資源簡介

第01講 8.1 成對數據的統計相關性
（8.1.1變量的相關關系+8.1.2樣本相關系數）
課程標準 學習目標
①理解兩個變量的相關關系的概念。 ②能利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系，會作簡單的散點圖。 ③會根據相關系數判斷兩個變量的相關程度。 通過本節課的學習，要求會畫散點圖，能根據散點圖判斷成對數據的相關情況，能利用相關系數判斷兩個變量的相關程度
知識點1：變量的相關關系
變量與變量之間的關系常見的有兩類：一類是變量之間的關系具有確定性，當一個變量確定后，另一個變量就確定了；另一類是變量之間確實有一定的關系，但沒有達到可以互相決定的程度，它們之間的關系帶有一定的隨機性.
（1）相關關系
兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.
（2）函數關系與相關關系的異同點
函數關系 相關關系
相同點 兩者均是指兩個變量之間的關系
不同點 是一種確定性關系 是一種非確定性的關系
是兩個變量之間的關系 ①一個為變量，另一個為隨機變量；②兩個都是隨機變量
是一種因果關系 不一定是因果關系，也可能是伴隨關系
是一種理想的相關關系模型 是一種更為一般的情況
知識點2：散點圖的概念
（1）一般地，如果收集到了變量和變量的對數據（簡稱為成對樣本數據），如下表所示
序號 1 2 3 4
變量
變量
則在直角坐標系中描出點,就可以得到這對數據的散點圖
（2）正相關與負相關
如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；
如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關.
【即學即練1】（2022上·新疆和田·高二校考期末）對于變量，有以下四個散點圖，由這四個散點圖可以判斷變量與成負相關的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】A：各點分布沒有明顯相關性，不符；
B：各點分布在一條直線附近，且有負相關性，符合；
C：各點分布在一條拋物線附近，變量之間先呈正相關，后呈負相關，不符；
D：各點分布在一條直線附近，且有正相關性，不符.
故選：B
（3）線性相關
一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關理解.
知識點3：相關關系的強弱
（1）樣本相關系數
現實生活中的數據，由于度量對象和單位的不同等，數值會有大有小，為了去除這些因素的影響，統計學里一般用來衡量與的線性相關性強弱，我們稱為變量和變量的樣本相關系數.
【即學即練2】（2024上·天津·高三校聯考期末）學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠愈受益．為實現中華民族偉大復興，全國各行各業掀起了“學習強國”的高潮．某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰答題”模塊，他記錄了自己連續七天每天一次最多答對的題數如下表：
天數x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答對題數y 12 15 16 18 21 24 27
參考數據：，，，，，
相關系數
由表中數據可知該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是 相關（填“正”或“負”），其相關系數 （結果保留兩位小數）
【答案】 正 0.99
【詳解】由表中數據得隨的增大而增大，
所以該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是正相關，
.
故答案為：正；.
（2）相關系數的性質
①當時，稱成對樣本數據正相關;當時，成對樣本數據負相關；當時，成對樣本數據間沒有線性相關關系.
②樣本相關系數的取值范圍為
當越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強;
當越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱.
【即學即練3】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）為了比較甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關性強弱，某同學分別計算了甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關系數，求得數值依次為，，0.36，0.93，則這四組數據中線性相關性最強的是 組數據．
【答案】甲
【詳解】根據題意，因為線性相關系數的絕對值越大，線性相關性越強，
由甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關系數分別為，，0.36，0.93，
所以甲組數據的線性相關性最強．
故答案為：甲．
題型01相關關系與函數關系的概念及辨析
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．中的x，y是具有相關關系的兩個變量
B．正四面體的體積與棱長具有相關關系
C．電腦的銷售量與電腦的價格之間是一種確定性的關系
D．傳染病醫院感染傳染病的醫務人員數與醫院收治的傳染病人數是具有相關關系的兩個變量
【典例2】（2023·高二課時練習）下列關系中，屬于相關關系的是（ ）．
A．正方形的邊長與面積之間的關系
B．農作物的產量與施肥量之間的關系
C．出租車車費與行駛的里程之間的關系
D．降雪量與交通事故的發生率之間的關系
【典例3】（2023·高二課時練習）下列兩個變量之間的關系是函數關系的是 ．
①角度和它的余弦值；②正方形的邊長和面積
③正n邊形的邊數和內角和；④人的年齡和身高
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）下列兩個量之間的關系是相關關系的是（ ）
A．勻速直線運動中時間與位移的關系 B．學生的成績和身高
C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質量
【變式2】（多選）（2023下·高二課時練習）下列兩個變量之間的關系不是函數關系的是（　　）
A．角度和它的余弦值
B．眼睛的近視程度與看手機的時間
C．正邊形的邊數和內角和的度數
D．人的年齡和身高
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）給出成對值的數據如下：
1 2 4 8
3 5 9 17
則根據數據可以判斷和的關系是 ．（填“確定關系”“相關關系”或“沒有關系”）
題型02 判斷兩個變量的相關關系
【典例1】（2024下·全國·高二隨堂練習）下列兩個變量中能夠具有相關關系的是（ ）
A．人所站的高度與視野 B．人眼的近視程度與身高
C．正方體的體積與棱長 D．某同學的學籍號與考試成績
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）下面是隨機抽取的9名15歲男生的身高、體重列表：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
體重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
判斷所給的兩個變量之間是否存在相關關系．
【變式1】（2023下·四川樂山·高二期末）下列變量間的關系，不是相關關系的是（ ）
A．一塊農田的水稻產量與施肥之間的關系
B．正方形的面積與邊長之間的關系
C．商品銷售收入與其廣告費支出之間的關系
D．人體內的脂肪含量與年齡之間的關系
【變式2】（2023下·陜西西安·高二校聯考階段練習）在下列各量之間，存在相關關系的是
①正方體的體積與棱長之間的關系； ②一塊農田的水稻產量與施肥量之間的關系；
③人的身高與年齡之間的關系； ④家庭的支出與收入之間的關系；
⑤某戶家庭用電量與電價之間的關系．
A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④
題型03判斷正負相關
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）對變量、由觀測數據得散點圖，對變量、由觀測數據得散點圖.由這兩個散點圖可以判斷（ ）
A．變量與負相關，與正相關
B．變量與負相關，與負相關
C．變量與正相關，與正相關
D．變量與正相關，與負相關
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）某商場五天內某種恤衫的銷售情況如下表：
第天
銷售量y（件）
則下列說法正確的是（ ）
A．與負相關 B．與正相關
C．與不相關 D．與成正比例關系
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）下列關于y與x的回歸直線方程中，變量成正相關關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·高二課時練習）在下列各散點圖中，兩個變量具有正相關關系的是（ ）
A． B．
C． D．
題型04樣本相關系數大小對變量相關性的影響
【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習）對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，關于其樣本相關系數的比較，下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）變量X與Y相對應的一組數據為：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對應的一組數據為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關系數，表示變量V與U之間的線性相關系數，則與的大小關系是 .
【變式1】（多選）（2024·全國·高三專題練習）對四組數據進行統計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的關系，正確的有（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024上·全國·高三期末）以下4幅散點圖所對應的樣本相關系數的大小關系為 .
題型05相關系數的計算
【典例1】（2024上·陜西漢中·高三統考期末）大學生劉銘去某工廠實習，實習結束時從自己制作的某種零件中隨機選取了10個樣品，測量每個零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數據：
樣本號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
零件的橫截面積 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9
并計算得．
(1)估算劉銘同學制作的這種零件平均每個零件的橫截面積以及平均一個零件的耗材量；
(2)求劉銘同學制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關系數（精確到0.01）；
(3)劉銘同學測量了自己實習期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請幫劉銘計算一下他制作的零件的總耗材量的估計值．附：相關系數．
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）某專營店統計了最近天到該店購物的人數和時間第天之間的數據，列表如下：
(1)由表中給出的數據，判斷是否可用線性回歸模型擬合人數與時間之間的關系？（若，則認為線性相關程度高，可用線性回歸模型擬合；否則，不可用線性回歸模型擬合.計算時精確到）
(2)該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿元可減元；方案二，購物金額超過元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打折，中獎兩次打折，中獎三次打折.某顧客計劃在此專營店購買一件價值元的商品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析，選哪種方案更優惠？
參考數據：.附：相關系數.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）某食品加工廠新研制出一種袋裝食品（規格：/袋），下面是近六個月每袋出廠價格（單位：元）與銷售量（單位：萬袋）的對應關系表：
月份序號
每袋出廠價格
月銷售量
并計算得，，.
(1)計算該食品加工廠這六個月內這種袋裝食品的平均每袋出廠價格、平均月銷售量和平均月銷售收入；
(2)求每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關系數（精確到）；
(3)若樣本相關系數，則認為相關性很強；否則沒有較強的相關性.你認為該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量是否有較強的相關性.
附：樣本相關系數，.
【變式1】（2024上·天津·高三校聯考期末）學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠愈受益．為實現中華民族偉大復興，全國各行各業掀起了“學習強國”的高潮．某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰答題”模塊，他記錄了自己連續七天每天一次最多答對的題數如下表：
天數x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答對題數y 12 15 16 18 21 24 27
參考數據：，，，，，
相關系數
由表中數據可知該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是 相關（填“正”或“負”），其相關系數 （結果保留兩位小數）
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）人口結構的變化，能明顯影響住房需求.當一個地區青壯年人口占比高，住房需求就會增加，而當一個地區老齡化嚴重，住房需求就會下降.某機構隨機選取了某個地區的10個城市，統計了每個城市的老齡化率和空置率，得到如下表格.
城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
老齡化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8
空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2
并計算得.
(1)若老齡化率不低于，則該城市為超級老齡化城市，根據表中數據，估計該地區城市為超級老齡化城市的頻率；
(2)估計該地區城市的老齡化率和空置率的相關系數（結果精確到0.01）.
參考公式：相關系數.
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）如圖是我國2014年至2020年年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.
注：年份代碼1～7分別對應年份2014～2020.
由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明.
參考數據：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.
參考公式：相關系數
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
1．（2024·全國·高三專題練習）已知變量和滿足關系，變量與正相關． 下列結論中正確的是（ ）
A．與負相關，與負相關
B．與正相關，與正相關
C．與正相關，與負相關
D．與負相關，與正相關
2．（2024·全國·高三專題練習）根據身高和體重散點圖，下列說法正確的是（ ）
A．身高越高，體重越重 B．身高越高，體重越輕 C．身高與體重成正相關 D．身高與體重成負相關
3．（2024·全國·高三專題練習）下列關系中，是相關關系的為（ ）
①學生的學習態度與學習成績；②身高與體重；③鐵塊的大小與質量；④出租車的車費與行駛路程．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．（2024下·全國·高二隨堂練習）下圖中的兩個變量，具有相關關系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024上·江西吉安·高一江西省新干中學期末）對于樣本相關系數，下列說法錯誤的是（　　）
A．可以用來判斷成對樣本數據相關的正負性
B．可以是正的，也可以是負的
C．樣本相關系數越大，成對樣本數據的線性相關程度也越高
D．取值范圍是
6．（2024上·全國·高三期末）如圖（1）（2）分別表示樣本容量均為7的A，B兩組成對數據的散點圖，已知A組成對數據的樣本相關系數為，B組成對數據的樣本相關系數為，則與的大小關系為（ ）

A． B．
C． D．無法判斷
7．（2024下·全國·高二隨堂練習）為考察兩個變量x，y的相關性，搜集數據如表，則兩個變量的線性相關程度（　　）
x 5 10 15 20 25
y 103 105 110 111 114
A．很強 B．很弱
C．無相關 D．不確定
8．（2023下·高二單元測試）一唱片公司欲知唱片費用x(十萬元)與唱片銷售量y(千張)之間的關系，從其所發行的唱片中隨機抽選了10張，得如下的資料：，，，，，則y與x的相關系數r的絕對值為（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
二、多選題
9．（2023·全國·高二專題練習）下列變量間可能用直線擬合的是（ ）
A．光照時間與大棚內蔬菜的產量 B．某正方形的邊長與此正方形的面積
C．舉重運動員所能舉起的最大重量與他的體重 D．某人的身高與視力
10．（2023下·遼寧·高二遼寧實驗中學校考階段練習）下列關于相關系數r的敘述中，正確的是（ ）
A．
B．當y與x正相關時，
C．時，兩個變量之間的回歸直線方程沒有價值
D．當成對數據構成的點都在回歸直線上時，則
三、填空題
11．（2024下·全國·高二隨堂練習）給出下列關系：
①人的年齡與他(她)身高的關系；
②曲線上的點與該點的坐標之間的關系；
③蘋果的產量與氣候之間的關系；
④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系；
⑤學生與他(她)的學號之間的關系．
其中有相關關系的是 ．
12．（2023下·上海奉賢·高二上海市奉賢中學校考期中）已知變量，之間的一組相關數據如表所示，則變量，之間的相關系數 .(計算結果精確到0.01)
6 8 10 12
6 5 3 2
B能力提升
13．（2023下·高二課時練習）某網站統計了某網紅螺螄粉在2020年7月至11月的總銷售量y（單位：萬），得到以下數據：
月份x 7 8 9 10 11
銷售量y 10 12 11 12 20
根據表中所給數據，用相關系數r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？
（參考公式：相關系數.參考數據：）
14．（2023下·高二課時練習）某商店經營一批進價為每件4元的商品，在市場調查時發現，此商品的銷售單價x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下關系：
x 5 6 7 8
y 10 8 7 3
試計算x，y之間的相關系數.
參考數據：，，
15．（2023下·高二課時練習）關于兩個變量和的組數據如下表所示：
求變量與的相關系數，并判斷變量與之間是正相關還是負相關．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第01講 8.1 成對數據的統計相關性
（8.1.1變量的相關關系+8.1.2樣本相關系數）
課程標準 學習目標
①理解兩個變量的相關關系的概念。 ②能利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系，會作簡單的散點圖。 ③會根據相關系數判斷兩個變量的相關程度。 通過本節課的學習，要求會畫散點圖，能根據散點圖判斷成對數據的相關情況，能利用相關系數判斷兩個變量的相關程度
知識點1：變量的相關關系
變量與變量之間的關系常見的有兩類：一類是變量之間的關系具有確定性，當一個變量確定后，另一個變量就確定了；另一類是變量之間確實有一定的關系，但沒有達到可以互相決定的程度，它們之間的關系帶有一定的隨機性.
（1）相關關系
兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系.
（2）函數關系與相關關系的異同點
函數關系 相關關系
相同點 兩者均是指兩個變量之間的關系
不同點 是一種確定性關系 是一種非確定性的關系
是兩個變量之間的關系 ①一個為變量，另一個為隨機變量；②兩個都是隨機變量
是一種因果關系 不一定是因果關系，也可能是伴隨關系
是一種理想的相關關系模型 是一種更為一般的情況
知識點2：散點圖的概念
（1）一般地，如果收集到了變量和變量的對數據（簡稱為成對樣本數據），如下表所示
序號 1 2 3 4
變量
變量
則在直角坐標系中描出點,就可以得到這對數據的散點圖
（2）正相關與負相關
如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；
如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關.
【即學即練1】（2022上·新疆和田·高二校考期末）對于變量，有以下四個散點圖，由這四個散點圖可以判斷變量與成負相關的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】A：各點分布沒有明顯相關性，不符；
B：各點分布在一條直線附近，且有負相關性，符合；
C：各點分布在一條拋物線附近，變量之間先呈正相關，后呈負相關，不符；
D：各點分布在一條直線附近，且有正相關性，不符.
故選：B
（3）線性相關
一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關理解.
知識點3：相關關系的強弱
（1）樣本相關系數
現實生活中的數據，由于度量對象和單位的不同等，數值會有大有小，為了去除這些因素的影響，統計學里一般用來衡量與的線性相關性強弱，我們稱為變量和變量的樣本相關系數.
【即學即練2】（2024上·天津·高三校聯考期末）學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠愈受益．為實現中華民族偉大復興，全國各行各業掀起了“學習強國”的高潮．某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰答題”模塊，他記錄了自己連續七天每天一次最多答對的題數如下表：
天數x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答對題數y 12 15 16 18 21 24 27
參考數據：，，，，，
相關系數
由表中數據可知該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是 相關（填“正”或“負”），其相關系數 （結果保留兩位小數）
【答案】 正 0.99
【詳解】由表中數據得隨的增大而增大，
所以該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是正相關，
.
故答案為：正；.
（2）相關系數的性質
①當時，稱成對樣本數據正相關;當時，成對樣本數據負相關；當時，成對樣本數據間沒有線性相關關系.
②樣本相關系數的取值范圍為
當越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強;
當越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱.
【即學即練3】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）為了比較甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關性強弱，某同學分別計算了甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關系數，求得數值依次為，，0.36，0.93，則這四組數據中線性相關性最強的是 組數據．
【答案】甲
【詳解】根據題意，因為線性相關系數的絕對值越大，線性相關性越強，
由甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關系數分別為，，0.36，0.93，
所以甲組數據的線性相關性最強．
故答案為：甲．
題型01相關關系與函數關系的概念及辨析
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．中的x，y是具有相關關系的兩個變量
B．正四面體的體積與棱長具有相關關系
C．電腦的銷售量與電腦的價格之間是一種確定性的關系
D．傳染病醫院感染傳染病的醫務人員數與醫院收治的傳染病人數是具有相關關系的兩個變量
【答案】D
【詳解】A，B均為函數關系，故A、B錯誤；C，D為相關關系，故C錯，D對.
故選：D
【典例2】（2023·高二課時練習）下列關系中，屬于相關關系的是（ ）．
A．正方形的邊長與面積之間的關系
B．農作物的產量與施肥量之間的關系
C．出租車車費與行駛的里程之間的關系
D．降雪量與交通事故的發生率之間的關系
【答案】BD
【詳解】A中，正方形的邊長與面積之間的關系是函數關系；
B中，農作物的產量與施肥量之間不具有嚴格的函數關系，但具有相關關系；
C中，出租車車費與行駛的里程之間的關系為確定的函數關系；
D中，降雪量與交通事故的發生率之間具有相關關系．
故選：BD．
【典例3】（2023·高二課時練習）下列兩個變量之間的關系是函數關系的是 ．
①角度和它的余弦值；②正方形的邊長和面積
③正n邊形的邊數和內角和；④人的年齡和身高
【答案】①②③
【詳解】①②③中的兩個變量之間是一種確定性的關系，都是函數關系，它們的函數關系式分別為f(θ)=cosθ，g(a)=a2，h(n)=(n-2)×180°，
④中人的年齡和身高這兩個變量不是確定性的關系，它們不是函數關系，對于年齡相同的人來說，有很多不同的身高值.
故答案為：①②③
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）下列兩個量之間的關系是相關關系的是（ ）
A．勻速直線運動中時間與位移的關系 B．學生的成績和身高
C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質量
【答案】C
【詳解】A、D是函數關系；B是不相關關系；C是相關關系，
故選：C
【變式2】（多選）（2023下·高二課時練習）下列兩個變量之間的關系不是函數關系的是（　　）
A．角度和它的余弦值
B．眼睛的近視程度與看手機的時間
C．正邊形的邊數和內角和的度數
D．人的年齡和身高
【答案】BD
【詳解】對于A，角度和它的余弦值滿足函數關系，A是函數關系；
對于B，眼睛的近視程度與看手機的事件是客觀存在的相互依存的不確定性關系，B不是函數關系；
對于C，正邊形的邊數和內角和的度數滿足函數關系，C是函數關系；
對于D，人的年齡和身高是客觀存在的相互依存的不確定性關系，D不是函數關系.
故選：BD.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）給出成對值的數據如下：
1 2 4 8
3 5 9 17
則根據數據可以判斷和的關系是 ．（填“確定關系”“相關關系”或“沒有關系”）
【答案】確定關系
【詳解】由題表中數據可以得到x，y之間是一種函數關系，函數解析式為，
所以x，y之間是一種確定的關系，即函數關系．
故答案為：確定關系．
題型02 判斷兩個變量的相關關系
【典例1】（2024下·全國·高二隨堂練習）下列兩個變量中能夠具有相關關系的是（ ）
A．人所站的高度與視野 B．人眼的近視程度與身高
C．正方體的體積與棱長 D．某同學的學籍號與考試成績
【答案】A
【詳解】A.人所站的高度越高則視野越開闊，具有正相關關系，故正確；
B.人眼的近視程度與身高不具有相關關系，故錯誤；
C.正方體的體積與棱長是一種確定關系，故錯誤；
D.某同學的學籍號與考試成績不具有相關關系，故錯誤；
故選：A
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）下面是隨機抽取的9名15歲男生的身高、體重列表：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
體重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
判斷所給的兩個變量之間是否存在相關關系．
【答案】存在相關關系
【詳解】方法一：根據經驗可知，人的身高和體重之間存在相關關系．觀察表格中的數據可知，人的體重隨著身高的增高而增長，因此人的身高和體重之間存在相關關系．
方法二：以x軸表示身高，以y軸表示體重，得到相應的散點圖如圖所示．
【變式1】（2023下·四川樂山·高二期末）下列變量間的關系，不是相關關系的是（ ）
A．一塊農田的水稻產量與施肥之間的關系
B．正方形的面積與邊長之間的關系
C．商品銷售收入與其廣告費支出之間的關系
D．人體內的脂肪含量與年齡之間的關系
【答案】B
【詳解】A選項，水稻產量與施肥之間沒有明確的等量關系，是相關關系，故A錯誤；
B選項，正方形的面積與邊長之間有著明確的等量關系，不是相關關系，故B正確；
C選項，商品銷售收入與其廣告費支出之間沒有明確的等量關系，故C錯誤；
D選項，人體內的脂肪含量與年齡之間沒有明確的等量關系，故D錯誤.
故選：B
【變式2】（2023下·陜西西安·高二校聯考階段練習）在下列各量之間，存在相關關系的是
①正方體的體積與棱長之間的關系； ②一塊農田的水稻產量與施肥量之間的關系；
③人的身高與年齡之間的關系； ④家庭的支出與收入之間的關系；
⑤某戶家庭用電量與電價之間的關系．
A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④
【答案】D
【詳解】試題分析：相關關系是一種非確定的關系，而①和⑤均是兩個有確定關系的量．
我們會發現，隨著身高的增高，體重基本上呈增長的趨勢．所以體重與身高之間存在相關關系，并且是正相關．
題型03判斷正負相關
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）對變量、由觀測數據得散點圖，對變量、由觀測數據得散點圖.由這兩個散點圖可以判斷（ ）
A．變量與負相關，與正相關
B．變量與負相關，與負相關
C．變量與正相關，與正相關
D．變量與正相關，與負相關
【答案】B
【詳解】由散點圖可知，變量與負相關，變量與正相關，所以，與負相關.
故選：B.
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）某商場五天內某種恤衫的銷售情況如下表：
第天
銷售量y（件）
則下列說法正確的是（ ）
A．與負相關 B．與正相關
C．與不相關 D．與成正比例關系
【答案】B
【詳解】根據表格中的數據作出散點圖如圖，
可知所有點都在一條直線附近波動，是線性相關的，且值隨著值的增大而增大，即與正相關，
故選：B．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）下列關于y與x的回歸直線方程中，變量成正相關關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】對于A中，由方程，可得，所以變量成負相關關系；
對于B中，由方程，可得，所以變量成正相關關系；
對于C中，由方程，可得，所以變量成負相關關系；
對于D中，由方程，可得，所以變量成負相關關系；
故選：B.
【變式2】（2023·高二課時練習）在下列各散點圖中，兩個變量具有正相關關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】對于A，散點的變化具有波動性，非正相關關系，A錯誤；
對于B，當變大時，的變化趨勢也是逐漸增大，可知兩個變量具有正相關關系，B正確；
對于C，當變大時，的變化趨勢是逐漸減小，可知兩個變量具有負相關關系，C錯誤；
對于D，兩個變量的變化無規律，二者沒有相關性，D錯誤.
故選：B.
題型04樣本相關系數大小對變量相關性的影響
【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習）對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，關于其樣本相關系數的比較，下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由給出的四組數據的散點圖可以看出，
左側兩圖是正相關，樣本相關系數大于0，則，，
右側兩圖是負相關，樣本相關系數小于0，則，，
下方兩圖的點相對更加集中，所以相關性較強，所以接近于1，接近于－1，
上方兩圖的點相對分散一些，所以相關性較弱，所以和比較接近0，
由此可得．
故選：B．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）變量X與Y相對應的一組數據為：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對應的一組數據為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關系數，表示變量V與U之間的線性相關系數，則與的大小關系是 .
【答案】
【詳解】由數據可知與正相關，與負相關，
所以，則.
故答案為：
【變式1】（多選）（2024·全國·高三專題練習）對四組數據進行統計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的關系，正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】由圖形特征可知都是負相關，都是負數，比的相關系數更強，所以，，都是正相關，比的相關系數更強，所以，
所以AC正確.
故選：AC
【變式2】（2024上·全國·高三期末）以下4幅散點圖所對應的樣本相關系數的大小關系為 .
【答案】
【詳解】根據散點圖可知，圖①③成正相關，圖②④成負相關，所以，
又圖①②的散點圖近似在一條直線上，所以圖①②兩變量的線性相關程度比較高，圖③④的散點圖比較分散，
故圖③④兩變量的線性相關程度比較低，即與比較大，與比較小，
所以.
故答案為：
題型05相關系數的計算
【典例1】（2024上·陜西漢中·高三統考期末）大學生劉銘去某工廠實習，實習結束時從自己制作的某種零件中隨機選取了10個樣品，測量每個零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數據：
樣本號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
零件的橫截面積 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9
并計算得．
(1)估算劉銘同學制作的這種零件平均每個零件的橫截面積以及平均一個零件的耗材量；
(2)求劉銘同學制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關系數（精確到0.01）；
(3)劉銘同學測量了自己實習期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請幫劉銘計算一下他制作的零件的總耗材量的估計值．附：相關系數．
【答案】(1)平均每個零件的橫截面積為，一個零件的耗材量
(2)
(3)
【詳解】（1）樣本中10個這種零件的橫截面積的平均值，
樣本中10個這種零件的耗材量的平均值，
由此可估算劉銘同學制作的這種零件平均每個零件的橫截面積為，
平均一個零件的耗材量為．
（2）
，
這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關系數為.
（3）設這種零件的總耗材量的估計值為，
又已知這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，
，解得，
故這種零件的總耗材量的估計值為．
【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）某專營店統計了最近天到該店購物的人數和時間第天之間的數據，列表如下：
(1)由表中給出的數據，判斷是否可用線性回歸模型擬合人數與時間之間的關系？（若，則認為線性相關程度高，可用線性回歸模型擬合；否則，不可用線性回歸模型擬合.計算時精確到）
(2)該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿元可減元；方案二，購物金額超過元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打折，中獎兩次打折，中獎三次打折.某顧客計劃在此專營店購買一件價值元的商品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析，選哪種方案更優惠？
參考數據：.附：相關系數.
【答案】(1)可以，理由見解析
(2)方案二更優惠，理由見解析
【詳解】（1）解：，，
所以，，
，，
所以，，
所以，與的線性相關性很強，故可用線性回歸模型擬合人數與時間之間的關系.
（2）解：設方案一的實際付款金額為元，方案二的實際付款金額為元，
由題意可知，（元），
的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
所以，方案二更優惠.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）某食品加工廠新研制出一種袋裝食品（規格：/袋），下面是近六個月每袋出廠價格（單位：元）與銷售量（單位：萬袋）的對應關系表：
月份序號
每袋出廠價格
月銷售量
并計算得，，.
(1)計算該食品加工廠這六個月內這種袋裝食品的平均每袋出廠價格、平均月銷售量和平均月銷售收入；
(2)求每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關系數（精確到）；
(3)若樣本相關系數，則認為相關性很強；否則沒有較強的相關性.你認為該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量是否有較強的相關性.
附：樣本相關系數，.
【答案】(1)平均每袋出廠價格為（元），平均月銷售量為（萬袋），平均月銷售收入為（萬元）
(2)
(3)該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量有較強的相關性
【詳解】（1）該食品加工廠這六個月內這種袋裝食品的平均每袋出廠價格為：
（元），
平均月銷售量為（萬袋），
平均月銷售收入為（萬元）.
（2）由已知，每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關系數為：
.
（3）由于每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關系數，所以該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量有較強的相關性.
【變式1】（2024上·天津·高三校聯考期末）學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠愈受益．為實現中華民族偉大復興，全國各行各業掀起了“學習強國”的高潮．某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰答題”模塊，他記錄了自己連續七天每天一次最多答對的題數如下表：
天數x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答對題數y 12 15 16 18 21 24 27
參考數據：，，，，，
相關系數
由表中數據可知該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是 相關（填“正”或“負”），其相關系數 （結果保留兩位小數）
【答案】 正 0.99
【詳解】由表中數據得隨的增大而增大，
所以該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是正相關，
.
故答案為：正；.
【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）人口結構的變化，能明顯影響住房需求.當一個地區青壯年人口占比高，住房需求就會增加，而當一個地區老齡化嚴重，住房需求就會下降.某機構隨機選取了某個地區的10個城市，統計了每個城市的老齡化率和空置率，得到如下表格.
城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
老齡化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8
空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2
并計算得.
(1)若老齡化率不低于，則該城市為超級老齡化城市，根據表中數據，估計該地區城市為超級老齡化城市的頻率；
(2)估計該地區城市的老齡化率和空置率的相關系數（結果精確到0.01）.
參考公式：相關系數.
【答案】(1)估計該地區城市為超級老齡化城市的頻率為
(2)該地區城市的老齡化率和空置率的相關系數約為0.63
【詳解】（1）由表中數據可知，調查的10個城市中，老齡化率不低于的有4個，
故估計該地區城市為超級老齡化城市的頻率為.
（2），
則
.
故該地區城市的老齡化率和空置率的相關系數約為0.63.
【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）如圖是我國2014年至2020年年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.
注：年份代碼1～7分別對應年份2014～2020.
由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明.
參考數據：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.
參考公式：相關系數
【答案】答案見解析
【詳解】由折線圖中數據和附注中參考數據得＝4，，，，.
因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
1．（2024·全國·高三專題練習）已知變量和滿足關系，變量與正相關． 下列結論中正確的是（ ）
A．與負相關，與負相關
B．與正相關，與正相關
C．與正相關，與負相關
D．與負相關，與正相關
【答案】A
【詳解】因為變量和滿足關系，一次項系數為，所以與負相關；
變量與正相關，設，所以，得到，
一次項系數小于零，所以與負相關.
故選：A.
2．（2024·全國·高三專題練習）根據身高和體重散點圖，下列說法正確的是（ ）
A．身高越高，體重越重 B．身高越高，體重越輕 C．身高與體重成正相關 D．身高與體重成負相關
【答案】C
【詳解】由于身高比較高的人，其體重可能大，也可能小，則選項AB不正確；
由散點圖知，身高和體重有明顯的相關性，且身高增加時，體重也呈現增加的趨勢，
所以身高與體重呈正相關，C正確，D錯誤.
故選：C
3．（2024·全國·高三專題練習）下列關系中，是相關關系的為（ ）
①學生的學習態度與學習成績；②身高與體重；③鐵塊的大小與質量；④出租車的車費與行駛路程．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】A
【詳解】學生的學習態度與學習成績是相關關系；
身高與體重是相關關系；
鐵塊的大小與質量是函數關系；
出租車的車費與行駛路程是函數關系.
故選：A
4．（2024下·全國·高二隨堂練習）下圖中的兩個變量，具有相關關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】相關關系是一種非確定性關系.
對于A、C：兩個變量具有函數關系，是一種確定性關系，故A、C錯誤；
對于D：圖中的散點分布沒有什么規律，故兩個變量之間不具有相關關系，故D錯誤；
對于B：圖中的散點分布在從左下角區域到右上角區域，兩個變量具有相關關系，故B正確；
故選：B.
5．（2024上·江西吉安·高一江西省新干中學期末）對于樣本相關系數，下列說法錯誤的是（　　）
A．可以用來判斷成對樣本數據相關的正負性
B．可以是正的，也可以是負的
C．樣本相關系數越大，成對樣本數據的線性相關程度也越高
D．取值范圍是
【答案】C
【詳解】對于相關系數的定義：
當相關性越強，相關系數就越接近于；
當相關系數的絕對值越小，相關性越弱；
當系數為正數時，為正相關，系數為負數時，為負相關.
故選：C．
6．（2024上·全國·高三期末）如圖（1）（2）分別表示樣本容量均為7的A，B兩組成對數據的散點圖，已知A組成對數據的樣本相關系數為，B組成對數據的樣本相關系數為，則與的大小關系為（ ）

A． B．
C． D．無法判斷
【答案】C
【詳解】由題圖（1）可知，散點幾乎分布在一條直線上，且成正相關，∴，
由題圖（2）可知，散點分散在一條直線附近，也成正相關，∴，
圖（1）中的散點分布更緊密，因此A組成對數據的線性相關程度比B組強一些，
∴，
故選：C.
7．（2024下·全國·高二隨堂練習）為考察兩個變量x，y的相關性，搜集數據如表，則兩個變量的線性相關程度（　　）
x 5 10 15 20 25
y 103 105 110 111 114
A．很強 B．很弱
C．無相關 D．不確定
【答案】A
【詳解】根據表格中的數據，可得，，，，
，，，
則，
可得兩個變量與的相關程度很強.
故選：A.
8．（2023下·高二單元測試）一唱片公司欲知唱片費用x(十萬元)與唱片銷售量y(千張)之間的關系，從其所發行的唱片中隨機抽選了10張，得如下的資料：，，，，，則y與x的相關系數r的絕對值為（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
【答案】D
【詳解】因為，，所以，
，
故選：D.
二、多選題
9．（2023·全國·高二專題練習）下列變量間可能用直線擬合的是（ ）
A．光照時間與大棚內蔬菜的產量 B．某正方形的邊長與此正方形的面積
C．舉重運動員所能舉起的最大重量與他的體重 D．某人的身高與視力
【答案】AC
【詳解】對于選項A，光照時間與大棚內蔬菜的產量中的兩個變量之間均存在某種關系，若存在線性關系就可用直線擬合，故A正確；
對于選項B，某正方形的邊長與此正方形的面積這兩個變量之間是確定的函數關系，不能用直線擬合，故B錯誤；
對于選項C，舉重運動員所能舉起的最大重量與他的體重中的兩個變量之間均存在某種關系，若存在線性關系就可用直線擬合，故C正確；
對于選項D，某人的身高與視力這兩個變量之間無任何關系，不能用直線擬合，故D錯誤．
故選：AC.
10．（2023下·遼寧·高二遼寧實驗中學校考階段練習）下列關于相關系數r的敘述中，正確的是（ ）
A．
B．當y與x正相關時，
C．時，兩個變量之間的回歸直線方程沒有價值
D．當成對數據構成的點都在回歸直線上時，則
【答案】ABC
【詳解】對于A中，根據相關系數的概念，可得，即，所以A正確；
對于B中，當，可得變量與正相關，所以B正確；
對于C中，當時，兩個變量之前的相關性非常弱，所以兩個變量之間的回歸直線方程沒有價值，所以C正確；
對于D中，當成對數據構成的點都在回歸直線上時，可得，所以D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
11．（2024下·全國·高二隨堂練習）給出下列關系：
①人的年齡與他(她)身高的關系；
②曲線上的點與該點的坐標之間的關系；
③蘋果的產量與氣候之間的關系；
④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系；
⑤學生與他(她)的學號之間的關系．
其中有相關關系的是 ．
【答案】①③④
【詳解】利用相關關系的概念判斷．②曲線上的點與該點坐標是一種對應關系，即每一個點對應一個坐標，是確定關系；⑤學生與其學號也是確定的對應關系．
故答案為①③④
12．（2023下·上海奉賢·高二上海市奉賢中學校考期中）已知變量，之間的一組相關數據如表所示，則變量，之間的相關系數 .(計算結果精確到0.01)
6 8 10 12
6 5 3 2
【答案】
【詳解】根據表中數據計算可知
，
，
變量之間的相關系數，
故答案為: .
B能力提升
13．（2023下·高二課時練習）某網站統計了某網紅螺螄粉在2020年7月至11月的總銷售量y（單位：萬），得到以下數據：
月份x 7 8 9 10 11
銷售量y 10 12 11 12 20
根據表中所給數據，用相關系數r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？
（參考公式：相關系數.參考數據：）
【答案】可用線性回歸模型擬合y與x的關系.
【詳解】由已知得：，，，，
∴.
因為，說明y與x的線性相關關系很強，可用線性回歸模型擬合y與x的關系.
14．（2023下·高二課時練習）某商店經營一批進價為每件4元的商品，在市場調查時發現，此商品的銷售單價x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下關系：
x 5 6 7 8
y 10 8 7 3
試計算x，y之間的相關系數.
參考數據：，，
【答案】
【詳解】因為，，，
所以相關系數.
15．（2023下·高二課時練習）關于兩個變量和的組數據如下表所示：
求變量與的相關系數，并判斷變量與之間是正相關還是負相關．
【答案】，正相關關系．
【詳解】，
，
，
，
，
；
，變量與之間是正相關關系.
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