資源簡介

第03講 7.2 離散型隨機變量及其分布列
課程標準 學習目標
1.通過具體案例，了解離散型隨機變量的 概念，理解隨機變量的分布列及其性質。 2.通過具體案例，了解兩點分布的概念及 特點。 3.會求離散型隨機變量的分布列及兩點 分布列的相關量。 通過本節課的學習，要求會求簡單應用問題中的離散型隨機變量的分布列，能應用分布列的相關性質求問題中的相關量，會應用兩點分布的特點解決與兩點分布有關的問題
知識點01：離散型隨機變量
（1）隨機變量的定義
一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點都有唯一的實數與之對應，我們稱為隨機變量．
表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如，，；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如，，．
特征：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應，隨機變量有如下特征：
①取值依賴于樣本點．
②所有可能取值是明確的．
（2）隨機變量與函數的關系
共同點：隨機變量和函數都是一種映射
區別: 隨機變量把試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數
聯系：試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數的值域；
注意：所有隨機變量的取值范圍的集合叫做隨機變量的值域.
（3）離散型隨機變量的定義
對于隨機變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．
離散型隨機變量的特征：
①可用數值表示；
②試驗之前可以判斷其可能出現的所有值；
③試驗之前不能確定取何值；
④試驗結果能一一列出；
⑤本章研究的離散型隨機變量只取有限個值
（4）連續型隨機變量的定義
隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量.
知識點02：離散型隨機變量的分布列
（1）離散型隨機變量的分布列的定義
一般地，設離散型隨機變量的可能取值為，，…，，我們稱取每一個值的概率，為的概率分布列，簡稱分布列．
①解析式法：i,
②表格法：
… …
… …
③圖象法:
（2）離散型隨機變量的分布列的性質
①，
②
注意：①.列出隨機變量的所有可能取值；
②.求出隨機變量的每一個值發生的概率.
【即學即練1】1．（2024上·遼寧·高二校聯考期末）設，隨機變量的分布列為：
5 8 9
則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由，得，
所以.
故選：D
知識點03：兩點分布
對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用表示“成功”,
表示“失敗”,定義
如果，則，那么的分布列如下所示：
0 1
我們稱服從兩點分布或者分布.
【即學即練2】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為的分布列服從兩點分布，所以，
又，所以，
所以，所以.
故選：A.
知識點04：寫離散型隨機變量的分布列的步驟
(1)找：理解并確定的意義，找出隨機變量X的所有可能的取值()
(2)求：借助概率的有關知識求出隨機變量X取每一個值的概率()注意應用計數原理、古典概型等知識
(3)列：列出表格并檢驗所求的概率是否滿足分布列的兩條性質.
注意：寫出分布列時要注意將化為最簡分式形式，但是在利用檢驗分布列是否正確時可利用化簡前的分式結果.
題型01 隨機變量
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（ ）
A．取到的球的個數 B．取到紅球的個數
C．至少取到一個紅球 D．至少取到一個紅球的概率
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）將一顆質地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（　　）
A．兩次擲出的點數之和
B．兩次擲出的最大點數
C．第一次與第二次擲出的點數之差
D．兩次擲出的點數
【典例3】（2024·全國·高二假期作業）在下列表述中不是離散型隨機變量的是（ ）
①某機場候機室中一天的旅客數量；
②某尋呼臺一天內收到的尋呼次數；
③某籃球下降過程中離地面的距離；
④某立交橋一天經過的車輛數X．
A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（　　）
A．將一枚質地均勻的硬幣擲五次，出現正面和反面向上的次數之和
B．某人早晨在車站等出租車的時間
C．連續不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數
D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性
【變式2】（2024·全國·高二假期作業）5件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是（ ）
A．取到產品的件數 B．取到正品的概率
C．取到次品的件數 D．取到次品的概率
【變式3】（2024·全國·高二假期作業）袋中有大小相同質地均勻的5個黑球、3個白球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（ ）
A．至少取到1個黑球 B．取到黑球的個數
C．至多取到1個黑球 D．取到的球的個數
題型02 分布列及其性質的應用
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）設某種疫苗試驗的失敗率是成功率的5倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數，則等于（ ）
A．0 B． C． D．1
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）隨機變量ξ的分布列如下：
其中，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2024上·吉林·高二校聯考期末）隨機變量的分布列如下表所示：
1 2 3 4
0.1 0.3
則 .
【典例4】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則m的值為 .
0 1 2 3
【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的分布列為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（多選）（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量X的分布列為（），其中是常數，則（ ）
A． B．
C． D．以上均不正確
【變式3】（2024上·河南·高二校聯考期末）設隨機變量的分布列為，則常數 .
【變式4】（2024·全國·高三專題練習）離散型隨機變量的概率分布規律為，其中是常數，則 .
題型03求離散型隨機變量的分布列
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數學、英語教師各2人．
(1)求選出的數學教師人數多于語文教師人數的概率；
(2)設X表示選出的3人中數學教師的人數，求X的分布列．
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）一臺設備由三個部件構成，假設在一天的運轉中，部件1，2，3需要調整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態相互獨立．
(1)求設備在一天的運轉中，部件1，2中至少有1個需要調整的概率；
(2)記設備在一天的運轉中需要調整的部件個數為X，求隨機變量X的分布列．
【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）某食堂為了了解同學們在高峰期打飯的時間，故安排一名食堂阿姨隨機收集了在食堂某窗口打飯的100位同學的相關數據(假設同學們打飯所用時間均為下表列出時間之一)，如下表所示.
學生數(人) x 25 y 10
打飯時間(秒/人) 10 15 20 25
已知這100位同學的打飯時間從小排到大的第65百分位數為17.5秒．
(1)確定x，y的值；
(2)若各學生的結算相互獨立，記X為該窗口開始打飯至20秒末已經打飯結束的學生人數，求X的分布列．(注：將頻率視為概率)
【典例4】（2024·全國·高二假期作業）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設甲、乙、丙三人中進入決賽的人數為，求的分布列．
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）學校舉行定點投籃比賽，規定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設每次投籃投中與否是相互獨立的.已知小明每次投籃投中的概率都是.
(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知新高考數學共4道多選題，評分標準是每題滿分5分，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選或不選的得0分．每道多選題共有4個選項，正確答案往往為2項或3項. 為了研究多選題的答題規律，某數學興趣小組研究發現：多選題正確答案是“選兩項”的概率為，正確答案是“選三項”的概率為.現有學生甲、乙兩人，由于數學基礎很差，多選題完全沒有思路，只能靠猜.
(1)已知某題正確答案是“選兩項”，求學生甲不得0分的概率；
(2)學生甲的答題策略是“猜一個選項”，學生乙的策略是“猜兩個選項”，試寫出甲、乙兩名學生得分的分布列.
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求隨機變量的分布列；
(2)求隨機變量的分布列.
【變式4】（2024·全國·高二假期作業）某地區組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識竟答活動，根據答題得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況統計結果如下：
性別 人數 獲獎人數
一等獎 二等獎 三等獎
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假設所有學生的獲獎情況相互獨立．
(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等獎的概率；
(2)用頻率估計概率，從該地區高一男生中隨機抽取1名，從該地區高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學生中獲獎的人數，求的分布列
題型04由隨機變量分布列求概率
【典例1】（2024·全國·高二假期作業）設離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若隨機變量，則等于（　　）
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）一袋中裝有4個白球和2個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數為隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量的分布列為：
X 1 2 3
P m
則 ， ．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）設隨機變量X的分布列，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【變式2】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a
若離散型隨機變量，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
則 ．
題型05兩個相關隨機變量的分布列
【典例1】（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量的分布列如表所示．
0 1 2 3
(1)求隨機變量的分布列；
(2)若，求實數的取值范圍．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）隨機變量的取值范圍是{1，2，3，4，5}，且．則Y的取值范圍是 ．
【變式2】（2024·全國·高二假期作業）某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時工，設其月工作時間為X小時，獲取的稅前月工資為Y元．
(1)當時，求Y的值；
(2)寫出X與Y之間的關系式；
(3)若，求的值．
題型06兩點分布
【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么 .
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知X服從參數為0.3的兩點分布，則 ；若，則 .
【典例3】（2023上·高二課時練習）在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數X的分布列．
【變式1】（2023下·山東聊城·高二統考期末）已知隨機變量服從兩點分布，且，，那么 ．
【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）從裝有個白球和個紅球的口袋中任取個球，用表示“取到的白球個數”，則的取值為或，即，求隨機變量的概率分布．
【變式3】（2023上·高二課時練習）擲一顆骰子，觀察擲得的點數.
(1)求點數X的分布；
(2)只關心點數6是否出現.若出現，則記，否則記.求Y的分布.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024下·全國·高二隨堂練習）設離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
則下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全國·高二假期作業）拋擲2枚骰子，所得點數之和記為，那么表示的隨機試驗結果是（ ）
A．2枚都是4點
B．1枚是1點，另1枚是3點
C．2枚都是2點
D．1枚是1點，另1枚是3點，或者2枚都是2點
3．（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量的分布列為，2，3，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高二假期作業）若隨機變量的分布列如表，則的值為（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5．（2024·全國·高二假期作業）拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數之差為，則表示的試驗結果是（ ）
A．第一枚6點，第二枚1點 B．第一枚5點，第二枚1點
C．第一枚2點，第二枚6點 D．第一枚6點，第二枚2點
6．（2024·江蘇·高二假期作業）如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個數為，則 （ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全國·高三專題練習）泊松分布是統計學里常見的離散型概率分布，由法國數學家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數服從參數為的泊松分布，若該線路某站臺的候車人數為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全國·高二假期作業）設是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則等于（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量ξ的分布列為：
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
若，則實數的值可以是（ ）
A．5 B．7
C．9 D．10
10．（2023下·河南周口·高二校聯考期中）已知離散型隨機變量的分布列為
1 2 4 6
0.2 0.1
則下列選項正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．
三、填空題
11．（2023下·高二課時練習）離散型隨機變量X的概率分布中部分數據丟失，丟失數據以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
則等于 .
12．（2023下·高二課時練習）若隨機變量X的概率分布列為，k＝1，2，3，則 .
四、解答題
13．（2023·全國·高二課堂例題）設隨機變量X的分布列為，k=1，2，3，4，其中c為常數，求的值．
14．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）在全國碩士研究生統一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業生都以優秀的成績通過了某重點大學的初試，即將參加該重點大學組織的復試．已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為，，p，復試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為．
(1)求p的值；
(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數為X，求隨機變量X的分布列．
B能力提升
1．（2023上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）某商場為了促銷規定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結束抽獎；也可選擇繼續抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結束抽獎．小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，己知他每次抽中的概率依次為，如果第一次抽中選擇繼續抽獎的概率為，第二次抽中選擇繼續抽獎的概率為，且每次是否抽中互不影響．
(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；
(2)設小李所得獎金總數為隨機變量，求的分布列．
2．（2023下·浙江·高二校聯考期末）北京時間4月30日晩，2023年國際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來自溫州的國際象棋男子特級大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國棋手首次奪得國際象棋男子世界冠軍.某小學為了提高同學學習國際象棋的興趣，舉行了二年級國際象棋男子團體賽，各班級均可以報送一支5人隊伍.比賽分多輪進行，每輪比賽每隊都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒有平局，每輪比賽結束，得勝班級得1分，反之0分.晉級賽規則如下：第一輪隨機為各隊伍匹配對手；從第二輪比賽開始，積分相同的隊伍之間再由抽簽決定對手.具體比賽程序如下圖.這樣進行三輪對抗之后，得2分及以上的班級晉級，反之淘汰.晉級的隊伍再進行相應的比賽.

(1)二（1）班選派了A，B，C，D，E五名選手，在第一輪比賽中，已知選手A參加了比賽，請列舉出該班級所有可能的首發隊員的樣本空間；
(2)現共有8支參賽隊伍，且實力相當，二（3）班在第一輪比賽輸給了二（4）班，則兩隊在第三輪重新遇上的概率為多少
(3)某班級在籌備隊員時，班內已推選水平較為穩定的選手4名，很多同學紛紛自薦最后一個名額.現共有5名自薦選手，分別為五級棋士2名、六級棋士2名和七級棋士1名，五、六、七級棋士被選上的概率分別為0.8，0.6，0.5，最后一名選手會在這5名同學中產生.現任選一名自薦同學，計算該同學被選上的概率，并用表示選出的該同學的級別，求X的分布列.
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）為落實食品安全的“兩個責任”，某市的食品藥品監督管理部門和衛生監督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關代表建言獻策．為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關專家的意見和建議，已知專家庫中共有4位成員，兩個部門分別獨立地發出邀請，邀請的名單從專家庫中隨機產生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監督管理部門或衛生監督管理部門的邀請后，專家如約參加會議．
(1)用1，2，3，4代表專家庫中的4位專家，甲、乙分別代表食品藥品監督管理部門和衛生監督管理部門，將兩個部門邀請的專家及參會的專家人數的所有情況繪制成一個表格，請完成如下表格．

(2)最大似然估計即最大概率估計，即當時，概率取得最大值，則X的估計值為k（，，，…，），其中為X所有可能取值的最大值．請用最大似然估計法估計參加會議的專家人數．21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第03講 7.2 離散型隨機變量及其分布列
課程標準 學習目標
1.通過具體案例，了解離散型隨機變量的 概念，理解隨機變量的分布列及其性質。 2.通過具體案例，了解兩點分布的概念及 特點。 3.會求離散型隨機變量的分布列及兩點 分布列的相關量。 通過本節課的學習，要求會求簡單應用問題中的離散型隨機變量的分布列，能應用分布列的相關性質求問題中的相關量，會應用兩點分布的特點解決與兩點分布有關的問題
知識點01：離散型隨機變量
（1）隨機變量的定義
一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點都有唯一的實數與之對應，我們稱為隨機變量．
表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如，，；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如，，．
特征：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應，隨機變量有如下特征：
①取值依賴于樣本點．
②所有可能取值是明確的．
（2）隨機變量與函數的關系
共同點：隨機變量和函數都是一種映射
區別: 隨機變量把試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數
聯系：試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數的值域；
注意：所有隨機變量的取值范圍的集合叫做隨機變量的值域.
（3）離散型隨機變量的定義
對于隨機變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．
離散型隨機變量的特征：
①可用數值表示；
②試驗之前可以判斷其可能出現的所有值；
③試驗之前不能確定取何值；
④試驗結果能一一列出；
⑤本章研究的離散型隨機變量只取有限個值
（4）連續型隨機變量的定義
隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量.
知識點02：離散型隨機變量的分布列
（1）離散型隨機變量的分布列的定義
一般地，設離散型隨機變量的可能取值為，，…，，我們稱取每一個值的概率，為的概率分布列，簡稱分布列．
①解析式法：i,
②表格法：
… …
… …
③圖象法:
（2）離散型隨機變量的分布列的性質
①，
②
注意：①.列出隨機變量的所有可能取值；
②.求出隨機變量的每一個值發生的概率.
【即學即練1】1．（2024上·遼寧·高二校聯考期末）設，隨機變量的分布列為：
5 8 9
則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由，得，
所以.
故選：D
知識點03：兩點分布
對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用表示“成功”,
表示“失敗”,定義
如果，則，那么的分布列如下所示：
0 1
我們稱服從兩點分布或者分布.
【即學即練2】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為的分布列服從兩點分布，所以，
又，所以，
所以，所以.
故選：A.
知識點04：寫離散型隨機變量的分布列的步驟
(1)找：理解并確定的意義，找出隨機變量X的所有可能的取值()
(2)求：借助概率的有關知識求出隨機變量X取每一個值的概率()注意應用計數原理、古典概型等知識
(3)列：列出表格并檢驗所求的概率是否滿足分布列的兩條性質.
注意：寫出分布列時要注意將化為最簡分式形式，但是在利用檢驗分布列是否正確時可利用化簡前的分式結果.
題型01 隨機變量
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（ ）
A．取到的球的個數 B．取到紅球的個數
C．至少取到一個紅球 D．至少取到一個紅球的概率
【答案】B
【詳解】選項A的取值是一個固定的數字，不具有隨機性，故A錯誤；
選項B取到紅球的個數是一個隨機變量，它的可能取值是0，1，2，故B正確；
選項C是一個事件而非隨機變量，故C錯誤；
選項D中一個事件的概率值是一個定值而非隨機變量，故D錯誤．
故選：B.
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）將一顆質地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（　　）
A．兩次擲出的點數之和
B．兩次擲出的最大點數
C．第一次與第二次擲出的點數之差
D．兩次擲出的點數
【答案】D
【詳解】A中，將一個骰子擲兩次，兩次擲出的點數之和是一個變量，且隨試驗結果的變化而變化，是一個隨機變量．
B中，兩次擲出的最大點數是一個變量，且隨試驗結果的變化而變化，是一個隨機變量．
C中，第一次與第二次擲出的點數是一個變量，且隨試驗結果的變化而變化，之差也都是隨機變量，
D中，兩次擲出的點數不是一個變量，所以不是隨機變量．
故選：D.
【典例3】（2024·全國·高二假期作業）在下列表述中不是離散型隨機變量的是（ ）
①某機場候機室中一天的旅客數量；
②某尋呼臺一天內收到的尋呼次數；
③某籃球下降過程中離地面的距離；
④某立交橋一天經過的車輛數X．
A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的
【答案】C
【詳解】①②④中的隨機變量可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；③中的可以取一區間內的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量.
故選：C
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（　　）
A．將一枚質地均勻的硬幣擲五次，出現正面和反面向上的次數之和
B．某人早晨在車站等出租車的時間
C．連續不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數
D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性
【答案】C
【詳解】對于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結果，則擲五次，出現正面和反面向上的次數之和為，是常量，A錯誤；
對于B，等出租車的事件是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量，B錯誤；
對于C，連續不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數是有限個或可列舉的無限多個，是離散型隨機變量，C正確；
對于D，事件發生的可能性不是隨機變量，D錯誤.
故選：C.
【變式2】（2024·全國·高二假期作業）5件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是（ ）
A．取到產品的件數 B．取到正品的概率
C．取到次品的件數 D．取到次品的概率
【答案】C
【詳解】對于A，5件產品中有3件次品，從中任取2件，取到產品的件數是一個常量不是變量，
BD也是一個定值，而C中取到次品的件數可能為0、1、2是隨機變量.
故選：C
【變式3】（2024·全國·高二假期作業）袋中有大小相同質地均勻的5個黑球、3個白球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（ ）
A．至少取到1個黑球 B．取到黑球的個數
C．至多取到1個黑球 D．取到的球的個數
【答案】B
【詳解】根據離散型隨機變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項，其中A、C選項是事件，D選項取到球的個數是2個為確定值，ACD錯誤；
故選：B．
題型02 分布列及其性質的應用
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）設某種疫苗試驗的失敗率是成功率的5倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數，則等于（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【詳解】解：根據題意得，“”表示試驗失敗，
“”表示試驗成功，成功率為p，失敗率為5p，
故X的分布列為：
X 0 1
P 5p p
所以，得，
所以失敗率為，即．
故選：C.
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）隨機變量ξ的分布列如下：
其中，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】，且，
解得，
.
故選：D.
【典例3】（2024上·吉林·高二校聯考期末）隨機變量的分布列如下表所示：
1 2 3 4
0.1 0.3
則 .
【答案】0.7/
【詳解】由分布列的性質可得，，可得，
所以．
故答案為：0.7
【典例4】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則m的值為 .
0 1 2 3
【答案】/
【詳解】依題意，，整理得，解得或，
當時，，，不符合題意，
當時，，，，，符合題意，
所以m的值為.
故答案為：
【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的分布列為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，．
故選：A．
【變式2】（多選）（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量X的分布列為（），其中是常數，則（ ）
A． B．
C． D．以上均不正確
【答案】ABC
【詳解】根據題意，隨機變量的分布列為，
則，解得，
則.
故選：ABC.
【變式3】（2024上·河南·高二校聯考期末）設隨機變量的分布列為，則常數 .
【答案】
【詳解】，
解得，
故答案為：.
【變式4】（2024·全國·高三專題練習）離散型隨機變量的概率分布規律為，其中是常數，則 .
【答案】
【詳解】，，解得：，
.
故答案為：.
題型03求離散型隨機變量的分布列
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數學、英語教師各2人．
(1)求選出的數學教師人數多于語文教師人數的概率；
(2)設X表示選出的3人中數學教師的人數，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列見解析
【詳解】（1）從6名老師中選3人的方法種數有：.
數學老師多于語文老師的選法有：
①1名數學，2名英語的選法：種；
②2名數學的選法有：種.
所以數學老師多于語文老師的選法有：種.
故數學老師多于語文老師的概率為：.
（2）由題意，的可能取值為：0，1，2.
，，.
所以的分布列為：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）一臺設備由三個部件構成，假設在一天的運轉中，部件1，2，3需要調整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態相互獨立．
(1)求設備在一天的運轉中，部件1，2中至少有1個需要調整的概率；
(2)記設備在一天的運轉中需要調整的部件個數為X，求隨機變量X的分布列．
【答案】(1)0.28
(2)分布列見解析
【詳解】（1）部件1，2都不需要調整的概率為，
則部件1，2中至少有1個需要調整的概率為P＝1－0.72＝0.28；
（2）由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且
，
，
，
，
0 1 2 3
【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）某食堂為了了解同學們在高峰期打飯的時間，故安排一名食堂阿姨隨機收集了在食堂某窗口打飯的100位同學的相關數據(假設同學們打飯所用時間均為下表列出時間之一)，如下表所示.
學生數(人) x 25 y 10
打飯時間(秒/人) 10 15 20 25
已知這100位同學的打飯時間從小排到大的第65百分位數為17.5秒．
(1)確定x，y的值；
(2)若各學生的結算相互獨立，記X為該窗口開始打飯至20秒末已經打飯結束的學生人數，求X的分布列．(注：將頻率視為概率)
【答案】(1)
(2)分布列見解析
【詳解】（1）因為第65百分位數為17.5＝，所以，
所以.
（2）由已知得打飯時間為10秒的概率為，打飯時間為15秒的概率為，
打飯時間為20秒的概率為，打飯時間為25秒的概率為，
由題可知X的可能取值為0，1，2，
∴，，，
∴分布列如下：
X 0 1 2
P 0.1 0.74 0.16
【典例4】（2024·全國·高二假期作業）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設甲、乙、丙三人中進入決賽的人數為，求的分布列．
【答案】(1)乙
(2)
(3)分布列見解析
【詳解】（1）解：甲進入決賽的概率為，乙進入決賽的概率為，
丙進入決賽的概率為，
因為，所以，
顯然，乙進入決賽的概率最大，所以乙進入決賽的可能性最大.
（2）解：因為甲、乙、丙三人中恰有兩隊進入決賽的概率為，
則，
整理得，解得或，
因為，所以.
（3）解：由（2）知，丙進入決賽的概率為，
所以甲、乙、丙三人進入決賽的概率分布為，
根據題意，得到隨機變量的可能取值為，
可得；
，
，
則，
所以隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）學校舉行定點投籃比賽，規定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設每次投籃投中與否是相互獨立的.已知小明每次投籃投中的概率都是.
(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列
【答案】(1)
(2)分布列見解析
【詳解】（1）設“小明在投籃過程中直到第三次才投中”為事件，
事件說明小明前兩次沒有投中，第三次投中，
，
小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率為.
（2）小明在4次投籃后的總得分ξ的可能取值為0，2，4，6，8，
，
，
，
，
，
則總得分的分布列為：
0 2 4 6 8
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知新高考數學共4道多選題，評分標準是每題滿分5分，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選或不選的得0分．每道多選題共有4個選項，正確答案往往為2項或3項. 為了研究多選題的答題規律，某數學興趣小組研究發現：多選題正確答案是“選兩項”的概率為，正確答案是“選三項”的概率為.現有學生甲、乙兩人，由于數學基礎很差，多選題完全沒有思路，只能靠猜.
(1)已知某題正確答案是“選兩項”，求學生甲不得0分的概率；
(2)學生甲的答題策略是“猜一個選項”，學生乙的策略是“猜兩個選項”，試寫出甲、乙兩名學生得分的分布列.
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【詳解】（1）某題正確答案是“選兩項”的條件下，他不得0分的情況有兩種：
①只選一個選項得2分的概率為：;
②選兩個選項，得5分的概率為：;
所以某題正確答案是“選兩項”的條件下，學生甲不得0分的概率為：;
（2）結合題意：設學生甲得分為,則的可能取值為，
;
;
學生甲得分的分布列為:
0 2
設學生乙得分為,則的可能取值為，
;
;
;
學生乙得分的分布列為:
0 2 5
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求隨機變量的分布列；
(2)求隨機變量的分布列.
【答案】(1)分布列見解析
(2)分布列見解析
【詳解】（1）由分布列的性質知：，解得，
列表為
X 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3
即隨機變量的可能取值為0，1，2，3，
可得，
，
，
故的分布列為
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
（2）列表得
X 0 1 2 3 4
0 1 4 9 16
即隨機變量的可能取值為0，1，4，9，16.
從而的分布列為
0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
【變式4】（2024·全國·高二假期作業）某地區組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識竟答活動，根據答題得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況統計結果如下：
性別 人數 獲獎人數
一等獎 二等獎 三等獎
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假設所有學生的獲獎情況相互獨立．
(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等獎的概率；
(2)用頻率估計概率，從該地區高一男生中隨機抽取1名，從該地區高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學生中獲獎的人數，求的分布列
【答案】(1)
(2)分布列見解析
【詳解】（1）設事件為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，抽到的2名學生都獲一等獎”，
則.
（2）隨機變量的所有可能取值為0，1，2.
記事件為“從該地區高一男生中隨機抽取1名，該學生獲獎”，
事件為“從該地區高一女生中隨機抽取1名，該學生獲獎”.
由題設知，事件，相互獨立，且估計為估計為.
所以，
，
.
所以的分布列為
0 1 2
題型04由隨機變量分布列求概率
【典例1】（2024·全國·高二假期作業）設離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若隨機變量，則等于（　　）
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
【答案】A
【詳解】由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，
所以.
故選：A.
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）一袋中裝有4個白球和2個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數為隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令表示前k個球為白球，第個球為紅球，
此時，
則．
故選：A．
【典例3】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量的分布列為：
X 1 2 3
P m
則 ， ．
【答案】 / /
【詳解】由離散型隨機變量的分布列的性質，可得，解得，
所以.
故答案為：；
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）設隨機變量X的分布列，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為隨機變量X的分布列，
所以，解得：，
.
故選：B.
【變式2】（2024·全國·高二假期作業）已知離散型隨機變量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a
若離散型隨機變量，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由分布列的性質可知： 解得 ，
由 ， 等價于 ，由表可知 ；
故選：A.
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）設隨機變量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
則 ．
【答案】
【詳解】，.
故答案為：
題型05兩個相關隨機變量的分布列
【典例1】（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【答案】D
【詳解】當時，由，
所以.
故選：D
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量的分布列如表所示．
0 1 2 3
(1)求隨機變量的分布列；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)分布列見解析
(2)
【詳解】（1）由隨機變量的分布列知，的可能取值為0，1，4，9，
則，
或，
或
．
可得隨機變量的分布列如表所示．
0 1 4 9
（2）因為，，
又因為，所以.
∴實數的取值范圍是．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）隨機變量的取值范圍是{1，2，3，4，5}，且．則Y的取值范圍是 ．
【答案】{3，5，7，9，11}
【詳解】因為的取值范圍是{1，2，3，4，5}，
且，
所以的取值范圍是{3，5，7，9，11}．
故答案為：{3，5，7，9，11}
【變式2】（2024·全國·高二假期作業）某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時工，設其月工作時間為X小時，獲取的稅前月工資為Y元．
(1)當時，求Y的值；
(2)寫出X與Y之間的關系式；
(3)若，求的值．
【答案】(1)4300
(2)
(3)0.4
【詳解】（1）當時，表示工作了110個小時，
所以．
（2）由題意得：．
（3）因為，
所以，
從而.
題型06兩點分布
【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么 .
【答案】
【詳解】由題意可知，解得.
故答案為：.
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知X服從參數為0.3的兩點分布，則 ；若，則 .
【答案】 0.7/ 0.3/
【詳解】因為服從參數為0.3的兩點分布，
所以， .
當時，，所以.
故答案為：0.7，0.3
【典例3】（2023上·高二課時練習）在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數X的分布列．
【答案】分布列見解析
【詳解】抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有1和0兩種情況．
，
則.
因此X的分布列為：
X 0 1
P
【變式1】（2023下·山東聊城·高二統考期末）已知隨機變量服從兩點分布，且，，那么 ．
【答案】/0.5
【詳解】由題意可知或，
由于，所以，
故答案為：
【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）從裝有個白球和個紅球的口袋中任取個球，用表示“取到的白球個數”，則的取值為或，即，求隨機變量的概率分布．
【答案】分布列見解析
【詳解】由題意知，，
故隨機變量的概率分布列如下表所示：
0 1
【變式3】（2023上·高二課時練習）擲一顆骰子，觀察擲得的點數.
(1)求點數X的分布；
(2)只關心點數6是否出現.若出現，則記，否則記.求Y的分布.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）因為擲得每個點數為等可能事件，所以點數X的分布為．
（2）因為，而，所以Y的分布為．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024下·全國·高二隨堂練習）設離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
則下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】＋＋＋＝，A錯誤；
＋＝，B錯誤；
，C正確；
＋＝，D錯誤.
故選：C
2．（2024·全國·高二假期作業）拋擲2枚骰子，所得點數之和記為，那么表示的隨機試驗結果是（ ）
A．2枚都是4點
B．1枚是1點，另1枚是3點
C．2枚都是2點
D．1枚是1點，另1枚是3點，或者2枚都是2點
【答案】D
【詳解】A表示的是隨機試驗中的其中一個結果，
B，C中表示的是隨機試驗中的部分結果，
而D是代表隨機試驗中的所有試驗結果.
故選：D.
3．（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量的分布列為，2，3，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據題意，隨機變量的分布列為，
由分布列的性質，則有，解得，
故.
.
故選：C.
4．（2024·全國·高二假期作業）若隨機變量的分布列如表，則的值為（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據題意可得，
所以.
故選：A.
5．（2024·全國·高二假期作業）拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數之差為，則表示的試驗結果是（ ）
A．第一枚6點，第二枚1點 B．第一枚5點，第二枚1點
C．第一枚2點，第二枚6點 D．第一枚6點，第二枚2點
【答案】A
【詳解】由題意知表示第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數之差，
當第一枚6點，第二枚1點時，，滿足題意，所以選項A正確；
當第一枚5點，第二枚1點時，，不滿足，所以選項B錯誤；
當第一枚2點，第二枚6點時，，不滿足，所以選項C錯誤；
當第一枚5點，第二枚1點時，，不滿足，所以選項D錯誤.
故選：A
6．（2024·江蘇·高二假期作業）如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個數為，則 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】方法一：由題意可知，的所有可能取值為，，，
則．
方法二：由題意可知，的所有可能取值為，，，
則．
故選：A
7．（2024·全國·高三專題練習）泊松分布是統計學里常見的離散型概率分布，由法國數學家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數服從參數為的泊松分布，若該線路某站臺的候車人數為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可知，即解得，
所以，
從而，
故該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為.
故選：D
8．（2024·全國·高二假期作業）設是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由離散型隨機變量的性質可得，
即，解得或，
時，不合題意，
．
故選：B．
二、多選題
9．（2024·全國·高二假期作業）已知隨機變量ξ的分布列為：
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
若，則實數的值可以是（ ）
A．5 B．7
C．9 D．10
【答案】ABC
【詳解】由隨機變量的分布列，知：
的可能取值為，
且，
，
，
，
則，.
若，則實數的取值范圍是.
故選：ABC.
10．（2023下·河南周口·高二校聯考期中）已知離散型隨機變量的分布列為
1 2 4 6
0.2 0.1
則下列選項正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．
【答案】ABD
【詳解】對于A中，由分布列的性質，可得，解得，所以A正確；
對于B中，若，可得，則，故B正確；
對于C中，由概率的定義知，所以C不正確；
對于D中，由，，則，所以D正確．
故選：ABD.
三、填空題
11．（2023下·高二課時練習）離散型隨機變量X的概率分布中部分數據丟失，丟失數據以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
則等于 .
【答案】/
【詳解】由概率分布的性質可知隨機變量的所有取值的概率和為1，
則.
故答案為: .
12．（2023下·高二課時練習）若隨機變量X的概率分布列為，k＝1，2，3，則 .
【答案】/0.5
【詳解】由題意知，，
所以.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·全國·高二課堂例題）設隨機變量X的分布列為，k=1，2，3，4，其中c為常數，求的值．
【答案】
【詳解】解 由離散型隨機變量分布列的性質可知
，
所以．
解得．
所以，
．
14．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）在全國碩士研究生統一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業生都以優秀的成績通過了某重點大學的初試，即將參加該重點大學組織的復試．已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為，，p，復試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為．
(1)求p的值；
(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數為X，求隨機變量X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）因為甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為，
所以，則．
（2）由題意知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．
，
，
，
．
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
B能力提升
1．（2023上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）某商場為了促銷規定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結束抽獎；也可選擇繼續抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結束抽獎．小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，己知他每次抽中的概率依次為，如果第一次抽中選擇繼續抽獎的概率為，第二次抽中選擇繼續抽獎的概率為，且每次是否抽中互不影響．
(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；
(2)設小李所得獎金總數為隨機變量，求的分布列．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）記小李第次抽中為事件，則有，且兩兩互相獨立，
記小李第一次抽中但獎金歸零為事件，
則；
（2）由題意可知的可能取值為：，
，
，
，
，
所以的分布列為：
2．（2023下·浙江·高二校聯考期末）北京時間4月30日晩，2023年國際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來自溫州的國際象棋男子特級大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國棋手首次奪得國際象棋男子世界冠軍.某小學為了提高同學學習國際象棋的興趣，舉行了二年級國際象棋男子團體賽，各班級均可以報送一支5人隊伍.比賽分多輪進行，每輪比賽每隊都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒有平局，每輪比賽結束，得勝班級得1分，反之0分.晉級賽規則如下：第一輪隨機為各隊伍匹配對手；從第二輪比賽開始，積分相同的隊伍之間再由抽簽決定對手.具體比賽程序如下圖.這樣進行三輪對抗之后，得2分及以上的班級晉級，反之淘汰.晉級的隊伍再進行相應的比賽.

(1)二（1）班選派了A，B，C，D，E五名選手，在第一輪比賽中，已知選手A參加了比賽，請列舉出該班級所有可能的首發隊員的樣本空間；
(2)現共有8支參賽隊伍，且實力相當，二（3）班在第一輪比賽輸給了二（4）班，則兩隊在第三輪重新遇上的概率為多少
(3)某班級在籌備隊員時，班內已推選水平較為穩定的選手4名，很多同學紛紛自薦最后一個名額.現共有5名自薦選手，分別為五級棋士2名、六級棋士2名和七級棋士1名，五、六、七級棋士被選上的概率分別為0.8，0.6，0.5，最后一名選手會在這5名同學中產生.現任選一名自薦同學，計算該同學被選上的概率，并用表示選出的該同學的級別，求X的分布列.
【答案】(1)
(2)
(3); 分布列見解析.
【詳解】（1）選手A參加了比賽，該班級所有可能的首發隊員的樣本空間：
.
（2）在第二輪比賽時，設1分隊伍為，其中代表二（4）班，
0分隊伍為，其中代表二（3）班，
在1分隊伍中比賽后失敗，其概率為，在0分隊伍中比賽后勝利，其概率為，
在第三輪比賽中進入1分隊伍的不妨設有四支隊伍，
抽簽后所有可能對手情況有共3種，重新遇上的情況只有，故其概率為，
綜上：兩隊在第三輪重新遇上的概率為.
（3）設從5人中任選一人是五、六、七級棋士的事件是, 則, 且兩兩互斥,
，
設“任選一名自薦同學，計算該同學被選上”,
則.
可能的取值有：，
X的分布列為
X 5 6 7
P
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）為落實食品安全的“兩個責任”，某市的食品藥品監督管理部門和衛生監督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關代表建言獻策．為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關專家的意見和建議，已知專家庫中共有4位成員，兩個部門分別獨立地發出邀請，邀請的名單從專家庫中隨機產生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監督管理部門或衛生監督管理部門的邀請后，專家如約參加會議．
(1)用1，2，3，4代表專家庫中的4位專家，甲、乙分別代表食品藥品監督管理部門和衛生監督管理部門，將兩個部門邀請的專家及參會的專家人數的所有情況繪制成一個表格，請完成如下表格．

(2)最大似然估計即最大概率估計，即當時，概率取得最大值，則X的估計值為k（，，，…，），其中為X所有可能取值的最大值．請用最大似然估計法估計參加會議的專家人數．
【答案】(1)表格見解析
(2)3
【詳解】（1）完成的表格如下：
（2）記X為參加會議的專家人數，（，3，4）的概率記為．
由（1）中的表格可知出現的次數為6，出現的次數為24，出現的次數為6，
則，，，
則，，
根據最大似然估計法，可以估計出參加會議的專家人數為3．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑