資源簡介

第01講 第01講 7.1.1 條件概率
課程標準 學習目標
①結合古典概型，了解條件概率與概率的乘法公式。 ②了解條件概率與獨立性的關系。 ③能計算簡單的隨機事件的條件概率。 1.通過本節課的學習，要求會判斷條件概率，掌握條件概率的基本求法，能解決與條件概率相關的問題；
知識點01：條件概率
（1）一般地，設，為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率，簡稱條件概率．
①一般地，每個隨機試驗都是在一定條件下進行的，這里所說的條件概率是指隨機試驗結果的部分信息已知（即在原試驗條件下，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發生的概率.
②事件在“事件已發生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件下的概率在很多情況下是不同的.
③當題目涉及“在…前提下”等字眼時，一般為條件概率.若題目沒有出現上述字眼，但已知事件的發生影響了所求事件的概率，也是條件概率.
④在條件概率的定義中，要強調,當時，不能用這一方法定義事件發生的條件下，事件發生的概率.
（2）特別說明：
①計算條件概率時，表示事件和同時發生的概率，不能隨便用事件的概率代替；
②在條件概率的表示中，“”之后的部分表示條件；
③和的意義不同，表示在事件發生的條件下事件發生的概率，而是指在事件發生的條件下事件發生的概率；
④與的區別：二者的樣本空間不一樣，前者的樣本空間為“原試驗結果”，后者的樣本空間為“在原試驗條件下，再加上事件發生的條件”，一般地，.
知識點02：乘法公式
由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
【即學即練1】（2024·全國·高三專題練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，知.
故選：C.
知識點03：條件概率的性質
條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質．設，則
①；
②如果和是兩個互斥事件，則；
③設和互為對立事件，則．
④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：.
知識點04：事件的相互獨立性
（1）事件與事件相互獨立：對任意的兩個事件與,如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立.
（2）性質：若事件與事件相互獨立，則與,與,與也都相互獨立，, .
（3）易混淆“相互獨立”和“事件互斥”
兩事件互斥是指兩事件不可能同時發生，兩事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響，兩個事件相互獨立不一定互斥.
題型01 條件概率的求法
【典例1】（2024·福建漳州·統考模擬預測）甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動，可以從，，，四個社區中隨機選擇一個社區，設事件為“甲和乙至少一人選擇了社區”，事件為“甲和乙選擇的社區不相同”，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統考期末）俗話說“斜風細雨不須歸”，在自然界中，下雨大多伴隨著刮風.已知某地8月份刮風的概率為，下雨的概率為，既刮風又下雨的概率為.記事件為“8月份某天刮風”，事件為“8月份某天下雨”，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）已知盒中裝有大小一樣，形狀相同的3個白球與7個黑球，每次從中任取一個球并不放回，則在第1次取到白球的條件下，第2次取到的是黑球的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）盒內裝有除型號和顏色外完全相同的16個球，其中6個是E型玻璃球，10個是F型玻璃球．E型玻璃球中有2個是紅色的，4個是藍色的；F型玻璃球中有3個是紅色的，7個是藍色的．現從中任取1個，已知取到的是藍球，問該球是E型玻璃球的概率是多少？
【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯考期末）小張 小王兩家計劃國慶節期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風凰山”，事件B：“兩家選擇景點不同”.則概率（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024上·江蘇泰州·高三統考期末）袋子中有10個大小相同的小球，其中7個白球，3個黑球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率為 .
【變式3】（2024·廣東肇慶·校考模擬預測）一個盒子里裝有3種顏色，大小形狀質地都一樣的9個球，其中黃球4個，藍球3個，綠球2個，現從盒子中隨機取出兩個球，記事件“取出的兩個球顏色不同”，記事件“取出一個藍球，一個綠球”，則 .
題型02 乘法公式的應用
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質地相同），現隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·上海·高二上海市行知中學校考階段練習）一個盒子中裝有2個紅球，8個黑球，從中不放回地任取1個小球，則第二次才取出紅球的概率是 .
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）某廠產品的廢品率為4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）設A，B是兩個事件，，，則下列結論一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯考期末）已知，，則 .
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）瑪麗想在網上購買一款品牌手機，客服承諾該品牌手機從1m高的地方掉落時，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當第一次未碎掉時第二次也未碎掉的概率為0.3，瑪麗想如果手機從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以購買，否則放棄．請你用所學的概率知識幫瑪麗做一下決策．
題型03條件概率的性質及應用
【典例1】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學校聯考二模）設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多選）（2024·全國·高三專題練習）設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（多選）（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學校聯考期末）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現偉大復興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機抽取道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）下列說法正確的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【變式2】（多選）（2024·全國·高三專題練習）若、分別為隨機事件、的對立事件，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）設某種燈管使用了500h還能繼續使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續使用的概率是0.87，問已經使用了500h的燈管還能繼續使用到700h的概率是多少？
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024上·陜西漢中·高二統考期末）袋中有除顏色外完全相同的6個小球，其中4個白球和2個紅球，現從袋中不放回地連取兩個．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
2．（2024·全國·高三專題練習）某工廠生產了一批產品，需等待檢測后才能銷售.檢測人員從這批產品中隨機抽取了5件產品來檢測，現已知這5件產品中有3件正品，2件次品，從中不放回地取出產品，每次1件，共取兩次.已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高三專題練習）擲一個均勻的骰子．記為“擲得點數大于”，為“擲得點數為奇數”，則為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·全國·高三期末）某校舉辦中學生乒乓球運動會，高一年級初步推選3名女生和4名男生參賽，并從中隨機選取3人組成代表隊參賽，在代表隊中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·高二假期作業）已知，，則（ ）
A．0.02 B．0.03
C．0.04 D．0.05
6．（2024·全國·高二假期作業）核酸檢測是目前確認新型冠狀病毒感染最可靠的依據．經大量病例調查發現，試劑盒的質量、抽取標本的部位和取得的標本數量，對檢測結果的準確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標本檢出陽性的概率為（ ）
A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%
7．（2024·全國·高三專題練習）某學校安排音樂 閱讀 體育和編程四項課后服務供學生自愿選擇參加，甲 乙 丙 丁4位同學每人限報其中一項.已知甲同學報的項目其他同學不報的情況下，4位同學所報項目各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中校考期末）已知與獨立，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024上·全國·高三期末）已知隨機事件滿足，，，則下列說法正確的是（ ）
A．不可能事件與事件互斥
B．必然事件與事件相互獨立
C．
D．若，則
10．（2024·全國·高二假期作業）某氣象臺統計，該地區不下雨的概率為；刮四級以上風的概率為，既刮四級以上的風又下雨的概率為，設為下雨，為刮四級以上的風，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（2024·全國·高三專題練習）拋擲紅、藍兩顆骰子，記事件A為“藍色骰子的點數為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點數之和大于8”，則P（B|A）＝ ；P（A|B）＝ .
12．（2024·廣東肇慶·統考模擬預測）小明去書店買了5本參考書，其中有2本數學，2本物理，1本化學.小明從中隨機抽取2本，若2本中有1本是數學，則另1本是物理或化學的概率是 .
四、解答題
13．（2024上·河南南陽·高二統考期末）一個袋子里放有除顏色外完全相同的2個白球、3個黑球.
(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求兩個小球顏色不同的概率；
(2)采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.
14．（2024下·全國·高二隨堂練習）已知某大學數學專業二年級的學生中，是否有自主創業打算的情況如下表所示．
男生/人 女生/人
有自主創業打算 16 15
無自主創業打算 64 60
從這些學生中隨機抽取一人：
(1)求抽到的人有自主創業打算的概率；
(2)求抽到的人是女生的概率；
(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主創業打算的概率；
(4)判斷“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創業打算”是否獨立．
B能力提升
1．（多選）（2023下·河北·高二校聯考階段練習）設、為隨機事件，且、，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則、可能不相互獨立
B．若，則
C．若，則
D．若，，則
2．（2023上·山東濟南·高三山東省實驗中學校考階段練習）某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統計如下：
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
王同學 9天 6天 12天 3天
張老師 6天 6天 6天 12天
假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．
(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；
(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，求X的分布列和數學期望；
(3)假設M表示事件“A餐廳推出優惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明．．
3．（2023·江蘇·高二專題練習）在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．
4．（2023下·北京·高二校考期中）某單位有A，B兩個餐廳為員工提供午餐與晚餐服務，甲、乙兩位員工每個工作日午餐和晚餐都在單位就餐，近100個工作日選擇餐廳就餐情況統計如下：
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
甲員工 30天 20天 40天 10天
乙員工 20天 25天 15天 40天
假設甲、乙員工選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．
(1)分別估計一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；
(2)試判斷甲、乙員工在晚餐選擇B餐廳就餐的條件下，哪位員工更有可能午餐選擇A餐廳就餐，并說明理由．
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第01講 第01講 7.1.1 條件概率
課程標準 學習目標
①結合古典概型，了解條件概率與概率的乘法公式。 ②了解條件概率與獨立性的關系。 ③能計算簡單的隨機事件的條件概率。 1.通過本節課的學習，要求會判斷條件概率，掌握條件概率的基本求法，能解決與條件概率相關的問題；
知識點01：條件概率
（1）一般地，設，為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率，簡稱條件概率．
①一般地，每個隨機試驗都是在一定條件下進行的，這里所說的條件概率是指隨機試驗結果的部分信息已知（即在原試驗條件下，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發生的概率.
②事件在“事件已發生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件下的概率在很多情況下是不同的.
③當題目涉及“在…前提下”等字眼時，一般為條件概率.若題目沒有出現上述字眼，但已知事件的發生影響了所求事件的概率，也是條件概率.
④在條件概率的定義中，要強調,當時，不能用這一方法定義事件發生的條件下，事件發生的概率.
（2）特別說明：
①計算條件概率時，表示事件和同時發生的概率，不能隨便用事件的概率代替；
②在條件概率的表示中，“”之后的部分表示條件；
③和的意義不同，表示在事件發生的條件下事件發生的概率，而是指在事件發生的條件下事件發生的概率；
④與的區別：二者的樣本空間不一樣，前者的樣本空間為“原試驗結果”，后者的樣本空間為“在原試驗條件下，再加上事件發生的條件”，一般地，.
知識點02：乘法公式
由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
【即學即練1】（2024·全國·高三專題練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，知.
故選：C.
知識點03：條件概率的性質
條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質．設，則
①；
②如果和是兩個互斥事件，則；
③設和互為對立事件，則．
④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：.
知識點04：事件的相互獨立性
（1）事件與事件相互獨立：對任意的兩個事件與,如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立.
（2）性質：若事件與事件相互獨立，則與,與,與也都相互獨立，, .
（3）易混淆“相互獨立”和“事件互斥”
兩事件互斥是指兩事件不可能同時發生，兩事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響，兩個事件相互獨立不一定互斥.
題型01 條件概率的求法
【典例1】（2024·福建漳州·統考模擬預測）甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動，可以從，，，四個社區中隨機選擇一個社區，設事件為“甲和乙至少一人選擇了社區”，事件為“甲和乙選擇的社區不相同”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】甲、乙兩名大學生從四個社區中隨機選擇一個社區的情況共有（種），
事件發生的情況共有（種），事件和事件同時發生的情況共有6種，
所以.
故選：B.
【典例2】（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統考期末）俗話說“斜風細雨不須歸”，在自然界中，下雨大多伴隨著刮風.已知某地8月份刮風的概率為，下雨的概率為，既刮風又下雨的概率為.記事件為“8月份某天刮風”，事件為“8月份某天下雨”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據題意可得
利用條件概率公式可得.
故選：B
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）已知盒中裝有大小一樣，形狀相同的3個白球與7個黑球，每次從中任取一個球并不放回，則在第1次取到白球的條件下，第2次取到的是黑球的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解法一：設第1次抽到白球為事件A，第2次取到的是黑球為事件B，
則，，
所以.
解法二：盒中共有10個球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的條件下，盒中還有2白、7黑共9個球，
從中任取一球，取到黑球的概率為．
故選：D
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）盒內裝有除型號和顏色外完全相同的16個球，其中6個是E型玻璃球，10個是F型玻璃球．E型玻璃球中有2個是紅色的，4個是藍色的；F型玻璃球中有3個是紅色的，7個是藍色的．現從中任取1個，已知取到的是藍球，問該球是E型玻璃球的概率是多少？
【答案】
【詳解】解法一：設取到的球是藍球為事件，取到的球是E型玻璃球為事件，
則，，
∴．
解法二：設取到的球是藍球為事件，取到的球是E型玻璃球為事件，
∵，，
∴．
故取到的是藍球，該球是E型玻璃球的概率是.
【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯考期末）小張 小王兩家計劃國慶節期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風凰山”，事件B：“兩家選擇景點不同”.則概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可知兩家都沒選擇丹東鳳凰山，即，
所以，
而有一家選擇丹東鳳凰山，另一家選別的景點，則，
所以.
故選：D
【變式2】（2024上·江蘇泰州·高三統考期末）袋子中有10個大小相同的小球，其中7個白球，3個黑球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率為 .
【答案】
【詳解】記事件A為第1次摸到白球，事件為第2次摸到黑球，
則，
所以.
故答案為：.
【變式3】（2024·廣東肇慶·校考模擬預測）一個盒子里裝有3種顏色，大小形狀質地都一樣的9個球，其中黃球4個，藍球3個，綠球2個，現從盒子中隨機取出兩個球，記事件“取出的兩個球顏色不同”，記事件“取出一個藍球，一個綠球”，則 .
【答案】
【詳解】事件“取出的兩個球顏色不同”，包括一個黃球一個藍球，
一個黃球一個綠球以及一個藍球一個綠球，三種情況，
則,
事件“取出一個藍球，一個綠球”，
則，
所以.
故答案為：
題型02 乘法公式的應用
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質地相同），現隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設“從1號箱中取到紅球放入2號箱”為事件A，“從2號箱中取到紅球”為事件B.
由題意，知，，所以，
所以兩次都取到紅球的概率為.
故選：C.
【典例2】（2023上·上海·高二上海市行知中學校考階段練習）一個盒子中裝有2個紅球，8個黑球，從中不放回地任取1個小球，則第二次才取出紅球的概率是 .
【答案】
【詳解】由題意知第一次取出的是黑球，設為事件，
第二次取出紅球設為事件，
則，則，
所以第二次才取出紅球的概率是.
故答案為：
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）某廠產品的廢品率為4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．
【答案】72%.
【詳解】記A：合格品,記B：一等品，由于,則，
由題意，，
故，
即一等品率為72%.
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）設A，B是兩個事件，，，則下列結論一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】A：由，而，則，即時成立，否則不成立，排除；
B：當A，B是兩個相互獨立的事件，有，否則不成立，排除；
C：由且，故時成立，否則不成立，排除；
D：由，而，則，符合；
故選：D
【變式2】（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯考期末）已知，，則 .
【答案】
【詳解】因為，則，
所以，.
故答案為：.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）瑪麗想在網上購買一款品牌手機，客服承諾該品牌手機從1m高的地方掉落時，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當第一次未碎掉時第二次也未碎掉的概率為0.3，瑪麗想如果手機從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以購買，否則放棄．請你用所學的概率知識幫瑪麗做一下決策．
【答案】瑪麗應該放棄購買
【詳解】設“第i次掉落后，手機屏幕沒有碎掉”，，2，
則由已知可得，，
故．
即這款手機從1m高的地方掉落兩次后，屏幕仍未碎掉的概率為0.15，
因為，故瑪麗應該放棄購買．
題型03條件概率的性質及應用
【典例1】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學校聯考二模）設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由，則，故，
而，則，又，
所以.
故選：D
【典例2】（多選）（2024·全國·高三專題練習）設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【詳解】因為，，所以，.
因為與為互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正確；
，故B正確；
，故C錯誤；
，，
所以，故D錯誤.
故選:AB.
【典例3】（多選）（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學校聯考期末）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現偉大復興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機抽取道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】,故A正確；
，故B正確；
，故C正確；
，，，故D錯誤.
故選: ABC
【變式1】（2024·全國·高二假期作業）下列說法正確的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】B
【詳解】由，當，則，A錯誤；
當A或B為不可能事件時，，C錯誤；
B：要使，即，當恰好為A的子事件成立，正確；
D：由，故錯誤.
故選：B
【變式2】（多選）（2024·全國·高三專題練習）若、分別為隨機事件、的對立事件，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
【答案】BD
【詳解】對于A選項，因為，
但與不一定相等，故不一定等于，A錯；
對于B選項，因為，，
所以，，B對；
對于C選項，，C錯；
對于D選項，因為，所以，，
所以，事件、獨立，故，D對.
故選：BD.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）設某種燈管使用了500h還能繼續使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續使用的概率是0.87，問已經使用了500h的燈管還能繼續使用到700h的概率是多少？
【答案】
【詳解】解：設A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，則，．而所求的概率為，由于，故．
故答案為：.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024上·陜西漢中·高二統考期末）袋中有除顏色外完全相同的6個小球，其中4個白球和2個紅球，現從袋中不放回地連取兩個．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【分析】分別設事件“第一次取得白球”和“第二次取得紅球”，由條件概率計算公式求解即可求解.
【詳解】設第一次取得白球為事件，第二次取得紅球為事件，
所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：
.
故選：B.
2．（2024·全國·高三專題練習）某工廠生產了一批產品，需等待檢測后才能銷售.檢測人員從這批產品中隨機抽取了5件產品來檢測，現已知這5件產品中有3件正品，2件次品，從中不放回地取出產品，每次1件，共取兩次.已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用條件概率的定義解題即可.
【詳解】設事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，
則，，故.
故選：C
3．（2024·全國·高三專題練習）擲一個均勻的骰子．記為“擲得點數大于”，為“擲得點數為奇數”，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知列出事件和事件的結果，求出，，然后利用條件概率公式求解即可.
【詳解】擲一個均勻的骰子，有，，，，，共種結果，
事件包含點數為，共種結果，所以；
事件包含點數為共種結果，所以，
所以．
故選：D
4．（2024上·全國·高三期末）某校舉辦中學生乒乓球運動會，高一年級初步推選3名女生和4名男生參賽，并從中隨機選取3人組成代表隊參賽，在代表隊中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據條件概率知識即可求解.
【詳解】用A表示事件“代表隊既有男生又有女生”， B表示事件“女生甲被選中”，
則在代表隊中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為.
所以，
故選：B.
5．（2024·全國·高二假期作業）已知，，則（ ）
A．0.02 B．0.03
C．0.04 D．0.05
【答案】B
【分析】根據條件概率公式運算求解.
【詳解】因為，
所以.
故選：B.
6．（2024·全國·高二假期作業）核酸檢測是目前確認新型冠狀病毒感染最可靠的依據．經大量病例調查發現，試劑盒的質量、抽取標本的部位和取得的標本數量，對檢測結果的準確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標本檢出陽性的概率為（ ）
A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%
【答案】A
【分析】根據條件概率的乘法公式即可求解.
【詳解】記感染新冠病毒為事件,感染新冠病毒的條件下,標本為陽性為事件 則,故某市民感染新冠病毒且標本檢出陽性的概率為，
故選：A
7．（2024·全國·高三專題練習）某學校安排音樂 閱讀 體育和編程四項課后服務供學生自愿選擇參加，甲 乙 丙 丁4位同學每人限報其中一項.已知甲同學報的項目其他同學不報的情況下，4位同學所報項目各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設甲同學報的項目其他同學不報, 4位同學所報項目各不相同,利用條件概率求解.
【詳解】解：設甲同學報的項目其他同學不報, 4位同學所報項目各不相同,
由題得,,
所以.
故選：C
8．（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中校考期末）已知與獨立，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據相互獨立事件的性質進行求解即可.
【詳解】因為與獨立，所以，
故選：A
二、多選題
9．（2024上·全國·高三期末）已知隨機事件滿足，，，則下列說法正確的是（ ）
A．不可能事件與事件互斥
B．必然事件與事件相互獨立
C．
D．若，則
【答案】ABC
【分析】對于隨機事件的互斥、獨立以及條件概率等式是否成立，應按照其定義進行判斷即可；而要說明條件概率等式不能成立，則可以通過舉反例說明.
【詳解】因為不可能事件與事件不會同時發生，所以互斥，故選項A正確；
因為,
所以，所以必然事件與事件相互獨立，故選項B正確；
因為，且互斥，所以，故選項C正確；
對于選項D，假如做拋擲一枚骰子1次的試驗，設事件為出現點數小于等于4，事件為出現點數小于等于2，
則，但故選項 D 錯誤.
故選:ABC.
10．（2024·全國·高二假期作業）某氣象臺統計，該地區不下雨的概率為；刮四級以上風的概率為，既刮四級以上的風又下雨的概率為，設為下雨，為刮四級以上的風，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據條件概率的計算公式即可代入求解.
【詳解】由題意可知，
所以,,
故選：BD
三、填空題
11．（2024·全國·高三專題練習）拋擲紅、藍兩顆骰子，記事件A為“藍色骰子的點數為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點數之和大于8”，則P（B|A）＝ ；P（A|B）＝ .
【答案】 / /
【分析】根據條件概率的求概率公式，分別求出，，或，，代入公式求解即可.
【詳解】解法一：拋擲紅、藍兩顆骰子，事件總數為，
事件A的基本事件數為，所以；
由于，，
，
所以事件B的基本事件數為，所以；
事件AB的基本事件數為6，故；
由條件概率公式得：
①＝＝＝；
②＝＝＝．
解法二：；
由，，，
，知，其中；
所以＝＝＝；
＝＝＝．
故答案為：；
12．（2024·廣東肇慶·統考模擬預測）小明去書店買了5本參考書，其中有2本數學，2本物理，1本化學.小明從中隨機抽取2本，若2本中有1本是數學，則另1本是物理或化學的概率是 .
【答案】
【分析】根據條件概率的計算公式即可求解.
【詳解】記事件A為“取出的2本中有1本是數學”，事件為“另1本是物理或化學”，
則，
所以.
故答案為：.
四、解答題
13．（2024上·河南南陽·高二統考期末）一個袋子里放有除顏色外完全相同的2個白球、3個黑球.
(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求兩個小球顏色不同的概率；
(2)采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分先白后黑和先黑后白兩種情況，由概率公式計算.
（2）利用條件概率公式求解.
【詳解】（1）設事件：用放回抽樣方式摸出兩個顏色不同的小球.
因為采取放回抽樣方式，
所以每次摸一個白球的概率為，每一次摸一個黑球的概率為，
所以.
即用放回抽樣方式摸出兩個顏色不同的小球的概率為.
（2）設事件為第一次摸到黑球，
事件為第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球，
所以，，
所以在第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率為：
.
14．（2024下·全國·高二隨堂練習）已知某大學數學專業二年級的學生中，是否有自主創業打算的情況如下表所示．
男生/人 女生/人
有自主創業打算 16 15
無自主創業打算 64 60
從這些學生中隨機抽取一人：
(1)求抽到的人有自主創業打算的概率；
(2)求抽到的人是女生的概率；
(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主創業打算的概率；
(4)判斷“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創業打算”是否獨立．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)獨立．
【分析】（1）利用古典概型計算即可；
（2）利用古典概型計算即可；
（3）利用條件概率計算即可；
（4）根據事件的獨立性判定即可.
【詳解】（1）由題意可知，所有學生人數為．
記A為“抽到的人有自主創業打算”，B為“抽到的人是女生”．
因為有自主創業打算的人數為，
因此抽到的人有自主創業打算的概率為；
（2）因為女生人數為，
因此抽到的人是女生的概率為；
（3）所要求的是，注意到75名女生中有15人有自主創業打算，
因此；
（4）由（1）和（3）的計算結果可知，即，
因此“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創業打算”獨立．
B能力提升
1．（多選）（2023下·河北·高二校聯考階段練習）設、為隨機事件，且、，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則、可能不相互獨立
B．若，則
C．若，則
D．若，，則
【答案】BCD
【詳解】對于A選項，根據條件概率公式及，
得，即，所以，、相互獨立，A錯；
對于B選項，由A知，當時，，
所以，，B對；
對于C選項，由，得，
所以，C對；
對于D選項，，
，所以，，D對.
故選：BCD．
2．（2023上·山東濟南·高三山東省實驗中學校考階段練習）某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統計如下：
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
王同學 9天 6天 12天 3天
張老師 6天 6天 6天 12天
假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．
(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；
(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，求X的分布列和數學期望；
(3)假設M表示事件“A餐廳推出優惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明．．
【答案】(1)0.6
(2)分布列見解析，1.9
(3)證明見解析
【詳解】（1）設事件C為“一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，
因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數為，
所以．
（2）記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，
則X的所有可能取值為1和2，
所以，
，
所以X的分布列為
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的數學期望．
（3）由題知，所以
所以，
所以，
即，
所以，即
3．（2023·江蘇·高二專題練習）在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．
【答案】
【詳解】解：設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，
則，
,
所以．
4．（2023下·北京·高二校考期中）某單位有A，B兩個餐廳為員工提供午餐與晚餐服務，甲、乙兩位員工每個工作日午餐和晚餐都在單位就餐，近100個工作日選擇餐廳就餐情況統計如下：
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
甲員工 30天 20天 40天 10天
乙員工 20天 25天 15天 40天
假設甲、乙員工選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．
(1)分別估計一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；
(2)試判斷甲、乙員工在晚餐選擇B餐廳就餐的條件下，哪位員工更有可能午餐選擇A餐廳就餐，并說明理由．
【答案】(1)甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為.
(2)甲員工更有可能午餐選A餐廳，理由見解析
【詳解】（1）設事件C＝“一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐”，
事件D＝“一天中乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐”．
由于100個工作日中甲員工午餐、晚餐都選擇A餐廳就餐的天數為30，
乙員工午餐、晚餐都選擇B餐廳就餐的天數為40，
所以，；
（2）設N1＝“甲員工晚餐選擇B餐廳就餐”，
N2＝“乙員工晚餐選擇B餐廳就餐”，
M1＝“甲員工在午餐時選擇A餐廳就餐”，
M2＝“乙員工在午餐時選擇A餐廳就餐”，則，．
因為，
所以在已知晚餐選擇B餐廳就餐的條件下，甲員工更有可能在午餐時選擇A餐廳就餐．
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