量服從參數為,的二項分布
記法：記作,并稱為成功概率
（3）二項分布的均值與方差
若隨機變量服從參數為,的二項分布，即,則, .
【即學即練2】（2023上·高二課時練習）已知隨機變量X服從二項分布，若，，求的值.
【答案】
【詳解】由二項分布的期望、方差公式可得：.
題型01 重伯努利試驗的判斷
【典例1】（2023上·高二課時練習）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的打寫錯誤）
（1）有放回地抽樣試驗是重伯努利試驗．( )
（2）在重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響．( )
（3）在重伯努利試驗中，各次試驗中事件發生的概率可以不同．( )
（4）如果在1次試驗中某事件發生的概率是，那么在重伯努利試驗中這個事件恰好發生k次的概率.( )
【答案】 正確 正確 錯誤 正確
【詳解】（1）中，在有放回地抽樣試驗中，其中每次抽取之間是相互獨立的，所以是重伯努利試驗，所以（1）正確；
（2）中，在重伯努利試驗中，每次的試驗結果之間世相互獨立的，所以各次試驗的結果相互沒有影響，所以（2）正確；
（3）中，在重伯努利試驗中，各次試驗中事件發生的概率是相同的，所以（3）錯誤；
（4）如果在1次試驗中某事件發生的概率是p，根據獨立重復試驗的概率公式，可得在重伯努利試驗中這個事件恰好發生k次的概率，所以（4）正確.
故答案為：（1）正確；（2）正確；（3）錯誤；（4）正確.
【典例2】（2022·高二課時練習）重伯努利試驗應滿足的條件：
①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結果；
③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發生的事件是互斥的．
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【詳解】解：只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗，
故重伯努利試驗應滿足的條件：
①各次試驗之間是相互獨立的；
②每次試驗只有兩種結果；
③各次試驗成功的概率是相同的；
故選：C
【典例3】（2022·高二課時練習）以下真命題共有 個．
①在n重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響；
②在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發生的概率可以不同；
③如果在1次試驗中某事件發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率．
【答案】2
【詳解】①，n重伯努利試驗是相互獨立試驗，各次試驗的結果相互沒有影響，①是真命題.
②，n重伯努利試驗是獨立重復試驗，各次試驗中某事件發生的概率相同，②是假命題.
③，結合二項分布的知識可知，在n次獨立重復試驗中事件恰好發生k次的概率為，
所以③是真命題.
綜上所述，真命題共有個.
故答案為：
【變式1】（2022·高二課時練習）判斷正誤
（1）在伯努利試驗中，關注的是事件A是否發生，而在n重伯努利試驗中，關注的是事件A發生的次數．( )
（2）n重伯努利試驗中每次試驗只有發生與不發生兩種結果．( )
（3）將一枚硬幣連續拋擲5次，則正面向上的次數的方差等于．( )
【答案】 正確 正確 錯誤
【詳解】（1）在伯努利試驗中，關注的是事件A是否發生，而在n重伯努利試驗中，關注的是事件A發生的次數．故正確；（2）n重伯努利試驗中每次試驗只有發生與不發生兩種結果．故正確；（3）將一枚硬幣連續拋擲5次，則正面向上的次數的方差等于．故錯誤.
【變式2】（多選）（2022·高二課時練習）（多選）下列試驗不是重伯努利試驗的是（ ）．
A．依次投擲四枚質地不同的硬幣
B．某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了次
C．口袋中裝有個白球，個紅球，個黑球，依次從中抽取個球
D．小明做道難度不同的數學單選題
【答案】ACD
【詳解】A．由于試驗的條件不同（硬幣質地不同），因此不是重伯努利試驗．
B．某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，因此是重伯努利試驗．
C．每次抽取，每種顏色出現的可能性不相等，因此不是重伯努利試驗．
D．道題難度不同，每道題做對的概率也不同，因此不是重伯努利試驗．
故選：ACD．
【變式3】（2023下·高二課時練習）判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：
(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中；
(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．
【答案】(1)不是n重伯努利試驗
(2)是n重伯努利試驗
(3)不是n重伯努利試驗
【詳解】（1）由題意，
∵試驗的條件不同(質地不同)，
∴不是n重伯努利試驗
（2）由題意，
∵某人射擊且擊中的概率是穩定的，
∴是n重伯努利試驗．
（3）由題意，
∵每次抽取，試驗的結果有三種不同的顏色，且每種顏色出現的可能性不相等，
∴不是n重伯努利試驗．
題型02 重伯努利試驗的概率問題
【典例1】（2023下·福建南平·高二統考期末）在重伯努利試驗中，設每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗進行到恰好出現次成功時結束試驗，用隨機變量表示試驗次數，則稱服從以，為參數的帕斯卡分布，記為.已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，所以，
解得，即的最大值為.
故選：C
【典例2】（2022上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）某n重伯努利試驗中，事件A發生的概率為p，事件A發生的次數記為X，，，則 ．
【答案】/0.2
【詳解】依題意得X服從二項分布，則，解得，
故答案為：．
【典例3】（2024·江蘇·高二假期作業）將3個不同的小球隨機投入編號分別為1，2，3，4的4個盒子中（每個盒子容納的小球的個數不限），則1號盒子中有2個小球的概率為 ，2號盒子中小球的個數的數學期望為 .
【答案】 /
【詳解】由于每個小球投入每個盒子是可能的，故每個小球放入1號盒子的概率為，不放入1號盒子的概率為，
故1號盒子中有2個小球個概率，
同理，每個小球放入2號盒子的概率為，不放入2號盒子的概率為，
將3個小球投放到4個盒子中，則2號盒子中小球的個數，
故.
故答案為：；.
【變式1】（2021·高二課時練習）若某一試驗中事件發生的概率為，則在重伯努利試驗中，發生次的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由于，則，所以在重伯努利試驗中，事件發生次的概率為．
故選：D．
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗．現進行四次試驗，則恰出現一次成功試驗的概率為 ．
【答案】
【詳解】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點數之和為4的情況有3種，
兩枚骰子點數之和為5的情況有4種，
兩枚骰子點數之和為6的情況有5種，
在一次試驗中，出現成功試驗的概率，
設出現成功試驗的次數為，則，
所以重復做這樣的試驗4次，則恰出現一次成功試驗的概率為，
故答案為：．
【變式3】（2023下·廣東潮州·高二統考期末）在3重伯努利試驗中事件出現的概率相同，若事件A至少出現1次的概率為，則事件A在1次試驗中出現的概率為 ．
【答案】
【詳解】記“A至少發生1次”為事件，則表示其對立事件“A發生0次”，
事件A的發生符合二項分布，設事件A在1次試驗中出現的概率為p，
，
所以，
所以，解得 ，
故答案為：．
題型03 二項分布及其應用
【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中校考期末）為了響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，某校實施網絡授課，為了檢驗學生上網課的效果，在高三年級進行了一次網絡模擬考試，從中抽取了100人的數學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數學成績落在區間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.

(1)根據頻率分布直方圖求學生成績在區間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學數學成績的中位數
(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級學生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內的學生人數為，求的分布列.
【答案】(1)頻率為；中位數為
(2)分布列見解析
【詳解】（1）由直方圖可知，數學成績落在區間內的頻率為,
所以數學成績落在區間內的頻率為，
因為數學成績落在區間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，
所以數學成績落在區間[110，120）的頻率為，
數學成績落在區間[70，100）的頻率為，
所以中位數落在區間內，
設中位數為，則，解得，
所以抽取的這100名同學數學成績的中位數為.
（2）由（1）知，數學成績落在區間[100，130）內的頻率為，
由題意可知，，的所有可能取值為，
，，
，，
所以的分布列為：
0 1 2 3
【典例2】（2024上·全國·高三專題練習）某電商車間生產了一批電子元件，為了檢測元件是否合格，質檢員設計了如圖，甲所示的電路.于是他在一批產品中隨機抽取了電子元件，，安裝在如圖甲所示的電路中，已知元件的合格率都為，元件的合格率都為.

(1)質檢員在某次檢測中，發現小燈泡亮了，他認為這三個電子元件都是合格的，求該質檢員犯錯誤的概率；
(2)經反復測驗，質檢員把一些電子元件，接入了圖乙的電路中，記該電路中小燈泡亮的個數為，求的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列見解析
【詳解】（1）當小燈泡亮的時候，后一個元件是合格的，前面的AB至少有一個是合格的，
概率，
小燈泡亮了，并且質檢員犯錯誤的情況，對于前面的元件，分為兩大類：
第一類：元件合格，元件不合格，故，
第二類：元件合格，元件不合格，故，
所以在發現小燈泡亮了的前提下，該質檢員犯錯誤的概率為：.
（2）在圖甲中，記小燈泡亮的概率為，則，
所以服從二項分布：，
則，，
，.
∴的分布列為：
0 1 2 3
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備）．已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．
(1)要使系統的可靠度不低于0.992，求的最小值；
(2)當時，求能使系統正常工作的設備數的分布列；
(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：
方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；
方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．
【答案】(1)0.8
(2)答案見解析
(3)決策部門應選擇方案2，理由見解析
【詳解】（1）要使系統的可靠度不低于0.992，設能正常工作的設備數為，
則，
解得，故的最小值為0.8．
（2）設為正常工作的設備數，由題意可知，，
，
，
，
，
從而的分布列為：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
（3）設方案1 方案2的總損失分別為，，
采用方案1，更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，
可知計算機網絡斷掉的概率為：，
故萬元．
采用方案2，花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”，
計算機網絡斷掉的概率為：，
故萬元．
因此，從經濟損失期望最小的角度，決策部門應選擇方案2．
【變式1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學校聯考期末）有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為是有放回地取產品，所以每次取產品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數，則,
,選擇D答案．
【變式2】（2024上·廣東深圳·高三統考期末）已知某地中學生的男生和女生的人數比例是，為了解該地中學生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現隨機抽取部分中學生進行調查，了解到該地中學生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜歡羽毛球 0.3 0.3
只喜歡乒乓球 0.25 0.2
既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球 0.3 0.15
(1)從該地中學生中隨機抽取1人，已知抽取的這名中學生喜歡羽毛球，求該中學生也喜歡乒乓球的概率；
(2)從該地中學生中隨機抽取100人，記抽取到的中學生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數為，求的分布列和期望.
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，24.
【詳解】（1）記事件表示從該地中學生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學生喜歡羽毛球，
事件表示從該地中學生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學生喜歡乒乓球，
則，
，
所以所求的概率.
（2）由（1）知從該地中學生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率，
因此，
所以的分布列為，
期望為.
【變式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學校聯考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲 乙各射擊一次，甲 乙每次至少射中8環.根據統計資料可知，甲擊中8環 9環 10環的概率分別為，乙擊中8環 9環 10環的概率分別為，且甲 乙兩人射擊相互獨立.
(1)在一場比賽中，求乙擊中的環數少于甲擊中的環數的概率；
(2)若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，求的分布列與數學期望.
【答案】(1)0.2
(2)分布列見解析，數學期望為0.6
【詳解】（1）設乙擊中的環數少于甲擊中的環數為事件，
則事件包括：甲擊中9環乙擊中8環，甲擊中10環乙擊中8環，甲擊中10環乙擊中9環，
則.
（2）由題可知的所有可能取值為，
由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環數多于乙擊中的環數的概率為0.2，
則，
所以，
，
故的分布列為
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
所以.
題型04 二項分布的均值與方差
【典例1】（2024上·湖北十堰·高三統考期末）某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數據按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
(2)以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數，求的分布列及數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知，份樣本數據的平均值為
.
（2）解：競賽成績不低于分的頻率為，
低于分的頻率為.
由題意可知，，
，
，
，
，，
所以的分布列為
期望.
【典例2】（2024上·內蒙古鄂爾多斯·高三統考期末）為了檢查工廠生產的某產品的質量指標，隨機抽取了部分產品進行檢測，所得數據統計如下圖所示.（注：產品質量指標達到130及以上為優質品）；
(1)求的值以及這批產品的優質率；
(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產的所有產品中隨機抽出件，記這件中優質產品的件數為，求的分布列與數學期望.
【答案】(1)，優質率為25%
(2)分布列見解析，1
【詳解】（1）因為，所以，
產品質量指標超過130的頻率為，
所以這批產品的優質率為；
（2）因為抽到產品為優質產品的頻率為0.25，
以頻率作為概率，所以每件產品為優質產品的概率為，
所以4件產品中優質產品的件數，
則，，
所以，，
，，
，
所以的分布列為
0 1 2 3 4
P
.
【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）為慶祝中國共產黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學生中隨機抽取了名學生的競賽成績作為樣本，數據整理后，統計結果如表所示．
成績區間
頻數
假設用樣本頻率估計總體概率，且每個學生的競賽成績相互獨立．
(1)為了激勵學生學習黨史的熱情，決定對競賽成績優異的學生進行表彰，如果獲得表彰的學生占樣本總人數的，試估計獲獎分數線；
(2)該市決定從全市成績不低于分的學生中隨機抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數為，求的分布列和數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）解：由表格知，成績在的頻率為，成績在的頻率為，
成績在的頻率為，
設獲獎分數線為，則，
所以，，解得．
（2）解：從全市成績不低于分的學生中隨機抽取一人參加省級黨史知識競賽，
成績在的概率為，
由題意知，，則的可能取值有、、、、，
則，，
，，
，
所以的分布列為
故．
【變式1】（2024上·四川內江·高三四川省內江市第一中學校考階段練習）某大型企業生產的產品細分為10個等級，為了解這批產品的等級分布情況，從流水線上隨機抽取了1000件進行檢測、分類和統計，并依據以下規則對產品進行評分：檢測到1級到3級的評為優秀，檢測到4級到6級的評為良好，檢測到7級到9級的評為合格，檢測到10級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現有如下檢測統計表：
等級 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻數 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50
(1)從這1000件產品中隨機抽取1件，請估計這件產品評分為良好或優秀的概率；
(2)從該企業的流水線上隨機抽取4件產品，設這一件產品中評分為優秀的產品個數為，求的分布列、期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望.
【詳解】（1）記事件A：產品的評分為優秀，事件B：產品的評分為良好
根據統計學原理，可以用樣本來估計總體，
由統計表得，，
因為A，B互斥，所以可以估計這件產品評分為良好或優秀的概率為.
（2）由（1）知，評分為優秀的概率為，由題意得，的可能值為，
則，
，，
，，
.
所以的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
.
【變式2】（2024·河南鄭州·統考一模）某自行車廠為了解決復合材料制成的自行車車架應力不斷變化問題，在不同條件下研究結構纖維按不同方向及角度黏合強度，在兩條生產線上同時進行工藝比較實驗，為了比較某項指標的對比情況，隨機地抽取了部分甲生產線上產品該項指標的值，并計算得到其平均數，中位數，隨機地抽得乙生產線上100件產品該項指標的值，并繪制成如下的頻率分布直方圖．
(1)求乙生產線的產品指標值的平均數與中位數（每組值用中間值代替，結果精確到0.01），并判斷乙生產線較甲生產線的產品指標值是否更好（如果，則認為乙生產線的產品指標值較甲生產線的產品指標值更好，否則不認為更好）．
(2)用頻率估計概率，現從乙生產線上隨機抽取5件產品，抽出指標值不小于70的產品個數用表示，求的數學期望與方差．
【答案】(1)，，乙生產線較甲生產線的產品指標值更好
(2)
【詳解】（1），
因為，
所以中位數在區間上，
則，解得，
即中位數，
因為，
所以乙生產線較甲生產線的產品指標值更好；
（2）指標值不小于70的概率為，
由題意可得，
所以.
【變式3】6（2024·全國·高二假期作業）為了檢查工廠生產的某產品的質量指標，隨機抽取了部分產品進行檢測，所得數據統計如下圖所示.

(1)求的值以及這批產品的優質率：（注：產品質量指標達到130及以上為優質品）；
(2)若按照分層的方法從質量指標值在的產品中隨機抽取件，再從這件中隨機抽取件，求至少有一件的指標值在的概率；
(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產的所有產品中隨機抽出件，記這件中優質產品的件數為，求的分布列與數學期望.
【答案】(1)，優質率為25%
(2)
(3)分布列見解析，
【詳解】（1）因為，所以，
產品質量指標超過130的頻率為，
所以這批產品的優質率為25%.
（2）因為質量指標在和的頻率分別為0.4和0.3.
所以質量指標在產品中抽取7件，則質量指標在有件，質量指標在有件.
所以從這7件中任取2件，至少有一件質量指標在的概率為.
（3）因為抽到產品為優質產品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產品為優質產品的概率為.
所以4件產品中優質產品的件數.
則，，
所以，，
，，
，
所以的分布列為
0 1 2 3 4
P
.
題型05服從二項分布的概率最值問題
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量，若對，都有，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】由，得，
當，即時，；
當，即時，，
而，即，則當時，；
當時，，因此，
則，
所以的取值范圍是．
故答案為：
【典例2】（2024上·江西贛州·高二統考期末）現有一種趣味答題比賽，其比賽規則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰達人”勛章一枚；④結束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應的禮品．據主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．
(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；
(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩定且每輪是否獲得勛章相互獨立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰達人”勛章的概率最大？
【答案】(1)分布列見解析，數學期望為
(2)獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大.
【詳解】（1）由題知：可取2，4，6，8，
則，，
，，
故的分布列為：
2 4 6 8
則的期望.
（2）解法一：由（1）知參賽選手在一輪比賽中獲得“挑戰達人”勛章的概率為，
則某參賽選手在5輪挑戰比賽中，記獲得“挑戰達人”勛章的枚數為，則，
故（），
假設當時，概率最大，則，
解得，而.
故某參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大．
解法二：由（1）知參賽選手在一輪獲得“挑戰達人”勛章的概率為，
則某參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得“挑戰達人”勛章的枚數為，則，
故（），
所以Y的分布列為：
0 1 2 3 4 5
從分布列中可以看出，概率最大為，
所以參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大．
【典例3】（2024·全國·高二假期作業）某學校為了提升學生學習數學的興趣，舉行了“趣味數學”闖關比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.
(1)求小明同學在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；
(2)規定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，若參賽者每輪闖關成功的概率穩定且每輪是否闖關成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關比賽中，需幾次闖關成功才能使得對應概率取值最大？
【答案】(1)分布列見解析，
(2)3次或4次
【詳解】（1）由題知：可取0，1，2，3，則:
，，
，，
故的分布列為：
0 1 2 3
則的期望為：.
（2）方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，記概率為
若小明同學在5輪闖關比賽中，記闖關成功的次數為，則.
故
所以的分布列為：
0 1 2 3 4 5
故小明同學在5輪闖關比賽中，需3次或4次闖關成功才能使得對應概率取值最大.
方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，記概率為
若小明同學在5輪闖關比賽中，記闖關成功的次數為，則
故
∴假設當時，對應概率取值最大，則
解得，而
故小明同學在5輪闖關比賽中，需3次或4次闖關成功才能使得對應概率取值最大.
【變式1】（2024·云南昆明·統考一模）聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數據庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為10%.
(1)求一個問題的應答被采納的概率；
(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數為，事件（）的概率為，求當最大時的值.
【答案】(1)0.75
(2)6
【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件， “一次應答被采納”為事件，
由題意，，，則
，
.
（2）依題意，，，
當最大時，有
即解得：，，
故當最大時，.
【變式2】（2024上·廣東東莞·高三統考期末）某區域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調查該區域中這兩個亞種的數目比例（A種數目比B種數目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區域中有放回的捕捉50個物種C，統計其中A種數目，以此作為一次試驗的結果；②重復進行這個試驗n次（其中），記第i次試驗中的A種數目為隨機變量（）；③記隨機變量，利用的期望和方差進行估算．設該區域中A種數目為M，B種數目為N，每一次試驗都相互獨立．
(1)已知，，證明：，；
(2)該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（），并計算了數據（）的平均值和方差，然后部分數據丟失，僅剩方差的數據．
（ⅰ）請用和分別代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值．
【答案】(1)證明見解析
(2)（ⅰ），；（ⅱ）15
【詳解】（1）由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項分布，
則，，
，
，
所以，.
（2）（ⅰ）由（1）可知，
則的均值，的方差，
所以，解得或，
由題意可知：，則，
所以，；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，則，
則，
由題意可知：，
解得，且，則，
所以的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值為15.
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在、、三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為，求的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取8名學生，用表示這8名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中.當最大時，請直接寫出的值.（不需要說明理由）
【答案】(1)
(2)分布列見解析
(3)
【詳解】（1）由概率和為1得：，
解得；
（2）由頻率分布直方圖得：這500名學生中日平均閱讀時間在、、三組內的學生人數分別為：
人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則應從閱讀時間在中抽取5人，從閱讀時間在中抽取4人，從閱讀時間在中抽取1人，
現從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
的分布列為：
0 1 2 3
數學期望．
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在,內的概率為0.50，
從該地區所有高一學生中隨機抽取8名學生，恰有名學生日平均閱讀時間在,內的分布列服從二項分布，
，由組合數的性質可得時最大．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024·全國·高二假期作業）若隨機變量服從二項分布，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二項分布的概率公式求解即可.
【詳解】因為隨機變量服從二項分布，
所以.
故選：C
2．（2024·全國·高二假期作業）某射手每次射擊擊中目標的概率是0.6，且各次射擊的結果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依據二項分布的概率公式來解.
【詳解】設為射手在30次射擊中擊中目標的次數，則，
故在30次射擊中，恰有18次擊中目標的概率為.
故選：B.
3．（2024上·黑龍江·高二校聯考期末）設隨機變量，則（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根據二項分布的方差公式及性質進行計算即可.
【詳解】由題意得，
故.
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二項分布的期望和方差公式即可求解，進而根據二項分布的概率公式求解即可.
【詳解】因為，所以，解得，
所以．
故選：C．
5．（2024上·河南·高二校聯考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小 質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分別計算從中隨機地無放回摸出3個球、從中隨機地有放回摸出3個球的期望、方差，再做比較可得答案.
【詳解】①從中隨機地無放回摸出3個球，記白球的個數為的可能取值是，
則，
故隨機變量的概率分布列為
0 1 2 3
則數學期望為，
方差為.
②從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到白球的概率為，
則，故，，
故.
故選：D.
6．（2024·全國·高二假期作業）兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為，若，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意分析，均服從二項分布，利用二項分布的均值和方差公式直接求得.
【詳解】由題意可知：服從二項分布，所以.
同理：服從二項分布，所以.
因為，所以，所以.
對于二次函數，對稱軸，所以在上函數單調遞增，
所以當時，有，即.
故選：C
7．（2024·全國·高二假期作業）已知，且，，則下列說法不正確的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
【答案】D
【分析】根據二項分布期望和方差公式建立方程求解即可判斷AB；利用根據二項分布概率公式即可計算判斷CD．
【詳解】因為，，
所以，，
由，所以，，所以，，故A正確；
，B正確；
又，故C正確；
，
令，
故當時，所以，
而當時，所以，
因此是最大值，D錯誤．
故選：D．
8．（2024·全國·高二假期作業）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
【答案】C
【分析】的可能取值包括0可判斷A；可判斷B；隨機變量，，若取得最大值時,則有，，求出的值可判斷C；服從二項分布可判斷D.
【詳解】對于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于D，由題意，隨機變量，故D不正確；
對于C，隨機變量，，
若取得最大值時，則:
，
則，解得，則．
故的概率最大，所以C正確；
故選：C.
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）若隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根據二項分布的性質進行逐一求解判斷即可.
【詳解】A，，故A正確；
B，，故B錯誤；
C，，故C正確；
D，，故D錯誤.
故選：AC.
10．（2024·全國·高三專題練習）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列說法正確的是（ ）
A．從中任取3球，恰有2個白球的概率是；
B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數為X，則；
C．現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；
D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.
【答案】AD
【分析】根據古典概型的概率公式可判斷A，根據二項分布的期望公式可判斷C，根據條件概率的計算可判斷C，根據對立重復事件的概率可求D.
【詳解】對于A，從中任取3球，恰有2個白球的概率是,故A正確，
對于B, 從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數為X服從二項分布，即，故B錯誤，
對于C ,第一次取到紅球后，第二次取球時，袋子中還有3個紅球和2個白球，再次取到紅球的概率為，故C錯誤，
對于D，有放回的取球，每次取到白球的概率為，沒有取到白球的概率為，
所以取球3次沒有取到白球的概率為，
.所以至少有一次取到白球的概率為，故D正確，
故選：AD
三、填空題
11．（2023下·廣東肇慶·高二校考期末）設隨機變量，，若，則 ， .
【答案】 /
【分析】根據已知條件，結合二項分布的期望與方差公式求解即可.
【詳解】隨機變量，且，
則，解得，
所以，
又，則，
，
所以.
故答案為：；.
12．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
【答案】7
【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，歸納出小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，然后由小球落入號格子的概率最大，列不等式組求解．
【詳解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，
概率為，
設小球落入號格子的概率最大，顯然，，
則解得，又為整數，所以，
所以小球落入號格子的概率最大．
故答案為：．
四、解答題
13．（2023·四川達州·統考一模）中國北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統.從全球應用北斗衛星的城市中隨機選取了40個城市進行調研，下圖是這40個城市北斗衛星導航系統與位置服務產業的產值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：
(1)根據頻率分布直方圖，求產值小于610萬元的調研城市個數，并估計產值的中位數；
(2)視頻率為概率，從全球應用北斗衛星的城市中任取5個城市，求恰有2個城市的產值超過600萬元的概率.
【答案】(1)12個；615.
(2)
【分析】（1）根據頻率分布直方圖小矩形面積求產值小于610萬元的調研城市個數，并估計產值的中位數；
（2）由已知可得該分布滿足，根據二項分布概率公式直接計算概率.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知產值于610萬元的頻率為，
所以產值小于610萬元的調研城市個數為（個）；
設產值的中位數為，，
，，，所以產值的中位數為.
（2）由頻率分布直方圖可知城市的產值超600萬元的概率為
，
設任取5個城市中城市的產值超過600萬元的城市的個數為，
可知隨機變量滿足，所以.
14．（2023上·全國·高三專題練習）某地政府為鼓勵大學生創業，制定了一系列優惠政策．已知創業項目甲成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金20萬元；創業項目乙成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金30萬元．項目沒有成功，則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響，項目成功后當地政府兌現獎勵．
(1)大學畢業生張某選擇創業項目甲，畢業生李某選擇創業項目乙，記他們獲得的獎金累計為X(單位：萬元)，若的概率為.求的大小；
(2)若兩位大學畢業生都選擇創業項目甲或創業項目乙進行創業，問：他們選擇何種創業項目，累計得到的獎金的均值更大？
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）間接求，因為“”的對立事件是“”，由已知條件的概率建立等式即可求得；
（2）設兩位大學畢業生都選擇創業項目甲且創業成功的次數為，都選擇創業項目乙且創業成功的次數為，則這兩人選擇項目甲累計獲獎得獎金的數學期望為，選擇項目乙累計獲獎得獎金的數學期望為.又，服從二項分布，利用二項分布期望的計算公式以及期望的運算性質比較二者的大小即可.
【詳解】（1）由已知可知，張某創業成功的概率為，李某創業成功的概率為，且兩人是否創業成功互不影響，
記“這2人累計獲得的獎金”的事件為A，則事件A的對立事件為“”，
∵，
∴，解得.
（2）設兩位大學畢業生都選擇創業項目甲且創業成功的次數為，都選擇創業項目乙且創業成功的次數為，
則這兩人選擇項目甲累計獲得的獎金的均值為，選擇項目乙累計獲得的獎金的均值為，
由已知可得，,，∴
∴
若，即，解得；
若，即，解得；
若，即，解得；
綜上所述，當時，他們都選擇項目甲進行創業，累計得到的獎金的均值更大；
當時，他們都選擇項目乙進行創業，累計得到的獎金的均值更大；
當時，他們選擇兩項目進行創業，累計得到的獎金的均值相等．
B能力提升
一、單選題
1．（2024·全國·高二假期作業）若隨機變量服從二項分布，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二項分布的概率公式求解即可.
【詳解】因為隨機變量服從二項分布，
所以.
故選：C
2．（2024·全國·高二假期作業）某射手每次射擊擊中目標的概率是0.6，且各次射擊的結果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依據二項分布的概率公式來解.
【詳解】設為射手在30次射擊中擊中目標的次數，則，
故在30次射擊中，恰有18次擊中目標的概率為.
故選：B.
3．（2024上·黑龍江·高二校聯考期末）設隨機變量，則（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根據二項分布的方差公式及性質進行計算即可.
【詳解】由題意得，
故.
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二項分布的期望和方差公式即可求解，進而根據二項分布的概率公式求解即可.
【詳解】因為，所以，解得，
所以．
故選：C．
5．（2024上·河南·高二校聯考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小 質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分別計算從中隨機地無放回摸出3個球、從中隨機地有放回摸出3個球的期望、方差，再做比較可得答案.
【詳解】①從中隨機地無放回摸出3個球，記白球的個數為的可能取值是，
則，
故隨機變量的概率分布列為
0 1 2 3
則數學期望為，
方差為.
②從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到白球的概率為，
則，故，，
故.
故選：D.
6．（2024·全國·高二假期作業）兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為，若，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意分析，均服從二項分布，利用二項分布的均值和方差公式直接求得.
【詳解】由題意可知：服從二項分布，所以.
同理：服從二項分布，所以.
因為，所以，所以.
對于二次函數，對稱軸，所以在上函數單調遞增，
所以當時，有，即.
故選：C
7．（2024·全國·高二假期作業）已知，且，，則下列說法不正確的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
【答案】D
【分析】根據二項分布期望和方差公式建立方程求解即可判斷AB；利用根據二項分布概率公式即可計算判斷CD．
【詳解】因為，，
所以，，
由，所以，，所以，，故A正確；
，B正確；
又，故C正確；
，
令，
故當時，所以，
而當時，所以，
因此是最大值，D錯誤．
故選：D．
8．（2024·全國·高二假期作業）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
【答案】C
【分析】的可能取值包括0可判斷A；可判斷B；隨機變量，，若取得最大值時,則有，，求出的值可判斷C；服從二項分布可判斷D.
【詳解】對于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于D，由題意，隨機變量，故D不正確；
對于C，隨機變量，，
若取得最大值時，則:
，
則，解得，則．
故的概率最大，所以C正確；
故選：C.
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）若隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根據二項分布的性質進行逐一求解判斷即可.
【詳解】A，，故A正確；
B，，故B錯誤；
C，，故C正確；
D，，故D錯誤.
故選：AC.
10．（2024·全國·高三專題練習）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列說法正確的是（ ）
A．從中任取3球，恰有2個白球的概率是；
B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數為X，則；
C．現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；
D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.
【答案】AD
【分析】根據古典概型的概率公式可判斷A，根據二項分布的期望公式可判斷C，根據條件概率的計算可判斷C，根據對立重復事件的概率可求D.
【詳解】對于A，從中任取3球，恰有2個白球的概率是,故A正確，
對于B, 從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數為X服從二項分布，即，故B錯誤，
對于C ,第一次取到紅球后，第二次取球時，袋子中還有3個紅球和2個白球，再次取到紅球的概率為，故C錯誤，
對于D，有放回的取球，每次取到白球的概率為，沒有取到白球的概率為，
所以取球3次沒有取到白球的概率為，
.所以至少有一次取到白球的概率為，故D正確，
故選：AD
三、填空題
11．（2023下·廣東肇慶·高二校考期末）設隨機變量，，若，則 ， .
【答案】 /
【分析】根據已知條件，結合二項分布的期望與方差公式求解即可.
【詳解】隨機變量，且，
則，解得，
所以，
又，則，
，
所以.
故答案為：；.
12．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
【答案】7
【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，歸納出小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，然后由小球落入號格子的概率最大，列不等式組求解．
【詳解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，
概率為，
設小球落入號格子的概率最大，顯然，，
則解得，又為整數，所以，
所以小球落入號格子的概率最大．
故答案為：．
四、解答題
13．（2023·四川達州·統考一模）中國北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統.從全球應用北斗衛星的城市中隨機選取了40個城市進行調研，下圖是這40個城市北斗衛星導航系統與位置服務產業的產值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：
(1)根據頻率分布直方圖，求產值小于610萬元的調研城市個數，并估計產值的中位數；
(2)視頻率為概率，從全球應用北斗衛星的城市中任取5個城市，求恰有2個城市的產值超過600萬元的概率.
【答案】(1)12個；615.
(2)
【分析】（1）根據頻率分布直方圖小矩形面積求產值小于610萬元的調研城市個數，并估計產值的中位數；
（2）由已知可得該分布滿足，根據二項分布概率公式直接計算概率.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知產值于610萬元的頻率為，
所以產值小于610萬元的調研城市個數為（個）；
設產值的中位數為，，
，，，所以產值的中位數為.
（2）由頻率分布直方圖可知城市的產值超600萬元的概率為
，
設任取5個城市中城市的產值超過600萬元的城市的個數為，
可知隨機變量滿足，所以.
14．（2023上·全國·高三專題練習）某地政府為鼓勵大學生創業，制定了一系列優惠政策．已知創業項目甲成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金20萬元；創業項目乙成功的概率為，項目成功后可獲得政府獎金30萬元．項目沒有成功，則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響，項目成功后當地政府兌現獎勵．
(1)大學畢業生張某選擇創業項目甲，畢業生李某選擇創業項目乙，記他們獲得的獎金累計為X(單位：萬元)，若的概率為.求的大小；
(2)若兩位大學畢業生都選擇創業項目甲或創業項目乙進行創業，問：他們選擇何種創業項目，累計得到的獎金的均值更大？
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）間接求，因為“”的對立事件是“”，由已知條件的概率建立等式即可求得；
（2）設兩位大學畢業生都選擇創業項目甲且創業成功的次數為，都選擇創業項目乙且創業成功的次數為，則這兩人選擇項目甲累計獲獎得獎金的數學期望為，選擇項目乙累計獲獎得獎金的數學期望為.又，服從二項分布，利用二項分布期望的計算公式以及期望的運算性質比較二者的大小即可.
【詳解】（1）由已知可知，張某創業成功的概率為，李某創業成功的概率為，且兩人是否創業成功互不影響，
記“這2人累計獲得的獎金”的事件為A，則事件A的對立事件為“”，
∵，
∴，解得.
（2）設兩位大學畢業生都選擇創業項目甲且創業成功的次數為，都選擇創業項目乙且創業成功的次數為，
則這兩人選擇項目甲累計獲得的獎金的均值為，選擇項目乙累計獲得的獎金的均值為，
由已知可得，,，∴
∴
若，即，解得；
若，即，解得；
若，即，解得；
綜上所述，當時，他們都選擇項目甲進行創業，累計得到的獎金的均值更大；
當時，他們都選擇項目乙進行創業，累計得到的獎金的均值更大；
當時，他們選擇兩項目進行創業，累計得到的獎金的均值相等．
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