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第09講 第七章 隨機變量及其分布 章末題型大總結
題型01相互獨立事件與互斥、對立事件
【典例1】（2023上·四川涼山·高二校聯考期末）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4的4張號簽，從中隨機地選取兩張號簽，事件“取到標號為1和3的號簽”，事件“兩張號簽標號之和為5”，則下列說法正確的是（ ）
A．與互斥 B．與獨立 C．與對立 D．
【典例2】（2023上·江蘇常州·高二常州高級中學?？奸_學考試）同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數是偶數”，事件C表示“兩枚骰子的點數相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數是奇數”. 則下列說法中正確的是（ ）
①A與C互斥 ②B與D對立 ③A與D相互獨立 ④B與C相互獨立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【典例3】（多選）（2023上·福建泉州·高二福建省德化第一中學校考階段練習）同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數是偶數”，事件C表示“兩枚骰子的點數相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數是奇數”.則下列說法中正確的是（ ）
A．A與C互斥 B．B與D對立
C．A與D相互獨立 D．B與C相互獨立
【典例4】（多選）（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）有4個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，事件A表示“第一次取出的球的數字是1”，事件B表示“第二次取出的球的數字是偶數”，事件C表示“兩次取出的球的數字之和是偶數”，事件D表示“兩次取出的球的數字之和是奇數”，則（ ）
A．A與B互斥 B．C與D對立
C．B與C相互獨立 D．B與D相互獨立
【變式1】（2023上·上海·高三上海市行知中學校考期中）存在兩個事件A和B，且，，若A與B是兩個①事件，則；若A與B是兩個②事件，則；其中（ ）
A．（1）互斥（2）獨立 B．（1）互斥（2）對立
C．（1）獨立（2）互斥 D．（1）對立（2）互斥
【變式2】（2022上·廣東佛山·高三統考期中）國家于2021年8月20日表決通過了關于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規定，國家提倡適齡婚育 優生優育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策.某個家庭積極響應該政策，一共生育了三個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩.則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對立 B．事件與事件互斥且對立
C．事件與事件相互獨立 D．事件與事件相互獨立
【變式3】（多選）（2023上·廣東·高二校聯考階段練習）拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子，用表示黃色骰子朝上的點數，表示白色骰子朝上的點數，用表示一次試驗的結果，該試驗的樣本空間為，事件 “”，事件“”，事件“”，事件“”則（ ）
A．與互斥 B．與對立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【變式4】（多選）（2023下·河北承德·高一統考期末）拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子，用a表示黃色骰子朝上的點數，用b表示白色骰子朝上的點數，用表示一次試驗的結果，該試驗的樣本空間為，記事件“關于的方程無實根”，事件”，事件“”，事件“20”，則（ ）
A．與互斥 B．與對立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
題型02離散型隨機變量的均值與方差的性質
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知的分布列如下表所示，設，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）設隨機變量，隨機變量，若，則（ ）
A．2 B．3
C．6 D．7
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）若數據的平均數為，方差為，則的平均數和方差分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）若離散型隨機變量的標準差，則隨機變量的標準差為（ ）
A．8 B．15
C．16 D．32
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2024·全國·高二假期作業）設隨機變量滿足為非零常數)，若，則 ， ．
題型03離散型隨機變量的均值與方差
【典例1】（2024·吉林白山·統考一模）俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規則如下：將一枚骰子連續投擲兩次，兩次的點數之和為3的倍數，則稱為“完美投擲”，出現“完美投擲”，則記；若擲出的點數之和不是3的倍數，則稱為“不完美投擲”，出現“不完美投擲”，則記；若，則當天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．
(1)求出隨機變量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求張老師當天穿西裝的概率．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）甲 乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.
(1)求第三次由乙投籃的概率；
(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數為，求的分布列；
(3)求的期望及標準差.
【典例3】（2023下·高二校考單元測試）氣象部門提供了某地區今年六月份（30天）的日最高氣溫的統計表如下：
日最高氣溫t（單位：℃）
天數 6 12 Y Z
由于工作疏忽，統計表被墨水污染，Y和Z數據不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.9．
某水果商根據多年的銷售經驗，六月份的日最高氣溫t（單位：℃）對西瓜的銷售影響如下表：
日最高氣溫t（單位：℃）
日銷售額X（千元） 2 5 6 8
(1)求Y，Z的值；
(2)若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額的期望和方差；
(3)在日最高氣溫不高于32℃時，求日銷售額不低于5千元的概率．
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）某短視頻軟件經過幾年的快速發展，深受人們的喜愛，該軟件除了有娛樂屬性外，也可通過平臺推送廣告．某公司為了宣傳新產品，現有以下兩種宣傳方案：
方案一：投放該平臺廣告，據市場調研，其收益X分別為0元，20萬元，40萬元，且，期望．
方案二：投放傳統廣告，據市場調研，其收益Y分別為10萬元，20萬元，30萬元，其概率依次為．
(1)請寫出方案一的分布列，并求方差；
(2)請你根據所學的統計知識給出建議，該公司宣傳應該投放哪種廣告？并說明你的理由．
【變式2】（2023上·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學?？茧A段練習）甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.
(1)求這場比賽甲獲勝的概率；
(2)這場比賽甲所勝局數的數學期望（保留兩位有效數字）；
(3)根據（2）的結論，計算這場比賽甲所勝局數的方差.
【變式3】（2023下·山東臨沂·高二統考期中）甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為
甲品牌的走時誤差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
(1)求和；
(2)求和，并比較兩種品牌手表的性能．
題型04二項分布
【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┎此煞植嫉母怕史植剂袨?，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值．若隨機變量服從二項分布，當很大且很小時，二項分布近似于泊松分布，其中，即，．現已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個該種元件，則次品率小于的概率約為（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）某同學參加學校數學知識競賽，規定每個同學答20道題，已知該同學每道題答對的概率為0.6，每道題答對與否相互獨立．若答對一題得3分，答錯一題扣1分，則該同學總得分的數學期望為 ，方差為 ．
【典例3】（2024上·甘肅武威·高三統考期末）某單位招聘會設置了筆試、面試兩個環節，先筆試后面試.筆試設有三門測試，三門測試相互獨立，三門測試至少兩門通過即通過筆試，通過筆試后進入面試環節，若不通過，則不予錄用.面試只有一次機會，通過后即被錄用.已知每一門測試通過的概率均為，面試通過的概率為.
(1)求甲通過了筆試的條件下，第三門測試沒有通過的概率；
(2)已知有100人參加了招聘會，X為被錄取的人數，求X的期望.
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中達到筆試優秀才能進入面試環節.已知兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否達到優秀相互獨立.若某考生報考大學，每門科目達到優秀的概率均為，若該考生報考大學，每門科目達到優秀的概率依次為，，，其中.
(1)若，分別求出該考生報考兩所大學在筆試環節恰好有一門科目達到優秀的概率；
(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優秀科目個數的期望為依據作出決策，該考生更有希望進入大學的面試環節，求的范圍.
【變式1】（多選）（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024上·河南·高二校聯考期末）一臺機器由于使用時間較長，生產的零件有可能會產生次品.設該機器生產零件的尺寸為，且規定尺寸為正品，其余的為次品.現從該機器生產的零件中隨機抽取100件做質量分析，作出的頻率分布直方圖如圖.
(1)試估計該機器生產的零件的平均尺寸；
(2)如果將每5件零件打包成一箱，若每生產一件正品可獲利30元，每生產一件次品虧損80元.若隨機取一箱零件，求這箱零件的期望利潤.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）某種植戶對一塊地上的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發芽的概率均為，且每粒種子是否發芽相互獨立.如果每個坑內至少有兩粒種子發芽，則不需要進行補種，否則需要補種.
(1)當n取何值時，有4個坑需要補種的概率最大？最大概率為多少？
(2)當時，用X表示要補種的坑的個數，求X的分布列及數學期望.
【變式4】（2024上·安徽·高三合肥市第八中學校聯考開學考試）某公司使用甲、乙兩臺機器生產芯片，已知每天甲機器生產的芯片占產量的六成，且合格率為；乙機器生產的芯片占產量的四成，且合格率為，已知兩臺機器生產芯片的質量互不影響. 現對某天生產的芯片進行抽樣.
(1)從所有芯片中任意抽取一個，求該芯片是不合格品的概率；
(2)現采用有放回的方法隨機抽取3個芯片，記其中由乙機器生產的芯片的數量為，求的分布列以及數學期望.
題型05超幾何分布
【典例1】（2024下·全國·高二隨堂練習）盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現從盒中隨機抽取4個，則概率是的事件為（ ）
A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的
C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的
【典例2】（多選）（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習）已知隨機變量的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．甲每次射擊命中的概率為0.6，甲連續射擊10次的命中次數滿足此分布列
D．一批產品共有10件，其中6件正品，4件次品，從10件產品中無放回地隨機抽取4件，抽到的正品的件數滿足此分布列
【典例3】（2024上·廣東潮州·高三統考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業，推動潮州菜產業發展，是潮州美食產業的又一里程碑．為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進行問卷調查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區間，，，，內，統計結果如頻率分布直方圖所示．
(1)根據頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區間的數據用該區間數據的中點值為代表）；
(2)為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調查，求抽到滿意度評分位于的人數的分布列和數學期望．
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）某市教師培訓中心對2022年暑假教師培訓進行總體評價，有1200名教師參與打分（滿分10分），根據所得數據分為，，，，，六個組，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中的值，并求這1200份打分的平均數（同一組中的數據用該組的中點值作代表）；
(2)若培訓中心將在打分中的教師中用分層抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人進行面談，記表示打分在的人數，求的分布列和數學期望．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）一個袋子中100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量表示樣本中黃球的個數，則服從（ ）
A．二項分布，且 B．兩點分布，且
C．超幾何分布，且 D．超幾何分布，且
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）在一次運動會上，某單位派出了名主力隊員和名替隊員組成代表隊參加比賽.如果隨機抽派名隊員上場，則主力隊員多于替補隊員的概率為 .
【變式3】（2024上·廣東揭陽·高三統考期末）為增強學生體質，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，記錄他們在規定時間內的進球個數，將所得數據分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：
(1)估計全班同學的平均進球個數．（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
(2)現按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數在，，內的同學中抽取8人進行培訓，再從中抽取3人做進一步培訓．
（?。┯涍@3人中進球個數在的人數為X，求X的分布列與數學期望；
（ⅱ）已知抽取的這3人的進球個數不全在同一區間，求這3人的進球個數在不同區間的概率．
【變式4】（2024·全國·高二假期作業）2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基本法某中學培養學生知法懂法，組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果，現從高一，高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績（單位：分），繪制成如圖所示的莖葉圖：
根據學生的競賽成績，將其分為四個等級：
測試成績（單位：分）
等級 合格 中等 良好 優秀
（1）從樣本中任取2名同學的競賽成績，在成績為優秀的情況下，求這2名同學來自同一個年級的概率；
（2）現從樣本中成績為良好的學生中隨機抽取3人座談，記為抽到高二年級的人數，求的分布列，數學期望與方差.
題型06正態分布
【典例1】（2024上·河南南陽·高二校聯考期末）為了檢測自動包裝線生產的罐裝咖啡，檢驗員每天從生產線上隨機抽取罐咖啡，并測量其質量（單位：）.由于存在各種不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的質量與標準質量之間存在一定的誤差，已知這條包裝線在正常狀態下，每罐咖啡的質量服從正態分布.假設生產狀態正常，記表示每天抽取的罐咖啡中質量在之外的罐數，若的數學期望，則的最小值為（ ）
附：若隨機變量服從正態分布，則.
A．10 B．11 C．12 D．13
【典例2】（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？计谀┪覀儗⒎亩椃植嫉碾S機變量稱為二項隨機變量，服從正態分布的隨機變量稱為正態隨機變量.概率論中有一個重要的結論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態隨機變量來近似地替代，且正態隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數學家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時這個結論是成立的，法國數學家 物理學家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個結論對任意的實數都成立，因此人們把這個結論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次，利用正態分布估算硬幣正面向上次數不少于1200次的概率為（ ）
（附：若，則，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
【典例3】（2024·新疆烏魯木齊·統考一模）在工業生產中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內，則至少為 ；（若，則）
【典例4】（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┪覈豢萍脊旧a的手機前幾年的零部件嚴重依賴進口，2019年某大國對其實施限制性策略，該公司啟動零部件國產替代計劃，與國內產業鏈上下游企業開展深度合作，共同推動產業發展．2023年9月該公司最新發布的智能手機零部件本土制造比例達到」90%，以公司與一零部件制造公司合作生產某手機零部件，為提高零部件質量，該公司通過資金扶持與技術扶持，幫助制造公司提高產品質量和競爭力，同時派本公司技術人員進廠指導，并每天隨機從生產線上抽取一批零件進行質量檢測．下面是某天從生產線上抽取的10個零部件的質量分數（總分1000分，分數越高質量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假設該生產線生產的零部件的質量分數X近似服從正態分布，并把這10個樣本質量分數的平均數作為的值．
參考數據：若，則．
(1)求的值；
(2)估計該生產線上生產的1000個零部件中，有多少個零部件的質量分數低于940？
(3)若從該生產線上隨機抽取n個零件中恰有個零部件的質量分數在內，則n為何值時，的值最大？
【變式1】（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）已知隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究應用與推廣，發明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全，農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態分布，其密度曲線函數為，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．該地水稻的平均株高為
B．該地水稻株高的方差為100
C．隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．隨機測量一株水稻，其株高在和在（單位：cm）的概率一樣大
【變式3】（2024·四川內江·統考一模）某汽車公司最近研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試.現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
根據大量的測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似地服從正態分布，用樣本平均數和標準差分別作為、的近似值，其中樣本標準差的近似值為50，現任取一輛汽車，則它的單次最大續航里程的概率為 .
（參考數據：若隨機變量，則，，）
【變式4】（2024上·湖南衡陽·高三統考期末）已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質量（單位：）服從正態分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質量（單位：）.
(1)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取2袋，設這2袋中質量不小于的袋數為，求的分布列；
(2)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選?。檎麛担┐?，記質量在的袋數為，求滿足的的最大值.
題型07正態分布的實際應用
【典例1】（2024上·江蘇揚州·高三統考期末）某保險公司有一款保險產品，該產品今年保費為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設該保險產品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為，記10000名客戶中獲得賠償的人數為.
(1)求，并計算該公司今年這一款保險產品利潤的期望；
(2)二項分布是離散型的，而正態分布是連續型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項分布的試驗次數的增加，二項分布折線圖與正態分布曲線幾乎一致，所以當試驗次數較大時，可以利用正態分布處理二項分布的相關概率計算問題，我們知道若，則，當較大且較小時，我們為了簡化計算，常用的值估算的值.
請根據上述信息，求：
①該公司今年這一款保險產品利潤為50~100萬元的概率；
②該公司今年這一款保險產品虧損的概率.
參考數據：若，則.
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）全面建設社會主義現代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強．某市為了解當地農村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入x（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數（同一組的數據用該組區間中點值代表）．
(2)由直方圖可認為農戶家庭年收入近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，其中.
①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數？（結果保留整數）
②如果用該地區農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數為，求．（結果精確到0.001）
附：①；②若，則，；③．
【變式1】（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
計算得：.
(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.
記事件：在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區間.
①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差，求；
②護林員在做數據統計時，得出了如下結論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下，求，并判斷護林員的結論是否正確，說明理由.
參考公式：若，
則.
參考數據：.
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）2023年中秋國慶雙節期間，我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點，為方便統計，時間段記作區間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數進行初步處理，已知，時間段內的車輛數的頻數如下表：
時間段
頻數 100 300 m n
(1)現對數據進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數為，求的分布列與期望；
(2)由大數據分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數（結果四舍五入保留到整數）.
參考數據：若，則①；②；③.21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第09講 第七章 隨機變量及其分布 章末題型大總結
題型01相互獨立事件與互斥、對立事件
【典例1】（2023上·四川涼山·高二校聯考期末）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4的4張號簽，從中隨機地選取兩張號簽，事件“取到標號為1和3的號簽”，事件“兩張號簽標號之和為5”，則下列說法正確的是（ ）
A．與互斥 B．與獨立 C．與對立 D．
【答案】A
【詳解】根據題意，選取兩張號簽用表示一次實驗結果，
則隨機試驗結果的樣本空間，
，.
對A，，所以與互斥，故A選項正確；
對B，，，，所以，與不獨立，故B選項錯誤；
對C，，，所以與不對立，故C選項錯誤；
對D，，故D選項錯誤.
故選：A.
【典例2】（2023上·江蘇常州·高二常州高級中學?？奸_學考試）同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數是偶數”，事件C表示“兩枚骰子的點數相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數是奇數”. 則下列說法中正確的是（ ）
①A與C互斥 ②B與D對立 ③A與D相互獨立 ④B與C相互獨立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【詳解】①；因為兩枚骰子的點數相同，所以兩枚骰子的點數之和不能為5，
所以A與C互斥 ，因此本序號說法正確；
②：當紅色骰子的點數是偶數，藍色骰子的點數是奇數時，B與D同時發生，
因此這兩個事件同時發生，所以本序號說法不正確；
③：，
顯然，所以A與D不相互獨立，所以本序號說法不正確；
④：，
顯然，所以B與C相互獨立，所以本序號說法正確，
故選：B
【典例3】（多選）（2023上·福建泉州·高二福建省德化第一中學?？茧A段練習）同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數是偶數”，事件C表示“兩枚骰子的點數相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數是奇數”.則下列說法中正確的是（ ）
A．A與C互斥 B．B與D對立
C．A與D相互獨立 D．B與C相互獨立
【答案】AD
【詳解】解：對于選項A，因為兩枚骰子的點數相同，所以兩枚骰子的點數之和不能為5，
所以A與C互斥，故A正確；
對于選項B，當紅色骰子的點數為偶數，藍色骰子的點數為奇數時，B與D同時發生，
因此這兩個事件不對立，故B錯誤；
對于選項C，，，，
顯然，所以A與D不相互獨立，故C錯誤；
對于選項D，，，，
顯然，所以B與C相互獨立，故D正確；
故選：AD.
【典例4】（多選）（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）有4個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，事件A表示“第一次取出的球的數字是1”，事件B表示“第二次取出的球的數字是偶數”，事件C表示“兩次取出的球的數字之和是偶數”，事件D表示“兩次取出的球的數字之和是奇數”，則（ ）
A．A與B互斥 B．C與D對立
C．B與C相互獨立 D．B與D相互獨立
【答案】BCD
【詳解】設采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，共個，
事件發生包含的基本事件有：，，有個，
事件發生包含的基本事件有：，，，，，有個，
事件發生包含的基本事件：，，，有個，
事件發生包含的基本事件：，，，，，，，有個，
顯然當出現，時事件、同時發生，故事件與不互斥，故A錯誤；
事件與不可能同時發生，即事件與互斥，又事件與包含所有的結果，
所以C與D對立，故B正確；
又，，，所以，
所以事件與相互獨立，故C正確；
又，，，所以，
所以事件與相互獨立，故D正確.
故選：BCD.
【變式1】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ行兄袑W校考期中）存在兩個事件A和B，且，，若A與B是兩個①事件，則；若A與B是兩個②事件，則；其中（ ）
A．（1）互斥（2）獨立 B．（1）互斥（2）對立
C．（1）獨立（2）互斥 D．（1）對立（2）互斥
【答案】A
【詳解】由，僅當時，
所以A與B是兩個互斥事件，
由獨立事件的判定知：，即A與B是兩個獨立事件.
故選：A
【變式2】（2022上·廣東佛山·高三統考期中）國家于2021年8月20日表決通過了關于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規定，國家提倡適齡婚育 優生優育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策.某個家庭積極響應該政策，一共生育了三個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩.則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對立 B．事件與事件互斥且對立
C．事件與事件相互獨立 D．事件與事件相互獨立
【答案】D
【詳解】有三個小孩的家庭的樣本空間可記為：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
對于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對立，故A不正確；
對于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；
對于C，事件有4個樣本點，事件有4個樣本點，事件有0個樣本點，，顯然有，即事件與事件不相互獨立，故C不正確；
對于D，事件有6個樣本點，事件有4個樣本點，事件有3個樣本點，，顯然有，即事件與事件相互獨立，故D正確；
故選：D
【變式3】（多選）（2023上·廣東·高二校聯考階段練習）拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子，用表示黃色骰子朝上的點數，表示白色骰子朝上的點數，用表示一次試驗的結果，該試驗的樣本空間為，事件 “”，事件“”，事件“”，事件“”則（ ）
A．與互斥 B．與對立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】BCD
【詳解】由題意可知，事件包含的基本事件有：、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、，共個基本事件，
事件包含的基本事件有：、、、、、，共個基本事件，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、
、、、、、、、、、、
，共個基本事件，
事件包含的基本事件有：、、、、、，共個基本事件，
所有的基本事件共個.
對于A選項，，
所以，與不互斥，A錯；
對于B選項，由上可知，與對立，B對；
對于C選項，事件包含的基本事件有：、、，共個基本事件，
則，
又因為，，所以，，
故與相互獨立，C對；
對于D選項，因為，則，
故與相互獨立，D對.
故選：BCD.
【變式4】（多選）（2023下·河北承德·高一統考期末）拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子，用a表示黃色骰子朝上的點數，用b表示白色骰子朝上的點數，用表示一次試驗的結果，該試驗的樣本空間為，記事件“關于的方程無實根”，事件”，事件“”，事件“20”，則（ ）
A．與互斥 B．與對立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】BCD
【詳解】由題意得，
，，
包含36個樣本點.
由，得，
所以，，，，共包含30個樣本點，，，共包含6個樣本點，與不互斥，故選項錯誤；
又，，
共包含18個樣本點，，共包含6個樣本點，所以與對立，故選項B正確；
選項C，因為，
所以，故與相互獨立，故選項C正確；
選項D，因為，所以，故與相互獨立，故選項正確.
故選：BCD.
題型02離散型隨機變量的均值與方差的性質
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知的分布列如下表所示，設，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由分布列可得，
所以，，
又因為，則.
故選：A.
【典例2】（2024·全國·高二假期作業）設隨機變量，隨機變量，若，則（ ）
A．2 B．3
C．6 D．7
【答案】C
【詳解】由題意得
，
所以（舍去），則，故，
則．
故選：C．
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）若數據的平均數為，方差為，則的平均數和方差分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由期望、方差的性質知：，.
故選：C
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）若離散型隨機變量的標準差，則隨機變量的標準差為（ ）
A．8 B．15
C．16 D．32
【答案】C
【詳解】.
故選：C
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】隨機變量服從兩點分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正確；
在B中，，故B正確；
在C中，，故C錯誤；
在D中，，故D正確.
故選：C.
【變式3】（2024·全國·高二假期作業）設隨機變量滿足為非零常數)，若，則 ， ．
【答案】
【詳解】設隨機變量滿足為非零常數)，
因為，則，所以，
又因為，所以.
故答案為：；.
題型03離散型隨機變量的均值與方差
【典例1】（2024·吉林白山·統考一模）俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規則如下：將一枚骰子連續投擲兩次，兩次的點數之和為3的倍數，則稱為“完美投擲”，出現“完美投擲”，則記；若擲出的點數之和不是3的倍數，則稱為“不完美投擲”，出現“不完美投擲”，則記；若，則當天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．
(1)求出隨機變量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求張老師當天穿西裝的概率．
【答案】(1)分布列見解析；，
(2)
【詳解】（1）將一枚骰子連續投擲兩次共有基本事件種，
擲出的點數之和是3的倍數有：
，12種；
則擲出的點數之和不是3的倍數有24種，
隨機變量的取值為0，1，
，
所以的分布列為：
0 1
．
；
（2）設表示深色，則表示穿淺色，表示穿西裝，則表示穿休閑裝．
根據題意，穿深色衣物的概率為，則穿淺色衣物的概率為，
穿深色西裝的概率為，穿淺色西裝的概率為，
則當天穿西裝的概率為．
所以張老師當天穿西裝的概率為．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）甲 乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.
(1)求第三次由乙投籃的概率；
(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數為，求的分布列；
(3)求的期望及標準差.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)，
【詳解】（1）因為第三次由乙投籃包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，
所以;
（2）由題意，可取0，1，2.
P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.
故ξ的分布列為：
ξ 0 1 2
P
（3）由（2）有E(ξ)＝，
D(ξ)＝，所以.
【典例3】（2023下·高二?？紗卧獪y試）氣象部門提供了某地區今年六月份（30天）的日最高氣溫的統計表如下：
日最高氣溫t（單位：℃）
天數 6 12 Y Z
由于工作疏忽，統計表被墨水污染，Y和Z數據不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.9．
某水果商根據多年的銷售經驗，六月份的日最高氣溫t（單位：℃）對西瓜的銷售影響如下表：
日最高氣溫t（單位：℃）
日銷售額X（千元） 2 5 6 8
(1)求Y，Z的值；
(2)若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額的期望和方差；
(3)在日最高氣溫不高于32℃時，求日銷售額不低于5千元的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意，，
∴，
∴；
（2）由題意可取，
，
，
六月份西瓜日銷售額的分布列為
X 2 5 6 8
P 0.2 0.4 0.3 0.1
∴，
；
（3）日最高氣溫不高于32℃共有天，
其中日銷售額不低于5千元共有天，
則在日最高氣溫不高于32℃時，求日銷售額不低于5千元的概率為．
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）某短視頻軟件經過幾年的快速發展，深受人們的喜愛，該軟件除了有娛樂屬性外，也可通過平臺推送廣告．某公司為了宣傳新產品，現有以下兩種宣傳方案：
方案一：投放該平臺廣告，據市場調研，其收益X分別為0元，20萬元，40萬元，且，期望．
方案二：投放傳統廣告，據市場調研，其收益Y分別為10萬元，20萬元，30萬元，其概率依次為．
(1)請寫出方案一的分布列，并求方差；
(2)請你根據所學的統計知識給出建議，該公司宣傳應該投放哪種廣告？并說明你的理由．
【答案】(1)分布列見解析，方差為180
(2)答案見解析，理由見解析
【詳解】（1）設，，
依題意得①，又②，
由①②解得：，．
∴X的分布列為
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
則．
（2）由題得Y的分布列為
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
則，
．
由可知采用平臺廣告投放期望收益較大，又，說明平臺廣告投放的風險較高．
綜上所述，如果公司期望高收益，選擇平臺廣告；如果公司期望收益穩定，選擇傳統廣告．
【變式2】（2023上·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學校考階段練習）甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.
(1)求這場比賽甲獲勝的概率；
(2)這場比賽甲所勝局數的數學期望（保留兩位有效數字）；
(3)根據（2）的結論，計算這場比賽甲所勝局數的方差.
【答案】(1)0.648
(2)1.5
(3)0.57
【詳解】（1）甲勝利的情況有：勝勝；敗勝勝；勝敗勝.
甲勝概率為：.
則甲勝利的概率為.
（2）設甲所勝的局數為，.
，，
，
則分布列為：
0 1 2
0.16 0.192 0.648
所以.
（3）.
【變式3】（2023下·山東臨沂·高二統考期中）甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為
甲品牌的走時誤差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
(1)求和；
(2)求和，并比較兩種品牌手表的性能．
【答案】(1)，．
(2)，，甲種品牌手表的性能要好
【詳解】（1），
．
（2），
，
因為，，
所以僅考慮誤差，甲種品牌手表的性能要好
題型04二項分布
【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┎此煞植嫉母怕史植剂袨?，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值．若隨機變量服從二項分布，當很大且很小時，二項分布近似于泊松分布，其中，即，．現已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個該種元件，則次品率小于的概率約為（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】依題意， ，，泊松分布可作為二項分布的近似，
此時，則，
于是, ,，
所以次品率小于的概率約為.
故選：C
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）某同學參加學校數學知識競賽，規定每個同學答20道題，已知該同學每道題答對的概率為0.6，每道題答對與否相互獨立．若答對一題得3分，答錯一題扣1分，則該同學總得分的數學期望為 ，方差為 ．
【答案】 28 76.8
【詳解】設該同學答對題目的數量為，因為該同學每道題答對的概率為，共答道題，
所以，所以，．
設該同學總得分為，則，，．
故答案為：；.
【典例3】（2024上·甘肅武威·高三統考期末）某單位招聘會設置了筆試、面試兩個環節，先筆試后面試.筆試設有三門測試，三門測試相互獨立，三門測試至少兩門通過即通過筆試，通過筆試后進入面試環節，若不通過，則不予錄用.面試只有一次機會，通過后即被錄用.已知每一門測試通過的概率均為，面試通過的概率為.
(1)求甲通過了筆試的條件下，第三門測試沒有通過的概率；
(2)已知有100人參加了招聘會，X為被錄取的人數，求X的期望.
【答案】(1)
(2)20
【詳解】（1）設事件為甲通過了筆試，事件為甲第三門測試沒有通過，
則，
，
故甲通過了筆試的條件下，第三門測試沒有通過的概率為；
（2）設某人被錄取的概率為，
則，
由題可知，
所以.
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中達到筆試優秀才能進入面試環節.已知兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否達到優秀相互獨立.若某考生報考大學，每門科目達到優秀的概率均為，若該考生報考大學，每門科目達到優秀的概率依次為，，，其中.
(1)若，分別求出該考生報考兩所大學在筆試環節恰好有一門科目達到優秀的概率；
(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優秀科目個數的期望為依據作出決策，該考生更有希望進入大學的面試環節，求的范圍.
【答案】(1)報考大學恰好有一門筆試科目優秀概率為；報考大學恰好有一門筆試科目優秀概率為
(2)
【詳解】（1）設該考生報考大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，
則；
該考生報考大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，
則.
（2）該考生報考大學達到優秀科目的個數設為，則，；
該考生報考大學達到優秀科目的個數設為，則所有可能的取值為，
；
；
；
；
隨機變量的分布列：
；
該考生更有希望進入大學的面試環節，，即，
解得：，的范圍為.
【變式1】（多選）（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】由題意得
.
因為函數在上單調遞增，且，所以，故A錯誤；
因為，故BC正確；
所以，
則，故D錯誤.
故選：BC
【變式2】（2024上·河南·高二校聯考期末）一臺機器由于使用時間較長，生產的零件有可能會產生次品.設該機器生產零件的尺寸為，且規定尺寸為正品，其余的為次品.現從該機器生產的零件中隨機抽取100件做質量分析，作出的頻率分布直方圖如圖.
(1)試估計該機器生產的零件的平均尺寸；
(2)如果將每5件零件打包成一箱，若每生產一件正品可獲利30元，每生產一件次品虧損80元.若隨機取一箱零件，求這箱零件的期望利潤.
【答案】(1)
(2)40元
【詳解】（1）生產線生產的產品平均尺寸為：.
（2）次品的尺寸范圍，
故生產線生產的產品次品率為.
設生產一箱零件（5件）中的正品數為，正品率為，
故，則.
設生產一箱零件獲利為元，
則，
則（元），
所以這箱零件的期望利潤為40元.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）某種植戶對一塊地上的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發芽的概率均為，且每粒種子是否發芽相互獨立.如果每個坑內至少有兩粒種子發芽，則不需要進行補種，否則需要補種.
(1)當n取何值時，有4個坑需要補種的概率最大？最大概率為多少？
(2)當時，用X表示要補種的坑的個數，求X的分布列及數學期望.
【答案】(1)當或時，有4個坑要補種的概率最大，最大概率
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）由題意可知每個坑要補種的概率，則n個坑中有4個坑要補種的概率為.
欲使最大，只需
解得.因為，所以.
當時，，當時，，
所以當或時，有4個坑要補種的概率最大，最大概率.
（2）易知X的取值范圍為，且，則
,，
,，
,,
所以X的分布列為:
X 0 1 2 3 4 5
P
.
【變式4】（2024上·安徽·高三合肥市第八中學校聯考開學考試）某公司使用甲、乙兩臺機器生產芯片，已知每天甲機器生產的芯片占產量的六成，且合格率為；乙機器生產的芯片占產量的四成，且合格率為，已知兩臺機器生產芯片的質量互不影響. 現對某天生產的芯片進行抽樣.
(1)從所有芯片中任意抽取一個，求該芯片是不合格品的概率；
(2)現采用有放回的方法隨機抽取3個芯片，記其中由乙機器生產的芯片的數量為，求的分布列以及數學期望.
【答案】(1)0.056
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）記事件表示芯片來自甲機器生產，事件表示芯片來自乙機器生產，事件表示取到的是合格品；
則
.
（2）由題意得，，
故，
所以的分布列為
0 1 2 3
故.
題型05超幾何分布
【典例1】（2024下·全國·高二隨堂練習）盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現從盒中隨機抽取4個，則概率是的事件為（ ）
A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的
C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的
【答案】C
【詳解】對于A，事件的概率為；
對于B，事件的概率為；
對于C，事件的概率為；
對于D，事件的概率為.
故選：C.
【典例2】（多選）（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習）已知隨機變量的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．甲每次射擊命中的概率為0.6，甲連續射擊10次的命中次數滿足此分布列
D．一批產品共有10件，其中6件正品，4件次品，從10件產品中無放回地隨機抽取4件，抽到的正品的件數滿足此分布列
【答案】ABD
【詳解】對于A:，正確;
對于B：
，正確;
對于C：由每次射擊相互獨立，選項滿足二項分布，而題干中X為超幾何分布，錯誤;
對于D：由超幾何分布的定義，則正確.
故選：ABD.
【典例3】（2024上·廣東潮州·高三統考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業，推動潮州菜產業發展，是潮州美食產業的又一里程碑．為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進行問卷調查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區間，，，，內，統計結果如頻率分布直方圖所示．
(1)根據頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區間的數據用該區間數據的中點值為代表）；
(2)為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調查，求抽到滿意度評分位于的人數的分布列和數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數學期望為.
【詳解】（1）根據頻率分布直方圖得：
．
（2）由題意可知，和的頻率之比為：，
故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，
隨機變量的取值可以為，
，，
，，
故的分布列為：
0 1 2 3
所以.
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）某市教師培訓中心對2022年暑假教師培訓進行總體評價，有1200名教師參與打分（滿分10分），根據所得數據分為，，，，，六個組，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中的值，并求這1200份打分的平均數（同一組中的數據用該組的中點值作代表）；
(2)若培訓中心將在打分中的教師中用分層抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人進行面談，記表示打分在的人數，求的分布列和數學期望．
【答案】(1)，
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）由于各組數據頻率之和為1，即，則，
故平均數為：
.
所以圖中的值為0.25，這1200份打分的平均數為7.35.
（2）采用分層抽樣抽取的9名教師中有3名在內，6名在內，
則的可能取值為0，1，2，3，
則，，
，，
即的分布列為
0 1 2 3
所以．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）一個袋子中100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量表示樣本中黃球的個數，則服從（ ）
A．二項分布，且 B．兩點分布，且
C．超幾何分布，且 D．超幾何分布，且
【答案】C
【詳解】解：由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，所以由超幾何分布得定義得服從超幾何分布，所以.
故選：C
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）在一次運動會上，某單位派出了名主力隊員和名替隊員組成代表隊參加比賽.如果隨機抽派名隊員上場，則主力隊員多于替補隊員的概率為 .
【答案】
【詳解】將主力隊員上場的人數記為，
則，，
則所求概率為
.
故答案為：
【變式3】（2024上·廣東揭陽·高三統考期末）為增強學生體質，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，記錄他們在規定時間內的進球個數，將所得數據分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：
(1)估計全班同學的平均進球個數．（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
(2)現按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數在，，內的同學中抽取8人進行培訓，再從中抽取3人做進一步培訓．
（?。┯涍@3人中進球個數在的人數為X，求X的分布列與數學期望；
（ⅱ）已知抽取的這3人的進球個數不全在同一區間，求這3人的進球個數在不同區間的概率．
【答案】(1)
(2)（?。┓植剂幸娊馕?，；（ⅱ）
【詳解】（1）該班同學的平均進球個數:
．
（2）由題意可知進球個數在，，內的頻率分別為0.16，0.32，0.16，
頻率比為；
所以抽取的8人中，進球個數在，，內的人數分別為2，4，2．
（?。┯深}意可知，，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以．
（ⅱ）記事件“抽取的3人的進球個數不全在同一區間”，
事件“抽取的這3人的進球個數在不同區間”，
則，，
所以，
即這3個人的進球個數在不同區間的概率為．
【變式4】（2024·全國·高二假期作業）2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基本法某中學培養學生知法懂法，組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果，現從高一，高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績（單位：分），繪制成如圖所示的莖葉圖：
根據學生的競賽成績，將其分為四個等級：
測試成績（單位：分）
等級 合格 中等 良好 優秀
（1）從樣本中任取2名同學的競賽成績，在成績為優秀的情況下，求這2名同學來自同一個年級的概率；
（2）現從樣本中成績為良好的學生中隨機抽取3人座談，記為抽到高二年級的人數，求的分布列，數學期望與方差.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，，.
【詳解】（1）記事件為“從樣本中任取2名同學的競賽成績為優秀”，事件為“這兩個同學來自同一個年級”，則，.
所以在成績為優秀的情況下，這2個同學來自同一個年級的概率為
.
（2）由題意的可能取值為0，1，2，3.
，，，.
所以的分布列為：
0 1 2 3
數學期望為：
.
題型06正態分布
【典例1】（2024上·河南南陽·高二校聯考期末）為了檢測自動包裝線生產的罐裝咖啡，檢驗員每天從生產線上隨機抽取罐咖啡，并測量其質量（單位：）.由于存在各種不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的質量與標準質量之間存在一定的誤差，已知這條包裝線在正常狀態下，每罐咖啡的質量服從正態分布.假設生產狀態正常，記表示每天抽取的罐咖啡中質量在之外的罐數，若的數學期望，則的最小值為（ ）
附：若隨機變量服從正態分布，則.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【詳解】因為，所以，
故，
所以，解得，
因為，故的最小值為11.
故選：B.
【典例2】（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？计谀┪覀儗⒎亩椃植嫉碾S機變量稱為二項隨機變量，服從正態分布的隨機變量稱為正態隨機變量.概率論中有一個重要的結論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態隨機變量來近似地替代，且正態隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數學家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時這個結論是成立的，法國數學家 物理學家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個結論對任意的實數都成立，因此人們把這個結論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次，利用正態分布估算硬幣正面向上次數不少于1200次的概率為（ ）
（附：若，則，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
【答案】B
【詳解】拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次，設硬幣正面向上的次數為，
則
由題意，且，
因為，即，
所以利用正態分布估算硬幣正面向上次數不少于1200次的概率為.
故選：B.
【典例3】（2024·新疆烏魯木齊·統考一模）在工業生產中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內，則至少為 ；（若，則）
【答案】0.1/
【詳解】若，則）
因為工業生產中軸承的直徑服從，
所以，則，
由，
得，
則要使拒絕的概率控制在之內，則至少為.
故答案為：##
【典例4】（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┪覈豢萍脊旧a的手機前幾年的零部件嚴重依賴進口，2019年某大國對其實施限制性策略，該公司啟動零部件國產替代計劃，與國內產業鏈上下游企業開展深度合作，共同推動產業發展．2023年9月該公司最新發布的智能手機零部件本土制造比例達到」90%，以公司與一零部件制造公司合作生產某手機零部件，為提高零部件質量，該公司通過資金扶持與技術扶持，幫助制造公司提高產品質量和競爭力，同時派本公司技術人員進廠指導，并每天隨機從生產線上抽取一批零件進行質量檢測．下面是某天從生產線上抽取的10個零部件的質量分數（總分1000分，分數越高質量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假設該生產線生產的零部件的質量分數X近似服從正態分布，并把這10個樣本質量分數的平均數作為的值．
參考數據：若，則．
(1)求的值；
(2)估計該生產線上生產的1000個零部件中，有多少個零部件的質量分數低于940？
(3)若從該生產線上隨機抽取n個零件中恰有個零部件的質量分數在內，則n為何值時，的值最大？
【答案】(1)
(2)160
(3)
【詳解】（1），
所以．
（2）由（1）知，，
．
該生產線上生產的1000個零部件中，質量分數低于940的個數約為
．
（3）每個零部件的質量分數在內的概率為，
由題意可知，
則，
設（），
則，
令，得，
所以當時，，
令，得，
所以當時，，
所以時，最大，故使最大的n的值為14．
【變式1】（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）已知隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【答案】A
【詳解】由題意得，得，
則，所以，
故選:.
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究應用與推廣，發明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全，農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態分布，其密度曲線函數為，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．該地水稻的平均株高為
B．該地水稻株高的方差為100
C．隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．隨機測量一株水稻，其株高在和在（單位：cm）的概率一樣大
【答案】C
【詳解】依題意，
所以平均數為，方差為，所以AB選項正確.
依題意，
而，即，所以C選項錯誤.
，所以D選項正確.
故選：C
【變式3】（2024·四川內江·統考一模）某汽車公司最近研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試.現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
根據大量的測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似地服從正態分布，用樣本平均數和標準差分別作為、的近似值，其中樣本標準差的近似值為50，現任取一輛汽車，則它的單次最大續航里程的概率為 .
（參考數據：若隨機變量，則，，）
【答案】
【詳解】
，
故，
.
故答案為：
【變式4】（2024上·湖南衡陽·高三統考期末）已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質量（單位：）服從正態分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質量（單位：）.
(1)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取2袋，設這2袋中質量不小于的袋數為，求的分布列；
(2)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選?。檎麛担┐涃|量在的袋數為，求滿足的的最大值.
【答案】(1)分布列見解析
(2)199
【詳解】（1）依題意可得，
則，
的可能取值為，
，，
所以的分布列為
0 1 2
0.25 0.5 0.25
（2）因為，所以.
依題意可得，
所以.
因為，所以，又為正整數，所以的最大值為199.
題型07正態分布的實際應用
【典例1】（2024上·江蘇揚州·高三統考期末）某保險公司有一款保險產品，該產品今年保費為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設該保險產品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為，記10000名客戶中獲得賠償的人數為.
(1)求，并計算該公司今年這一款保險產品利潤的期望；
(2)二項分布是離散型的，而正態分布是連續型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項分布的試驗次數的增加，二項分布折線圖與正態分布曲線幾乎一致，所以當試驗次數較大時，可以利用正態分布處理二項分布的相關概率計算問題，我們知道若，則，當較大且較小時，我們為了簡化計算，常用的值估算的值.
請根據上述信息，求：
①該公司今年這一款保險產品利潤為50~100萬元的概率；
②該公司今年這一款保險產品虧損的概率.
參考數據：若，則.
【答案】(1)，75萬元
(2)①0.683；②0.0015
【詳解】（1）由題可知，
則，
記該公司今年這一款保險產品利潤為變量，則，
所以萬元.
（2）因為，當較大且較小時，，則.
由于較大，，其中，
若該公司今年這一款保險產品利潤，則，
；
若該公司今年這一款保險產品利潤，則，
.
答：（1），該公司今年這一款保險產品利潤的期望為75萬元；
（2）①該公司今年這一款保險產品利潤為萬元的概率為0.683；
②虧損的概率為0.0015.
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）全面建設社會主義現代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強．某市為了解當地農村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入x（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數（同一組的數據用該組區間中點值代表）．
(2)由直方圖可認為農戶家庭年收入近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，其中.
①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數？（結果保留整數）
②如果用該地區農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數為，求．（結果精確到0.001）
附：①；②若，則，；③．
【答案】(1)8
(2)①317戶；②
【詳解】（1）解：這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數.
（2）①農戶家庭年收入近似服從正態分布.
因為，
所以.
因為，
所以這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數為317.
②年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數服從二項分布.
所以.
【變式1】（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
計算得：.
(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.
記事件：在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區間.
①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差，求；
②護林員在做數據統計時，得出了如下結論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下，求，并判斷護林員的結論是否正確，說明理由.
參考公式：若，
則.
參考數據：.
【答案】(1)，.
(2)①；②，護林員給出的結論是錯誤的，理由見解析.
【詳解】（1）樣本均值，
樣本方差
.
（2）①由題意可得，樹干直徑（單位：近似服從正態分布.
在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區間的概率是，所以.
②若樹干直徑近似服從正態分布，
在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區間的概率是，則.
此時事件發生的概率遠小于①中根據測量結果得出的概率估計值.
事件是一個小概率事件，但是第一次隨機選取的12棵生長了4年的紅松樹，事件發生了，所以認為護林員給出的結論是錯誤的.
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）2023年中秋國慶雙節期間，我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點，為方便統計，時間段記作區間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數進行初步處理，已知，時間段內的車輛數的頻數如下表：
時間段
頻數 100 300 m n
(1)現對數據進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數為，求的分布列與期望；
(2)由大數據分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數（結果四舍五入保留到整數）.
參考數據：若，則①；②；③.
【答案】(1)分布列見解析，期望為
(2)
【詳解】（1）因為，，所以，.
由分層隨機抽樣可知，抽取的10輛車中，在9：00~9：40通過的車輛數位于時間段，這兩個區間內的車輛數為，
車輛數的可能取值為0，1，2，3，4，
，，，
，，
所以X的分布列為
所以.
（2）這1000輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值，即9：04，
，
所以.
估計在這一時間段內通過的車輛數，也就是通過的車輛數，
工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，
，
所以估計在這一時間段內通過的車輛數為.
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