資源簡(jiǎn)介

第07講 7.4.2 超幾何分布
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，理解超幾何分布與古典概型之間的關(guān)系。 ②根據(jù)超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，會(huì)求超幾何概型的分布列、期望、方差。 ③在實(shí)際問(wèn)題中能用超幾何概型解決實(shí)際問(wèn)題。 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能解決數(shù)學(xué)中的超幾何概率的相關(guān)問(wèn)題，能建立超幾何概型解決實(shí)際問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)1：超幾何分布
（1）超幾何分布
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品，從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，.
其中，，，，．
如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
（2）對(duì)超幾何分布的理解
①在超幾何分布的模型中，“任取件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗(yàn)，這時(shí)概率分布是二項(xiàng)分布.所以兩個(gè)分布的區(qū)別就在于是否為有放回地抽取.
②若隨機(jī)變量滿足：
試驗(yàn)是不放回地抽取次；
隨機(jī)變量表示抽到兩類中其中一類物品的件數(shù).則該隨機(jī)變量服從超幾何分布.
③超幾何分布的特點(diǎn)：
不放回抽樣；
考察對(duì)象分兩類；
已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察其中某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布列.
（3）超幾何分布的均值
若隨機(jī)變量服從超幾何分布，則(是件產(chǎn)品的次品率).
【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）一袋中裝有50個(gè)白球，45個(gè)黑球，5個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取20個(gè)球，求取出的紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
【答案】1
【詳解】袋中球的總數(shù)為，
根據(jù)題意可知，隨機(jī)抽取的20個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布，
即．
因?yàn)椋裕?br/>知識(shí)點(diǎn)2：二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系
（1）區(qū)別
由古典概型得出超幾何分布，由伯努利試驗(yàn)得出二項(xiàng)分布.這兩個(gè)分布的關(guān)系是，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，若采用有放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即(其中)若采用不放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從超幾何分布.超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.超幾何分布的概率計(jì)算是古典概型問(wèn)題，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算是相互獨(dú)立事件的概率問(wèn)題.
（2）聯(lián)系
二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.當(dāng)總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時(shí)，不放回抽樣可以認(rèn)為是有放回抽樣，即對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)，每抽取一次后，對(duì)的影響很小，超幾何分布可以近似為二項(xiàng)分布.
題型01 對(duì)超幾何分布的理解
【典例1】（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號(hào)碼；
②X表示取出的最小號(hào)碼；
③X表示取出的白球個(gè)數(shù)；
④取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分減去4的差.
這四種變量中服從超幾何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【典例2】（多選）（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是（　　）
A．X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)
B．X表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和
C．有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件數(shù)為X
D．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X（N－M＞n＞0）
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題中，哪些屬于超幾何分布問(wèn)題，說(shuō)明理由．
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是的骰子的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；
(2)有一批種子的發(fā)芽率為，任取顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；
(3)盒子中有紅球只，黃球只，藍(lán)球只，任取只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；
(4)某班級(jí)有男生人，女生人．選派名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為，求的分布列；
(5)現(xiàn)有臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測(cè)，抽取臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為，求的分布列．
【變式1】（2023下·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為
B．某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊次，記命中的次數(shù)為
C．從男女共名學(xué)生干部中選出名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為
D．盒中有個(gè)白球和個(gè)黑球，每次從中摸出個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為
【變式2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是（　　）
A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X
B．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為X
C．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X
D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)
【變式3】（2023下·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于超幾何分布的敘述中，正確的是（ ）
A．X的可能取值為0，1，2，…，20 B．
C．X的數(shù)學(xué)期望 D．當(dāng)k＝8時(shí)，最大
題型02 超幾何分布的概率
【典例1】（2024上·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期末）一袋中裝有大小 質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）從一批含有6件正品，2件次品的產(chǎn)品中一次性抽取3件，設(shè)抽取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋中共有個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個(gè)球，至少得到個(gè)白球的概率是，則白球的個(gè)數(shù)為 .
【變式1】（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知在件產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報(bào)演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．1
【變式3】（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選出4人去參加某項(xiàng)比賽，設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為，則 .
【變式4】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）為慶祝第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國(guó)杭州舉行，杭州某中學(xué)舉辦了一次“亞運(yùn)知識(shí)知多少”的知識(shí)競(jìng)賽.參賽選手從7道題（4道多選題，3道單選題）中隨機(jī)抽題進(jìn)行作答，若某選手先隨機(jī)抽取2道題，再隨機(jī)抽取1道題，則最后抽取到的題為多選題的概率為 .
題型03 超幾何分布均值與方差（選填）
【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)每個(gè)球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（多選）（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）在一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，設(shè)這4個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A．服從二項(xiàng)分布 B．的值最小為1
C． D．
【典例4】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為 .若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則 .
【變式1】（2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式2】（多選）（2024上·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為 ．
【變式4】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則＝ ；＝ ．
題型04 超幾何分布均值與方差（解答）
【典例1】（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考期末）某袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，記取出白球的個(gè)數(shù)為X．
(1)寫(xiě)出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一個(gè)白球得一分，取出一個(gè)黑球得兩分，最后得分為Z，求出和的值．
【典例2】（2024上·廣東廣州·高三校考期末）某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：
將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．
(1)求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)將在中國(guó)杭州舉行.杭州某中學(xué)高一年級(jí)舉辦了“亞運(yùn)在我心”的知識(shí)競(jìng)賽，其中1班，2班，3班，4班報(bào)名人數(shù)如下：
班號(hào) 1 2 3 4
人數(shù) 30 40 20 10
該年級(jí)在報(bào)名的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競(jìng)賽，每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中隨機(jī)抽取4個(gè)作答，至少答對(duì)3道的同學(xué)獲得一份獎(jiǎng)品，假設(shè)每位同學(xué)的作答情況相互獨(dú)立.
(1)求各班參加競(jìng)賽的人數(shù)；
(2)2班的小張同學(xué)被抽中參加競(jìng)賽，若該同學(xué)在預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中恰有3個(gè)答不對(duì)，記他答對(duì)的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）假設(shè)某市大約有800萬(wàn)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者，某電子商務(wù)公司對(duì)該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛(ài)好調(diào)查，
①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；
②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來(lái)自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來(lái)自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某班為了慶祝我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個(gè)紅球，則分得個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目.
(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
題型05二項(xiàng)分布與超幾何分布
【典例1】（2024上·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：
場(chǎng)次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)從上述10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求甲獲勝的概率；
(2)在上述10場(chǎng)比賽中，從甲得分不低于10分的場(chǎng)次中隨機(jī)選擇兩場(chǎng)，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每場(chǎng)比賽獲勝者唯一，且各場(chǎng)相互獨(dú)立，用上述10場(chǎng)比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來(lái)又將進(jìn)行6場(chǎng)投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場(chǎng)數(shù)，為乙獲勝的場(chǎng)數(shù)，為丙獲勝的場(chǎng)數(shù)，寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.
【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）某中學(xué)進(jìn)行校慶知識(shí)競(jìng)賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)抽取4道來(lái)回答．競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．
(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒(méi)有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．
【變式1】（2024上·山西·高三期末）一盒乒乓球中共裝有2只黃色球與4只白色球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3次，每次僅取1個(gè)球.
(1)若每次抽取之后，記錄抽到乒乓球的顏色，再將其放回盒中，記抽到黃球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求及；
(2)若每次抽取之后，將抽到的乒乓球留在盒外，記最終盒外的黃球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求及；
(3)在（1）（2）的條件之下，求.
【變式2】（2024上·遼寧·高二盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）某學(xué)校高一，高二，高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生來(lái)了解學(xué)生的睡眠情況.
(1)應(yīng)從高一 高二 高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列：
②將這7名學(xué)生中“睡眠不足”的頻率視為該學(xué)校學(xué)生中“睡眠不足”的概率，若從該學(xué)校全體學(xué)生（人數(shù)較多）中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學(xué)生的人數(shù)，求Y的期望和方差：
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末）口袋中有2個(gè)黑球，2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機(jī)變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)從3名女生和2名男生中隨機(jī)選出2名志愿者，用表示所選2名志愿者中男生的人數(shù)，則為（ ）
A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2
3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)次品，任取產(chǎn)品個(gè)，取到的次品可能有個(gè)，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，且．若8名黨員中有名男黨員，從這8人中選4名代表，記選出的代表中男黨員人數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）某學(xué)校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）課桌上有12本書(shū)，其中理科書(shū)籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書(shū)，用隨機(jī)變量表示這6本書(shū)中理科書(shū)籍的本數(shù)，則概率為的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·山東青島·高二校考期中）從裝有個(gè)白球，個(gè)紅球的密閉容器中逐個(gè)不放回地摸取小球. 若每取出個(gè)紅球得分，每取出個(gè)白球得分. 按照規(guī)則從容器中任意抽取個(gè)球，所得分?jǐn)?shù)的期望為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023下·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布
10．（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．某學(xué)校有2023名學(xué)生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布
B．若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則
C．若隨機(jī)變量X的方差，則
D．隨機(jī)變量則
三、填空題
11．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是 ．
12．（2023下·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會(huì)吸引來(lái)自世界各地的游客參觀旅游．已知購(gòu)買(mǎi)莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開(kāi)放洞窟，在這8個(gè)洞窟中莫高窟九層樓96號(hào)窟、莫高窟三層樓16號(hào)窟、藏經(jīng)洞17號(hào)窟被譽(yù)為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開(kāi)放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟的概率是 ．
四、解答題
13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某商場(chǎng)為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)．袋中裝有18個(gè)除顏色外其余均相同的小球，其中8個(gè)是紅球，10個(gè)是白球．抽獎(jiǎng)?wù)邚闹幸淮纬槌?個(gè)小球，抽到3個(gè)紅球得一等獎(jiǎng)，抽到2個(gè)紅球得二等獎(jiǎng)，抽到1個(gè)紅球得三等獎(jiǎng)，抽到0個(gè)紅球不得獎(jiǎng)．求得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的概率．
14．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道試題，乙能答對(duì)其中的8道試題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題得0分．求：
(1)甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布；
(2)乙所得分?jǐn)?shù)的概率分布．
B能力提升
1．（2023上·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）ChatGPT是由人工智能研究實(shí)驗(yàn)室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話，ChatGPT的開(kāi)發(fā)主要采用PLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù).在測(cè)試ChatGPT時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，ChatGPT的回答被采納的概率為.
(1)在某次測(cè)試中輸入了7個(gè)問(wèn)題，ChatGPT的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這7個(gè)問(wèn)題中抽取3個(gè)，以表示這抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為，
（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問(wèn)題的輸入沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率.
2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）某貧困縣在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農(nóng)科所為了對(duì)比兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗(yàn)田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）都在內(nèi)，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下：
(1)從種茶葉畝產(chǎn)的20個(gè)數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)，記這兩個(gè)數(shù)據(jù)中不低于56千克的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)在頻率分布直方圖中，若平均數(shù)大于中位數(shù)，則稱為“右拖尾分布”，若平均數(shù)小于中位數(shù)，則稱為“左拖尾分布”，試通過(guò)計(jì)算判斷種茶葉的畝產(chǎn)量屬于上述哪種類型.
3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開(kāi)心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過(guò)服裝搭配來(lái)營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過(guò)色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
(1)寫(xiě)出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；
(2)求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.
4．（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過(guò)收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來(lái)認(rèn)識(shí)未知現(xiàn)象的一門(mén)科學(xué).面對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，首先要根據(jù)實(shí)際需求，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和描述，在此基礎(chǔ)上用各種統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的信息，推斷總體的情況，進(jìn)而解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個(gè)常用詞匯.同學(xué)們?cè)趯W(xué)完高中統(tǒng)計(jì)和概率相關(guān)章節(jié)后，探討了以下兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)幫他們解決：
(1)從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別寫(xiě)出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計(jì)算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是男生的概率，結(jié)合計(jì)算結(jié)果分析三種抽樣；
(2)一個(gè)袋子中有100個(gè)除顏色外完全相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.結(jié)合計(jì)算結(jié)果分析兩種摸球方式的特點(diǎn).
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第07講 7.4.2 超幾何分布
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，理解超幾何分布與古典概型之間的關(guān)系。 ②根據(jù)超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，會(huì)求超幾何概型的分布列、期望、方差。 ③在實(shí)際問(wèn)題中能用超幾何概型解決實(shí)際問(wèn)題。 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能解決數(shù)學(xué)中的超幾何概率的相關(guān)問(wèn)題，能建立超幾何概型解決實(shí)際問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)1：超幾何分布
（1）超幾何分布
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品，從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，.
其中，，，，．
如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
（2）對(duì)超幾何分布的理解
①在超幾何分布的模型中，“任取件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗(yàn)，這時(shí)概率分布是二項(xiàng)分布.所以兩個(gè)分布的區(qū)別就在于是否為有放回地抽取.
②若隨機(jī)變量滿足：
試驗(yàn)是不放回地抽取次；
隨機(jī)變量表示抽到兩類中其中一類物品的件數(shù).則該隨機(jī)變量服從超幾何分布.
③超幾何分布的特點(diǎn)：
不放回抽樣；
考察對(duì)象分兩類；
已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察其中某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布列.
（3）超幾何分布的均值
若隨機(jī)變量服從超幾何分布，則(是件產(chǎn)品的次品率).
【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）一袋中裝有50個(gè)白球，45個(gè)黑球，5個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取20個(gè)球，求取出的紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
【答案】1
【詳解】袋中球的總數(shù)為，
根據(jù)題意可知，隨機(jī)抽取的20個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布，
即．
因?yàn)椋裕?br/>知識(shí)點(diǎn)2：二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系
（1）區(qū)別
由古典概型得出超幾何分布，由伯努利試驗(yàn)得出二項(xiàng)分布.這兩個(gè)分布的關(guān)系是，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，若采用有放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即(其中)若采用不放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從超幾何分布.超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.超幾何分布的概率計(jì)算是古典概型問(wèn)題，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算是相互獨(dú)立事件的概率問(wèn)題.
（2）聯(lián)系
二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.當(dāng)總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時(shí)，不放回抽樣可以認(rèn)為是有放回抽樣，即對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)，每抽取一次后，對(duì)的影響很小，超幾何分布可以近似為二項(xiàng)分布.
題型01 對(duì)超幾何分布的理解
【典例1】（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號(hào)碼；
②X表示取出的最小號(hào)碼；
③X表示取出的白球個(gè)數(shù)；
④取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分減去4的差.
這四種變量中服從超幾何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【詳解】超幾何分布定義：設(shè)有總數(shù)為N件的甲乙兩類物品，其中甲類有M件，從所有物品中任取n件，則中所含甲類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值m時(shí)的概率為，我們稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布.
①②中的變量不符合超幾何分布的定義，無(wú)法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故①②錯(cuò)誤；
③中的變量符合超幾何分布的定義選項(xiàng)，將白球視作甲類物品，黑球視作乙類物品，則可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故③正確；
④中的變量可以對(duì)應(yīng)取出的白球個(gè)數(shù)，符合超幾何分布的定義選項(xiàng)，可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故④正確.
故選：B．
【典例2】（多選）（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是（　　）
A．X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)
B．X表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和
C．有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件數(shù)為X
D．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X（N－M＞n＞0）
【答案】ABC
【詳解】對(duì)于A，設(shè)事件為“拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則，
而在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生了次的概率，符合二項(xiàng)分布的定義，不是超幾何分布，故A正確；
對(duì)于B，的取值是，
且，顯然不符合超幾何分布的定義，因此不服從超幾何分布，故B正確．
C和D的區(qū)別：C是“有放回”抽取，而D是“無(wú)放回”抽取，顯然D中次試驗(yàn)是不獨(dú)立的，因此D服從超幾何分布，對(duì)于C有服從二項(xiàng)分布，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題中，哪些屬于超幾何分布問(wèn)題，說(shuō)明理由．
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是的骰子的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；
(2)有一批種子的發(fā)芽率為，任取顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；
(3)盒子中有紅球只，黃球只，藍(lán)球只，任取只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；
(4)某班級(jí)有男生人，女生人．選派名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為，求的分布列；
(5)現(xiàn)有臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測(cè)，抽取臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為，求的分布列．
【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析
(2)不是，理由見(jiàn)解析
(3)是，理由見(jiàn)解析
(4)是，理由見(jiàn)解析
(5)不是，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：樣本沒(méi)有分類，是重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，不是超幾何分布問(wèn)題.
（2）解：樣本沒(méi)有分類，是重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，不是超幾何分布問(wèn)題.
（3）解：樣本符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，
隨機(jī)變量表示抽取件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．
（4）解：樣本符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，
隨機(jī)變量X表示抽取件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．
（5）解：樣本沒(méi)有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無(wú)法計(jì)算的分布列，所以不屬于超幾何分布問(wèn)題．
【變式1】（2023下·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為
B．某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊次，記命中的次數(shù)為
C．從男女共名學(xué)生干部中選出名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為
D．盒中有個(gè)白球和個(gè)黑球，每次從中摸出個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為
【答案】C
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為，
則服從二項(xiàng)分布，A不滿足；
對(duì)于B選項(xiàng)，某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊次，記命中的次數(shù)為，則服從兩點(diǎn)分布，B不滿足；
對(duì)于C選項(xiàng)，從男女共名學(xué)生干部中選出名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為，
則服從超幾何分布，C滿足；
對(duì)于D選項(xiàng)，盒中有個(gè)白球和個(gè)黑球，每次從中摸出個(gè)球且不放回，
記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為，則不服從超幾何分布，D不滿足.
故選：C.
【變式2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是（　　）
A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X
B．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為X
C．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X
D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A中，將一枚硬幣連拋3次，每次正面向上的概率均為，所以正面向上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布；
對(duì)于B中，從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為服從超幾何分布；
對(duì)于C中，某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，可得命中目標(biāo)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布；
對(duì)于D中，盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)的取值為，
而超幾何分布定義為，即從N個(gè)物件（包含M個(gè)指定種類的物件）中抽出n個(gè)物件，成功抽出指定種類的物件的次數(shù)（不放回），故不服從超幾何分布.
故選：ACD.
【變式3】（2023下·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于超幾何分布的敘述中，正確的是（ ）
A．X的可能取值為0，1，2，…，20 B．
C．X的數(shù)學(xué)期望 D．當(dāng)k＝8時(shí)，最大
【答案】ACD
【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義得到的可能取值為0，1，2，20，，，故AC正確，B錯(cuò)；
，解得，所以時(shí)最大，故D正確.
故選：ACD.
題型02 超幾何分布的概率
【典例1】（2024上·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期末）一袋中裝有大小 質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，至少含有一個(gè)黑球的概率是.
故選：B.
【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【詳解】隨機(jī)變量可取，
，，，，
，
故選：C
【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）從一批含有6件正品，2件次品的產(chǎn)品中一次性抽取3件，設(shè)抽取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意知X服從超幾何分布，則.
故選：C
【典例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋中共有個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個(gè)球，至少得到個(gè)白球的概率是，則白球的個(gè)數(shù)為 .
【答案】
【詳解】設(shè)有白球個(gè)，因?yàn)閺拇腥我饷鰝€(gè)球，至少得到個(gè)白球的概率是，
所以，解得或（舍去）.
故答案為：5
【變式1】（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知在件產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可知，件產(chǎn)品中有件次品，件正品，
從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，
表示要從件次品中抽取件，從件正品中抽取件，
故.
故選：B.
【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報(bào)演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【詳解】由題意知X服從超幾何分布，X的可能取值為0，1，2，
故，
，
于是.
故選：C.
【變式3】（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選出4人去參加某項(xiàng)比賽，設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為，則 .
【答案】/0.5
【詳解】因 .
故答案為：.
【變式4】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）為慶祝第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國(guó)杭州舉行，杭州某中學(xué)舉辦了一次“亞運(yùn)知識(shí)知多少”的知識(shí)競(jìng)賽.參賽選手從7道題（4道多選題，3道單選題）中隨機(jī)抽題進(jìn)行作答，若某選手先隨機(jī)抽取2道題，再隨機(jī)抽取1道題，則最后抽取到的題為多選題的概率為 .
【答案】
【詳解】設(shè)先抽取2道題中多選題的題數(shù)為，則的可能取值為：0，1，2，
可得：，
所以最后抽取到的題為多選題的概率為.
故答案為：.
題型03 超幾何分布均值與方差（選填）
【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)每個(gè)球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意知，
則，，．
所以．故A正確.
故選：A.
【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意可知，X可能取1，2，3，且服從超幾何分布，
故
所以
，
，
故選：D．
【典例3】（多選）（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）在一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，設(shè)這4個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A．服從二項(xiàng)分布 B．的值最小為1
C． D．
【答案】BCD
【詳解】依題意知隨機(jī)變量服從參數(shù)為6，4，3的超幾何分布，故A錯(cuò)誤；
的所有可能取值為1，2，3，所以的值最小為1，故B正確；
，故C正確；
，故D正確.
故選：BCD
【典例4】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為 .若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則 .
【答案】 3 /0.36
【詳解】設(shè)袋中黑球有n個(gè)，則從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，可得，該事件服從超幾何分布，
由題可知，取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)的可能取值為1，2，3，
由超幾何分布事件分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，
，
，
可得分布列如下：
1 2 3
則，
.
故答案為：;
【變式1】（2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【詳解】由題可知，，解得，
X的可能取值為，
，，，，
∴.
故選：A
【變式2】（多選）（2024上·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且，，
故；
從而，故選項(xiàng)A正確；
，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；
，故選項(xiàng)D正確；
故選：ACD.
【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為 ．
【答案】1.2
【詳解】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中，，，
于是次品件數(shù)X的期望，
故答案為：1.2
【變式4】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則＝ ；＝ ．
【答案】 2
【詳解】依題意服從參數(shù)為的超幾何分布，
所以，.
故答案為：，2
題型04 超幾何分布均值與方差（解答）
【典例1】（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考期末）某袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，記取出白球的個(gè)數(shù)為X．
(1)寫(xiě)出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一個(gè)白球得一分，取出一個(gè)黑球得兩分，最后得分為Z，求出和的值．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，，
(2)，;
【詳解】（1）依題意，得，
，，，
所以隨機(jī)變量的分布列為
0 1 2
；
.
（2）依題意，得，
則，.
【典例2】（2024上·廣東廣州·高三校考期末）某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：
將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．
(1)求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
【答案】(1)，平均數(shù)670，中位數(shù)650，眾數(shù)600
(2)分布列見(jiàn)解析，
【詳解】（1）由題意知，
解得，
樣本平均數(shù)為，
由于，故中位數(shù)650，
眾數(shù)600．
（2）由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，
隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3．
，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
0 1 2 3
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．
【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)將在中國(guó)杭州舉行.杭州某中學(xué)高一年級(jí)舉辦了“亞運(yùn)在我心”的知識(shí)競(jìng)賽，其中1班，2班，3班，4班報(bào)名人數(shù)如下：
班號(hào) 1 2 3 4
人數(shù) 30 40 20 10
該年級(jí)在報(bào)名的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競(jìng)賽，每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中隨機(jī)抽取4個(gè)作答，至少答對(duì)3道的同學(xué)獲得一份獎(jiǎng)品，假設(shè)每位同學(xué)的作答情況相互獨(dú)立.
(1)求各班參加競(jìng)賽的人數(shù)；
(2)2班的小張同學(xué)被抽中參加競(jìng)賽，若該同學(xué)在預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中恰有3個(gè)答不對(duì)，記他答對(duì)的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)3,4,2,1
(2)分布列見(jiàn)解析，2.8
【詳解】（1）各班報(bào)名人數(shù)總共100人，抽取10人，抽樣比為，
故班分別抽取（人），（人），（人），（人）.
（2）由題意，的可能取值為1,2,3,4，
,
,
,
,
所以的分布列為：
1 2 3 4
【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）假設(shè)某市大約有800萬(wàn)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者，某電子商務(wù)公司對(duì)該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛(ài)好調(diào)查，
①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；
②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來(lái)自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)，，，
(2)①各組應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3，4，5，6；②分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因?yàn)榈谖逍〗M的頻數(shù)為2400，所以樣本容量．
因?yàn)榈诹〗M的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是．
由頻率之和為1，得，所以．
因?yàn)轭l率分布直方圖中的滿足，
所以．
所以代入中，得，
得，解得．所以．
（2）①因?yàn)榍?組的頻率之比為，
且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛(ài)好調(diào)查，
所以在應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是
．
②由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值是．則
故隨機(jī)變量的分布列為
0 1 2 3
故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．
【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來(lái)自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】分布列見(jiàn)解析，
【詳解】由題意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以．
【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某班為了慶祝我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個(gè)紅球，則分得個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目.
(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
【詳解】（1）記“一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，
可知有兩種可能：“2個(gè)紅球1個(gè)黃球”和“1個(gè)黑球，1個(gè)紅球，1個(gè)黃球”，
所以.
（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：
，
，
可得的分布列為
0 1 2 3
所以.
題型05二項(xiàng)分布與超幾何分布
【典例1】（2024上·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：
場(chǎng)次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)從上述10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求甲獲勝的概率；
(2)在上述10場(chǎng)比賽中，從甲得分不低于10分的場(chǎng)次中隨機(jī)選擇兩場(chǎng)，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每場(chǎng)比賽獲勝者唯一，且各場(chǎng)相互獨(dú)立，用上述10場(chǎng)比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來(lái)又將進(jìn)行6場(chǎng)投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場(chǎng)數(shù)，為乙獲勝的場(chǎng)數(shù)，為丙獲勝的場(chǎng)數(shù)，寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，
(3)
【詳解】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲共獲勝3場(chǎng)，分別是第3場(chǎng)，第8場(chǎng)，第10場(chǎng).
設(shè)表示“從10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，甲獲勝”，則.
（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲得分不低于10分的場(chǎng)次有6場(chǎng)，
分別是第2場(chǎng)，第3場(chǎng)，第5場(chǎng)，第8場(chǎng)，第9場(chǎng)，第10場(chǎng)，其中乙得分大于丙得分的場(chǎng)次有4場(chǎng)，
分別是第2場(chǎng)、第5場(chǎng)、第8場(chǎng)、第9場(chǎng).
所以的所有可能取值為0，1，2.
，，.
所以的分布列為
0 1 2
所以.
（3）由題意，每場(chǎng)比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場(chǎng)比賽，
而甲、乙、丙獲勝的場(chǎng)數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以
，，
故.
【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）某中學(xué)進(jìn)行校慶知識(shí)競(jìng)賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)抽取4道來(lái)回答．競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．
(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒(méi)有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．
【答案】(1)，
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）設(shè)甲答對(duì)題目的數(shù)目為，則，
可得，
又因?yàn)椋?br/>所以，.
（2）設(shè)乙答對(duì)的題目數(shù)為，可知的可能取值為0，1，2，3，4，
則，則有：
，
，
，
所以的分布列為：
10 25 40
【變式1】（2024上·山西·高三期末）一盒乒乓球中共裝有2只黃色球與4只白色球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3次，每次僅取1個(gè)球.
(1)若每次抽取之后，記錄抽到乒乓球的顏色，再將其放回盒中，記抽到黃球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求及；
(2)若每次抽取之后，將抽到的乒乓球留在盒外，記最終盒外的黃球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求及；
(3)在（1）（2）的條件之下，求.
【答案】(1)，
(2)，；
(3)
【詳解】（1）由題意知，每次取到黃球的概率為，故，
因?yàn)椋?br/>代入得，
同理可得，，，
故；（或者根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式直接求得結(jié)果）
（2）由題意可知服從超幾何分布，，
代入得，
同理可得，，
故；
（3）由（1）（2）知，
.
【變式2】（2024上·遼寧·高二盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）某學(xué)校高一，高二，高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生來(lái)了解學(xué)生的睡眠情況.
(1)應(yīng)從高一 高二 高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列：
②將這7名學(xué)生中“睡眠不足”的頻率視為該學(xué)校學(xué)生中“睡眠不足”的概率，若從該學(xué)校全體學(xué)生（人數(shù)較多）中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學(xué)生的人數(shù)，求Y的期望和方差：
【答案】(1)3人，2人，2人.
(2)①答案見(jiàn)解析；②，
【詳解】（1）由已知選取的三個(gè)年級(jí)的人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從高一 高二 高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取3人，2人，2人.
（2）①隨機(jī)變量X符合超幾何分布，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3.則
所以，隨機(jī)變量的分布列為
0 1 2 3
②取一個(gè)學(xué)生就是一次試驗(yàn)，有“睡眠不足”和“睡眠充足”兩個(gè)結(jié)果，抽3個(gè)學(xué)生相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)抽一個(gè)學(xué)生的試驗(yàn)，于是符合二項(xiàng)分布，所以
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末）口袋中有2個(gè)黑球，2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機(jī)變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由超幾何分布的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，.
故選：B
2．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)從3名女生和2名男生中隨機(jī)選出2名志愿者，用表示所選2名志愿者中男生的人數(shù)，則為（ ）
A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2
【答案】B
【分析】根據(jù)超幾何分布概率公式求出各取值的概率，然后由期望公式可得；也可根據(jù)超幾何分布的期望公式直接可得.
【詳解】的所有可能取值為，則.
所以，
所以.
另解：因?yàn)閄服從超幾何分布，所以.
故選：B.
3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)次品，任取產(chǎn)品個(gè)，取到的次品可能有個(gè)，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)超幾何分步的數(shù)學(xué)期望公式求解即可
【詳解】由題意，個(gè)
故選：A
4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，抽到正品數(shù)服從超幾何分布，結(jié)合超幾何分布的期望公式，即可求解.
【詳解】由題意，有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，
則抽到正品數(shù)服從超幾何分布，
所以抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是.
故選：B.
5．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，且．若8名黨員中有名男黨員，從這8人中選4名代表，記選出的代表中男黨員人數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布的期望和方差可得，再利用超幾何分布的概率公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得或，
又因?yàn)椋瑒t，可得，
則．所以，
故選：．
6．（2023下·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）某學(xué)校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可求得的值.
【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，
且，，，
因此，.
故選：B.
7．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）課桌上有12本書(shū)，其中理科書(shū)籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書(shū)，用隨機(jī)變量表示這6本書(shū)中理科書(shū)籍的本數(shù)，則概率為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題設(shè)易知服從超幾何分布，根據(jù)目標(biāo)式對(duì)應(yīng)概率的含義即可得答案.
【詳解】由題意，隨機(jī)變量表示這6本書(shū)中理科書(shū)籍的本數(shù)，且服從超幾何分布，
所以．
故選：A
8．（2023下·山東青島·高二校考期中）從裝有個(gè)白球，個(gè)紅球的密閉容器中逐個(gè)不放回地摸取小球. 若每取出個(gè)紅球得分，每取出個(gè)白球得分. 按照規(guī)則從容器中任意抽取個(gè)球，所得分?jǐn)?shù)的期望為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)取出小球的所有情況寫(xiě)出得分的所有可能，根據(jù)超幾何公式求得各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到其分布列，求出期望.
【詳解】解：設(shè)得分為，根據(jù)題意可以取，，.
則，，
，
則分布列為：
4 3 2
所以得分期望為.
故選：.
二、多選題
9．（2023下·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布
【答案】BC
【分析】根據(jù)超幾何分布的定義以及概率公式，可得答案.
【詳解】由題意知隨機(jī)變量服從超幾何分布；
的取值分別為0，1，2，3，4，
則，，
，，，
故選：BC．
10．（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．某學(xué)校有2023名學(xué)生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布
B．若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，則
C．若隨機(jī)變量X的方差，則
D．隨機(jī)變量則
【答案】AC
【分析】A選項(xiàng)由超幾何分布的定義可判斷；
B選項(xiàng)，利用公式可得；
C選項(xiàng)，利用公式可得；
D選項(xiàng)，利用二項(xiàng)分布和組合數(shù)的對(duì)稱性可得.
【詳解】A選項(xiàng)：根據(jù)超幾何分布的定義，可知A正確；
B選項(xiàng)：，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：，故C正確；
D選項(xiàng)：因所以，
根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性可知，，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題
11．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是 ．
【答案】
【分析】利用古典概型與對(duì)立事件的概率公式，結(jié)合超幾何分布即可得解.
【詳解】依題意，這20件產(chǎn)品中有件合格品，
所以該商家接收這批產(chǎn)品的概率為，
故商家拒收這批產(chǎn)品的概率為.
故答案為：.
12．（2023下·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會(huì)吸引來(lái)自世界各地的游客參觀旅游．已知購(gòu)買(mǎi)莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開(kāi)放洞窟，在這8個(gè)洞窟中莫高窟九層樓96號(hào)窟、莫高窟三層樓16號(hào)窟、藏經(jīng)洞17號(hào)窟被譽(yù)為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開(kāi)放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟的概率是 ．
【答案】/0.5
【分析】隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟包括2個(gè)或3個(gè)兩種情況,根據(jù)組合知識(shí)求得基本事件的個(gè)數(shù)后可得概率
【詳解】已知8個(gè)開(kāi)放洞窟中有3個(gè)最值得參觀，隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟包括2個(gè)或3個(gè)兩種情況.
所求概率為.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某商場(chǎng)為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)．袋中裝有18個(gè)除顏色外其余均相同的小球，其中8個(gè)是紅球，10個(gè)是白球．抽獎(jiǎng)?wù)邚闹幸淮纬槌?個(gè)小球，抽到3個(gè)紅球得一等獎(jiǎng)，抽到2個(gè)紅球得二等獎(jiǎng)，抽到1個(gè)紅球得三等獎(jiǎng)，抽到0個(gè)紅球不得獎(jiǎng)．求得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的概率．
【答案】得一等獎(jiǎng)的概率約為0.0686，得二等獎(jiǎng)的概率約為0.3431，得三等獎(jiǎng)的概率約為0.4412．
【分析】由題意，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，根據(jù)超幾何分布的概率公式得解.
【詳解】解：從18個(gè)小球中抽取3個(gè)時(shí)，有種等可能的結(jié)果，用X表示抽到的紅球數(shù)，
則，則
P（得一等獎(jiǎng)）．
P（得二等獎(jiǎng)）．
P（得三等獎(jiǎng)）．
因此，得一等獎(jiǎng)的概率約為0.0686，得二等獎(jiǎng)的概率約為0.3431，得三等獎(jiǎng)的概率約為0.4412．
14．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道試題，乙能答對(duì)其中的8道試題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題得0分．求：
(1)甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布；
(2)乙所得分?jǐn)?shù)的概率分布．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）依題意可得可能取的值為，，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列；
（2）依題意可得可能取的值為，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列.
【詳解】（1）由題意，甲能答對(duì)10道試題中的6題，且為甲答對(duì)隨機(jī)抽出的3題的試題數(shù)，
則隨機(jī)變量可能取的值為，，，．
所以，，
，，
隨機(jī)變量的分布列為
0 1 2 3
（2）由題意隨機(jī)變量可能取的值為，，，
所以，，，
的分布列為：
5 10 15
B能力提升
1．（2023上·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）ChatGPT是由人工智能研究實(shí)驗(yàn)室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話，ChatGPT的開(kāi)發(fā)主要采用PLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù).在測(cè)試ChatGPT時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，ChatGPT的回答被采納的概率為.
(1)在某次測(cè)試中輸入了7個(gè)問(wèn)題，ChatGPT的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這7個(gè)問(wèn)題中抽取3個(gè)，以表示這抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為，
（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問(wèn)題的輸入沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率.
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【詳解】（1）易知的所有取值為1，2，3，
此時(shí)，，，
所以的分布列為：
1 2 3
則；
（2）（ⅰ）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，
記“輸入的問(wèn)題有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件，
記“ChatGPT的回答被采納”為事件，
易知，
所以，，，
；
（ⅱ）若ChatGPT的回答被采納，則該問(wèn)題的輸入沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率
2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）某貧困縣在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農(nóng)科所為了對(duì)比兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗(yàn)田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）都在內(nèi)，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下：
(1)從種茶葉畝產(chǎn)的20個(gè)數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)，記這兩個(gè)數(shù)據(jù)中不低于56千克的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)在頻率分布直方圖中，若平均數(shù)大于中位數(shù)，則稱為“右拖尾分布”，若平均數(shù)小于中位數(shù)，則稱為“左拖尾分布”，試通過(guò)計(jì)算判斷種茶葉的畝產(chǎn)量屬于上述哪種類型.
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2)種茶的畝產(chǎn)屬于“左拖尾分布”.
【詳解】（1）畝產(chǎn)不低于56千克頻率為，
所以，畝產(chǎn)不低于56千克的數(shù)據(jù)共有個(gè)，
故的所有可能取值為0，1，2，
，，，
的分布列為
0 1 2
的數(shù)學(xué)期望
（2）根據(jù)以上直方圖數(shù)據(jù)，茶葉畝產(chǎn)平均數(shù)為：
，
設(shè)中位數(shù)為由得，
因?yàn)椋苑N茶的畝產(chǎn)屬于“左拖尾分布”.
3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開(kāi)心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過(guò)服裝搭配來(lái)營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過(guò)色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
(1)寫(xiě)出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；
(2)求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2).
【詳解】（1）設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，
，，，
所以X的分布列為：
X 4 3 2
P
故.
（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.
因?yàn)榇┘t色衣物的概率為，
則穿藍(lán)色衣物的概率為，
穿紅色連衣裙的概率為，穿藍(lán)色連衣裙的概率為，
則當(dāng)天穿連衣裙的概率為.
所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為.
4．（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過(guò)收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來(lái)認(rèn)識(shí)未知現(xiàn)象的一門(mén)科學(xué).面對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，首先要根據(jù)實(shí)際需求，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和描述，在此基礎(chǔ)上用各種統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的信息，推斷總體的情況，進(jìn)而解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個(gè)常用詞匯.同學(xué)們?cè)趯W(xué)完高中統(tǒng)計(jì)和概率相關(guān)章節(jié)后，探討了以下兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)幫他們解決：
(1)從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別寫(xiě)出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計(jì)算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是男生的概率，結(jié)合計(jì)算結(jié)果分析三種抽樣；
(2)一個(gè)袋子中有100個(gè)除顏色外完全相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.結(jié)合計(jì)算結(jié)果分析兩種摸球方式的特點(diǎn).
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為8；特點(diǎn)見(jiàn)解析.
【詳解】（1）設(shè)第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數(shù)組表示樣本點(diǎn)，設(shè)事件“抽到兩名男生”，
有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間
，
事件，則；
不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間
，事件，則；
按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再?gòu)呐谐橐蝗耍錁颖究臻g，
由于按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，則，因此，
計(jì)算表明，在總體的男、女生人數(shù)相同的情況下，
用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率為0.25；
用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率約為0.167，
用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽樣，可以有效地降低出現(xiàn)“極端”樣本的概率，
特別是，在按性別等比例分層抽樣中，全是男生的樣本出現(xiàn)的概率為0，
真正避免了這類極端樣本的出現(xiàn).所以改進(jìn)抽樣方法對(duì)于提高樣本的代表性很重要.
（2）對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為，且各次試驗(yàn)是獨(dú)立的，因此，
的分布列為，，
的數(shù)學(xué)期望為；
對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)不獨(dú)立，服從超幾何分布，
的分布列為，，
的數(shù)學(xué)期望為，
說(shuō)明：二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，
并且二者的均值相同.對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)小于時(shí)，每抽取一次后，對(duì)的影響小，
此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.
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