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幾何最值之將軍飲馬
什么是將軍飲馬——傳聞在亞歷山大有一位精通數學和物理的學者，名字叫海倫，有一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，并向他請教一個百思不得其解的問題。
如圖，將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲（yìn）馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使得行走的路程最短？
據說，海倫稍加思索就解決了它，此后，這個問題就被稱為“將軍飲馬”，并流傳至今；為了方便，接下來我們將這一系列問題簡化為一般的數學問題進行再次研究:
一、兩定一動求最值
類型一：兩定一動求最小值——如圖，在直線兩側各有一個定點，分別是點A、B，怎樣在直線上找到一點P，使得PA＋PB的值最小？
由“兩點間線段最短”可得當A、P、B三點共線時，PA＋PB的值最小，即為AB的長度——連接AB，AB與的交點即為點P，如圖所示：
如圖，在直線同側有A、B兩個定點，怎樣在直線上找到一點P，使得PA＋PB的值最小？
和上題相比，這個問題就難在PA＋PB不是一條線段，而是一段折線段，由“兩點之間線段最短”和“點到直線間，垂線段最短”可以將這個問題中的折線段轉化為直線段——作點A關于的對稱點A’，連接A’B，A’B與直線的交點即為點P。
【課堂練習】
1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，動點P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點P到A，B兩點距離之和PA+PB的最小值為　　．
2. 如圖，正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，點C在正方形ABEF外，在對角線BF上有一點P，使PC＋PE最小，則這個最小值的平方為（ ）
A. B. C. 12 D.
3.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數為多少？
3. 如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD,BC＝ AD，點E為AD的中點，點F為AE的中點，AC⊥CD，連接BE、CE、CF.
（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30 ，點P為BE上的動點，求△PAF的周長的最小值.
4 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90 ，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點E，連接CE
（1）說明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直線DE上的一點，則當P在何處時，PB＋PC最小，并求出此時PB＋PC的值.
類型二：兩定一動求最大值——如圖，在直線同側有A、B兩個定點，怎樣在直線上找到一點P，使得的值最大？
連接AB并延長與的交點即為點P，如圖所示：
如圖，在直線兩側各有一個定點，分別是點A、B，怎樣在直線上找到一點P，使得的值最大？
作點B關于直線的對稱點B’，連接AB’并延長與的交點即為點P，如圖所示：
如圖，在直線同側有A、B兩個定點，怎樣在直線上找到一點P，使得的值最小？
構圖：連接AB，作AB的垂直平分線與直線交于點P，此時為0，如圖所示：
【課堂練習】
1.如圖，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分線交AC于點N，交AB于點M，AB＝12，△BMC的周長是20，若點P在直線MN上，則PA－PB的最大值為（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 2
2.如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60 ，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC,P為對角線BD上一點，則PM－PN的最大值為 .
二、一定兩動求最值
類型一：三段線段求最值——如圖，點P在∠AOB的內部，怎么樣在OA上找一點C，在OB上找一點D，使△PCD的周長最小？
別作點P關于OA、OB的對稱點P’、P’’，連接P’P’’，交OA、OB于點C、D，此時△PCD的周長最小，P’P’’即為△PCD的周長最小值。
【課堂練習】
1.如圖，在∠MON的邊OM,ON上分別有點A,D，且∠MON＝30 ，OA＝10，OD＝6，B，C兩點分別是邊OM,ON上的動點，則AC＋BC＋BD的最小值為 .
2.如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A＝90 ，∠C＝90 ，∠D＝60 ，AD＝3，AB＝，若點M、N分別為邊CD，AD上的動點，則△BMN的周長最小值為（ ）
A. B. C. 6 D. 3
3.如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數為（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
類型二：兩段線段求最值——如圖，點P在∠AOB的內部，怎么樣在OA上找一點C，在OB上找一點D，使PD＋CD的值最小？
作點P關于OB的對稱點P’，過點P’作P’C⊥OA交OB于點D，交OA于點C，此時PD＋CD的值最小，P’C即為PD＋CD的值最小.
【課堂練習】
1.如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠A＝120 ，點P,Q,K分別為線段BC,CD，BD上的任意一點，則PK＋QK的最小值為 .
2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分
別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是　　．
3.如圖，在銳角三角形ABC中，BC＝4 ，∠ABC＝45 ，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，試求CM＋MN的最小值.
類型三——兩定兩動。
1.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點，且PQ＝3，當CQ＝　　時，四邊形APQE的周長最小．
2.如圖，矩形ABCO的邊OC在x軸上，邊OA在y軸上，且點C的坐標為（8，0），點A的坐標為（0，6），點E、F分別足OC、BC的中點，點M，N分別是線段OA、AB上的動點（不與端點重合），則當四邊形EFNM的周長最小時，點N的坐標為　　．

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