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第04講 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質
課程標準 學習目標
①掌握雙曲線的簡單幾何性質，了解雙曲線中a，b，c，e的幾何意義及范圍。 ②會根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾何性質，會用雙曲線的幾何意義解決相關問題。 通過本節(jié)課的學習，要求掌握雙曲線的幾何量a，b，c，e的意義，會利用幾何量之間的關系，求相關幾何量的大小，會利用雙曲線的幾何性質解決與雙曲線有關的點、弦、周長、面積等問題
知識點01：雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 （） （）
圖形
性質 范圍 或 或
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標 ， ,
漸近線
離心率 ，，
a，b，c間的關系
【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）雙曲線的焦點坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為雙曲線方程為，
化為標準方程為：，所以，
由于焦點在軸上，所以焦點坐標為：.
故選：C.
知識點02：等軸雙曲線
（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線
①； ②離心率； ③兩漸近線互相垂直，分別為；
④等軸雙曲線的方程，；
【即學即練2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學校考階段練習）經過點且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的方程為
【答案】
【詳解】設所求雙曲線方程為：，
雙曲線經過點，，
所求雙曲線方程為：.
故答案為：.
知識點03：直線與雙曲線的位置關系
1、代數(shù)法：設直線，雙曲線聯(lián)立解得：
（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；
，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；
（2）時，
存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若，
時，，直線與雙曲線相交于兩點；
時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；
時，直線與雙曲線有一個交點；相切
不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；
直線與雙曲線相交于兩點；
【即學即練3】（2023·全國·高三專題練習）直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為 ．
【答案】2
【詳解】由，可得，解得或．當時，；當時，，所以直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為2．
故答案為：2
知識點04：弦長公式
1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與橢圓交于，兩點，則
為直線斜率
2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.
【即學即練4】（2023·高二課時練習）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為 ．
【答案】
【詳解】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設，，則，，
所以．
故答案為：
知識點05：雙曲線與漸近線的關系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）
【即學即練5】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設雙曲線的方程為，
因為，所以，則，
所以漸近線方程為.
故選：C.
知識點06：雙曲線中點弦的斜率公式
設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
【即學即練6】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：設，則，
兩式相減得直線的斜率為，
又直線過點，
所以直線的方程為，
經檢驗此時與雙曲線有兩個交點.
故選：A
題型01由雙曲線的方程求幾何性質
【典例1】（多選）（2023·海南·校考模擬預測）下列關于雙曲線說法正確的是（ ）
A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線
C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點
【典例2】（多選）（2023春·福建三明·高二校聯(lián)考開學考試）已知雙曲線，則不因的值改變而改變的是（ ）
A．焦距 B．頂點坐標
C．離心率 D．漸近線方程
【變式1】（多選）（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，則（ ）
A．實軸長為1 B．虛軸長為2
C．離心率 D．漸近線方程為
【變式2】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，下列結論正確的是（ ）
A．C的實軸長為 B．C的漸近線方程為
C．C的離心率為 D．C的一個焦點的坐標為
題型02根據(jù)雙曲線幾何性質求其標準方程
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·高二課時練習）與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線方程為 ．
【典例3】（2023秋·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）解答下列兩個小題：
（1）雙曲線：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；
（2）雙曲線實軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點相同，求雙曲線的標準方程．
【變式1】（2023春·廣東佛山·高二南海中學校考階段練習）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且焦點所在軸相同，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率，實半軸長為4，則雙曲線的方程為 .
題型03雙曲線的漸近線問題
【典例1】（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
3春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習）如圖所示，點是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足與雙曲線的左支的交點平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（ ）

A．3 B． C． D．
【變式1】（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的右焦點到C的一條漸近線的距離為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【變式2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線經過點，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【變式3】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知為雙曲線的左、右焦點，過作直線的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于兩點（如圖）.若構成以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程為 .

題型04雙曲線的離心率問題（定值）
【典例1】（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【典例2】（2023春·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學家托勒密在他的名著《數(shù)學匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當且僅當凸四邊形的四個頂點同在一個圓上時等號成立.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線C上關于原點對稱的兩點，滿足，若，則雙曲線的離心率 .
【典例3】（2023春·四川涼山·高二寧南中學校聯(lián)考期末）已知雙曲線，（，）的左、右焦點分別為，，過點作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點M，且，則雙曲線C的離心率為 .
【變式1】（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知雙曲線，為原點，分別為該雙曲線的左，右頂點分別為該雙曲線的左、右焦點，第二象限內的點在雙曲線的漸近線上，為的平分線，且線段的長為焦距的一半，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式2】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知直線是雙曲線（）的一條漸近線，則的離心率為 .
【變式3】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學校考期末）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為 .
題型05雙曲線的離心率問題（最值或范圍）
【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學校考模擬預測）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的左頂點為A，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點，其中點Q在y軸右側，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【變式1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）設點F為雙曲線的左焦點，經過原點O且斜率的直線與雙曲線C交于A B兩點，AF的中點為P，BF的中點為Q.若，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是 .
【變式3】（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學校考階段練習）已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是 .
題型06根據(jù)雙曲線的離心率求參數(shù)
【典例1】（2023春·陜西咸陽·高二校考階段練習）已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為
【變式1】（2023春·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）已知，是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，若的離心率為，則的值為（ ）
A．3 B． C．2 D．
【變式2】（2023·北京·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為2，則實數(shù) ．
題型07直線與雙曲線的位置關系
【典例1】（多選）（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·安徽六安·高二六安二中校考開學考試）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點，若A，B兩點在雙曲線的左支上，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【變式1】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點，則t的取值范圍是 ．
【變式2】（2023·上海崇明·上海市崇明中學校考模擬預測）記雙曲線的離心率為，若直線與無公共點，則的取值范圍為 .
【變式3】（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）若直線l過點，且與雙曲線有且只有一個公共點，則滿足條件的直線有 條．
題型08弦長問題
【典例1】（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.
(1)求C的標準方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若O為坐標原點，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.
【典例3】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線C的漸近線為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．
【變式1】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學校考期中）已知雙曲線的焦點為，，且該雙曲線過點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過左焦點作斜率為的弦AB，求AB的長；
(3)求的周長．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.
(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；
(2)求線段的中點的坐標和.
【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知雙曲線經過點，它的左焦點為，且到其漸近線的距離是．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交左支于一點，且的斜率是，求長．
題型09三角形面積問題
【典例1】（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則三角形的面積為（ ）
A．2 B． C． D．
【典例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學校考模擬預測）已知雙曲線：（）的離心率為3，焦點分別為，，點在雙曲線上.若的周長為，則的面積是 .
【典例3】（2023春·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）已知雙曲線，及直線.
(1)若與有且只有一個公共點，求實數(shù)的值；
(2)若與的左右兩支分別交于A、B兩點，且的面積為，求實數(shù)的值.
【變式1】（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線與雙曲線交于，兩點，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【變式2】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，其中與拋物線的焦點重合，點P在雙曲線C的右支上，若，且，則的面積為 .
【變式3】（2023·浙江·二模）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，是上一點，線段與交于點.
(1)證明：；
(2)若的面積為8，求直線的斜率.
題型10中點弦和點差法
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)經過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.
【典例3】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.
(1)求C的標準方程；
(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【變式1】（2023·高二課時練習）雙曲線的一條弦的中點為，則此弦所在的直線方程為 .
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線的方程.
【變式3】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）雙曲線的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直線l，經過點且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．
題型11雙曲線的定點、定值、定直線問題問題
【典例1】（2023春·全國·高二合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，，分別是線段，的中點，且，．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知點，，當與，不重合時，設直線，的斜率分別為，，證明：為定值．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到其中一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過右焦點作直線交雙曲線于兩點，過點作直線的垂線，垂足為，求證直線過定點.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．
(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標原點）；
(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由
【變式1】（2023·高二課時練習）已知雙曲線過點，且離心率
(1)求該雙曲線的標準方程：
(2)如果，為雙曲線上的動點，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.
【變式2】（2023·高二課時練習）已知雙曲線的左右頂點分別為.直線和兩條漸近線交于點,點在第一象限且,是雙曲線上的任意一點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)是否存在點P使得為直角三角形？若存在,求出點P的個數(shù)；
(3)直線與直線分別交于點,證明：以為直徑的圓必過定點.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）在①C的漸近線方程為 ②C的離心率為這兩個條件中任選一個，填在題中的橫線上，并解答．
已知雙曲線C的對稱中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，點在C上，且______．
(1)求C的標準方程；
(2)已知C的右焦點為F，直線PF與C交于另一點Q，不與直線PF重合且過F的動直線l與C交于M，N兩點，直線PM和QN交于點A，證明：A在定直線上．
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．
題型12雙曲線中的向量問題
【典例1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且點在C上．
(1)求C的方程；
(2)設C的上焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，且，求l的斜率．
【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，存在兩定點，與一動點A.已知直線與直線的斜率之積為3.
(1)求A的軌跡；
(2)記的左、右焦點分別為、.過定點的直線交于、兩點.若、兩點滿足，求的方程.
【變式1】（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級中學校考期末）已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．
【變式2】（2023秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實軸長為 ，且焦點在x軸上，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A．或 B．
C． D．
4．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點在的右支上，點在直線上，若，則雙曲線的離心率的取值
三、填空題
11．（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，且過點，則的焦距為 .
12．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點，則t的取值范圍是 ．
四、解答題
13．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）雙曲線的左、右焦點分別為，已知焦距為8，離心率為2，
(1)求雙曲線標準方程；
(2)求雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、實軸和虛軸長及漸近線方程.
14．（2023春·黑龍江雞西·高二雞西實驗中學校考期中）已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.
15．（2023春·浙江杭州·高二校考階段練習）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.
B能力提升
1．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為雙曲線右支上一個動點，則的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學校考階段練習）已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是 .
4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過左焦點作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點（在第一象限），是的中點，若是等邊三角形，則直線的斜率為 ．
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.
(1)求C的標準方程；
(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
2．（2023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考階段練習）已知等軸雙曲線的焦點在軸上，焦距為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)斜率為的直線過點，且直線與雙曲線的兩支分別交于、兩點，
①求的取值范圍；
②若是關于軸的對稱點，證明直線過定點，并求出該定點坐標.
3．（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，焦點在x軸上的雙曲線C過點，且有一條傾斜角為的漸近線.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設點F為雙曲線C的右焦點，點P在C的右支上，點Q滿足，直線交雙曲線C于A，B兩點，若，求點P的坐標.
第04講 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質
課程標準 學習目標
①掌握雙曲線的簡單幾何性質，了解雙曲線中a，b，c，e的幾何意義及范圍。 ②會根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾何性質，會用雙曲線的幾何意義解決相關問題。 通過本節(jié)課的學習，要求掌握雙曲線的幾何量a，b，c，e的意義，會利用幾何量之間的關系，求相關幾何量的大小，會利用雙曲線的幾何性質解決與雙曲線有關的點、弦、周長、面積等問題
知識點01：雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 （） （）
圖形
性質 范圍 或 或
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標 ， ,
漸近線
離心率 ，，
a，b，c間的關系
【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）雙曲線的焦點坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為雙曲線方程為，
化為標準方程為：，所以，
由于焦點在軸上，所以焦點坐標為：.
故選：C.
知識點02：等軸雙曲線
（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線
①； ②離心率； ③兩漸近線互相垂直，分別為；
④等軸雙曲線的方程，；
【即學即練2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學校考階段練習）經過點且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的方程為
【答案】
【詳解】設所求雙曲線方程為：，
雙曲線經過點，，
所求雙曲線方程為：.
故答案為：.
知識點03：直線與雙曲線的位置關系
1、代數(shù)法：設直線，雙曲線聯(lián)立解得：
（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；
，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；
（2）時，
存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若，
時，，直線與雙曲線相交于兩點；
時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；
時，直線與雙曲線有一個交點；相切
不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；
直線與雙曲線相交于兩點；
【即學即練3】（2023·全國·高三專題練習）直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為 ．
【答案】2
【詳解】由，可得，解得或．當時，；當時，，所以直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為2．
故答案為：2
知識點04：弦長公式
1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與橢圓交于，兩點，則
為直線斜率
2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.
【即學即練4】（2023·高二課時練習）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為 ．
【答案】
【詳解】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設，，則，，
所以．
故答案為：
知識點05：雙曲線與漸近線的關系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）
【即學即練5】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設雙曲線的方程為，
因為，所以，則，
所以漸近線方程為.
故選：C.
知識點06：雙曲線中點弦的斜率公式
設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
【即學即練6】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：設，則，
兩式相減得直線的斜率為，
又直線過點，
所以直線的方程為，
經檢驗此時與雙曲線有兩個交點.
故選：A
題型01由雙曲線的方程求幾何性質
【典例1】（多選）（2023·海南·校考模擬預測）下列關于雙曲線說法正確的是（ ）
A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線
C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點
【答案】ABD
【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；
雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，
故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；
焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，
根據(jù)點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；
橢圓的焦點為，根據(jù)C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.
故選：ABD
【典例2】（多選）（2023春·福建三明·高二校聯(lián)考開學考試）已知雙曲線，則不因的值改變而改變的是（ ）
A．焦距 B．頂點坐標
C．離心率 D．漸近線方程
【答案】CD
【詳解】由方程，則該雙曲線的標準方程為，即，，
則焦距為，頂點坐標為，離心率，漸近線方程為.
故選：CD.
【變式1】（多選）（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，則（ ）
A．實軸長為1 B．虛軸長為2
C．離心率 D．漸近線方程為
【答案】BCD
【詳解】由可知，，故實軸長為，虛軸長為，
離心率，漸近線方程為，即.
故選：BCD
【變式2】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，下列結論正確的是（ ）
A．C的實軸長為 B．C的漸近線方程為
C．C的離心率為 D．C的一個焦點的坐標為
【答案】C
【詳解】對A，C的實軸長為，A錯；
對B，C的漸近線方程為，B錯；
對C，C的離心率為，C對；
對D，C的焦點的坐標為，D錯.
故選：C
題型02根據(jù)雙曲線幾何性質求其標準方程
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】橢圓的標準方程為，故，可得焦點坐標為.
設雙曲線的方程為，
故，解得，
故雙曲線的標準方程為.
故選:A.
【典例2】（2023·高二課時練習）與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線方程為 ．
【答案】
【詳解】解：設雙曲線方程為，將點代入，
即，解得或（舍去），
故所求雙曲線方程為．
故答案為：
【典例3】（2023秋·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）解答下列兩個小題：
（1）雙曲線：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；
（2）雙曲線實軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點相同，求雙曲線的標準方程．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由，得，即，
又，即，
雙曲線的方程即為，點坐標代入得，解得．
所以，雙曲線的方程為．
（2）橢圓的焦點為，
設雙曲線的方程為，
所以，且，
所以，
所以，雙曲線的方程為．
【變式1】（2023春·廣東佛山·高二南海中學校考階段練習）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且焦點所在軸相同，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：因為橢圓的焦點在軸上，離心率，
所以所求雙曲線的焦點也在軸上，離心率，
即，所以，
又因為雙曲線的虛軸長為，
即，所以，
即，
所以，
所以所求雙曲線的方程為：.
故選：C.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率，實半軸長為4，則雙曲線的方程為 .
【答案】
【詳解】由已知可得 ,即得,所以雙曲線方程為:.
故答案為: .
題型03雙曲線的漸近線問題
【典例1】（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為，
∴由雙曲線兩條漸近線的夾角為，可得.
∴雙曲線的離心率為.
故選：C.
【典例2】（2023春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由得雙曲線的漸近線方程為．
∵雙曲線的離心率為2，
∴，解得，
∴雙曲線的漸近線方程為 ．
故選：A．
【典例3】（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習）如圖所示，點是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足與雙曲線的左支的交點平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】B
【詳解】設，則，
由雙曲線的定義得，，
又由得，即，解得，所以，
在直角中，由勾股定理得，即，
整理得，則，雙曲線的漸近線斜率為．
故選：B．
【變式1】（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的右焦點到C的一條漸近線的距離為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【詳解】依題意得，，，
所以，，，
所以漸近線方程為，右焦點為，
所以點到漸近線的距離為.
故選：A
【變式2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線經過點，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
【詳解】雙曲線經過點，
，，解得，所以雙曲線方程為，
又，則該雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：．
【變式3】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知為雙曲線的左、右焦點，過作直線的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于兩點（如圖）.若構成以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程為 .

【答案】
【詳解】由題意可得，由雙曲線的定義及點在右支上，，
又點在左支上，則，則，
在中，由余弦定理可得，
而與漸近線垂直，于是，即，從而得，
所以，即，化簡得，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：
題型04雙曲線的離心率問題（定值）
【典例1】（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為，
∴由雙曲線兩條漸近線的夾角為，可得.
∴雙曲線的離心率為.
故選：C.
【典例2】（2023春·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學家托勒密在他的名著《數(shù)學匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當且僅當凸四邊形的四個頂點同在一個圓上時等號成立.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線C上關于原點對稱的兩點，滿足，若，則雙曲線的離心率 .
【答案】/
【詳解】由雙曲線的左、右焦點分別為，及雙曲線上關于原點對稱的兩點，，
則，，可得四邊形為平行四邊形，

又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．
設，，
在中，，
則，，
，，，
，解得．
雙曲線的離心率為．
故答案為：．
【典例3】（2023春·四川涼山·高二寧南中學校聯(lián)考期末）已知雙曲線，（，）的左、右焦點分別為，，過點作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點M，且，則雙曲線C的離心率為 .
【答案】/
【詳解】
如圖所示，設，則，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因為，過M作軸于D，，
故，
即，故，
解之得（負值舍去）.
故答案為：
【變式1】（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知雙曲線，為原點，分別為該雙曲線的左，右頂點分別為該雙曲線的左、右焦點，第二象限內的點在雙曲線的漸近線上，為的平分線，且線段的長為焦距的一半，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【詳解】因為為的平分線，所以，
又因為，所以，
設，因為點在漸近線上，所以，
因為，所以，所以，所以，
又點在第二象限內，所以，，所以點的坐標為，
所以，所以，所以，
所以，可得，

故選：C.
【變式2】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知直線是雙曲線（）的一條漸近線，則的離心率為 .
【答案】
【詳解】因為直線是雙曲線的一條漸近線，
所以，所以C的離心率為.
故答案為：
【變式3】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學校考期末）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為 .
【答案】/
【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.
圓的標準方程為：，
故該圓的圓心為，半徑為2，
而圓心到漸近線的距離為，
故漸近線被該圓截得的弦長為，
整理得到：或，
而，故，故離心率為.
故答案為：.
題型05雙曲線的離心率問題（最值或范圍）
【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，
設，則點到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，即的最小值為，
因為恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故選：A.

【典例2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學校考模擬預測）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】依題意直線：，即，又，
所以，，
所以，所以，
即，即，解得，
又，所以.
故選：B
【典例3】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的左頂點為A，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點，其中點Q在y軸右側，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】依題意可得，以為直徑的圓的方程為，
不妨設雙曲線的這條漸近線方程為，
由，得：或，所以，
雙曲線的左頂點為，則，
所以，，
因為，所以，化簡得，
所以，所以，所以，
又，所以.
故答案為：

【變式1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由雙曲線（其中），
得，
則雙曲線離心率，
因為，所以，則，
所以，
所以，即雙曲線離心率的取值范圍為.
故選：A.
【變式2】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）設點F為雙曲線的左焦點，經過原點O且斜率的直線與雙曲線C交于A B兩點，AF的中點為P，BF的中點為Q.若，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】設雙曲線的右焦點為，根據(jù)雙曲線方程知，，則.
因為直線過原點，由對稱性，原點平分線段，
又原點平分線段，所以四邊形為平行四邊形.
在和中，分別有中位線，，，
因為，所以，所以四邊形為矩形，為直角三角形.
不妨設在第一象限，設直線傾斜角為，則，且，
在Rt中可得：，
所以，
因為，所以，
又在上為增函數(shù)，
所以.
故答案為：

【變式3】（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學校考階段練習）已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】解：因為經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，
所以由雙曲線的對稱性可知點B也在雙曲線的漸近線上，且B在第一象限，
因為，所以，則，
因為為直線的傾斜角，且，
所以在中，，且，
則，即，即，
即，解得，
所以該雙曲線離心率的取值范圍是，
故答案為：
題型06根據(jù)雙曲線的離心率求參數(shù)
【典例1】（2023春·陜西咸陽·高二校考階段練習）已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，雙曲線的離心率為，
可得，即，解得，
即雙曲線的漸近線的方程為.
故選：B.
【典例2】（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為
【答案】
【詳解】因為表示雙曲線的方程，
所以有，因此，
因為，
所以由
，
即k的取值范圍為，
故答案為：.
【變式1】（2023春·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）已知，是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，若的離心率為，則的值為（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因為,由余弦定理可得，
整理可得，所以，
即,解得或,又因為,即.
故選：A
【變式2】（2023·北京·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為2，則實數(shù) ．
【答案】
【詳解】由題知，，則方程表示焦點在軸上的雙曲線，
所以，則，
所以，解得：.
故答案為：.
題型07直線與雙曲線的位置關系
【典例1】（多選）（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【詳解】聯(lián)立，消去y得，.
因為直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，
所以方程有一正一負根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范圍為，故A，D符合題意.
故選：AD.
【典例2】（2023春·安徽六安·高二六安二中校考開學考試）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點，若A，B兩點在雙曲線的左支上，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】由得，
方程在有兩個不相等的負實根，
所以,解得.
故答案為：.
【變式1】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點，則t的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點，
則直線與雙曲線的兩個交點橫坐標均為正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范圍是.
故答案為：

【變式2】（2023·上海崇明·上海市崇明中學校考模擬預測）記雙曲線的離心率為，若直線與無公共點，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】，所以C的漸近線方程為，
結合漸近線的特點，只需，即，
可滿足條件“直線與C無公共點”.
所以，
又因為，所以.
故答案為：
【變式3】（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）若直線l過點，且與雙曲線有且只有一個公共點，則滿足條件的直線有 條．
【答案】4
【詳解】當直線l的斜率不存在時，直線為，與曲線有且只有一個公共點．
當直線l的斜率存在時，可設直線為，代入曲線方程整理得，若，則，此時有兩條分別平行于雙曲線的兩條漸近線的直線，與曲線有且只有一個公共點；
當時，則由，得，此時有一條直線與曲線相切，有且只有一個公共點．綜上，這樣的直線共有4條．
故答案為：4
題型08弦長問題
【典例1】（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.
(1)求C的標準方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.
【答案】(1)=1
(2)3
【詳解】（1）因為直線l經過C的右焦點，
所以該雙曲線的焦點在橫軸上，
因為雙曲線C兩條準線之間的距離為1，
所以有，
又因為離心率為2，
所以有代入中，可得，
∴C的標準方程為：；
（2）
由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，
所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關于y軸對稱，
所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.
又因為直線斜率的絕對值小于漸近線斜率的絕對值，
所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設直線l的斜率為，
方程為與雙曲線方程聯(lián)立為：
，
設，則有，
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若O為坐標原點，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由題意得：，，，
解得：，，，
雙曲線的標準方程為．
（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，
設直線的方程為，，，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
則，
原點到直線的距離為 ，
所以，
解得或，故 或，
故直線方程為或
【典例3】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線C的漸近線為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）由雙曲線漸近線方程為，可設雙曲線方程為：，
又雙曲線過點，
雙曲線的方程為：
（2）設，，聯(lián)立，化為．
∵直線與雙曲線C相交于A，B兩點，∴，化為．
∴，（*）
∵，∴．∴，
又，，∴，
把（*）代入上式得，化為．滿足．∴．
由弦長公式可得
【變式1】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學校考期中）已知雙曲線的焦點為，，且該雙曲線過點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過左焦點作斜率為的弦AB，求AB的長；
(3)求的周長．
【答案】(1)
(2)25
(3)54
【詳解】（1）因為雙曲線的焦點在軸上，設雙曲線方程為，
由題意得，解得，所以雙曲線方程為.
（2）依題意得直線AB的方程為，設，.
聯(lián)立，得，
，且，
所以.
（3）由（2）知A，B兩點都在雙曲線左支上，且，
由雙曲線定義，，
從而，
的周長為．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.
(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；
(2)求線段的中點的坐標和.
【答案】(1)證明見解析
(2)，
【詳解】（1）由雙曲線方程知：，則，
由得：，則，
與雙曲線有兩個不同的交點.
（2）設，，
由（1）得：，，；
；
.
【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知雙曲線經過點，它的左焦點為，且到其漸近線的距離是．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交左支于一點，且的斜率是，求長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）雙曲線的左焦點為，漸近線方程為，即
則到漸近線的距離為，
又將代入雙曲線方程得：，所以，
故雙曲線方程為；
（2）由題意可得直線的方程為：，即，
則，所以，解得，，即點橫坐標為，
所以.
題型09三角形面積問題
【典例1】（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則三角形的面積為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【詳解】設，則，
而，且，
所以，
故，
故選：D.
【典例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學校考模擬預測）已知雙曲線：（）的離心率為3，焦點分別為，，點在雙曲線上.若的周長為，則的面積是 .
【答案】
【詳解】解：設，
因為雙曲線：（）的離心率為3，
所以，即，
又的周長為，
所以，
由雙曲線的定義得，
解得 ，
由余弦定理得 ，
則 ，
所以 ，
故答案為：
【典例3】（2023春·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）已知雙曲線，及直線.
(1)若與有且只有一個公共點，求實數(shù)的值；
(2)若與的左右兩支分別交于A、B兩點，且的面積為，求實數(shù)的值.
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）由，消去，得①，
當，即時，方程①有一解，與僅有一個交點（與漸近線平行時）.
當，得與也只有一個交點（與雙曲線相切時），
綜上得的取值是或；
（2）設交點，由，消去，得，
首先由，得且，
并且，
又因為與的左右兩支分別交于A B兩點，
所以，即，解得，
故.
因為直線l與y軸交于點，
所以，
故.
解得或.
因為，所以.
【變式1】（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線與雙曲線交于，兩點，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【詳解】直線與雙曲線交于，兩點，若，
則四邊形為矩形，所以，，

由雙曲線可得，，則，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以．
故選：C．
【變式2】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，其中與拋物線的焦點重合，點P在雙曲線C的右支上，若，且，則的面積為 .
【答案】
【詳解】由雙曲線右焦點與拋物線的焦點重合，可得，所以，
設，則，
因為，所以，
則，解得，
所以，.
故答案為：
【變式3】（2023·浙江·二模）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，是上一點，線段與交于點.
(1)證明：；
(2)若的面積為8，求直線的斜率.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意在雙曲線左支上，在右支上，令且，
而，則線段中點為，又，則，
所以，則中點在雙曲線上或外部，
即，僅當重合時等號成立，故.
（2）若，則，
令，，聯(lián)立雙曲線，
則，而，則，，
所以，故，可得（負值舍），
所以，故直線斜率為.
題型10中點弦和點差法
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：設，則，
兩式相減得直線的斜率為，
又直線過點，
所以直線的方程為，
經檢驗此時與雙曲線有兩個交點.
故選：A
【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)經過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：雙曲線的漸近線為，即，
所以，
又焦點到直線的距離，所以，
又，所以，，所以雙曲線方程為
（2）解：設，，直線的斜率為，則，，
所以，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
經檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，
所以直線的方程為.
【典例3】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.
(1)求C的標準方程；
(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）解：因為雙曲線C的右焦點為，所以，可得，
又因為雙曲線C的一條漸近線經過點，可得，即，
聯(lián)立方程組，解得，
所以雙曲線C的標準方程為.
（2）解：假設存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，
設直線的斜率為，且，
則，兩式相減得，所以，
因為的中點為，所以，所以，解得，
直線的方程為，即，
把直線代入，整理得，
可得，該方程沒有實根，所以假設不成立，
即不存在過點的直線與C交于兩點，使得線段的中點為.
【變式1】（2023·高二課時練習）雙曲線的一條弦的中點為，則此弦所在的直線方程為 .
【答案】
【詳解】由雙曲線的對稱性可得此弦所在的直線斜率存在，
設弦的兩端分別為，，
則有，兩式相減得，
所以，
又因為弦的中點為，所以，
故直線斜率，
則所求直線方程為，整理得，
由得，
，故該直線滿足題意，
故答案為：
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線的方程.
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）由焦點可知，
又一條漸近線方程為
所以，
由可得 ,解得，，
故雙曲線的標準方程為
（2）設，AB中點的坐標為
則①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直線的方程為，即
【變式3】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）雙曲線的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直線l，經過點且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，
因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，
又焦點到直線的距離，所以，
又，所以，，所以雙曲線方程為
（2）假設存在，由題意知：直線的斜率存在，設，，直線的斜率為，則，，
所以，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
經檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，
所以直線的方程為.
題型11雙曲線的定點、定值、定直線問題問題
【典例1】（2023春·全國·高二合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，，分別是線段，的中點，且，．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知點，，當與，不重合時，設直線，的斜率分別為，，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為，，分別是線段，，的中點，
所以，．
因為，所以，
所以由雙曲線的定義知，解得．
設雙曲線的半焦距為（）．
因為，所以，
所以，所以．
所以雙曲線的標準方程為．
（2）設（），則，
所以，所以，所以．
因為，，所以，
所以，為定值．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到其中一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過右焦點作直線交雙曲線于兩點，過點作直線的垂線，垂足為，求證直線過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意，設右焦點的坐標為，
雙曲線的漸近線方程為：，
右焦點到其中一條漸近線的距離為，可得，
又因為，解得，
故雙曲線的標準方程為.
（2）當直線的斜率不為0時，設，則
聯(lián)立方程組，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直線過定點.
當直線的斜率為0時，此時直線:，此時均在軸上，故直線過定點.
綜上：直線過定點.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．
(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標原點）；
(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直線上，定直線
【詳解】（1）由題意得，所以，
設，，，
則，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直線l：，，
設，，
聯(lián)立得，
所以，所以，
設直線AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點G在定直線上．
【變式1】（2023·高二課時練習）已知雙曲線過點，且離心率
(1)求該雙曲線的標準方程：
(2)如果，為雙曲線上的動點，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）由題意，解得，，
故雙曲線方程為
（2）設點，，
設直線的方程為，
代入雙曲線方程，得，
，，，
同理，
.
【變式2】（2023·高二課時練習）已知雙曲線的左右頂點分別為.直線和兩條漸近線交于點,點在第一象限且,是雙曲線上的任意一點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)是否存在點P使得為直角三角形？若存在,求出點P的個數(shù)；
(3)直線與直線分別交于點,證明：以為直徑的圓必過定點.
【答案】(1) ；(2)4個；(3)證明過程見解析.
【詳解】(1)因為,所以,雙曲線的漸近線方程為：,由題意可知：
而,所以,因此雙曲線的標準方程為：；
(2)因為直線的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設點的坐標為：,則有.
當時,所以且,解得或此時存在2個點；
當時,所以且,,解得或,此時存在2個點；
當時,此時點是以線段為直徑圓上,圓的方程為：,與雙曲線方程聯(lián)立,無實數(shù)解,
綜上所述：點P的個數(shù)為4個；
(3)設點的坐標為,.
因為三點共線,所以直線的斜率相等,即
因為三點共線,所以直線的斜率相等,即 , 所以的中點坐標為：
,所以以為直徑的圓的方程為：,即
令或,因此該圓恒過兩點.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）在①C的漸近線方程為 ②C的離心率為這兩個條件中任選一個，填在題中的橫線上，并解答．
已知雙曲線C的對稱中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，點在C上，且______．
(1)求C的標準方程；
(2)已知C的右焦點為F，直線PF與C交于另一點Q，不與直線PF重合且過F的動直線l與C交于M，N兩點，直線PM和QN交于點A，證明：A在定直線上．
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）選①
因為C的漸近線方程為，所以，
故可設C的方程為，
代入點P的坐標得，可得，
故C的標準方程為．
選②．
因為C的離心率為，所以，得，
故可設C的方程為，
代入點P的坐標得，可得，
故C的標準方程為．
（2）由（1）可知F的坐標為，由雙曲線的對稱性，可知點Q的坐標為．
設點M，N的坐標分別為，直線l的方程為，
聯(lián)立直線和雙曲線方程得，
所以，，
直線PM：，即，
直線QN：，即，
消去y，得，
整理得，
則．
因為，所以A的橫坐標為1．
故A在定直線上．
題型12雙曲線中的向量問題
【典例1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且點在C上．
(1)求C的方程；
(2)設C的上焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，且，求l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由雙曲線標準方程可知，其漸近線方程為，所以，
可得，
將代入可得，解得；
所以雙曲線C的方程為.
（2）由（1）可知，上焦點，
設直線l的斜率為，，則直線l的方程為，
聯(lián)立整理得；
所以
又，即，可得，
所以，即，解得；
所以直線l的斜率為
【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，存在兩定點，與一動點A.已知直線與直線的斜率之積為3.
(1)求A的軌跡；
(2)記的左、右焦點分別為、.過定點的直線交于、兩點.若、兩點滿足，求的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【詳解】（1）設，由題意，化簡可得
所以A的軌跡為.
（2）由題設過定點的直線方程為，將其與
聯(lián)立有：，消去y得：
因交于、兩點，則
.
設，則由韋達定理有：.
又，則，
，
則.
又，
，解得，
則的方程為：或.
【變式1】（2023秋·浙江杭州·高二杭州高級中學校考期末）已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為雙曲線C：的漸近線方程為，
所以，
又因為雙曲線C：過點，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）由（1）知：，則，
由題意設直線方程為，令，得，則，
設，則，
因為，
所以，則，
解得，因為點Q在雙曲線上，
所以，解得，
所以直線l的斜率為.
【變式2】（2023秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，
所以到的一條漸近線的距離為，所以，
又，解得，所以的方程為．
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，易得，或，，
所以；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
所以，解得，
所以，，
所以綜上，．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為雙曲線，所以，，
所以，的離心率，故B，C，D錯誤.
故選：A.
2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設雙曲線的方程為，
因為，所以，則，
所以漸近線方程為.
故選：C.
3．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實軸長為 ，且焦點在x軸上，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由題可得，解得，
因為焦點在x軸上，所以雙曲線的標準方程為.
故選:C.
4．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點在的右支上，點在直線上，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設點的橫坐標為，，，即，
由題可知，，得．
故選：D.
5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于A，B兩點，若實數(shù)使得的直線恰有3條，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【詳解】左支內最短的焦點弦，又，
所以與左、右兩支相交的焦點弦長，
因為實數(shù)使得的直線恰有3條，
根據(jù)雙曲線對稱性可知：其中一條與實軸垂直，另兩條關于軸對稱.
如圖所示：

所以當時，有3條直線滿足題意.
故選：C
6．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則三角形的面積為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【詳解】設，則，
而，且，
所以，
故，
故選：D.
7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過原點的直線與交于點，，若，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【詳解】雙曲線，則，，，
由可得，設為右支上一點，為右焦點，連接、，
則四邊形為矩形，所以，
設，，則，，
所以.
故選：A
8．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，直線分別經過雙曲線的實軸和虛軸的一個端點，，到直線的距離和大于實軸長，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設直線經過，則直線的方程為，即，
則到直線的距離分別為，，
故，解得，
故離心率，故雙曲線的離心率的取值范圍是.
故選：B
二、多選題
9．（2023·海南·校考模擬預測）下列關于雙曲線說法正確的是（ ）
A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線
C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點
【答案】ABD
【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；
雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，
故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；
焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，
根據(jù)點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；
橢圓的焦點為，根據(jù)C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.
故選：ABD
10．（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】對于A項，的漸近線方程為，故A項錯誤；
對于B項，的漸近線方程為，故B項正確；
對于C項，的漸近線方程為，故C項正確；
對于D項，的漸近線方程為，故D項錯誤.
故選：BC.
三、填空題
11．（2023春·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，且過點，則的焦距為 .
【答案】
【詳解】因為雙曲線的漸近線方程是，故可設雙曲線的方程為：，
把點代入雙曲線方程可得，
所以雙曲線方程為，化為標準方程得，
所以，，，，
所以雙曲線的焦距為．
故答案為：．
12．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點，則t的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點，
則直線與雙曲線的兩個交點橫坐標均為正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范圍是.
故答案為：

四、解答題
13．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）雙曲線的左、右焦點分別為，已知焦距為8，離心率為2，
(1)求雙曲線標準方程；
(2)求雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、實軸和虛軸長及漸近線方程.
【答案】(1)
(2)答案見詳解
【詳解】（1）由題知，，解得，所以，
所以雙曲線標準方程為：.
（2）由（1）知，雙曲線焦點在x軸上，
所以雙曲線的頂點坐標為，焦點坐標為，實軸長，虛軸長，漸近線方程為，即.
14．（2023春·黑龍江雞西·高二雞西實驗中學校考期中）已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知，，
又，則，
所以雙曲線方程為.
（2）由，得，
則，
設，，則，，
所以.
15．（2023春·浙江杭州·高二校考階段練習）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由離心率又,所以，
又右頂點為，所以，所以，
故雙曲線的標準方程為.
（2）設直線的方程為，設，
則由得，
因為直線與雙曲線一支交于、兩點，
所以 ，解得，
因此
，
因為，所以，
所以，所以，
故.
B能力提升
1．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為雙曲線右支上一個動點，則的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【詳解】圓，圓心，半徑，
因為直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，
所以，又雙曲線，則，，右焦點為，
所以
，
又，即，所以，當點在右頂點時取等號，
即，
所以的最小值為，
故選：D.

2．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，
設，則點到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，即的最小值為，
因為恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故選：A.

3．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學校考階段練習）已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】解：因為經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，
所以由雙曲線的對稱性可知點B也在雙曲線的漸近線上，且B在第一象限，
因為，所以，則，
因為為直線的傾斜角，且，
所以在中，，且，
則，即，即，
即，解得，
所以該雙曲線離心率的取值范圍是，
故答案為：
4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過左焦點作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點（在第一象限），是的中點，若是等邊三角形，則直線的斜率為 ．
【答案】
【詳解】
設雙曲線的半焦距為，，根據(jù)題意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，則．
設，，則，，
兩式相減可得，
所以．
設，因為是線段的中點，所以，，
又，所以．
故答案為：.
C綜合素養(yǎng)
(2)①；②證明見解析，
【詳解】（1）由題意可得，
所以雙曲線的標準方程為；
（2）設直線，
聯(lián)立消去整理可得，
則，又 ，，
①因直線與雙曲線交于兩支，所以且，
即；
②設，
令，則
，
所以直線過定點.
3．（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，焦點在x軸上的雙曲線C過點，且有一條傾斜角為的漸近線.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設點F為雙曲線C的右焦點，點P在C的右支上，點Q滿足，直線交雙曲線C于A，B兩點，若，求點P的坐標.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設雙曲線C的標準方程為，漸近線方程為，
則由題意可得，，且， 解得，
則雙曲線C的標準方程為；
（2）雙曲線的方程為，所以的右焦點，
點Q滿足，則P為OQ的中點，設，則，

若直線AB的斜率不存在，則其方程為，
此時，m＝1，Q與F重合，不合題意；
若直線AB的斜率存在，設，m≠1，
∵，∴，∴，
∵點P在雙曲線C上，∴，∴，即，
聯(lián)立消去得．
所以，
設，則，
∵，∴，
∴，
∴，即
∴，
解得，，符合題意，
所以，點P的坐標．
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