資源簡介

第03講 3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握雙曲線的定義，幾何圖形，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能初步應(yīng)用。 ②通過對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，提高求動點(diǎn)軌跡方程的能力。 ③初步會按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的定義（相關(guān)的量的掌握）及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿足的條件），會求與雙曲線有關(guān)的幾何量.
知識點(diǎn)01：雙曲線的定義
1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn),的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.
這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
2、集合語言表達(dá)式
雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:.
3、說明
若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.
(1)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支;
(2)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支.
【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線
【答案】B
【詳解】如圖：
設(shè)動點(diǎn)為，到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值為，
則若在線段（不包含兩端點(diǎn)）上，有；
若在直線外，有；
若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點(diǎn)），
則有.
故選：B
知識點(diǎn)02：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
圖象
焦點(diǎn)坐標(biāo) ， ，
的關(guān)系
兩種雙曲線 ， （）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.
【即學(xué)即練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線對稱軸為坐標(biāo)軸，中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)為，直線過雙曲線的一個焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的方程為 ．
【答案】或
【詳解】由題意，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，且，
可得，即，解得，
又由直線過雙曲線的一個焦點(diǎn)，
當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
則，此時雙曲線的方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
則，此時雙曲線的方程為，
所以雙曲線的方程為或.
故答案為：或
題型01 雙曲線定義的理解
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若動點(diǎn)滿足關(guān)系式，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支
【變式1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【變式2】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線右支上一點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)A到左焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
題型02利用雙曲線定義求方程
【典例1】（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件．則動點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·山東臨沂·高二臨沂第三中學(xué)校考期末）一動圓P過定點(diǎn)，且與已知圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是 ．
【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）到點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于6的點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【變式2】2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程
題型03利用雙曲線定義求點(diǎn)到焦點(diǎn)距離及最值
【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線在左支上一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離為18，N是線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）雙曲線的左 右焦點(diǎn)是、，點(diǎn)在雙曲線上，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，若，則（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）是雙曲線=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和=4上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
題型04利用雙曲線定義求雙曲線中線段和差最值
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的右支上的動點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的一條切線（切點(diǎn)為T），交雙曲線右支點(diǎn)于P，點(diǎn)M為線段FP的中點(diǎn)，連接MO，則的最大值為 ．
【變式1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ）
A．3 B．1 C． D．
【變式2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為 ，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為 .
題型05判斷方程是否表示雙曲線
【典例1】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線
【典例2】（多選）（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）對于曲線C：，則下列說法正確的有（ ）
A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線
【變式1】（多選）（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線的方程為，則（ ）
A．曲線可以表示圓
B．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
C．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
D．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
【變式2】（多選）（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)校考開學(xué)考試）方程表示的曲線可以是（ ）
A．圓
B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
D．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
題型06根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)
【典例1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線是雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）若曲線表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
題型07求雙曲線方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)以橢圓短軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；
(2)經(jīng)過點(diǎn)和．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，過的直線與的右支相交于，兩點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若， 則雙曲線C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2023·上海·高三專題練習(xí)）過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，若，且，則雙曲線的方程為 .
題型08雙曲線中的軌跡方程問題
【典例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程；
【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）已知中的兩個頂點(diǎn)是，邊與邊所在直線的斜率之積是，求頂點(diǎn)的軌跡．
【變式1】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為.求的方程；
【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，動點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為．求軌跡的方程；
題型09雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題
【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則的面積為（ ）
A． B．4 C． D．3
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，為的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期中）已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，，則 ．
【典例5】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），點(diǎn)是△內(nèi)切圓的圓心，則 ；若的傾斜角為，△的內(nèi)切圓面積為，△的內(nèi)切圓面積為，則為 .
【變式1】（2023春·福建南平·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線，直線l過其上焦點(diǎn)，交雙曲線上支于A，B兩點(diǎn)，且，為雙曲線下焦點(diǎn)，的周長為18，則m值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
【變式2】（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023秋·高二單元測試）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為 ．
【變式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是 .
【變式5】（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知兩點(diǎn)．點(diǎn)滿足，則的面積是 ；的一個取值為 ．
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
2．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，設(shè)M到直線的距離為d，則的最小值為（ ）
A．7 B． C．8 D．
4．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的虛軸長為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（ ）
　
A． B． C． D．
5．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，的延長線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)為，，且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差為2；
(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點(diǎn)；
(3)經(jīng)過點(diǎn)，.
B能力提升
1．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同．③M是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數(shù)是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)P在雙曲線C：上，、是雙曲線C的左右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列說法中正確的是 .（填序號）
①點(diǎn)P到x軸的距離為；②；③為鈍角三角形；④.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為是雙曲線上一點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率大于0的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若平分，求直線的方程.
3．（2023秋·山東青島·高二青島二中校考期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，雙曲線與共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程：
（2）已知點(diǎn)P在雙曲線上，且，求的面積．
第03講 3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握雙曲線的定義，幾何圖形，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能初步應(yīng)用。 ②通過對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，提高求動點(diǎn)軌跡方程的能力。 ③初步會按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的定義（相關(guān)的量的掌握）及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿足的條件），會求與雙曲線有關(guān)的幾何量.
知識點(diǎn)01：雙曲線的定義
1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn),的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.
這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
2、集合語言表達(dá)式
雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:.
3、說明
若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.
(1)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支;
(2)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支.
【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線
【答案】B
【詳解】如圖：
設(shè)動點(diǎn)為，到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值為，
則若在線段（不包含兩端點(diǎn)）上，有；
若在直線外，有；
若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點(diǎn)），
則有.
故選：B
知識點(diǎn)02：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
圖象
焦點(diǎn)坐標(biāo) ， ，
的關(guān)系
兩種雙曲線 ， （）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.
【即學(xué)即練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線對稱軸為坐標(biāo)軸，中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)為，直線過雙曲線的一個焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的方程為 ．
【答案】或
【詳解】由題意，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，且，
可得，即，解得，
又由直線過雙曲線的一個焦點(diǎn)，
當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
則，此時雙曲線的方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
則，此時雙曲線的方程為，
所以雙曲線的方程為或.
故答案為：或
題型01 雙曲線定義的理解
【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
由雙曲線定義得:
即，
解得（舍去）或，
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若動點(diǎn)滿足關(guān)系式，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支
【答案】D
【詳解】設(shè)，，則.
則由已知可得，，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的左支.
故選：D.
【變式1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（ ）
A．7 B．9 C．1或9 D．3或7
【答案】B
【詳解】由，可得，則.
又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.
故選：B
【變式2】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線右支上一點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)A到左焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
【答案】D
【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，則，
由雙曲線的定義知，
，
故選：D
題型02利用雙曲線定義求方程
【典例1】（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件．則動點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由點(diǎn)，，可得，
又由，可得，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
且，可得，則，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：C.
【典例2】（2023秋·山東臨沂·高二臨沂第三中學(xué)校考期末）一動圓P過定點(diǎn)，且與已知圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是 ．
【答案】
【詳解】圓N：的圓心，半徑，
∵，
∴點(diǎn)在圓N外，則圓P包含圓N，
設(shè)圓P的半徑為，
由題意可得：，即，可得，
故動圓圓心P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右半支，
可得，則，
故動圓圓心P的軌跡方程是.
故答案為：.
【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）到點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于6的點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，焦距設(shè)為，
由題意可知所求雙曲線的兩焦點(diǎn)為，，故，
又雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于6，
故，所以，
故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
【變式2】2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程
【答案】
【詳解】
因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，
則，，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，
又，，，
所以其軌跡方程為.
題型03利用雙曲線定義求點(diǎn)到焦點(diǎn)距離及最值
【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線在左支上一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離為18，N是線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)殡p曲線左支上的點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離為18，
所以M到左焦點(diǎn)的距離，
N是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，所以.
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【答案】C
【詳解】記雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與雙曲線的交點(diǎn)時，取到最小值．
故選：C．
【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）雙曲線的左 右焦點(diǎn)是、，點(diǎn)在雙曲線上，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【詳解】在雙曲線中，，，，設(shè)點(diǎn)，易知，
若點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，
，
由雙曲線的定義可得，可得，不合乎題意；
若點(diǎn)在雙曲線的左支上，則，
，
由雙曲線的定義可得，可得，合乎題意.
綜上所述，.
故選：A.
【變式1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，若，則（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
【答案】C
【詳解】解：由題知，，
因?yàn)樵陔p曲線上，且，
所以，點(diǎn)在雙曲線靠近的那支上，由雙曲線定義知，故；
所以，
故選：C
【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）是雙曲線=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和=4上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【詳解】
則
故雙曲線的兩個焦點(diǎn)為,
,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,
則的最大值為
故選：D
【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，
記點(diǎn)、，當(dāng)取最大值時，在雙曲線的左支上，
所以，.
故選：B.
題型04利用雙曲線定義求雙曲線中線段和差最值
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由雙曲線得到,,，左焦點(diǎn)，
設(shè)右焦點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L最小時，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故選：C.
【典例2】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的右支上的動點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】若C為雙曲線右焦點(diǎn)C(3,0)，則，|AC|=5,
而，僅當(dāng)共線且在之間時等號成立，
所以，當(dāng)共線且在之間時等號成立.
故選：D
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的一條切線（切點(diǎn)為T），交雙曲線右支點(diǎn)于P，點(diǎn)M為線段FP的中點(diǎn)，連接MO，則的最大值為 ．
【答案】
【詳解】如圖所示，連接,設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，則，
由，
因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則，．
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，
故的最大值為．
故答案為：．
【變式1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)雙曲線C的實(shí)半軸長為，右焦點(diǎn)為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)M為的延長線與雙曲線交點(diǎn)時取等號.
故選：C．
【變式2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.
又由雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時取得等號.
此時直線的方程為，即，聯(lián)立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.
故選：B
【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為 ，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為 .
【答案】/
【詳解】
由雙曲線方程知：，，，則，，
由雙曲線定義知：，
（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取等號），
又，.
故答案為：.
題型05判斷方程是否表示雙曲線
【典例1】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線
【答案】BC
【詳解】當(dāng)時，該方程表示的軌跡是直線；
當(dāng)時，該方程表示的軌跡是直線；
當(dāng)且時，原方程可化為.
當(dāng)或時，，該方程表示的軌跡是雙曲線；
當(dāng)，又，則，此時方程為，該方程表示圓；
綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.
故選：BC.
【典例2】（多選）（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）對于曲線C：，則下列說法正確的有（ ）
A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線
【答案】BCD
【詳解】當(dāng)曲線C為圓時，則，無解，故錯誤；
當(dāng)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線時，則，無解，故正確；
若，則，，此時曲線C是橢圓，故正確；
若曲線C為雙曲線，則，解得，故正確．
故選．
【變式1】（多選）（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線的方程為，則（ ）
A．曲線可以表示圓
B．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
C．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
D．曲線可以表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
【答案】CD
【詳解】對A，若曲線表示圓，則有，無解，A錯；
對BC，若曲線表示橢圓，則有，此時，則曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，C對B錯；
對D，若曲線表示雙曲線，則有，此時，此時曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，D對.
故選：CD.
【變式2】（多選）（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)校考開學(xué)考試）方程表示的曲線可以是（ ）
A．圓
B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
D．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
【答案】ABC
【詳解】對于A，當(dāng)，即時，方程可化為，該方程表示圓，故A正確；
對于B，當(dāng)，即時，方程可化為，該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故B正確；
對于C，當(dāng)，即時，方程可化為，該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故C正確；
對于D，因?yàn)橛傻脽o解，
所以當(dāng)方程化為時，由于，，
所以該方程無法表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故D錯誤.
故選：ABC.
題型06根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)
【典例1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】若方程表示雙曲線，則，即，
由能推出，必要性成立，
由不能推出，充分性不成立，
故“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B.
【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線是雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)榍€是雙曲線，
所以，解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：.
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）若曲線表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】曲線表示雙曲線，所以即可.
解得或，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.
故選：B.
【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，
所以，
解得或，
因?yàn)橛煽赏瞥龌颍怯苫颍荒芡瞥觯?br/>所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
故選：A.
題型07求雙曲線方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由橢圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，
因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，所以，
又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，可得，則，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為，
因?yàn)椋瑒t，
顯然圓O的半徑為3，
又因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，
雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)為，
于是，解得，
所以雙曲線的方程為.
故選：A
【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)以橢圓短軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；
(2)經(jīng)過點(diǎn)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）易知橢圓短軸的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)為；
所以雙曲線焦點(diǎn)在軸上，
可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，
點(diǎn)在雙曲線上，即，解得；
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)雙曲線方程為，
將兩點(diǎn)代入可得，解得；
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，過的直線與的右支相交于，兩點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：設(shè)，則，
由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，
連接，則有，，
由于在以為直徑的圓周上，
∴，
∵為平行四邊形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因?yàn)椋?br/>所以，，
所以雙曲線的方程為.
故選:D.
【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若， 則雙曲線C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，
因?yàn)椋裕?br/>由雙曲線定義可得，又，
所以，
所以，
所以，，
雙曲線的方程為
故選：D.
【變式3】（2023·上海·高三專題練習(xí)）過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，若，且，則雙曲線的方程為 .
【答案】
【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，
，則，四邊形為矩形，.
故，，則，
，故，.
雙曲線的方程為.
故答案為：
題型08雙曲線中的軌跡方程問題
【典例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)殡p曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，
所以直線與雙曲線相切，
聯(lián)立，消去并整理得，
所以，即，
將代入，得，
得，因?yàn)椋裕?br/>所以，，即，
由可知，
所以過點(diǎn)且與垂直的直線為，
令，得，令，得，
則，，
由，得，，
代入，得，即，
故選：D
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程；
【答案】
【詳解】
由題設(shè)得，
即，
整理得.
所以曲線的方程為.
【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）已知中的兩個頂點(diǎn)是，邊與邊所在直線的斜率之積是，求頂點(diǎn)的軌跡．
【答案】去掉頂點(diǎn)的雙曲線
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)橹械膬蓚€頂點(diǎn)是，
所以，，
因?yàn)檫吪c邊所在直線的斜率之積是，
所以，整理得
所以，頂點(diǎn)的軌跡方程為，
所以，頂點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸為，且去掉頂點(diǎn)的雙曲線.
【變式1】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】圓N：的圓心為，半徑為，且
設(shè)動圓的半徑為，則，即.
即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，焦距長為，實(shí)軸長為，
虛軸長為的雙曲線上，且點(diǎn)在靠近于點(diǎn)這一支上，
故動圓圓心P的軌跡方程是
故選：A
【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為.求的方程；
【答案】；
【詳解】
因?yàn)椋呻p曲線的定義可知，
軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，
，即，所以，
所以軌跡的方程為.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，動點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為．求軌跡的方程；
【答案】（）
【分析】
設(shè)，當(dāng)時，直線的斜率不存在；
當(dāng)時，直線的斜率不存在．
于是且.此時，的斜率為，的斜率為.
由題意，有，化簡可得，
故動點(diǎn)的軌跡的方程為（）
題型09雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題
【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長，
由雙曲線的定義，可得
所以，
則三角形的周長為.
故選：B
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則的面積為（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【詳解】∵為正三角形，
設(shè)，則，，又雙曲線，
則根據(jù)雙曲線定義得，
∴，即等邊三角形的邊長為4，
故的面積為.
故選：A.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，為的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與相切于,圓心為,
由切線長的性質(zhì)以及雙曲線定義可得，
又，因此，所以,
設(shè)角,且為銳角，由于，
所以，
為內(nèi)切圓的半徑，不妨設(shè)，
故在中，，
,
當(dāng)共線時，此時，
當(dāng)方向相同時，，當(dāng)方向相反時，，
因此,
故選：C
【典例4】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期中）已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，，則 ．
【答案】/
【詳解】，，則，，，
.
故答案為：.
【典例5】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），點(diǎn)是△內(nèi)切圓的圓心，則 ；若的傾斜角為，△的內(nèi)切圓面積為，△的內(nèi)切圓面積為，則為 .
【答案】 2 9
【詳解】由雙曲線，可得，,
記的內(nèi)切圓圓心為，
內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，
易知兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，，

由，即，
得，即，
記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
則，得．
記的內(nèi)切圓圓心為，同理得內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸，
已知直線的傾斜角為，則，
設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，△的內(nèi)切圓半徑為
在中，，
同理，在中，，
所以，所以.
故答案為：2;9.
【變式1】（2023春·福建南平·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線，直線l過其上焦點(diǎn)，交雙曲線上支于A，B兩點(diǎn)，且，為雙曲線下焦點(diǎn)，的周長為18，則m值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】D
【詳解】由題意知.
又，所以.
根據(jù)雙曲線的定義可知，
所以，
解得，所以.
故選：D
【變式2】（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)殡x心率為，則，則，所以雙曲線方程為，
設(shè)，則①，
因?yàn)椋裕?br/>所以②，
又因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，
所以③，由②③得④，
將④③代入①得，，所以.
故選：D.

【變式3】（2023秋·高二單元測試）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為 ．
【答案】/
【詳解】因?yàn)殡p曲線，則，，所以，
因?yàn)闉殡p曲線右支上一點(diǎn)，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案為：
【變式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是 .
【答案】/
【詳解】
不妨將點(diǎn)置于第一象限. 設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接. 分別為的中點(diǎn)，故.
又由雙曲線定義得，
故.
故答案為：
【變式5】（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知兩點(diǎn)．點(diǎn)滿足，則的面積是 ；的一個取值為 ．
【答案】 / （答案不唯一）
【詳解】由點(diǎn)可知，，所以點(diǎn)在圓，
且，則點(diǎn)在雙曲線的右支上，其中，，，則雙曲線方程為，
聯(lián)立，解得：或，
則的面積；
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，，，
則其中的一個取值是.
故答案為：；（答案不唯一）
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
【答案】B
【詳解】對于 ，
，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有 ；
故選：B.
2．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】方程表示雙曲線,則，解得或，
故選：D
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，設(shè)M到直線的距離為d，則的最小值為（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)雙曲線的第二定義，，又根據(jù)雙曲線的第一定義得，所以，所以當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線的右支頂點(diǎn)時達(dá)到最小值，
由雙曲線方程得，所以.
故選：D
4．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的虛軸長為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（ ）
　
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】對于A， ， ，不符合題意；
對于B， ， ，符合題意；
對于C， ，實(shí)軸在x軸上，不符合題意；
對于D， ，實(shí)軸在x軸上，不符合題意；
故選：B.
5．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長，
由雙曲線的定義，可得
所以，
則三角形的周長為.
故選：B
6．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，的延長線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，
與切于點(diǎn)，
則，，，
又由，
，
，
，
又，
則，，
又，，
所以，
所以此雙曲線的漸近線方程為.

故選：A
7．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【詳解】因?yàn)楹陀邢嗤慕咕啵蛛p曲線的焦距為，所以雙曲線的焦距，又過點(diǎn)，
當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，
若將點(diǎn)代入，得①，
又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入，得③，又④，
聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
故選：C.
8．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)殡x心率為，則，則，所以雙曲線方程為，
設(shè)，則①，
因?yàn)椋裕?br/>所以②，
又因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，
所以③，由②③得④，
將④③代入①得，，所以.
故選：D.

二、多選題
9．（2023秋·江蘇南京·高二校考期末）已知方程表示的曲線為，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ）
A．當(dāng)時，曲線是橢圓
B．當(dāng)或時，曲線是雙曲線
C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
【答案】BC
【詳解】對A，當(dāng)曲線是橢圓時，則，解得或，故A錯誤；
對B，當(dāng)曲線是雙曲線時，，解得或，故B正確；
對C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；
對D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則解得，故D錯誤．
故選：BC．
10．（2023春·廣東廣州·高三廣州科學(xué)城中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，分別是左 右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（ ）
A．點(diǎn)到軸的距離為
B．
C．為鈍角三角形
D．
【答案】BC
【詳解】設(shè)點(diǎn)．因?yàn)殡p曲線，所以．
又，所以，故A錯誤．
將代入得，得．
由雙曲線的對稱性，不妨取點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得．
由雙曲線的定義得，所以，故B正確．
在中，，且，
則為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確．
由余弦定理得，所以，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題
11．（2023秋·高二單元測試）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為 ．
【答案】/
【詳解】因?yàn)殡p曲線，則，，所以，
因?yàn)闉殡p曲線右支上一點(diǎn)，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案為：
12．（2023秋·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓，若動圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為 .
【答案】
【詳解】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
由于動圓E與圓，都外切，
設(shè)動圓E的半徑為，則，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)方程為，則，
所以E的軌跡方程為.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·高二課時練習(xí)）（1）求焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求離心率，焦點(diǎn)在x軸，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由題意知：；.
.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.則
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
14．（2023·高二單元測試）若雙曲線C：上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為2.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn)，若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）令分別是左右焦點(diǎn)，則，得，
雙曲線的方程為 ，將點(diǎn) 代入上式，得：
，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由雙曲線的幾何性質(zhì)知： ，
，解得 ，
在△中，，
設(shè)與的夾角為 ，由余弦定理得：，
；
綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，△的面積為 .
15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)為，，且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差為2；
(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點(diǎn)；
(3)經(jīng)過點(diǎn)，.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)方程為：，
又焦點(diǎn)為，，故可得，
又雙曲線上的一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差為2，即，則，
又.
故雙曲線方程為：.
（2）因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線方程為，
又其焦距為10，故可得；
又該雙曲線過點(diǎn)，則，故，
故雙曲線方程為：.
（3）不妨設(shè)雙曲線方程為：，
因其過點(diǎn)，，故可得，
聯(lián)立方程組可得：，
故所求雙曲線方程為：.
B能力提升
1．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)殡x心率為，則，則，所以雙曲線方程為，
設(shè)，則①，
因?yàn)椋裕?br/>所以②，
又因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，
所以③，由②③得④，
將④③代入①得，，所以.
故選：D.

2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同．③M是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數(shù)是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【詳解】①若方程表示橢圓，則，解得或，故①錯誤；
②雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，不相同，故②錯誤；
③雙曲線中，
因?yàn)镸是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，
所以由雙曲線的定義得，若，則或1，
而雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，所以舍去，所以，故③錯誤；
④設(shè)，因?yàn)锳是橢圓上任一點(diǎn)，所以，所以，
又因?yàn)橹本€與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，所以設(shè)，，所以，
因?yàn)橹本€AP與直線AQ的斜率之積為，
所以，
所以，所以，又，所以，故④正確；
結(jié)合，解得，.
所以在中，由余弦定理得，
所以為鈍角，所以③正確.
對于④，由對稱性，不妨設(shè)，由③的判斷過程知，，，
則，
所以，所以，所以④錯誤.
故答案為：②③
C綜合素養(yǎng)
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；
【答案】
【詳解】，即，故，，設(shè)，，．
則，，，，
由得即，
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)不與軸垂直時，，即．
又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，，
兩式相減得，即．
將代入上式，化簡得．
當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程是．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為是雙曲線上一點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率大于0的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若平分，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），又，
聯(lián)立得，得或18.
當(dāng)時，；當(dāng)時，舍去.
所以雙曲線的方程為：.
（2）設(shè)，直線與雙曲線聯(lián)立，得，所以①.
由直線和雙曲線右支交于兩點(diǎn)，結(jié)合直線斜率為正可得：，解得.
由平分，由角平分線定理，則，即.
兩邊平方得，，整理可得：.
將①代入可得，解得符合題意，所以.
3．（2023秋·山東青島·高二青島二中校考期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，雙曲線與共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程：
（2）已知點(diǎn)P在雙曲線上，且，求的面積．
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）由橢圓方程可知，
，，
,
，，
雙曲線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，并且設(shè)，，
，
變形為，
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑