資源簡介

第05講 3.3.1拋物線及其標準方程
課程標準 學習目標
①掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單性質。 ②了解拋物線在實際問題中的初步應用。 通過本節課的學習，要求掌握拋物線的定義，標準方程及相關的條件，并能應用拋物線的定義解決實際問題
知識點01：拋物線的定義
1、拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
2、拋物線的數學表達式：(為點到準線的距離).
【即學即練1】（2023春·四川涼山·高二寧南中學校聯考期末）已知拋物線上一點P到y軸的距離為2，焦點為F，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【詳解】由題得拋物線的準線方程為，
所以點P到準線的距離為，
由拋物線的定義得3.
故選：B

知識點02：拋物線的標準方程
設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：
方程 （） （） （） （）
圖形
焦點
準線
【即學即練2】（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)焦點為，準線方程為；
(2)焦點為，準線方程為．
【詳解】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點在軸正半軸上，
所以可得其焦點為，準線方程為；
（2）將化成標準方程為，
可得，且焦點在軸負半軸上，
所以焦點為，準線方程為.
特別說明：
1、要注意弄清拋物線四種形式的標準方程的特征及其對應拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等).拋物線的標準方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數為1,一次項的系數為;若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向下).
2、焦點的非零坐標是標準方程下一次項系數的 .
3、準線與坐標軸的交點和拋物線的焦點關于原點對稱.
4、（1）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦.
（2）拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.
題型01拋物線定義的理解
【典例1】（2023秋·陜西西安·高二統考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離為 ．
【典例2】（2023·四川成都·四川省成都列五中學校考三模）若拋物線上的點P到焦點的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·陜西榆林·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為7，則 .
【變式2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中學校考階段練習）若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的3倍，則 .
題型02利用拋物線定義求方程
【典例1】（2023春·江西·高三校聯考階段練習）設圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為 ．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M. 求點M的軌跡方程；
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）動點到y軸的距離比它到定點的距離小2，求動點的軌跡方程．
題型03拋物線上點到定點距離及最值
【典例1】（2023春·河南焦作·高二統考開學考試）已知點A是拋物線上的點，點，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【典例2】（2023春·云南昭通·高三校考階段練習）拋物線上任意一點P到點的距離最小值為 .
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）動點在拋物線上，則點到點的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．12
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知點在拋物線上，點在圓上，則長度的最小值為 .
題型04拋物線上點到定點與焦點距離的和（差）最值
【典例1】（2023秋·陜西·高二校聯考期末）已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
【典例2】（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學校考期中）是拋物線的焦點，點，為拋物線上一點，到直線的距離為，則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知點 是坐標平面內一定點， 若拋物線的焦點為， 點是拋物線上的一動點， 則的最小值是 .
【變式1】（2023秋·內蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）點是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，點為直線上一動點，點在以為圓心，為半徑的圓上，點在拋物線上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為 ．
題型05根據拋物線方程求焦點和準線
【典例1】2．（2023春·四川·高二統考期末）拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統考期末）拋物線的準線方程是 ．
【變式1】（2023·青海西寧·統考二模）已知函數（且）的圖像過定點A，若拋物線也過點A，則拋物線的準線方程為 .
題型06拋物線的焦半徑公式
【典例1】（2023春·廣東廣州·高二統考期末）已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多選）（2023秋·廣西河池·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若為坐標原點，則（ ）
A．點的坐標為 B．
C． D．
【變式1】（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考二模）已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為，則的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校校考期末）拋物線上的點到焦點的距離為，則點的縱坐標為 .
題型07求拋物線方程
【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期中）準線方程為的拋物線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）經過點的拋物線的標準方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線同時滿足以下三個條件
①的頂點在坐標原點；②的對稱軸為坐標軸；③的焦點在圓上．
則的方程為 ．（寫出一個滿足題意的即可），
【變式1】（2023·河南新鄉·統考三模）已知拋物線的焦點為F，C上一點滿足，則拋物線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）設點F是拋物線的焦點，l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若，，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線上一點到焦點的距離．求拋物線的方程；
題型08拋物線的實際問題
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023春·廣東韶關·高二校考階段練習）有一個隧道內設雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為 m.
【變式1】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）圖中是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）數學與建筑的結合造就建筑藝術，如圖，吉林大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點坐標為．校門最高點到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）拋物線的焦點到其準線的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河南南陽·高二校聯考階段練習）拋物線C：過點，則C的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·廣東東莞·高二校聯考階段練習）一種衛星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，則該拋物線的方程為（ ）
10．（2023春·廣西·高二校聯考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的周長為16
C．的面積為 D．
三、填空題
11．（2023秋·高二課時練習）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的方程是 ．
12．（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯考期末）已知拋物線C：的焦點為F，準線為，經過點F的直線與拋物線C相交A，B兩點，與x軸相交于點M，若，，則 .
四、解答題
13．（2023春·四川遂寧·高二統考期末）分別求適合下列條件的方程：
(1)長軸長為10，焦距為4的橢圓標準方程；
(2)經過點的拋物線的標準方程.
14．（2023春·四川成都·高二校考階段練習）動點與定點的距離等于點P到直線的距離，設動點P的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)經過定點直線與曲線交于兩點，且點M是線段AB的中點，求直線的方程．
15．（2023秋·河南信陽·高二信陽高中校考期末）已知拋物線的準線與x軸交于點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過點M的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程．
B能力提升
1．（2023春·河南開封·高三統考期末）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．2 D．3
2．（2023春·陜西漢中·高二統考期末）過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為 .
4．（2023·河北石家莊·正定中學校考模擬預測）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，若拋物線的焦點為，過點的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和為 .
C綜合素養
1．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知為坐標原點，拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，若過點的直線與拋物線交于，兩點．
(1)證明：；
(2)若與坐標軸不平行，且關于軸的對稱點為，圓，證明：直線恒與圓相交．
2．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯考期末）已知直線l與拋物線C：交于A，B兩點．
(1)若直線l過拋物線C的焦點，線段AB中點的縱坐標為2，求AB的長；
(2)若直線l經過點，求的值．
第05講 3.3.1拋物線及其標準方程
課程標準 學習目標
①掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單性質。 ②了解拋物線在實際問題中的初步應用。 通過本節課的學習，要求掌握拋物線的定義，標準方程及相關的條件，并能應用拋物線的定義解決實際問題
知識點01：拋物線的定義
1、拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
2、拋物線的數學表達式：(為點到準線的距離).
【即學即練1】（2023春·四川涼山·高二寧南中學校聯考期末）已知拋物線上一點P到y軸的距離為2，焦點為F，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【詳解】由題得拋物線的準線方程為，
所以點P到準線的距離為，
由拋物線的定義得3.
故選：B

知識點02：拋物線的標準方程
設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：
方程 （） （） （） （）
圖形
焦點
準線
【即學即練2】（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)焦點為，準線方程為；
(2)焦點為，準線方程為．
【詳解】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點在軸正半軸上，
所以可得其焦點為，準線方程為；
（2）將化成標準方程為，
可得，且焦點在軸負半軸上，
所以焦點為，準線方程為.
特別說明：
1、要注意弄清拋物線四種形式的標準方程的特征及其對應拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等).拋物線的標準方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數為1,一次項的系數為;若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向下).
2、焦點的非零坐標是標準方程下一次項系數的 .
3、準線與坐標軸的交點和拋物線的焦點關于原點對稱.
4、（1）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦.
（2）拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.
題型01拋物線定義的理解
【典例1】（2023秋·陜西西安·高二統考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離為 ．
【答案】4
【詳解】由題意可得，，P縱坐標為，由其解析式可得P橫坐標為，
由拋物線定義知.
故答案為：4
【典例2】（2023·四川成都·四川省成都列五中學校考三模）若拋物線上的點P到焦點的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由拋物線定義可得：，解得，所以拋物線的標準方程為.
故選：C

【變式1】（2023春·陜西榆林·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為7，則 .
【答案】
【詳解】由拋物線的焦點為，準線方程為，
因為點在上，且到直線的距離為，
可得到直線的距離為，即點到準線的距離為，
根據拋物線的定義，可得點到焦點的距離等于點到準線的距離，
所以.
故答案為：.
【變式2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中學校考階段練習）若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的3倍，則 .
【答案】/3.5
【詳解】由題知：，故由焦半徑公式得：.
故答案為：.
題型02利用拋物線定義求方程
【典例1】（2023春·江西·高三校聯考階段練習）設圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為圓與軸交于，兩點（在的上方），
所以，，
又因為過作圓的切線，
所以切線的方程為，
因為動點到的距離等于到的距離，
所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準線為，
所以的軌跡方程為．
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為 ．
【答案】
【詳解】設直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，
所以動點M的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其軌跡方程為．
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M. 求點M的軌跡方程；
【答案】
【詳解】
由題意得，即動點M到點的距離和到直線的距離相等，
所以點M的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，
根據拋物線定義可知點M的軌跡方程為；
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）動點到y軸的距離比它到定點的距離小2，求動點的軌跡方程．
【答案】或．
【詳解】解：∵動點M到y軸的距離比它到定點的距離小2，
∴動點M到定點的距離與它到定直線的距離相等．
∴動點M到軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，且．
∴拋物線的方程為，
又∵x軸上點左側的點到y軸的距離比它到點的距離小2，
∴M點的軌跡方程為②．
綜上，得動點M的軌跡方程為或．
題型03拋物線上點到定點距離及最值
【典例1】（2023春·河南焦作·高二統考開學考試）已知點A是拋物線上的點，點，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】設，則，則，
所以當時，取得最小值．
故選：A
【典例2】（2023春·云南昭通·高三校考階段練習）拋物線上任意一點P到點的距離最小值為 .
【答案】
【詳解】設，則，
因為，
所以
，當時取得最小值4，
故答案為：4
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）動點在拋物線上，則點到點的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【詳解】設，則，當時，取得最小值，最小值為
故選：B
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知點在拋物線上，點在圓上，則長度的最小值為 .
【答案】3
【詳解】因為拋物線和圓都關于橫軸對稱，所以不妨設，
設圓的圓心坐標為：，半徑為1，
因此，當時，，
所以長度的最小值為，
故答案為：
題型04拋物線上點到定點與焦點距離的和（差）最值
【典例1】（2023秋·陜西·高二校聯考期末）已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【詳解】因為拋物線：，所以拋物線的準線為，
記拋物線的準線為，作于，如圖所示：
因為，，
所以當，，共線時，有最小值，最小值為.
故選：C.
【典例2】（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學校考期中）是拋物線的焦點，點，為拋物線上一點，到直線的距離為，則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【詳解】由題設，拋物線焦點，準線為，故，
如上圖：，僅當共線且在兩點之間時等號成立.
故選：C
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知點 是坐標平面內一定點， 若拋物線的焦點為， 點是拋物線上的一動點， 則的最小值是 .
【答案】/
【詳解】
拋物線的準線方程為，
過點作垂直準線于點，
顯然，當平行于軸時，
取得最小值，此時，
此時
故答案為:.
【變式1】（2023秋·內蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）點是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，點為直線上一動點，點在以為圓心，為半徑的圓上，點在拋物線上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
如圖，過點P作于點N，根據拋物線的定義可得：，
所以，而
所以.
當且僅當點Q、點N、點M在同一條直線上時等號成立，所以有最大值1.
故選：B
【變式2】（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】拋物線的準線方程為，
過作準線的垂線，垂足為，則，
所以.當且僅當與準線垂直時，取等號.
所以的最小值為.

故答案為：.
題型05根據拋物線方程求焦點和準線
【典例1】2．（2023春·四川·高二統考期末）拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由得，故焦點為，
故選：B
【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統考期末）拋物線的準線方程是 ．
【答案】
【詳解】因為拋物線的方程為，
所以拋物線的準線方程是.
故答案為：.
【變式1】（2023·青海西寧·統考二模）已知函數（且）的圖像過定點A，若拋物線也過點A，則拋物線的準線方程為 .
【答案】x=-1
【詳解】因為函數 經過定點 ，所以函數 經過
定點，將它代入拋物線方程得 ，解得，
所以其準線方程為；
故答案為： .
題型06拋物線的焦半徑公式
【典例1】（2023春·廣東廣州·高二統考期末）已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設點的橫坐標為，拋物線的標準方程為，該拋物線的準線方程為，
因為拋物線上的點到其焦點的距離為，則，解得.
故選：C.
【典例2】（多選）（2023秋·廣西河池·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若為坐標原點，則（ ）
A．點的坐標為 B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】由題可知，
因為點在拋物線上，且，
所以，
解得，
所以，
故選：BD.
【變式1】（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考二模）已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為，則的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可知，，所以
又知拋物線的準線方程為，
根據拋物線的定義可知，，整理得，解得，
所以的焦點坐標為，
故選：C．
【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校校考期末）拋物線上的點到焦點的距離為，則點的縱坐標為 .
【答案】1
【詳解】拋物線，，設點，
依題意可知，，得，
故答案為：
題型07求拋物線方程
【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期中）準線方程為的拋物線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】根據題意，拋物線的準線方程為，
即其焦點在軸負半軸上，且，得，
故其標準方程為：.
故選：D.
【典例2】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）經過點的拋物線的標準方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【詳解】設拋物線的方程為或，
將點代入，可得或，
解得或，
故拋物線的標準方程為或，
故選：C
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線同時滿足以下三個條件
①的頂點在坐標原點；②的對稱軸為坐標軸；③的焦點在圓上．
則的方程為 ．（寫出一個滿足題意的即可），
【答案】（答案不唯一，只需填寫或或或中的任意一個）
【詳解】由已知得：拋物線的焦點在坐標軸上；
若拋物線的焦點在軸上，將代入可得：，
拋物線的焦點為，；
當拋物線的焦點為時，拋物線的方程為；
當拋物線的焦點為時，拋物線的方程為；
若拋物線的焦點在軸上，將代入可得：或，
拋物線的焦點為，；
當拋物線的焦點為時，拋物線的方程為；
當拋物線的焦點為時，拋物線的方程為；
則可同時滿足三個條件的拋物線的方程為或或或．
故答案為：（答案不唯一，只需填寫或或或中的任意一個）．
【變式1】（2023·河南新鄉·統考三模）已知拋物線的焦點為F，C上一點滿足，則拋物線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：依題意得 ，
因為，所以.
又，解得，
所以拋物線的方程為.
故選：D
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）設點F是拋物線的焦點，l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若，，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：由題意得：
，，，所以
可得，由拋物線的定義得
所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是．
故選：B
【變式3】（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線上一點到焦點的距離．求拋物線的方程；
【答案】
【詳解】因為拋物線上一點到焦點的距離，
所以拋物線的定義得，
所以 ，解得．
所以拋物線的方程為；
題型08拋物線的實際問題
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】以碗體的最低點為原點，向上方向為軸，建立直角坐標系，如圖所示．

設碗體的拋物線方程為（），將點代入，得，
解得，則，
設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，
則兩拋物線在第一象限的交點為，代入到，解得，解得．
故選：C
【典例2】（2023春·廣東韶關·高二校考階段練習）有一個隧道內設雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為 m.
【答案】3.8
【詳解】由題意，如圖建系：
則，，，，
如圖可設，拋物線方程為，將代入，可得，求得，
故拋物線方程為，
將代入拋物線方程，可得，
.
故答案為：3.8.
【變式1】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）圖中是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【詳解】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，
可設拱橋所在拋物線的方程為，
又拋物線過點，則，解得，
則拋物線的方程為，當時，，
故當水面寬度為米時，拱頂與水面之間的距離為米.
故選：D
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）數學與建筑的結合造就建筑藝術，如圖，吉林大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點坐標為．校門最高點到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
【答案】C
【詳解】依題意知，拋物線，即，
因為拋物線的焦點坐標為，所以，所以，
所以拋物線方程為，
令，則，解得，
所以校門位于地面寬度最大約為米.
故選：C.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）拋物線的焦點到其準線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由拋物線，可得，所以，
所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為
所以該拋物線的焦點到其準線的距離為.
故選：C.
2．（2023春·河南南陽·高二校聯考階段練習）拋物線C：過點，則C的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】拋物線C：過點，則，解之得，
則拋物線C方程為，則C的準線方程為
故選：B
3．（2023春·廣東東莞·高二校聯考階段練習）一種衛星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，則該拋物線的方程為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，結合圖形可知，，由于該拋物線開口向右，可設，即，解得，于是.
故選：B
4．（2023春·湖北·高二十堰一中校聯考期中）已知的頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點F，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【詳解】由題意得,，設，，，
點是的重心，，，
根據拋物線的定義可得.
故選：B.
5．（2023春·福建泉州·高二校聯考期中）拋物線繞其頂點逆時針旋轉之后，得到的圖象正好對應拋物線，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【詳解】拋物線即的開口向上，將其繞頂點順時針方向旋轉，得到的拋物線，開口向右，其方程為，則，
故選：B.
6．（2023春·陜西西安·高二統考期末）已知拋物線的焦點為F，點在C上，則（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【詳解】點在C：上，設，
而拋物線的焦點坐標為，故，
則.
故選：D
7．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）已知拋物線，F為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【詳解】拋物線的準線方程為y＝－1，焦點為，
設點P的坐標為，則點Q的坐標為，，
由拋物線的定義知，因為，
所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，
所以，n＝3，所以點P的坐標為，
所以，所以．
故選：C．

8．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）過拋物線的焦點，作傾斜角為的直線交于，兩點，交的準線于點，若（為坐標原點），則線段的長度為（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，

直線的方程為，
聯立可得，即點，
所以，因為，所以，
所以直線的方程為，拋物線，設點，，
聯立可得，
由韋達定理可得，則
故選：D
二、多選題
9．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）下列說法中，正確的有（ ）
A．過點并且傾斜角為0°的直線方程為
B．雙曲線的漸近線方程為
C．點關于的對稱點坐標為
D．拋物線的準線方程是
【答案】BC
【詳解】對A，過點并且傾斜角為0°的直線方程為，故錯誤；
對B，雙曲線的漸近線方程為，故正確；
對C，設點關于的對稱點坐標為，則由解得，故正確；
對D，拋物線，，準線方程為，故錯誤.
故選：BC
10．（2023春·廣西·高二校聯考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的周長為16
C．的面積為 D．
【答案】AB
【詳解】由已知，雙曲線右焦點，即，故A項正確．且拋物線方程為．
對于B項，聯立雙曲線與拋物線的方程，
整理可得．，解得或（舍去負值），
所以，代入可得，．
設，又，所以，，，則的周長為16，故B項正確；
對于C項，易知，故C項錯誤；
對于D項，由余弦定理可得，，故D項錯誤．
故選：AB

三、填空題
11．（2023秋·高二課時練習）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的方程是 ．
【答案】
【詳解】當時，準線，由已知得，所以，所以拋物線方程為．
故答案為：.
12．（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯考期末）已知拋物線C：的焦點為F，準線為，經過點F的直線與拋物線C相交A，B兩點，與x軸相交于點M，若，，則 .
【答案】4
【詳解】
由題意易知，可設，
由，可得Q為AM中點，則，
又由可得:，
即，由題意可知直線AB、BM的斜率存在，
故，
聯立拋物線與直線AB可得
所以有
由拋物線定義得，
故答案為：4
四、解答題
13．（2023春·四川遂寧·高二統考期末）分別求適合下列條件的方程：
(1)長軸長為10，焦距為4的橢圓標準方程；
(2)經過點的拋物線的標準方程.
【答案】(1)或
(2)或
【詳解】（1）設橢圓的長軸長為，焦距為
由條件可得.所以.
所以，
當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為；
當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為.
（2）當拋物線的焦點在軸上時，可設所求拋物線的標準方程為，
將點的坐標代入拋物線的標準方程得，
此時，所求拋物線的標準方程為；
當拋物線的焦點在軸上時，可設所求拋物線的標準方程為，
將點的坐標代入拋物線的標準方程得，解得，
此時，所求拋物線的標準方程為.
綜上所述，所求拋物線的標準方程為或.
14．（2023春·四川成都·高二校考階段練習）動點與定點的距離等于點P到直線的距離，設動點P的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)經過定點直線與曲線交于兩點，且點M是線段AB的中點，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）根據拋物線的定義可知，動點P的軌跡為拋物線，
且該拋物線以為焦點，所以所以，
所以曲線的方程為.
（2）若直線垂直于軸，則AB的中點在軸上，不滿足題意，
若直線不垂直于軸，設，且，
因為在曲線上，所以，兩式相減得，
，所以，
即，所以的方程為整理得.
15．（2023秋·河南信陽·高二信陽高中校考期末）已知拋物線的準線與x軸交于點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過點M的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程．
【答案】（1）；（2）或
【詳解】（1）的準線過
故，則
拋物線方程為
（2）設切線方程為
與拋物線方程聯立有
故
故直線l的方程為：或
B能力提升
1．（2023春·河南開封·高三統考期末）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【答案】B
【詳解】由題意知，，設，則，
所以，

故當時，，
所以.
故選：B.
2．（2023春·陜西漢中·高二統考期末）過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【詳解】因為圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，
而拋物線的通徑與軸垂直，
所以圓的這條通徑與軸垂直，
且圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，
因為圓的圓心為，半徑為，所以該圓與軸垂直的通徑的右端點為，
即拋物線經過點，則，即.
故選：C.
【詳解】設，由阿氏圓的定義可得，
即，化簡得.
所以，所以點在圓心為，半徑為的圓上，
因為拋物線的焦點為.所以，
因為.所以點在圓內，
因為點到與圓心的距離為，
所以過點的最短弦長為，過點的最長弦長為，
所以過點的最長弦與最短弦的和為.
故答案為：
C綜合素養
1．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知為坐標原點，拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，若過點的直線與拋物線交于，兩點．
(1)證明：；
(2)若與坐標軸不平行，且關于軸的對稱點為，圓，證明：直線恒與圓相交．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）證明：因為點到拋物線焦點的距離為，
所以，解得或，
又因為，
所以，故拋物線方程為，
當直線軸時，可得，
此時，所以；
當直線與軸不垂直時，設的方程為，設，
代入得，
則，，
所以，
所以，
綜上，．
（2）證明：由于關于軸對稱，結合（1），故的坐標為，
所以直線的方程為，即，
由（1）得，所以，
可得直線恒過點，
因為圓的方程，且，
所以點在圓內部，
所以直線恒與圓相交．
2．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯考期末）已知直線l與拋物線C：交于A，B兩點．
(1)若直線l過拋物線C的焦點，線段AB中點的縱坐標為2，求AB的長；
(2)若直線l經過點，求的值．
【答案】(1)6
(2)
【詳解】（1）設，，線段中點設為，則，
由題意，拋物線的焦點為，，
根據拋物線的定義得；
（2）當直線斜率不存在時，，與拋物線只有一個交點，不符合題意.
所以直線斜率必存在，設為，
與拋物線聯立得：，，得，
所以.
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