資源簡介

自主學習單
知識技能梳理
幾何題中出現(xiàn)“中點”后，往往需要根據(jù)不同的條件作出輔助線，中點問題是中考中常見的一種題型，對學生的幾何思維和解題能力提出了一定的挑戰(zhàn)。
與中點有關問題一般不會單獨考查，常在幾何圖形綜合題、圓的綜合題和幾何動態(tài)綜合題中涉及考查；在題干中出現(xiàn)時，常直接利用三角形中位線性質或中線的性質求解.
在解決中點問題時，學生需要靈活運用幾何知識和技巧，比如構造輔助線、觀察圖形特征等，來找到解題的方法。通過練習中點問題，學生可以培養(yǎng)自己的邏輯思維能力和幾何直覺，提高解題效率和準確性。
1.與中點有關的定理
(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(2)等腰三角形“三線合一”的性質.(3)三角形的中位線定理.(4)垂徑定理及其推論.
線段的中點把線段分成相等的兩部分，圖形中出現(xiàn)中點，可以引起我們豐富的聯(lián)想:中點往往和三角形的中線緊密聯(lián)系;中點還與中位線關系密切；如中點是在直角三角形的斜邊上，又可以應用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”結論;另外，中點還可以與中心對稱、垂徑定理相關。中點在線段的計算、線段倍分關系的證明、角的相等關系的證明、兩直線位置關系的判定等方面都有廣泛的應用。
2.與中點有關的輔助線
解答中點問題的關鍵是恰當?shù)靥砑虞o助線，如作中線倍長、作直角三角形的斜邊上的中線、構造三角形位線、構造中心對稱圖形等，常見的輔助線方法有：(1)構造三角形的中位線，如連結三角形兩邊的中點;取一邊的中點，然后與另一邊的中點相連結;過三角形一邊的中點作另一邊的平行線等.(2)延長角平分線的垂線，構造等腰三角形的“三線合一”.(3)把三角形的中線延長一倍，構造平行四邊形.
3.中點問題常見的模型有：
模型一 三角形中線
特征：出現(xiàn)三角形一邊的中點.
涉及定理（性質）：三角形中線等分三角形面積.
AD是△ABC的中線，
則S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
例1.如圖，在 ABC中，D,E分別是BC，AD的中點，點F在BE上，且EF=2BF. 若S BCF=2cm2,則S ABC 為( ).
A.4cm2 B.8cm2 C.12cm2 D.16cm2
針對訓練：
1.
若D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，CD邊上的中點，四邊形ADFE的面積為6．
①求△ABC的面積；
②若G是BC邊上一點，CG＝2BG，求△FCG的面積．
模型二 三角形中位線
特征：多個中點出現(xiàn)或平行＋中點（中點在平行線上）.
涉及定理（性質）：三角形中位線定理.
在三角形中，如果有中點，可構造三角形的中位線
DE∥BC且DE＝BC，△ADE∽△ABC，可以解決線段之間的相等或比例關系及平行問題.
例2.（2023山東泰安）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點A的坐標為（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，連接BC，點M是BC中點，連接AM．將Rt△COD以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段AM的最小值是（　　）
A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
例3.（2023四川巴中）如圖，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分別為AC、BC中點，連接AE、BD相交于點F，點G在CD上，且DG：GC＝1：2，則四邊形DFEG的面積為（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
針對訓練：
1.△ABC中，BD和CE分別是AC和AB上的中線，且BD與CE互相垂直，BD＝8，CE＝12，則△ABC的面積是　 　．
2.（2023四川德陽）如圖， ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點O，分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
模型三 倍長中線
特點：三角形中出現(xiàn)中線或類中線(與中點有關的線段).
當遇見中線或者中點時，可以嘗試用倍長中線法構造全等三角形，證線段間的數(shù)量關系.
例4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是 ．
針對訓練：
1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是 ．
2.（2020 泰安中考）若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如圖（1），點B是DE的中點，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；
（2）如圖（2），若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F，使CF＝CD．
求證：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC．
模型四 等腰三角形“三線合一”
特點：在等腰三角形中，底邊有中點.
等腰三角形中有底邊上的中點時，常作邊的中線.
由等腰三角形“三線合一”得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，常常用于解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題.
如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN的長為________.
例5.（2023四川自貢）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M，N分別是斜邊DE，AB的中點，DE＝2，AB＝4．
將△CDE繞頂點C逆時針旋轉120°（如圖2），求MN的長．
針對訓練：
1. （2023天津）如圖，在邊長為3的正方形ABCD的外側，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面積為 　 　；
（2）若F為BE的中點，連接AF并延長，與CD相交于點G，則AG的長為 　　．
2.（2023四川自貢）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M，N分別是斜邊DE，AB的中點，DE＝2，AB＝4．
將△CDE繞頂點C旋轉一周，請直接寫出點M，N距離的最大值和最小值.
模型五 直角三角形“斜邊上的中線”
特點：在直角三角形中，有斜邊上的中點.
涉及定理：直角三角形斜邊中線定理（如果一個三角形是直角三角形,那么這個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.
在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，常會作斜邊上的中線.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D為AB的中點,作斜邊上的中線CD，
則有CD＝AD＝BD＝.
作用：①證明線段相等或求線段長；
②構造角相等進行等量代換.
例6.（2023深圳適應性考試）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°, 對角線AC與BD相交于點E，若BE=3DE，則BD=__________.
針對訓練：
1.（四川涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是 　　．
2.如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
模型六：圓中弦、弧的中點
特點：圓中出現(xiàn)中點.
圓中遇到弦、弧的中點，常聯(lián)想“垂徑定理”“圓周角定理”“弦、弧、圓心角、圓周角之間的關系”.
例7.（2023四川宜賓）如圖，已知點A，B，C在⊙O上，C為的中點．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（　　）
A．140° B．120° C．110° D．70°
針對訓練
1.（2023四川內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P在上，點Q是的中點，則∠CPQ的度數(shù)為（　　）
A．30° B．45° C．36° D．60°
2.（2023 南充）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，M分別是弦AC，弧AC的中點，AC＝12，BC＝5，則MD的長是 　 　．
模型七：平面直角坐標系中的中點坐標
特點：在平面直角坐標系中出現(xiàn)中點.
如圖，在平面直角坐標系中，已知，點M為線段AB的中點，則點M的坐標為 .
針對性訓練
1.（2023山東濟寧）如圖，直線y＝﹣x+4交x軸于點B，交y軸于點C，拋物線y＝﹣x2+3x+4經(jīng)過B，C兩點，交x軸負半軸于點A，P為拋物線上一動點，點P的橫坐標為m，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，直線MN交y軸于點D．
若，設直線MN交直線BC于點E，是否存在這樣的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
針對訓練
1.（2023年安徽）如圖，O是坐標原點，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點C．
（1）k＝　　；
（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2﹣BD2的值為 　 　．
2.（2023年北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．
（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；
（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
.詳細答案
模型一 三角形中線
例1.如圖，在 ABC中，D,E分別是BC，AD的中點，點F在BE上，且EF=2BF. 若S BCF=2cm2,則S ABC 為( ).
A.4cm2 B.8cm2 C.12cm2 D.16cm2
答案：C
【解析】
∵點E是AD的中點，
∴，．
∵點D是BC的中點，
∵EF=2BF，
針對訓練：
1.
若D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，CD邊上的中點，四邊形ADFE的面積為6．
①求△ABC的面積；
②若G是BC邊上一點，CG＝2BG，求△FCG的面積．
解：①設△CEF的面積為a，
∵F是CD的中點，
∴S△DEF＝a，
∴S△CDE＝2a，
同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，
∴S四邊形ADFE＝3a，
∵四邊形ADFE的面積為6．
∴3a＝6，即a＝2，
∴S△ABC＝8a＝16；
②如圖，連接DG，
∵CG＝2BG，
∴S△DCG＝2S△DBG，
∴ ，
∵F是CD的中點，
∴ ．
模型二 三角形中位線
例2.（2023山東泰安）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點A的坐標為（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，連接BC，點M是BC中點，連接AM．將Rt△COD以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段AM的最小值是（　　）
A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
【分析】由點M是BC中點，想到構造中位線，取OB中點，再利用三角形兩邊之差的最值模型．
【解答】 解：取OB中點N，連接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分別是BC、OB的中點，
∴MN＝OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN﹣MN；當M運動到AN上時，AM＝AN﹣MN，
∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，
∴線段AM的最小值是3，
故選：A．
例3.（2023四川巴中）如圖，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分別為AC、BC中點，連接AE、BD相交于點F，點G在CD上，且DG：GC＝1：2，則四邊形DFEG的面積為（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【答案】B
【分析】連接DE，由D、E分別為AC、BC中點，可得DEAB＝3cm，DE∥AB，即得△DEF∽△BAF，故（）2，，可得S△ABFS△ABEAB BE＝8（cm2），故S△DEFS△ABF＝2（cm2），又S△DECDE CE＝6（cm2），DG：GC＝1：2，可得S△DEGS△DEC＝2（cm2），從而S四邊形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
【解答】解：連接DE，如圖：
∵D、E分別為AC、BC中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DEAB＝3cm，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴（）2，，
∴，
∴S△ABFS△ABEAB BE68＝8（cm2），
∴S△DEFS△ABF＝2（cm2），
∵S△DECDE CE3×4＝6（cm2），DG：GC＝1：2，
∴S△DEGS△DEC＝2（cm2），
∴S四邊形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
∴四邊形DFEG的面積為4cm2，
故選：B．
針對練習：
1.△ABC中，BD和CE分別是AC和AB上的中線，且BD與CE互相垂直，BD＝8，CE＝12，則△ABC的面積是　 　．
解：連接DE，過點E作EF∥BD，交CB的延長線于點F．
∵BD和CE分別是兩邊上的中線，
∴DE＝BC，
∵四邊形BDEF為平行四邊形，
∴BF＝DE，
∴BF＝CF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△BEC＝S△ACE，
∴S△ABC＝S△CEF＝×12×8÷2＝64．
故答案為：64．
2.（2023四川德陽）如圖， ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點O，分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
【分析】先判定四邊形OCFD為菱形，找出當GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值．過D點作DM⊥AC于M，過G點作GP⊥AC與P，則GP∥OD，利用平行四邊形的面積求解DM的長，再利用三角形的中位線定理可求解PG的長，進而可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四邊形OCFD為菱形，
∴點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，
∴當GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值．
過D點作DM⊥AC于M，過G點作GP⊥AC與P，則GP∥OD，
∵矩形ABCD的面積為12，AC＝6，
∴2×AC DM＝12，
即2××6 DM＝12，
解得DM＝2，
∵G為CD的中點，
∴GP為△DMC的中位線，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值為1．
故選：A．
模型三 倍長中線
例4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是 ．
【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
延長CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點，
∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，∴CHAH＝4，
∴△ABC的面積＝S△ACH4×48.
答案：8
針對訓練
1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是 ．
【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
延長CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點，
∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，∴CHAH＝4，
∴△ABC的面積＝S△ACH4×48.
答案：8
2.（2020 泰安中考）若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如圖（1），點B是DE的中點，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；
（2）如圖（2），若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F，使CF＝CD．
求證：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC．
【解析】（1）四邊形BEAC是平行四邊形，
理由如下：∵△AED為等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中點，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四邊形BEAC是平行四邊形；
（2）①∵△ABC和△AED均為等腰三角形，
∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，
∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
②延長FG至點H，使GH＝FG，
∵G是EC的中點，∴EG＝DG，
又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC
模型三 等腰三角形“三線合一”
例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN的長為________.
答案：
解析：連接AM.
∵在△ABC中，AB＝AC,M為BC的中點，
∴AM BC,CM=BC=3.
在RtAMC中，AC=5，CM=3，
∴AM=4，
∴MN==.
例5.（2023四川自貢）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M，N分別是斜邊DE，AB的中點，DE＝2，AB＝4．
將△CDE繞頂點C逆時針旋轉120°（如圖2），求MN的長．
【分析】連接CM，CN，作NH⊥MC交MC延長線于H，由等腰直角三角形的性質推出CN＝AB＝2，CM＝DE＝1，由旋轉的性質得到∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，由直角三角形的性質得到CH＝CN＝1，NH＝CH＝，由勾股定理即可求出MN＝＝．
【解答】解：
連接CM，CN，作NH⊥MC交MC延長線于H，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中點，
∴CN＝AB＝2，
同理：CM＝DE＝1，
∵△CDE繞頂點C逆時針旋轉120°，
∴∠MCN＝120°，
∴∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，
∴CH＝CN＝1，
∴NH＝CH＝，
∵MH＝MC+CH＝2，
∴MN＝＝．
針對訓練：
1. （2023天津）如圖，在邊長為3的正方形ABCD的外側，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面積為 　 　；
（2）若F為BE的中點，連接AF并延長，與CD相交于點G，則AG的長為 　　．
【分析】（1）過E作EM⊥AD于M，根據(jù)等腰三角形的性質得到AM＝DM＝AD＝，根據(jù)勾股定理得到EM＝＝2，根據(jù)三角形的面積公式即可得到△ADE的面積為；（2）過E作AD的垂線交AD于M，AG于N，BC于P，根據(jù)正方形的性質得到EF⊥BC，推出四邊形ABPM是矩形，得到PM＝AB＝3，AB∥EP，根據(jù)全等三角形的性質得到EN＝AB＝3，根據(jù)勾股定理即可得到結論．
解：（1）過E作EM⊥AD于M，
∵．AD＝3，
∴AM＝DM＝AD＝，
∴EM＝＝2，
∴△ADE的面積為；
故答案為：3；
（2）過E作AD的垂線交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴EP⊥BC，
∴四邊形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝3，AB∥EP，
∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF，
∵F為BE的中點，
∴BF＝EF，
在△ABF與△NEF中，
，
∴△ABF≌△NEF（ASA），
∴EN＝AB＝3，
∴MN＝1，
∵PM∥CD，
∴AN＝NG，
∴GD＝2MN＝2，
∴AG＝＝，
故答案為：．
2.（2023四川自貢）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M，N分別是斜邊DE，AB的中點，DE＝2，AB＝4．
將△CDE繞頂點C旋轉一周，請直接寫出點M，N距離的最大值和最小值.
【分析】以C為圓心，CM長為半徑畫圓，連接CN交DE于M1，延長NC交圓于M2，由等腰直角三角形的性質，推出CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，M1是DE中點，CM1＝DE＝×2＝1，即可求出M、N距離的最小值和最大值；
解：以C為圓心，CM長為半徑畫圓，連接CN交DE于M1，延長NC交圓于M2，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中點，
∴CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE中點，
∴CM1＝DE＝×2＝1，
∴M、N距離的最小值是NM1＝CN﹣CM1＝2﹣1＝1，M、N距離的最大值是NM2＝CN+CM2＝2+1＝3．
模型五：直角三角形“斜邊上的中線”
例6.（2023深圳適應性考試）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°, 對角線AC與BD相交于點E，若BE=3DE，則BD=__________.
答案：
解析：
針對訓練：
1.（四川涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是 　　．
答案：1+．
解：取AB中點D，連OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝＝，
∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴OD＝AB＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值為1+．
故答案為：1+．
2.如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
【解析】選C．∵CD⊥AB，F(xiàn)為邊AC的中點，
∴DFAC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°.
模型六：圓中弦、弧的中點
例7.（2023四川宜賓）如圖，已知點A，B，C在⊙O上，C為的中點．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（　　）
A．140° B．120° C．110° D．70°
答案：A
【分析】連接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C為的中點．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．
【解答】解：連接OC，如圖：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C為的中點．
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故選：A．
針對訓練
1.（2023四川內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P在上，點Q是的中點，則∠CPQ的度數(shù)為（　　）
A．30° B．45° C．36° D．60°
【分析】先計算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，圓周角定理計算即可．
【解答】解：如圖，連接OC，OD，OQ，OE，
∵正六邊形ABCDEF，Q是的中點，
∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，
故選：B．
2.（2023 南充）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，M分別是弦AC，弧AC的中點，AC＝12，BC＝5，則MD的長是 　 　．
【考點】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系．版權所有
【分析】根據(jù)垂徑定理得OM⊥AC，根據(jù)圓周角定理得∠C＝90°，根據(jù)勾股定理得AB13，根據(jù)三角形中位線定理得ODBC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
【解答】解：∵點M是弧AC的中點，
∴OM⊥AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵AC＝12，BC＝5，
∴AB13，
∴OM＝6.5，
∵點D是弦AC的中點，
∴ODBC＝2.5，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
故答案為：4．
10.（2023山東濟寧）如圖，直線y＝﹣x+4交x軸于點B，交y軸于點C，拋物線y＝﹣x2+3x+4經(jīng)過B，C兩點，交x軸負半軸于點A，P為拋物線上一動點，點P的橫坐標為m，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，直線MN交y軸于點D．
若，設直線MN交直線BC于點E，是否存在這樣的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

【分析】根據(jù) MN＝2ME，確定E點坐標，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求解．
【解答】解：存在，理由如下：
分兩種情況討論：
當點E為線段MN的中點時
∵PM∥x軸
∴P點、M點關于拋物線對稱軸直線x=對稱.
∴M（3-m，-m2+3m+4),N(m,0)
∵點E為線段MN的中點，
∴點E的橫坐標 ，
點E的縱坐標為
∵點E在直線y＝﹣x+4上，
針對性訓練
1.（2023年安徽）如圖，O是坐標原點，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點C．
（1）k＝　　；
（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2﹣BD2的值為 　 　．
解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴，
∴，
∵C是OB的中點，
∴C（，1）．
∵反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點C，
∴，
解得k＝．
故答案為：．
（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴AC的解析式為y＝﹣x+2，
∵AC∥BD，
∴直線BD的解析式為y＝﹣x+4，
∵點D既在反比例函數(shù)圖象上，又在直線BD上，
∴聯(lián)立得，
解得，
2.（2023年北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．
（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；
（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵對稱軸為x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側，
∴＞t，
即t≤．

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