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人教A版數學(選擇性必修三講義)第16講7.5正態分布(學生版+解析)

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人教A版數學(選擇性必修三講義)第16講7.5正態分布(學生版+解析)

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第08講 7.5 正態分布
課程標準 學習目標
①通過誤差模型初步了解服從正態分布 的隨機變量的特點。 ②并能通過具體的實例,借助頻率直方圖的幾何直觀性,了解正態分布的特征,了解正態密度函數的性質。 ③了解正態分布的均值、方差及含義。 ④了解 原則,能通過具體的實例求會求指定區間的概率,以及解決簡單的正態分布問題.。 通過本節課的學習,要求在了解正態分布的含義基礎上,能解決與正態分布相關的問題,根據正態密度曲線的對稱性,增減性,求特定區間的概率,相應的參數及解決簡單的正態分布的應用問題。
知識點1:正態曲線
(1)連續型隨機變量
除了離散型隨機變量外,還有大量問題中的隨機變量不是離散型的,它們的取值往往充滿某個區間甚至整個實軸,但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量.
(2)正態的曲線的定義
函數,其中,為參數.
顯然對于任意,,它的圖象在軸的上方,可以證明軸和曲線之間的區域的面積為1,我們稱為正態密度函數,稱它的圖象為正態分布密度曲線,簡稱正態曲線.
①函數的自變量為,定義域為
②解析式中含有兩個常數和,這兩個是無理數,其中為圓周率,為自然對數的底數
③解析式中含兩個參數和,其中可取任意實數,,不同的正態曲線和的取值是不同的.
④解析式的前面是一個系數,后面是一個以為底的指數函數的形式,指數為,其中這個參數在解析式中的兩個位置出現,注意保持一致.
(3)正態曲線的幾何意義
由正態曲線,過點和點的兩條軸的垂線,及軸所圍成的平面圖形(圖中陰影部分)的面積,就是落在區間的概率的近似值.
(4)正態曲線的特點
①曲線位于軸上方,與軸不相交;
②曲線是單峰的,它關于直線對稱;
③曲線在時達到峰值;
④當時,曲線上升;當時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以軸為漸近線,向它無限靠近.
⑤曲線與軸之間的面積為1;
⑥決定曲線的位置和對稱性;
當一定時,曲線的對稱軸位置由確定;如下圖所示,曲線隨著的變化而沿軸平移。
⑦確定曲線的形狀;
當一定時,曲線的形狀由確定。越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散。
知識點2:正態分布
(1)正態分布
若隨機變量的概率密度函數為,(,其中,為參數),稱隨機變量服從正態分布,記為.
【即學即練1】(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量,若,則等于( )
A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9
【答案】A
【詳解】由題意知,正態曲線的對稱軸為,與關于對稱,
所以.
所以.
故選:A.
(2)標準正態分布
若隨機變量,則當,時,稱隨機變量服從標準正態分布,標準正態分布的密度函數解析式為,,其相應的密度曲線稱為標準正態曲線.
【即學即練2】(2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學??计谀┌Ⅵ紊蠈W有時坐公交車,有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布,其密度曲線如圖所示,則以下結論錯誤的是( )

A.Y的數據較X更集中
B.若有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大
C.若有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大
D.
【答案】D
【詳解】觀察圖象知,,
對于A,的密度曲線瘦高、的密度曲線矮胖,即隨機變量的標準差小于的標準差,即,
因此Y的數據較X更集中,A正確;
對于B,顯然,則當有34min可用時,坐公交車不遲到的概率大,B正確;
對于C,顯然,則當有38min可用時,騎自行車不遲到的概率大,C正確;
對于D,顯然,因此,D錯誤.
故選:D
知識點3:正態分布的原則:正態分布在三個特殊區間的概率值
假設,可以證明:對給定的是一個只與有關的定值.
特別地,,

.
上述結果可用右圖表示.
此看到,盡管正態變量的取值范圍是,但在一次試驗中,的值幾乎總是落在區間內,而在此區間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發生.
在實際應用中,通常認為服從于正態分布的隨機變量只取中的值,這在統計學中稱為原則.
【即學即練3】(2024上·遼寧遼陽·高二統考期末)某市高三年級男生的身高(單位:)近似服從正態分布,現在該市隨機選擇一名高三男生,則他的身高位于內的概率(結果保留三位有效數字)是( )參考數據:,,.
A. B. C. D.
【答案】A
【詳解】由題意可知,,,
所以.
故選:A
題型01正態密度函數
【典例1】(2024·全國·高三專題練習)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究應用與推廣,發明了“三系法”秈型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,創建了超級雜交稻技術體系,為我國糧食安全,農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高,得出株高(單位:)服從正態分布,其密度曲線函數為,,則下列說法錯誤的是( )
A.該地水稻的平均株高為
B.該地水稻株高的方差為100
C.隨機測量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D.隨機測量一株水稻,其株高在和在(單位:cm)的概率一樣大
【典例2】(2024·全國·高二假期作業)某市組織了一次高二調研考試,考試后統計的數學成績服從正態分布,其密度函數, x∈(-∞,+∞),則下列命題不正確的是
A.該市這次考試的數學平均成績為80分
B.分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同
C.分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同
D.該市這次考試的數學成績標準差為10
【典例3】(2024·全國·高三專題練習)如圖,若一個隨機變量X服從某正態分布,且已知函數的圖象及部分重要點的坐標如圖,則該組隨機變量的數學期望 ,方差 .
【變式1】(2024·全國·高二假期作業)已知三個正態分布密度函數的圖象如圖所示,則下列結論正確的是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
【變式2】(多選)(2024·全國·高三專題練習)18世紀30年代,數學家棣莫弗發現,如果隨機變量X服從二項分布,那么當n比較大時,可視為X服從正態分布,其密度函數,.任意正態分布,可通過變換轉化為標準正態分布(且).當時,對任意實數x,記,則( )
A.
B.當時,
C.隨機變量,當減小,增大時,概率保持不變
D.隨機變量,當,都增大時,概率單調增大
【變式3】(多選)(2024·全國·高三專題練習)已知某批零件的長度誤差服從正態分布,其密度函數的曲線如圖所示,若從中隨機取一件,
則下列結論正確的是( ).
(附:若隨機變量服從正態分布,則,,.
A.
B.長度誤差落在內的概率為0.6826
C.長度誤差落在內的概率為0.1359
D.長度誤差落在內的概率為0.1599
題型02概率分布曲線的認識
【典例1】(2024·全國·高二假期作業)設隨機變量服從正態分布,的分布密度曲線如圖所示,若,則與分別為( )
A. B. C. D.
【典例2】(2024·全國·高二假期作業)已知三個正態密度函數(,)的圖像如圖所示,則( )
A., B.,
C., D.,
【典例3】(2023下·高二課時練習)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態分布,,其相應的分布密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是( )
(注:正態曲線的函數解析式為,)
A.甲類水果的平均質量
B.乙類水果的質量比甲類水果的質量更集中于均值左右
C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量大
D.乙類水果的質量服從的正態分布的參數
【變式1】(2024·全國·高三專題練習)李明上學有時坐公交車,有時騎自行車,他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,經數據分析得到,假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布,.X和Y的分布密度曲線如圖所示.則下列結果正確的是( )
A. B.
C. D.
【變式2】(2024·全國·高二假期作業)設,,這兩個正態分布密度曲線如圖所示,下列結論中正確的是( )
A. B.
C. D.
【變式3】(多選)(2023上·全國·高三專題練習)某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件,零件的尺寸分別記為X,Y,已知X,Y均服從正態分布,,其正態曲線如圖所示,則下列結論中正確的是( )

A.甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值
B.甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值
C.甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
D.甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
題型03標準正態分布的應用
【典例1】(2023下·江蘇淮安·高二??茧A段練習)我省高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成,將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A,B+,B,C+,C,D+,D,E共8個等級,參照正態分布原則,確定各等級人數所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%,選考科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內的考生原始成績,依照等比例轉換法則,分別轉換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八個分數區間,得到考生的等級成績,如果某次高考模擬考試物理科目的原始成績,那么D等級的原始分最高大約為(  )
附:①若,,則;
②當時,.
A.23 B.29 C.26 D.43
【典例2】(多選)(2023下·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習)已知隨機變量X服從正態分布,定義函數為X取值不超過x的概率,即.若,則( )
A. B.
C.在上是減函數 D.
【典例3】(2024·山西·校聯考模擬預測)2020年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人.2019年7月份以來,共完成1931個志愿服務項目,8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時.為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度,隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長(單位:小時),并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差(同一組中的數據用該組區間的中間值代表);
(2)由直方圖可以認為,目前該地志愿者每月服務時長服從正態分布,其中近似為樣本平均數,近似為樣本方差.一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算:若,令,則,且.
(?。├弥狈綀D得到的正態分布,求;
(ⅱ)從該地隨機抽取20名志愿者,記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數,求(結果精確到0.001)以及的數學期望.
參考數據:,.若,則.
【變式1】(2024·全國·高二假期作業)《山東省高考改革試點方案》規定:2020年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成,將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、,B、、C、、D、E共8個等級,參照正態分布原則,確定各等級人數所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%、16%、7%、3%,選考科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內的考生原始成績,依照等比例轉換法則,分別轉換到,,、、、、、、八個分數區間,得到考生的等級成績,如果山東省某次高考模擬考試物理科目的原始成績~,那么D等級的原始分最高大約為( )
附:①若~,,則Y~;②當Y~時,.
A.23 B.29 C.36 D.43
【變式2】(多選)(2023下·高二課時練習)若隨機變量,,其中,下列等式成立的有( )
A. B.
C. D.
【變式3】(多選)(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量X~N(0,1),,其中x>0,則下列等式成立的有( )
A.f(-x)=1-f(x) B.
C.f(x)在(0,+∞)上是單調增函數 D.
題型04 特殊區間的概率
【典例1】(2024·全國·模擬預測)某早餐店發現加入網絡平臺后,每天小籠包的銷售量(單位:個),估計300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是( )
(若隨機變量,則,,)
A.236 B.246 C.270 D.275
【典例2】(2024上·黑龍江·高二校聯考期末)已知某批產品的質量指標服從正態分布,其中的產品為“可用產品”,則在這批產品中任取1件,抽到“可用產品”的概率約為 .
參考數據:若,則.
【典例3】(2024·全國·高三專題練習)某公司定期對流水線上的產品進行質量檢測,以此來判定產品是否合格可用.已知某批產品的質量指標服從正態分布,其中的產品為“可用產品”,則在這批產品中任取1件,抽到“可用產品”的概率約為 .
參考數據:若,則,,.
【變式1】(多選)(2024上·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習)已知隨機變量X服從正態分布,則下列選項正確的是(參考數值:隨機變量服從正態分布,則( )
,,)
A. B.
C. D.
【變式2】(2024·四川內江·統考一模)某汽車公司最近研發了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試.現對測試數據進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
根據大量的測試數據,可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似地服從正態分布,用樣本平均數和標準差分別作為、的近似值,其中樣本標準差的近似值為50,現任取一輛汽車,則它的單次最大續航里程的概率為 .
(參考數據:若隨機變量,則,,)
【變式3】(2024上·湖南長沙·高三長郡中學??计谀┠呈薪y計高中生身體素質的狀況,規定身體素質指標值不小于60就認為身體素質合格.現從全市隨機抽取 100名高中生的身體素質指標值, 經計算,.若該市高中生的身體素質指標值服從正態分布,則估計該市高中生身體素質的合格率為 .(用百分數作答,精確到0.1%)
參考數據:若隨機變量X服從正態分布,則,,.
題型05指定區間的概率
【典例1】(2024·重慶·統考一模)已知某社區居民每周運動總時間為隨機變量(單位:小時),且,.現從該社區中隨機抽取3名居民,則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為( )
A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748
【典例2】(2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯考期末)己知隨機變量,則( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7
【典例3】(2024·全國·模擬預測)已知隨機變量X服從正態分布,若,則 .
【變式1】(2024上·河南焦作·高二統考期末)已知隨機變量,且,則( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【變式2】(多選)(2024上·廣西桂林·高二統考期末)某市對歷年來新生兒體重情況進行統計,發現新生兒體重,則下列結論正確的是( )
A.該正態分布的均值為 B.
C. D.
【變式3】(2024·全國·模擬預測)已知隨機變量服從正態分布,且,則 .
題型06正態分布的實際應用
【典例1】(2024上·江西九江·高二統考期末)某工廠生產一批零件,其直徑,現在抽取10000件進行檢查,則直徑在之間的零件大約有 件.
(注:)
【典例2】(2024·全國·高三專題練習)2023年國家公務員考試筆試于1月8日結束,公共科目包括行政職業能力測驗和申論兩科,滿分均為100分,行政職業能力測驗中,考生成績X服從正態分.若,則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生,恰有2名考生的成績高于85的概率為 .
【典例3】(2024上·全國·高三期末)據相關機構調查表明我國中小學生身體健康狀況不容忽視,多項身體指標(如肺活量 柔 度 力量 速度 耐力等)自2000年起呈下降趨勢,并且下降趨勢明顯,在國家的積極干預下,這種狀況得到遏制,并向好的方向發展,到2019年中小學生在肺活量 柔 度 力量 速度 而力等多項指標出現好轉,但肥胖 近視等問題依然嚴重,體育事業任重道遠.某初中學校為提高學生身體素質,日常組織學生參加中短跑鍛煉,學校在一次百米短跑測試中,抽取200名女生作為樣本,統計她們的成績(單位:秒),整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區間包含左端點,不包含右端點).

(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數;(同一組的數據用該組區間的中點值為代表)
(2)由頻率分布直方圖,可以認為該校女生的短跑成績,其中近似為女生短跑平均成績近似為樣本方差,經計算得,若從該校女生中隨機抽取10人,記其中短跑成績在內的人數為,求(結果保留2個有效數字).
附參考數據:,隨機變量服從正態分布,則.
【變式1】(2024上·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習)某中學開展學生數學素養測評活動,高一年級測評分值近似服從正態分布.為了調查參加測評的學生數學學習的方法與習慣差異,該中學決定在分數段內抽取學生,且.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值如下:56,62,63,65,66,68,70,71,72,73,75,76,76,78,80,81,83,86,88,93.則該班抽取學生分數在分數段內的人數為 人
(附:,,)
【變式2】(2024上·江蘇揚州·高三統考期末)某保險公司有一款保險產品,該產品今年保費為200元/人,賠付金額為5萬元/人.假設該保險產品的客戶為10000名,每人被賠付的概率均為,記10000名客戶中獲得賠償的人數為.
(1)求,并計算該公司今年這一款保險產品利潤的期望;
(2)二項分布是離散型的,而正態分布是連續型的,它們是不同的概率分布,但是,隨著二項分布的試驗次數的增加,二項分布折線圖與正態分布曲線幾乎一致,所以當試驗次數較大時,可以利用正態分布處理二項分布的相關概率計算問題,我們知道若,則,當較大且較小時,我們為了簡化計算,常用的值估算的值.
請根據上述信息,求:
①該公司今年這一款保險產品利潤為50~100萬元的概率;
②該公司今年這一款保險產品虧損的概率.
參考數據:若,則.
【變式3】(2024上·海南省直轄縣級單位·高三??茧A段練習)紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶,耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹,為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況,從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹,并測量了它們的樹干直徑(單位:厘米),如下表:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
計算得:.
(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.
記事件:在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑都位于區間.
①用(1)中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差,求;
②護林員在做數據統計時,得出了如下結論:生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下,求,并判斷護林員的結論是否正確,說明理由.
參考公式:若,
則.
參考數據:.
題型07 原則
【典例1】(2024下·全國·高三期末)某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動,并對每一關根據難度進行賦分,競猜活動共五關,規定:上一關不通過則不進入下一關,本關第一次未通過有再挑戰一次的機會,兩次均未通過,則闖關失敗,且各關能否通過相互獨立,已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.
(1)若甲第一關通過的概率為,第二關通過的概率為,求甲可以進入第三關的概率;
(2)已知該闖關活動累計得分服從正態分布,且滿分為450分,現要根據得分給共2500名參加者中得分前400名發放獎勵.
①假設該闖關活動平均分數為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問甲能否獲得獎勵,請說明理由;
②丙得知他的分數為430分,而乙告訴丙:“這次闖關活動平均分數為201分,351分以上共有57人”,請結合統計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真偽.
附:若隨機變量,則;;.
【典例2】(2023下·江蘇徐州·高二統考期中)電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業、可變形的UEG地球聯合政府機械設備,均出自中國工程機械領導者品牌—徐工集團.電影中有很多硬核的裝備,其實并不是特效,而是用國產尖端裝備設計改造出來的,許多的裝備都能在現實中尋找到原型.現集團某車間新研發了一臺設備,集團對新設備的具體要求是:零件內徑(單位:mm)在范圍之內的產品為合格品,否則為次品;零件內徑X滿足正態分布.
(1)若該車間對新設備安裝調試后,試生產了5個零件,測量其內徑(單位:mm)分別為:199.87,199.91,199.99,200.13,200.19,如果你是該車間的負責人,試根據3σ原則判斷這臺設備是否需要進一步調試?并說明你的理由.
(2)若該設備符合集團的生產要求,現對該設備生產的10000個零件進行跟蹤調查.
①10000個零件中大約有多少個零件的內徑可以超過200.12mm?
②10000個零件中的次品的個數最有可能是多少個?
參考數據:
若隨機變量,則,,
,,.
【典例3】(2023·廣東湛江·統考一模)某工廠一臺設備生產一種特定零件,工廠為了解該設備的生產情況,隨機抽檢了該設備在一個生產周期中的100件產品的關鍵指標(單位:),經統計得到下面的頻率分布直方圖:
(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關鍵指標的平均數和方差.(用每組的中點代表該組的均值)
(2)已知這臺設備正常狀態下生產零件的關鍵指標服從正態分布,用直方圖的平均數估計值作為的估計值,用直方圖的標準差估計值s作為估計值.
(i)為了監控該設備的生產過程,每個生產周期中都要隨機抽測10個零件的關鍵指標,如果關鍵指標出現了之外的零件,就認為生產過程可能出現了異常,需停止生產并檢查設備.下面是某個生產周期中抽測的10個零件的關鍵指標:
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用和判斷該生產周期是否需停止生產并檢查設備.
(ii)若設備狀態正常,記X表示一個生產周期內抽取的10個零件關鍵指標在之外的零件個數,求及X的數學期望.
參考公式:直方圖的方差,其中為各區間的中點,為各組的頻率.
參考數據:若隨機變量X服從正態分布,則,,,,.
【變式1】(2024·全國·高三專題練習)某公司定期對流水線上的產品進行質量檢測,以此來判定產品是否合格可用.已知某批產品的質量指標服從正態分布,其中的產品為“可用產品”,則在這批產品中任取1件,抽到“可用產品”的概率約為 .
參考數據:若,則,,.
【變式2】(2023下·福建泉州·高二??计谥校┠耻囬g生產一批零件,現從中隨機抽取個零件,測量其內徑的數據如下(單位:):
.
設這個數據的平均值為,標準差為.
(1)求與;
(2)假設這批零件的內徑(單位:)服從正態分布.從這批零件中隨機抽取個,設這個零件中內徑小于的個數為,求.
參考數據:若,則,,.
【變式3】(2023下·江蘇南京·高二南京外國語學校??计谥校┬赂呖几母锖蠼K省采用“”高考模式,“3”指的是語文、數學、外語,這三門科目是必選的;“1”指的是要在物理、歷史里選一門;“2”指考生要在生物學、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.
(1)若按照“”模式選科,求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數;
(2)某教育部門為了調查學生語數外三科成績,現從當地不同層次的學校中抽取高一學生4000名參加語數外的網絡測試、滿分450分,假設該次網絡測試成績服從正態分布.
①估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有多少人;
②某校對外宣傳“我校200人參與此次網絡測試,有10名同學獲得425分以上的高分”,請結合統計學知識分析上述宣傳語的可信度.
附:,,.
題型08根據正態曲線的對稱性求參數
【典例1】(2024·全國·高二假期作業)設隨機變量X服從正態分布,若,則( )
A. B. C. D.1
【典例2】(2024·全國·模擬預測)設隨機變量服從正態分布,若,且,則 .
【典例3】(2024·全國·高三專題練習)已知隨機變量,且,若,則的最小值為 .
【變式1】(2024上·廣西北?!じ叨y考期末)已知隨機變量,且,則( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
【變式2】(多選)(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量ξ服從正態分布,若,則下列結論正確的為( )
A. B.
C. D.
【變式3】(2024下·全國·高二隨堂練習)某工廠生產一批零件(單位:),其尺寸服從正態分布,且,,則 .
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
1.(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量,若,則等于( )
A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9
2.(2024·全國·高三專題練習)已知隨機變量服從正態分布,且,則等于( )
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.3
3.(2024上·遼寧遼陽·高二統考期末)某市高三年級男生的身高(單位:)近似服從正態分布,現在該市隨機選擇一名高三男生,則他的身高位于內的概率(結果保留三位有效數字)是( )參考數據:,,.
A. B. C. D.
4.(2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學??计谀┌Ⅵ紊蠈W有時坐公交車,有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布,其密度曲線如圖所示,則以下結論錯誤的是( )

A.Y的數據較X更集中
B.若有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大
C.若有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大
D.
5.(2024·全國·高二假期作業)據統計2023年“五一”假期哈爾濱太陽島每天接待的游客人數X服從正態分布,則在此期間的某一天,太陽島接待的人數不少于1800的概率為( )
附:,,,
A.0.4987 B.0.8413 C.0.9773 D.0.9987
6.(2024·重慶·統考一模)已知某社區居民每周運動總時間為隨機變量(單位:小時),且,.現從該社區中隨機抽取3名居民,則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為( )
A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748
7.(2024上·廣西北?!じ叨y考期末)已知隨機變量,且,則( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
8.(2024·全國·模擬預測)據統計,某快遞公司的200名快遞員每人每月派送的快遞件數X服從正態分布,且,若每月派送的快遞件數不低于4000的快遞員有60人,則每月派送的快遞件數在(2000,3000)的快遞員人數為( )
A.40 B.60 C.70 D.80
二、多選題
9.(2024上·廣西桂林·高二統考期末)某市對歷年來新生兒體重情況進行統計,發現新生兒體重,則下列結論正確的是( )
A.該正態分布的均值為 B.
C. D.
10.(2024下·全國·高二隨堂練習)某工廠有甲乙兩條生產線生產同一型號的機械零件,產品的尺寸分別記為,已知均服從正態分布,,其正態分布密度曲線如圖所示,則下列結論中正確的是( )
A.甲生產線產品的穩定性高于乙生產線產品的穩定性
B.甲生產線產品的穩定性低于乙生產線產品的穩定性
C.甲生產線的產品尺寸平均值等于乙生產線的產品尺寸平均值
D.甲生產線的產品尺寸平均值小于乙生產線的產品尺寸平均值
三、填空題
11.(2024上·江西九江·高二統考期末)某工廠生產一批零件,其直徑,現在抽取10000件進行檢查,則直徑在之間的零件大約有 件.
(注:)
12.(2024上·湖南常德·高三常德市一中??茧A段練習)某中學開展學生數學素養測評活動,高一年級測評分值近似服從正態分布.為了調查參加測評的學生數學學習的方法與習慣差異,該中學決定在分數段內抽取學生,且.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值如下:56,62,63,65,66,68,70,71,72,73,75,76,76,78,80,81,83,86,88,93.則該班抽取學生分數在分數段內的人數為 人
(附:,,)
四、解答題
13.(2024上·全國·高三期末)大氣污染是指大氣中污染物質的濃度達到有害程度,以至破壞生態系統和人類正常生存和發展的條件,對人和物造成危害的現象.某環境保護社團組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座,并在講座后對參會人員就講座內容進行知識測試,從中隨機抽取了100份試卷,將這100份試卷的成績(單位:分,滿分100分)整理得如下頻率分布直方圖(同一組中的數據以該組區間的中點值為代表).

(1)根據頻率分布直方圖確定的值,再求出這100份樣本試卷成績的眾數和75%分位數(精確到0.1);
(2)根據頻率分布直方圖可認為此次測試的成績近似服從正態分布,其中近似為樣本平均數,近似為樣本的標準差,約為6.75.用樣本估計總體,假設有84.14%的參會人員的測試成績不低于測試前預估的平均成績,求測試前預估的平均成績大約為多少分(精確到0.1)
參考數據:若,則,,.
14.(2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末)我國一科技公司生產的手機前幾年的零部件嚴重依賴進口,2019年某大國對其實施限制性策略,該公司啟動零部件國產替代計劃,與國內產業鏈上下游企業開展深度合作,共同推動產業發展.2023年9月該公司最新發布的智能手機零部件本土制造比例達到」90%,以公司與一零部件制造公司合作生產某手機零部件,為提高零部件質量,該公司通過資金扶持與技術扶持,幫助制造公司提高產品質量和競爭力,同時派本公司技術人員進廠指導,并每天隨機從生產線上抽取一批零件進行質量檢測.下面是某天從生產線上抽取的10個零部件的質量分數(總分1000分,分數越高質量越好):928、933、945、950、959、967、967、975、982、994.假設該生產線生產的零部件的質量分數X近似服從正態分布,并把這10個樣本質量分數的平均數作為的值.
參考數據:若,則.
(1)求的值;
(2)估計該生產線上生產的1000個零部件中,有多少個零部件的質量分數低于940?
(3)若從該生產線上隨機抽取n個零件中恰有個零部件的質量分數在內,則n為何值時,的值最大?
B能力提升
1.(2024上·江蘇揚州·高三統考期末)某保險公司有一款保險產品,該產品今年保費為200元/人,賠付金額為5萬元/人.假設該保險產品的客戶為10000名,每人被賠付的概率均為,記10000名客戶中獲得賠償的人數為.
(1)求,并計算該公司今年這一款保險產品利潤的期望;
(2)二項分布是離散型的,而正態分布是連續型的,它們是不同的概率分布,但是,隨著二項分布的試驗次數的增加,二項分布折線圖與正態分布曲線幾乎一致,所以當試驗次數較大時,可以利用正態分布處理二項分布的相關概率計算問題,我們知道若,則,當較大且較小時,我們為了簡化計算,常用的值估算的值.
請根據上述信息,求:
①該公司今年這一款保險產品利潤為50~100萬元的概率;
②該公司今年這一款保險產品虧損的概率.
參考數據:若,則.
2.(2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯考期末)某旅游城市推出“一票通”景區旅游年卡,持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市所有簽約景區.為了解市民每年旅游消費支出情況(單位:百元),相關部門對已游覽某簽約景區的游客進行隨機問卷調查,并把得到的數據列成如表所示的頻數分布表:
旅游消費支出
頻數 12 388 452 138 10
(1)根據樣本數據,可認為市民的旅游費用支出服從正態分布,若該市總人口為700萬人,試估計有多少市民每年旅游費用支出在7000元以上;
(2)若年旅游消費支出在40(百元)以上的游客一年內會繼續來該簽約景區游玩.現從游客中隨機抽取3人,一年內繼續來該簽約景區游玩記2分,不來該景點游玩記1分,將上述調查所得的頻率視為概率,且游客之間的選擇意愿相互獨立,求3人總得分為4分的概率.
(參考數據:)
3.(2024上·海南省直轄縣級單位·高三??茧A段練習)紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶,耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹,為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況,從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹,并測量了它們的樹干直徑(單位:厘米),如下表:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
計算得:.
(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.
記事件:在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑都位于區間.
①用(1)中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差,求;
②護林員在做數據統計時,得出了如下結論:生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下,求,并判斷護林員的結論是否正確,說明理由.
參考公式:若,
則.
參考數據:.
4.(2024下·全國·高二隨堂練習)2023年中秋國慶雙節期間,我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節期間車輛出行的高峰情況,在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內通過的車輛數,統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點,為方便統計,時間段記作區間,記作,記作,記作,對通過該收費點的車輛數進行初步處理,已知,時間段內的車輛數的頻數如下表:
時間段
頻數 100 300 m n
(1)現對數據進一步分析,采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機抽取4輛,設抽到的4輛車中在9:00~9:40通過的車輛數為,求的分布列與期望;
(2)由大數據分析可知,工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻,其中可用(1)中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數據用該組區間的中點值代表),已知某天共有800輛車通過該收費點,估計在之間通過的車輛數(結果四舍五入保留到整數).
參考數據:若,則①;②;③.
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第08講 7.5 正態分布
課程標準 學習目標
①通過誤差模型初步了解服從正態分布 的隨機變量的特點。 ②并能通過具體的實例,借助頻率直方圖的幾何直觀性,了解正態分布的特征,了解正態密度函數的性質。 ③了解正態分布的均值、方差及含義。 ④了解 原則,能通過具體的實例求會求指定區間的概率,以及解決簡單的正態分布問題.。 通過本節課的學習,要求在了解正態分布的含義基礎上,能解決與正態分布相關的問題,根據正態密度曲線的對稱性,增減性,求特定區間的概率,相應的參數及解決簡單的正態分布的應用問題。
知識點1:正態曲線
(1)連續型隨機變量
除了離散型隨機變量外,還有大量問題中的隨機變量不是離散型的,它們的取值往往充滿某個區間甚至整個實軸,但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量.
(2)正態的曲線的定義
函數,其中,為參數.
顯然對于任意,,它的圖象在軸的上方,可以證明軸和曲線之間的區域的面積為1,我們稱為正態密度函數,稱它的圖象為正態分布密度曲線,簡稱正態曲線.
①函數的自變量為,定義域為
②解析式中含有兩個常數和,這兩個是無理數,其中為圓周率,為自然對數的底數
③解析式中含兩個參數和,其中可取任意實數,,不同的正態曲線和的取值是不同的.
④解析式的前面是一個系數,后面是一個以為底的指數函數的形式,指數為,其中這個參數在解析式中的兩個位置出現,注意保持一致.
(3)正態曲線的幾何意義
由正態曲線,過點和點的兩條軸的垂線,及軸所圍成的平面圖形(圖中陰影部分)的面積,就是落在區間的概率的近似值.
(4)正態曲線的特點
①曲線位于軸上方,與軸不相交;
②曲線是單峰的,它關于直線對稱;
③曲線在時達到峰值;
④當時,曲線上升;當時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以軸為漸近線,向它無限靠近.
⑤曲線與軸之間的面積為1;
⑥決定曲線的位置和對稱性;
當一定時,曲線的對稱軸位置由確定;如下圖所示,曲線隨著的變化而沿軸平移。
⑦確定曲線的形狀;
當一定時,曲線的形狀由確定。越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散。
知識點2:正態分布
(1)正態分布
若隨機變量的概率密度函數為,(,其中,為參數),稱隨機變量服從正態分布,記為.
【即學即練1】(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量,若,則等于( )
A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9
【答案】A
【詳解】由題意知,正態曲線的對稱軸為,與關于對稱,
所以.
所以.
故選:A.
(2)標準正態分布
若隨機變量,則當,時,稱隨機變量服從標準正態分布,標準正態分布的密度函數解析式為,,其相應的密度曲線稱為標準正態曲線.
【即學即練2】(2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學校考期末)阿鑫上學有時坐公交車,有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布,其密度曲線如圖所示,則以下結論錯誤的是( )

A.Y的數據較X更集中
B.若有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大
C.若有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大
D.
【答案】D
【詳解】觀察圖象知,,
對于A,的密度曲線瘦高、的密度曲線矮胖,即隨機變量的標準差小于的標準差,即,
因此Y的數據較X更集中,A正確;
對于B,顯然,則當有34min可用時,坐公交車不遲到的概率大,B正確;
對于C,顯然,則當有38min可用時,騎自行車不遲到的概率大,C正確;
對于D,顯然,因此,D錯誤.
故選:D
知識點3:正態分布的原則:正態分布在三個特殊區間的概率值
假設,可以證明:對給定的是一個只與有關的定值.
特別地,,
,
.
上述結果可用右圖表示.
此看到,盡管正態變量的取值范圍是,但在一次試驗中,的值幾乎總是落在區間內,而在此區間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發生.
在實際應用中,通常認為服從于正態分布的隨機變量只取中的值,這在統計學中稱為原則.
【即學即練3】(2024上·遼寧遼陽·高二統考期末)某市高三年級男生的身高(單位:)近似服從正態分布,現在該市隨機選擇一名高三男生,則他的身高位于內的概率(結果保留三位有效數字)是( )參考數據:,,.
A. B. C. D.
【答案】A
【詳解】由題意可知,,,
所以.
故選:A
題型01正態密度函數
【典例1】(2024·全國·高三專題練習)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究應用與推廣,發明了“三系法”秈型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,創建了超級雜交稻技術體系,為我國糧食安全,農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高,得出株高(單位:)服從正態分布,其密度曲線函數為,,則下列說法錯誤的是( )
A.該地水稻的平均株高為
B.該地水稻株高的方差為100
C.隨機測量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D.隨機測量一株水稻,其株高在和在(單位:cm)的概率一樣大
【答案】C
【詳解】依題意,
所以平均數為,方差為,所以AB選項正確.
依題意,
而,即,所以C選項錯誤.
,所以D選項正確.
故選:C
【典例2】(2024·全國·高二假期作業)某市組織了一次高二調研考試,考試后統計的數學成績服從正態分布,其密度函數, x∈(-∞,+∞),則下列命題不正確的是
A.該市這次考試的數學平均成績為80分
B.分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同
C.分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同
D.該市這次考試的數學成績標準差為10
【答案】B
【詳解】密度函數,
該市這次考試的數學平均成績為80分
該市這次考試的數學標準差為10,
從圖形上看,它關于直線對稱,
且50與110也關于直線對稱,
故分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同.
故選B.
【典例3】(2024·全國·高三專題練習)如圖,若一個隨機變量X服從某正態分布,且已知函數的圖象及部分重要點的坐標如圖,則該組隨機變量的數學期望 ,方差 .
【答案】 5 1
【詳解】由圖可知,當時,有最大值為,
所以,
所以,所以,,
故答案為:5;1.
【變式1】(2024·全國·高二假期作業)已知三個正態分布密度函數的圖象如圖所示,則下列結論正確的是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
【答案】B
【詳解】根據正態分布密度函數中參數的意義,
結合圖象可知,對稱軸位置相同,所以可得;
且都在的右側,即,
比較和圖像可得,其形狀相同,即,
又的離散程度比和大,所以可得;
故選:B
【變式2】(多選)(2024·全國·高三專題練習)18世紀30年代,數學家棣莫弗發現,如果隨機變量X服從二項分布,那么當n比較大時,可視為X服從正態分布,其密度函數,.任意正態分布,可通過變換轉化為標準正態分布(且).當時,對任意實數x,記,則( )
A.
B.當時,
C.隨機變量,當減小,增大時,概率保持不變
D.隨機變量,當,都增大時,概率單調增大
【答案】AC
【詳解】對于A,根據正態曲線的對稱性可得:,故A正確;
對于B, 當時,,故B錯誤;
對于C,D,根據正態分布的準則,在正態分布中代表標準差,代表均值,
即為圖象的對稱軸,根據原則可知數值分布在中的概率為0.6826,是常數,
故由可知,C正確,D錯誤,
故選:AC
【變式3】(多選)(2024·全國·高三專題練習)已知某批零件的長度誤差服從正態分布,其密度函數的曲線如圖所示,若從中隨機取一件,
則下列結論正確的是( ).
(附:若隨機變量服從正態分布,則,,.
A.
B.長度誤差落在內的概率為0.6826
C.長度誤差落在內的概率為0.1359
D.長度誤差落在內的概率為0.1599
【答案】ABC
【詳解】由圖中密度函數解析式,可得,A選項正確;
又由圖像可知,
則長度誤差落在內的概率為
,B選項正確;
長度誤差落在內的概率為
,C選項正確;
長度誤差落在內的概率為
,D選項錯誤;
故選:ABC.
題型02概率分布曲線的認識
【典例1】(2024·全國·高二假期作業)設隨機變量服從正態分布,的分布密度曲線如圖所示,若,則與分別為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】根據題意,且,則,
由正態曲線得,所以.
故選:C.
【典例2】(2024·全國·高二假期作業)已知三個正態密度函數(,)的圖像如圖所示,則( )
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【詳解】由題圖中的對稱軸知:,
與 (一樣)瘦高,而胖矮,
所以.
故選:C
【典例3】(2023下·高二課時練習)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態分布,,其相應的分布密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是( )
(注:正態曲線的函數解析式為,)
A.甲類水果的平均質量
B.乙類水果的質量比甲類水果的質量更集中于均值左右
C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量大
D.乙類水果的質量服從的正態分布的參數
【答案】A
【詳解】由題圖可知甲圖象關于直線對稱,乙圖象關于直線對稱,
所以,,,故A正確,C錯誤;
因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”(曲線越“高瘦”,越小,表示總體的分布越集中),
所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于均值左右,故B錯誤;
因為乙圖象的最高點為,即,所以,故D錯誤.
故選:A.
【變式1】(2024·全國·高三專題練習)李明上學有時坐公交車,有時騎自行車,他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,經數據分析得到,假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布,.X和Y的分布密度曲線如圖所示.則下列結果正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【詳解】對于A中,隨機變量服從正態分布,且,
可得隨機變量的方差為,即,所以A錯誤;
對于B中,根據給定的正態分布密度曲線圖像,可得隨機變量,
所以,所以B錯誤;
對于C中,根據正態分布密度曲線圖像,可得時,隨機變量對應的曲線與圍成的面積小于時隨機變量對應的曲線與圍成的面積,
所以,所以C正確;
對于D中,根據正態分布密度曲線圖像,可得,,
即,所以D錯誤.
故選:C.
【變式2】(2024·全國·高二假期作業)設,,這兩個正態分布密度曲線如圖所示,下列結論中正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【詳解】因為,,兩曲線分別關于對稱,
所以由圖可知,,所以A錯誤,
因為的分布曲線“高瘦”,的分布曲線“矮胖”,
所以 ,所以B錯誤,
所以,,
所以C錯誤,D正確,
故選:D
【變式3】(多選)(2023上·全國·高三專題練習)某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件,零件的尺寸分別記為X,Y,已知X,Y均服從正態分布,,其正態曲線如圖所示,則下列結論中正確的是( )

A.甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值
B.甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值
C.甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
D.甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
【答案】AC
【詳解】X,Y均服從正態分布,,
結合正態密度函數的圖象可知,可得,,
故甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值,故A正確,B錯誤;
甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性,故C正確,D錯誤.
故選:AC
題型03標準正態分布的應用
【典例1】(2023下·江蘇淮安·高二??茧A段練習)我省高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成,將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A,B+,B,C+,C,D+,D,E共8個等級,參照正態分布原則,確定各等級人數所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%,選考科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內的考生原始成績,依照等比例轉換法則,分別轉換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八個分數區間,得到考生的等級成績,如果某次高考模擬考試物理科目的原始成績,那么D等級的原始分最高大約為( ?。?br/>附:①若,,則;
②當時,.
A.23 B.29 C.26 D.43
【答案】C
【詳解】由題意知:從低到高,即E到D等級人數所占比例為,
若D等級的原始分最高為,則,又,
所以,而,
所以,即,可得分.
故選:C
【典例2】(多選)(2023下·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習)已知隨機變量X服從正態分布,定義函數為X取值不超過x的概率,即.若,則( )
A. B.
C.在上是減函數 D.
【答案】AD
【詳解】因為隨機變量X服從正態分布,
所以,A正確;
,因為,所以,
所以不可能,B不正確;
因為,所以當增大時,也增大,C不正確;
,D正確.
故選:AD.
【典例3】(2024·山西·校聯考模擬預測)2020年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人.2019年7月份以來,共完成1931個志愿服務項目,8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時.為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度,隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長(單位:小時),并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差(同一組中的數據用該組區間的中間值代表);
(2)由直方圖可以認為,目前該地志愿者每月服務時長服從正態分布,其中近似為樣本平均數,近似為樣本方差.一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算:若,令,則,且.
(?。├弥狈綀D得到的正態分布,求;
(ⅱ)從該地隨機抽取20名志愿者,記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數,求(結果精確到0.001)以及的數學期望.
參考數據:,.若,則.
【答案】(1)9,1.64;(2)(?。?.7734,(ⅱ)0.994,4.532.
【詳解】解:(1).

(2)(?。┯深}知,,所以,.
所以.
(ⅱ)由(?。┲?,可得.

故的數學期望.
【變式1】(2024·全國·高二假期作業)《山東省高考改革試點方案》規定:2020年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成,將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、,B、、C、、D、E共8個等級,參照正態分布原則,確定各等級人數所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%、16%、7%、3%,選考科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內的考生原始成績,依照等比例轉換法則,分別轉換到,,、、、、、、八個分數區間,得到考生的等級成績,如果山東省某次高考模擬考試物理科目的原始成績~,那么D等級的原始分最高大約為( )
附:①若~,,則Y~;②當Y~時,.
A.23 B.29 C.36 D.43
【答案】B
【詳解】由題意知:~則有,
設D等級的原始分最高大約為x,對應的等級分為40 ,而等級分40
∴有原始分
而,由對稱性知
∴有,即
故選:B
【變式2】(多選)(2023下·高二課時練習)若隨機變量,,其中,下列等式成立的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【詳解】對于A選項,利用正態密度曲線的對稱性可知,
所以,,A對;
對于B選項,,B錯;
對于C選項,
,C對;
對于D選項,,D對.
故選:ACD.
【變式3】(多選)(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量X~N(0,1),,其中x>0,則下列等式成立的有( )
A.f(-x)=1-f(x) B.
C.f(x)在(0,+∞)上是單調增函數 D.
【答案】ACD
【詳解】因為隨機變量服從正態分布,所以正態曲線關于直線對稱.
對于,因為,所以,故正確;
對于,當時,,而,故錯誤:
對于,結合正態曲線,易得在上是單調增函數,故正確;
對于,故正確.
故選:ACD
題型04 特殊區間的概率
【典例1】(2024·全國·模擬預測)某早餐店發現加入網絡平臺后,每天小籠包的銷售量(單位:個),估計300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是( )
(若隨機變量,則,,)
A.236 B.246 C.270 D.275
【答案】B
【詳解】由題可知,,,所以300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是天.
故選:B.
【典例2】(2024上·黑龍江·高二校聯考期末)已知某批產品的質量指標服從正態分布,其中的產品為“可用產品”,則在這批產品中任取1件,抽到“可用產品”的概率約為 .
參考數據:若,則.【答案】0.84/
【詳解】由題意知,該產品服從,則,
所以

即抽到“可用產品”的概率為0.84,
故答案為:0.84
【典例3】(2024·全國·高三專題練習)某公司定期對流水線上的產品進行質量檢測,以此來判定產品是否合格可用.已知某批產品的質量指標服從正態分布,其中的產品為“可用產品”,則在這批產品中任取1件,抽到“可用產品”的概率約為 .
參考數據:若,則,,.
【答案】0.84/
【詳解】由題意知,該產品服從,則,
所以

又,
,
所以,
所以,
即.
所以抽到“可用產品”的概率為.
故答案為:0.84.
【變式1】(多選)(2024上·湖南長沙·高三雅禮中學??茧A段練習)已知隨機變量X服從正態分布,則下列選項正確的是(參考數值:隨機變量服從正態分布,則( )
,,)
A. B.
C. D.
【答案】AC
【詳解】∵隨機變量X服從正態分布,
正態曲線關于直線對稱,且,,從而A正確,B錯誤,
根據題意可得,,,
∴,故C正確;
與不關于直線對稱,故D錯誤.
故選:AC.
【變式2】(2024·四川內江·統考一模)某汽車公司最近研發了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試.現對測試數據進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
根據大量的測試數據,可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似地服從正態分布,用樣本平均數和標準差分別作為、的近似值,其中樣本標準差的近似值為50,現任取一輛汽車,則它的單次最大續航里程的概率為 .
(參考數據:若隨機變量,則,,)
【答案】
【詳解】

故,
.
故答案為:
【變式3】(2024上·湖南長沙·高三長郡中學??计谀┠呈薪y計高中生身體素質的狀況,規定身體素質指標值不小于60就認為身體素質合格.現從全市隨機抽取 100名高中生的身體素質指標值, 經計算,.若該市高中生的身體素質指標值服從正態分布,則估計該市高中生身體素質的合格率為 .(用百分數作答,精確到0.1%)
參考數據:若隨機變量X服從正態分布,則,,.
【答案】
【詳解】因為100個數據,,,…,的平均值,
方差,
所以的估計值為,的估計值為.
設該市高中生的身體素質指標值為X,
由, 得,
所以.
故答案為:.
題型05指定區間的概率
【典例1】(2024·重慶·統考一模)已知某社區居民每周運動總時間為隨機變量(單位:小時),且,.現從該社區中隨機抽取3名居民,則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為( )
A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748
【答案】B
【詳解】由題意得,則,
則,
則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為,
故選:B.
【典例2】(2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯考期末)己知隨機變量,則( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7
【答案】C
【詳解】由,,則,
故.
故選:C.
【典例3】(2024·全國·模擬預測)已知隨機變量X服從正態分布,若,則 .
【答案】0.4/
【詳解】由可得,
則,故,
所以.
故答案為:0.4.
【變式1】(2024上·河南焦作·高二統考期末)已知隨機變量,且,則( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【答案】B
【詳解】根據正態分布曲線的對稱性,
可得.
故選:B.
【變式2】(多選)(2024上·廣西桂林·高二統考期末)某市對歷年來新生兒體重情況進行統計,發現新生兒體重,則下列結論正確的是( )
A.該正態分布的均值為 B.
C. D.
【答案】AB
【詳解】因為,
對于A選項,該正態分布的均值為,A對;
對于B選項,,B對;
對于C選項,,C錯;
對于D選項,由正態密度曲線的對稱性可知,,D錯.
故選:AB.
【變式3】(2024·全國·模擬預測)已知隨機變量服從正態分布,且,則 .
【答案】0.2
【詳解】隨機變量服從正態分布,可得到對稱軸為,
又由,則,
所以.
故答案為:
題型06正態分布的實際應用
【典例1】(2024上·江西九江·高二統考期末)某工廠生產一批零件,其直徑,現在抽取10000件進行檢查,則直徑在之間的零件大約有 件.
(注:)
【答案】
【詳解】滿足正態分布,

直徑在之間的零件大約有件.
故答案為:
【典例2】(2024·全國·高三專題練習)2023年國家公務員考試筆試于1月8日結束,公共科目包括行政職業能力測驗和申論兩科,滿分均為100分,行政職業能力測驗中,考生成績X服從正態分.若,則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生,恰有2名考生的成績高于85的概率為 .
【答案】/
【詳解】由正態分布可得:考生的成績高于85的概率,
所以恰有2名考生的成績高于85的概率.
故答案為:.
【典例3】(2024上·全國·高三期末)據相關機構調查表明我國中小學生身體健康狀況不容忽視,多項身體指標(如肺活量 柔 度 力量 速度 耐力等)自2000年起呈下降趨勢,并且下降趨勢明顯,在國家的積極干預下,這種狀況得到遏制,并向好的方向發展,到2019年中小學生在肺活量 柔 度 力量 速度 而力等多項指標出現好轉,但肥胖 近視等問題依然嚴重,體育事業任重道遠.某初中學校為提高學生身體素質,日常組織學生參加中短跑鍛煉,學校在一次百米短跑測試中,抽取200名女生作為樣本,統計她們的成績(單位:秒),整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區間包含左端點,不包含右端點).

(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數;(同一組的數據用該組區間的中點值為代表)
(2)由頻率分布直方圖,可以認為該校女生的短跑成績,其中近似為女生短跑平均成績近似為樣本方差,經計算得,若從該校女生中隨機抽取10人,記其中短跑成績在內的人數為,求(結果保留2個有效數字).
附參考數據:,隨機變量服從正態分布,則.
【答案】(1)16.16
(2)0.073
【詳解】(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數為:
.
(2)由題意知,
則,
故該校女生短跑成績在內的概率,
由題意可得,
所以,
,
所以.
【變式1】(2024上·湖南常德·高三常德市一中??茧A段練習)某中學開展學生數學素養測評活動,高一年級測評分值近似服從正態分布.為了調查參加測評的學生數學學習的方法與習慣差異,該中學決定在分數段內抽取學生,且.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值如下:56,62,63,65,66,68,70,71,72,73,75,76,76,78,80,81,83,86,88,93.則該班抽取學生分數在分數段內的人數為 人
(附:,,)
【答案】11
【詳解】因為,,

,即,
由已知,該班在內抽取了11人,
他們的分數為68,70,71,72,73,75,76,76,78,80,81.
故答案為:11.
【變式2】(2024上·江蘇揚州·高三統考期末)某保險公司有一款保險產品,該產品今年保費為200元/人,賠付金額為5萬元/人.假設該保險產品的客戶為10000名,每人被賠付的概率均為,記10000名客戶中獲得賠償的人數為.
(1)求,并計算該公司今年這一款保險產品利潤的期望;
(2)二項分布是離散型的,而正態分布是連續型的,它們是不同的概率分布,但是,隨著二項分布的試驗次數的增加,二項分布折線圖與正態分布曲線幾乎一致,所以當試驗次數較大時,可以利用正態分布處理二項分布的相關概率計算問題,我們知道若,則,當較大且較小時,我們為了簡化計算,常用的值估算的值.
請根據上述信息,求:
①該公司今年這一款保險產品利潤為50~100萬元的概率;
②該公司今年這一款保險產品虧損的概率.
參考數據:若,則.
【答案】(1),75萬元
(2)①0.683;②0.0015
【詳解】(1)由題可知,
則,
記該公司今年這一款保險產品利潤為變量,則,
所以萬元.
(2)因為,當較大且較小時,,則.
由于較大,,其中,
若該公司今年這一款保險產品利潤,則,
;
若該公司今年這一款保險產品利潤,則,
.
答:(1),該公司今年這一款保險產品利潤的期望為75萬元;
(2)①該公司今年這一款保險產品利潤為萬元的概率為0.683;
②虧損的概率為0.0015.
【變式3】(2024上·海南省直轄縣級單位·高三??茧A段練習)紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶,耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹,為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況,從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹,并測量了它們的樹干直徑(單位:厘米),如下表:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
計算得:.
(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.
記事件:在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑都位于區間.
①用(1)中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差,求;
②護林員在做數據統計時,得出了如下結論:生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下,求,并判斷護林員的結論是否正確,說明理由.
參考公式:若,
則.
參考數據:.
【答案】(1),.
(2)①;②,護林員給出的結論是錯誤的,理由見解析.
【詳解】(1)樣本均值,
樣本方差
.
(2)①由題意可得,樹干直徑(單位:近似服從正態分布.
在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑位于區間的概率是,所以.
②若樹干直徑近似服從正態分布,
在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑位于區間的概率是,則.
此時事件發生的概率遠小于①中根據測量結果得出的概率估計值.
事件是一個小概率事件,但是第一次隨機選取的12棵生長了4年的紅松樹,事件發生了,所以認為護林員給出的結論是錯誤的.
題型07 原則
【典例1】(2024下·全國·高三期末)某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動,并對每一關根據難度進行賦分,競猜活動共五關,規定:上一關不通過則不進入下一關,本關第一次未通過有再挑戰一次的機會,兩次均未通過,則闖關失敗,且各關能否通過相互獨立,已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.
(1)若甲第一關通過的概率為,第二關通過的概率為,求甲可以進入第三關的概率;
(2)已知該闖關活動累計得分服從正態分布,且滿分為450分,現要根據得分給共2500名參加者中得分前400名發放獎勵.
①假設該闖關活動平均分數為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問甲能否獲得獎勵,請說明理由;
②丙得知他的分數為430分,而乙告訴丙:“這次闖關活動平均分數為201分,351分以上共有57人”,請結合統計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真偽.
附:若隨機變量,則;;.
【答案】(1)
(2)①能,理由見解析②假
【詳解】(1)設:第i次通過第一關,:第i次通過第二關,甲可以進入第三關的概率為,由題意知
.
(2)設此次闖關活動的分數記為.①由題意可知,因為,且,
所以,則;而,
且,
所以前400名參賽者的最低得分高于,而甲的得分為270分,所以甲能夠獲得獎勵;
②假設乙所說為真,則,

而,所以,從而,
而,
所以為小概率事件,即丙的分數為430分是小概率事件,可認為其一般不可能發生,但卻又發生了,所以可認為乙所說為假.
【典例2】(2023下·江蘇徐州·高二統考期中)電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業、可變形的UEG地球聯合政府機械設備,均出自中國工程機械領導者品牌—徐工集團.電影中有很多硬核的裝備,其實并不是特效,而是用國產尖端裝備設計改造出來的,許多的裝備都能在現實中尋找到原型.現集團某車間新研發了一臺設備,集團對新設備的具體要求是:零件內徑(單位:mm)在范圍之內的產品為合格品,否則為次品;零件內徑X滿足正態分布.
(1)若該車間對新設備安裝調試后,試生產了5個零件,測量其內徑(單位:mm)分別為:199.87,199.91,199.99,200.13,200.19,如果你是該車間的負責人,試根據3σ原則判斷這臺設備是否需要進一步調試?并說明你的理由.
(2)若該設備符合集團的生產要求,現對該設備生產的10000個零件進行跟蹤調查.
①10000個零件中大約有多少個零件的內徑可以超過200.12mm?
②10000個零件中的次品的個數最有可能是多少個?
參考數據:
若隨機變量,則,,
,,.
【答案】(1)這臺設備需要進一步調試,理由見解析
(2)①225件;②30
【詳解】(1)方法1:因為,
所以,
即,
所以五個零件的內徑中恰有1個不在的概率為,
又因為試產的5個零件中內徑出現了1個不在內,所以小概率事件出現了,根據原則,這臺設備需要進一步調試.
方法2:因為,
故至少有1個次品的概率為.
又因為試產的5個零件中內徑出現了1個不在內,所以小概率事件出現了,根據原則,這臺設備需要進一步調試.
(2)①因為,,
所以,
生產的10000件零件中內徑超過200.12mm的件數Y服從二項分布B(10000,0.0225),
則.
答:大約有225件零件的內徑可以超過200.12mm.
②次品的概率為
,
抽取10000個零件進行檢測,設次品數為,則,其中,
故,設次品數最可能是k件,
則,
即,
即,
解得.
因為,所以,,故.
從而10000件零件中的次品數最可能是30.
答:這10000件零件中的次品數最可能是30.
【典例3】(2023·廣東湛江·統考一模)某工廠一臺設備生產一種特定零件,工廠為了解該設備的生產情況,隨機抽檢了該設備在一個生產周期中的100件產品的關鍵指標(單位:),經統計得到下面的頻率分布直方圖:
(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關鍵指標的平均數和方差.(用每組的中點代表該組的均值)
(2)已知這臺設備正常狀態下生產零件的關鍵指標服從正態分布,用直方圖的平均數估計值作為的估計值,用直方圖的標準差估計值s作為估計值.
(i)為了監控該設備的生產過程,每個生產周期中都要隨機抽測10個零件的關鍵指標,如果關鍵指標出現了之外的零件,就認為生產過程可能出現了異常,需停止生產并檢查設備.下面是某個生產周期中抽測的10個零件的關鍵指標:
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用和判斷該生產周期是否需停止生產并檢查設備.
(ii)若設備狀態正常,記X表示一個生產周期內抽取的10個零件關鍵指標在之外的零件個數,求及X的數學期望.
參考公式:直方圖的方差,其中為各區間的中點,為各組的頻率.
參考數據:若隨機變量X服從正態分布,則,,,,.
【答案】(1)
(2)(i)需停止生產并檢查設備;(ii),
【詳解】(1)由頻率分布直方圖,得.

(2)(i)由(1)可知,,
所以,,
顯然抽查中的零件指標,故需停止生產并檢查設備.
(ii)抽測一個零件關鍵指標在之內的概率為,
所以抽測一個零件關鍵指標在之外的概率為,
故,所以,
X的數學期望.
【變式1】(2024·全國·高三專題練習)某公司定期對流水線上的產品進行質量檢測,以此來判定產品是否合格可用.已知某批產品的質量指標服從正態分布,其中的產品為“可用產品”,則在這批產品中任取1件,抽到“可用產品”的概率約為 .
參考數據:若,則,,.
【答案】0.84/
【詳解】由題意知,該產品服從,則,
所以

又,
,
所以,
所以,
即.
所以抽到“可用產品”的概率為.
故答案為:0.84.
【變式2】(2023下·福建泉州·高二??计谥校┠耻囬g生產一批零件,現從中隨機抽取個零件,測量其內徑的數據如下(單位:):
.
設這個數據的平均值為,標準差為.
(1)求與;
(2)假設這批零件的內徑(單位:)服從正態分布.從這批零件中隨機抽取個,設這個零件中內徑小于的個數為,求.
參考數據:若,則,,.
【答案】(1),
(2)
【詳解】(1)解:,
,則.
(2)解:由(1)可知,,則,
所以,,
由題意可知,,則,
由期望的性質可得.
【變式3】(2023下·江蘇南京·高二南京外國語學校??计谥校┬赂呖几母锖蠼K省采用“”高考模式,“3”指的是語文、數學、外語,這三門科目是必選的;“1”指的是要在物理、歷史里選一門;“2”指考生要在生物學、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.
(1)若按照“”模式選科,求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數;
(2)某教育部門為了調查學生語數外三科成績,現從當地不同層次的學校中抽取高一學生4000名參加語數外的網絡測試、滿分450分,假設該次網絡測試成績服從正態分布.
①估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有多少人;
②某校對外宣傳“我校200人參與此次網絡測試,有10名同學獲得425分以上的高分”,請結合統計學知識分析上述宣傳語的可信度.
附:,,.
【答案】(1)
(2)①人;②不可信.
【詳解】(1)甲乙兩個學生必選語文、數學、外語,
若另一門相同的選擇物理、歷史中的一門,有種,在生物學、化學、思想政治、地理4門中甲乙選擇不同的2門,則,即種;
若另一門相同的選擇生物學、化學、思想政治、地理4門中的一門,則有種,
所以甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數共種方法.
(2)①設此次網絡測試的成績記為X,則,
由題知,,,,
則,
所以,
所以估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有人;
②不可信.
,
則,
4000名學生中成績大于420分的約有人,
這說明4000名考生中,也會出現約5人的成績高于420分的“極端”樣本,
所以說“某校200人參與此次網絡測試,有10名同學獲得425分以上的高分”,
說法錯誤,此宣傳語不可信.
題型08根據正態曲線的對稱性求參數
【典例1】(2024·全國·高二假期作業)設隨機變量X服從正態分布,若,則( )
A. B. C. D.1
【答案】B
【詳解】由題意隨機變量X服從正態分布,即正態分布曲線關于對稱,
因為,
故,
故選:B
【典例2】(2024·全國·模擬預測)設隨機變量服從正態分布,若,且,則 .
【答案】3
【詳解】因為,所以.
又因為,則,所以.
故答案為:3.
【典例3】(2024·全國·高三專題練習)已知隨機變量,且,若,則的最小值為 .
【答案】
【詳解】,可得正態分布曲線的對稱軸為,
又,,即.
則,
當且僅當,即時,等號成立.
故答案為:.
【變式1】(2024上·廣西北?!じ叨y考期末)已知隨機變量,且,則( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
【答案】B
【詳解】由隨機變量,所以函數曲線關于直線對稱,
又,且,所以.
故選:B
【變式2】(多選)(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量ξ服從正態分布,若,則下列結論正確的為( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【詳解】因為,根據正態分布的對稱性,可知,,故A正確;
根據對稱性可知,,故B錯誤;
因為,所以,故C錯誤;
根據對稱性可知,,故D正確.
故選:AD
【變式3】(2024下·全國·高二隨堂練習)某工廠生產一批零件(單位:),其尺寸服從正態分布,且,,則 .
【答案】
【詳解】因為服從正態分布,且,,
則,
所以,.
故答案為:.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
1.(2024·全國·高三專題練習)設隨機變量,若,則等于( )
A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9
【答案】A
【詳解】由題意知,正態曲線的對稱軸為,與關于對稱,
所以.
所以.
故選:A.
2.(2024·全國·高三專題練習)已知隨機變量服從正態分布,且,則等于( )
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.3
【答案】D
【詳解】因服從正態分布,且,故,
于是
故選:D.
3.(2024上·遼寧遼陽·高二統考期末)某市高三年級男生的身高(單位:)近似服從正態分布,現在該市隨機選擇一名高三男生,則他的身高位于內的概率(結果保留三位有效數字)是( )參考數據:,,.
A. B. C. D.
【答案】A
【詳解】由題意可知,,,
所以.
故選:A
4.(2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學校考期末)阿鑫上學有時坐公交車,有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布,其密度曲線如圖所示,則以下結論錯誤的是( )

A.Y的數據較X更集中
B.若有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大
C.若有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大
D.
【答案】D
【詳解】觀察圖象知,,
對于A,的密度曲線瘦高、的密度曲線矮胖,即隨機變量的標準差小于的標準差,即,
因此Y的數據較X更集中,A正確;
對于B,顯然,則當有34min可用時,坐公交車不遲到的概率大,B正確;
對于C,顯然,則當有38min可用時,騎自行車不遲到的概率大,C正確;
對于D,顯然,因此,D錯誤.
故選:D
5.(2024·全國·高二假期作業)據統計2023年“五一”假期哈爾濱太陽島每天接待的游客人數X服從正態分布,則在此期間的某一天,太陽島接待的人數不少于1800的概率為( )
附:,,,
A.0.4987 B.0.8413 C.0.9773 D.0.9987
【答案】C
【詳解】依題意,,
.
故選:C
6.(2024·重慶·統考一模)已知某社區居民每周運動總時間為隨機變量(單位:小時),且,.現從該社區中隨機抽取3名居民,則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為( )
A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748
【答案】B
【詳解】由題意得,則,
則,
則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為,
故選:B.
7.(2024上·廣西北?!じ叨y考期末)已知隨機變量,且,則( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
【答案】B
【詳解】由隨機變量,所以函數曲線關于直線對稱,
又,且,所以.
故選:B
8.(2024·全國·模擬預測)據統計,某快遞公司的200名快遞員每人每月派送的快遞件數X服從正態分布,且,若每月派送的快遞件數不低于4000的快遞員有60人,則每月派送的快遞件數在(2000,3000)的快遞員人數為( )
A.40 B.60 C.70 D.80
【答案】A
【詳解】由題意知,每月派送的快遞件數不低于4000的快遞員所占比例為,
故每月派送的快遞件數在的快遞員所占比例為,
故每月派送的快遞件數在的快遞員人數為人.
故選:A.
二、多選題
9.(2024上·廣西桂林·高二統考期末)某市對歷年來新生兒體重情況進行統計,發現新生兒體重,則下列結論正確的是( )
A.該正態分布的均值為 B.
C. D.
【答案】AB
【詳解】因為,
對于A選項,該正態分布的均值為,A對;
對于B選項,,B對;
對于C選項,,C錯;
對于D選項,由正態密度曲線的對稱性可知,,D錯.
故選:AB.
10.(2024下·全國·高二隨堂練習)某工廠有甲乙兩條生產線生產同一型號的機械零件,產品的尺寸分別記為,已知均服從正態分布,,其正態分布密度曲線如圖所示,則下列結論中正確的是( )
A.甲生產線產品的穩定性高于乙生產線產品的穩定性
B.甲生產線產品的穩定性低于乙生產線產品的穩定性
C.甲生產線的產品尺寸平均值等于乙生產線的產品尺寸平均值
D.甲生產線的產品尺寸平均值小于乙生產線的產品尺寸平均值
【答案】AC
【詳解】由圖可知,甲乙兩條生產線產品尺寸的平均值相等,甲的正態分布密度曲線瘦高,
即甲生產線產品尺寸的方差更小,故甲生產線產品的穩定性高于乙生產線產品的穩定性,
故選:AC.
三、填空題
11.(2024上·江西九江·高二統考期末)某工廠生產一批零件,其直徑,現在抽取10000件進行檢查,則直徑在之間的零件大約有 件.
(注:)
【答案】
【詳解】滿足正態分布,
,
直徑在之間的零件大約有件.
故答案為:
12.(2024上·湖南常德·高三常德市一中??茧A段練習)某中學開展學生數學素養測評活動,高一年級測評分值近似服從正態分布.為了調查參加測評的學生數學學習的方法與習慣差異,該中學決定在分數段內抽取學生,且.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值如下:56,62,63,65,66,68,70,71,72,73,75,76,76,78,80,81,83,86,88,93.則該班抽取學生分數在分數段內的人數為 人
(附:,,)
【答案】11
【詳解】因為,,

,即,
由已知,該班在內抽取了11人,
他們的分數為68,70,71,72,73,75,76,76,78,80,81.
故答案為:11.
四、解答題
13.(2024上·全國·高三期末)大氣污染是指大氣中污染物質的濃度達到有害程度,以至破壞生態系統和人類正常生存和發展的條件,對人和物造成危害的現象.某環境保護社團組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座,并在講座后對參會人員就講座內容進行知識測試,從中隨機抽取了100份試卷,將這100份試卷的成績(單位:分,滿分100分)整理得如下頻率分布直方圖(同一組中的數據以該組區間的中點值為代表).

(1)根據頻率分布直方圖確定的值,再求出這100份樣本試卷成績的眾數和75%分位數(精確到0.1);
(2)根據頻率分布直方圖可認為此次測試的成績近似服從正態分布,其中近似為樣本平均數,近似為樣本的標準差,約為6.75.用樣本估計總體,假設有84.14%的參會人員的測試成績不低于測試前預估的平均成績,求測試前預估的平均成績大約為多少分(精確到0.1)
參考數據:若,則,,.
【答案】(1)0.048;眾數是,分位數是
(2)分
【詳解】(1)根據頻率分布直方圖,可得:
,解得,
這組數據的眾數為,
由,
則這100份樣本試卷成績的75%分位數是.
(2)由,
所以,
因為,
所以,
所以測試前預估的平均成績大約為分.
14.(2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末)我國一科技公司生產的手機前幾年的零部件嚴重依賴進口,2019年某大國對其實施限制性策略,該公司啟動零部件國產替代計劃,與國內產業鏈上下游企業開展深度合作,共同推動產業發展.2023年9月該公司最新發布的智能手機零部件本土制造比例達到」90%,以公司與一零部件制造公司合作生產某手機零部件,為提高零部件質量,該公司通過資金扶持與技術扶持,幫助制造公司提高產品質量和競爭力,同時派本公司技術人員進廠指導,并每天隨機從生產線上抽取一批零件進行質量檢測.下面是某天從生產線上抽取的10個零部件的質量分數(總分1000分,分數越高質量越好):928、933、945、950、959、967、967、975、982、994.假設該生產線生產的零部件的質量分數X近似服從正態分布,并把這10個樣本質量分數的平均數作為的值.
參考數據:若,則.
(1)求的值;
(2)估計該生產線上生產的1000個零部件中,有多少個零部件的質量分數低于940?
(3)若從該生產線上隨機抽取n個零件中恰有個零部件的質量分數在內,則n為何值時,的值最大?
【答案】(1)
(2)160
(3)
【詳解】(1),
所以.
(2)由(1)知,,

該生產線上生產的1000個零部件中,質量分數低于940的個數約為

(3)每個零部件的質量分數在內的概率為,
由題意可知,
則,
設(),
則,
令,得,
所以當時,,
令,得,
所以當時,,
所以時,最大,故使最大的n的值為14.
B能力提升
1.(2024上·江蘇揚州·高三統考期末)某保險公司有一款保險產品,該產品今年保費為200元/人,賠付金額為5萬元/人.假設該保險產品的客戶為10000名,每人被賠付的概率均為,記10000名客戶中獲得賠償的人數為.
(1)求,并計算該公司今年這一款保險產品利潤的期望;
(2)二項分布是離散型的,而正態分布是連續型的,它們是不同的概率分布,但是,隨著二項分布的試驗次數的增加,二項分布折線圖與正態分布曲線幾乎一致,所以當試驗次數較大時,可以利用正態分布處理二項分布的相關概率計算問題,我們知道若,則,當較大且較小時,我們為了簡化計算,常用的值估算的值.
請根據上述信息,求:
①該公司今年這一款保險產品利潤為50~100萬元的概率;
②該公司今年這一款保險產品虧損的概率.
參考數據:若,則.
【答案】(1),75萬元
(2)①0.683;②0.0015
【詳解】(1)由題可知,
則,
記該公司今年這一款保險產品利潤為變量,則,
所以萬元.
(2)因為,當較大且較小時,,則.
由于較大,,其中,
若該公司今年這一款保險產品利潤,則,
;
若該公司今年這一款保險產品利潤,則,
.
答:(1),該公司今年這一款保險產品利潤的期望為75萬元;
(2)①該公司今年這一款保險產品利潤為萬元的概率為0.683;
②虧損的概率為0.0015.
2.(2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯考期末)某旅游城市推出“一票通”景區旅游年卡,持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市所有簽約景區.為了解市民每年旅游消費支出情況(單位:百元),相關部門對已游覽某簽約景區的游客進行隨機問卷調查,并把得到的數據列成如表所示的頻數分布表:
旅游消費支出
頻數 12 388 452 138 10
(1)根據樣本數據,可認為市民的旅游費用支出服從正態分布,若該市總人口為700萬人,試估計有多少市民每年旅游費用支出在7000元以上;
(2)若年旅游消費支出在40(百元)以上的游客一年內會繼續來該簽約景區游玩.現從游客中隨機抽取3人,一年內繼續來該簽約景區游玩記2分,不來該景點游玩記1分,將上述調查所得的頻率視為概率,且游客之間的選擇意愿相互獨立,求3人總得分為4分的概率.
(參考數據:)
【答案】(1)15.925萬
(2)
【詳解】(1),
所以旅游費用支出在7000元以上的概率為
,
,估計有15.925萬市民旅游費用支出在7000元以上
(2)由表格知一年內游客繼續來該景點游玩的概率為,
設3人總得分為4分為事件,則
即3人總得分為4分的概率.
3.(2024上·海南省直轄縣級單位·高三??茧A段練習)紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶,耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹,為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況,從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹,并測量了它們的樹干直徑(單位:厘米),如下表:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
計算得:.
(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.
記事件:在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑都位于區間.
①用(1)中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差,求;
②護林員在做數據統計時,得出了如下結論:生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下,求,并判斷護林員的結論是否正確,說明理由.
參考公式:若,
則.
參考數據:.
【答案】(1),.
(2)①;②,護林員給出的結論是錯誤的,理由見解析.
【詳解】(1)樣本均值,
樣本方差
.
(2)①由題意可得,樹干直徑(單位:近似服從正態分布.
在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑位于區間的概率是,所以.
②若樹干直徑近似服從正態分布,
在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹,其樹干直徑位于區間的概率是,則.
此時事件發生的概率遠小于①中根據測量結果得出的概率估計值.
事件是一個小概率事件,但是第一次隨機選取的12棵生長了4年的紅松樹,事件發生了,所以認為護林員給出的結論是錯誤的.
4.(2024下·全國·高二隨堂練習)2023年中秋國慶雙節期間,我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節期間車輛出行的高峰情況,在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內通過的車輛數,統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點,為方便統計,時間段記作區間,記作,記作,記作,對通過該收費點的車輛數進行初步處理,已知,時間段內的車輛數的頻數如下表:
時間段
頻數 100 300 m n
(1)現對數據進一步分析,采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機抽取4輛,設抽到的4輛車中在9:00~9:40通過的車輛數為,求的分布列與期望;
(2)由大數據分析可知,工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻,其中可用(1)中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數據用該組區間的中點值代表),已知某天共有800輛車通過該收費點,估計在之間通過的車輛數(結果四舍五入保留到整數).
參考數據:若,則①;②;③.
【答案】(1)分布列見解析,期望為
(2)
【詳解】(1)因為,,所以,.
由分層隨機抽樣可知,抽取的10輛車中,在9:00~9:40通過的車輛數位于時間段,這兩個區間內的車輛數為,
車輛數的可能取值為0,1,2,3,4,
,,,
,,
所以X的分布列為
所以.
(2)這1000輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值,即9:04,
,
所以.
估計在這一時間段內通過的車輛數,也就是通過的車輛數,
工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻,
,
所以估計在這一時間段內通過的車輛數為.
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