資源簡介

第03講 8.3 列聯表與獨立性檢驗
（8.3.1分類變量與列聯表+8.3.2獨立性檢驗）
課程標準 學習目標
①了解分類變量與數值變量的區別，了解回歸與相關的區別。 ②通過實例，理解通過比較相關比率，利用2×2列聯表或等高圖可以初步檢驗兩個隨機變量的獨立性. 理解通過比較相關比率判斷隨機變量獨立性得到的結果有可能會犯錯誤。 ③理解通過比較相關比率判斷隨機變量獨立性得到的結果有可能會犯錯誤。 本節課要求會通過比較相關比率，判斷兩個隨機變量的獨立性. 會對簡單的數據分析案例進行初步獨立性分析.恰當構造卡方統計量及利用小概率事件原理實現對兩個分類變量的是否獨立的科學檢驗.能解決簡單的與獨立性檢驗相關的實際問題
知識點1：分類變量與列聯表
(1)分類變量
為了方便,會使用一種特殊的隨機變量,區別不同的現象或性質,這隨機變量稱為分類變量.
(2)列聯表
①2×2列聯表給出了兩個分類變量數據的交叉分類頻數．
②定義一對分類變量和，我們整理數據如下表所示：
合計
合計
知識點2：獨立性檢驗
(1)獨立性檢驗定義:
利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”．簡稱獨立性檢驗．
(2)獨立性檢驗公式：
其中（注意使用公式時分子的平方不要忽略了）
【即學即練1】（2024上·江西九江·高二統考期末）某校隨機調查了100名高中生是否喜歡籃球，按照男女區分得到列聯表，經計算得.根據獨立性檢驗的相關知識，對照下表，可以認為有（ ）把握喜歡籃球與性別有關.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，
有把握認為與性別有關，
故選：B.
題型01通過等高堆積條形圖判斷兩個分類變量是否存在差異
【典例1】（2014·吉林長春·統考三模）觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關系最強的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2017·廣東佛山·統考一模）現行普通高中學生在高一時面臨著選科的問題，學校抽取了部分男 女學生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：
根據這兩幅圖中的信息，下列哪個統計結論是不正確的（ ）
A．樣本中的女生數量多于男生數量
B．樣本中有兩理一文意愿的學生數量多于有兩文一理意愿的學生數量
C．樣本中的男生偏愛兩理一文
D．樣本中的女生偏愛兩文一理
【典例3】（2012下·山東青島·高二山東省青島第一中學校考期中）為了了解某高校學生喜歡使用手機支付是否與性別有關，抽取了部分學生作為樣本，統計后作出如圖所示的等高條形圖，則下列說法正確的是（ ）
A．喜歡使用手機支付與性別無關
B．樣本中男生喜歡使用手機支付的約
C．樣本中女生喜歡使用手機支付的人數比男生多
D．女生比男生喜歡使用手機支付的可能性大些
【變式1】（2021·高二課時練習）在等高條形圖中，下列哪兩個比值相差越大，要推斷的論述成立的可能性就越大（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式2】（2023·四川達州·統考一模）四川省將從2022年秋季入學的高一年級學生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學生的首選意愿，對部分高一學生進行了抽樣調查，制作出如下兩個等高條形圖，根據條形圖信息，下列結論正確的是（ ）
A．樣本中選擇物理意愿的男生人數少于選擇歷史意愿的女生人數
B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數多于男生選擇歷史意愿的人數
C．樣本中選擇物理學科的人數較多
D．樣本中男生人數少于女生人數
題型02 獨立性檢驗的概念及辨析
【典例1】（2024上·全國·高三專題練習）根據分類變量與的觀測數據，計算得到.依據的獨立性檢驗，結論為（ ）
A．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
B．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
C．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
D．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯進行了一次調查，其中被調查的男生 女生人數均為人，男生中喜歡短視頻的人數占男生人數的，女生中喜歡短視頻的人數占女生人數的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式1】（2024上·全國·高三專題練習）北京冬奧會的舉辦掀起了一陣冰雪運動的熱潮．某高校在本校學生中對“喜歡滑冰是否與性別有關”做了一次調查，參與調查的學生中，男生人數是女生人數的倍，有的男生喜歡滑冰，有的女生喜歡滑冰．若根據獨立性檢驗的方法，有的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關，則參與調查的男生人數可能為（ ）
參考公式：，其中．
參考數據：
A． B． C． D．
【變式2】（多選）（2024上·全國·高三期末）為考察一種新型藥物預防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數據后將所得結果填入相應的列聯表中，由列聯表中的數據計算得.參照附表，下列結論正確的是（　　）
附表：
A．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
B．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
C．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
D．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
題型03卡方的計算
【典例1】（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）為檢驗預防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗其血液中某項醫學指標（該醫學指標范圍為，統計如下：
該項醫學指標
接種疫苗人數 10 50
接種疫苗人數 30 40
個別數據模糊不清，用含字母的代數式表示.
(1)為檢驗該項醫學指標在內的是否需要接種加強針，先從醫學指標在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗進行判斷.從這8人中隨機抽取4人調研醫學指標低的原因，記這4人中接種疫苗的人數為，求的分布列與數學期望；
(2)根據（1）化驗研判結果，醫學認為該項醫學指標低于50，產生抗體較弱，需接種加強針，該項醫學指標不低于50，產生抗體較強，不需接種加強針.請先完成下面的列聯表，若根據小概率的獨立性檢驗，認為接種疫苗與志愿者產生抗體的強弱有關聯，求的最大值.
疫苗 抗體 合計
抗體弱 抗體強
疫苗
疫苗
合計
附：，其中.
0.25 0.025 0.005
1.323 5.024 7.879
【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）全國“村BA”籃球賽點燃了全民的運動激情，深受廣大球迷的喜愛.每支球隊都有一個或幾個主力隊員，現有一支“村BA”球隊，其中甲球員是其主力隊員，經統計該球隊在某個賽季的所有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況如表.
甲球員是否上場 球隊的勝負情況 合計
勝 負
上場 40 45
未上場 3
合計 42
(1)完成列聯表，并判斷依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關；
(2)由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調整，根據以往的數據統計，甲球員上場時，打前鋒、中鋒、后衛的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應球隊贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.
（i）當甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；
（ii）當甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）
附：，.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【典例3】（2024上·廣西北海·高二統考期末）在對人們休閑方式的一次調查中，共調查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運動；男性中有20人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運動．
(1)根據以上數據完成以下列聯表；
休閑方式 性別 看電視 運動 合計
女
男
合計
(2)能否有把握認為性別與休閑方式有關系？
附：，其中．
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【變式1】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研發過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯表（部分數據缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合計 30 100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
計算可知，根據小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005
【變式2】（2024上·江西鷹潭·高二統考期末）積化和差的重要應用在于求解傅里葉級數．為了解學生掌握該組公式的情況，在高一 高三兩個年級中隨機抽取了100名學生進行考查，其中高三年級的學生占，其他相關數據如下表：
合格 不合格 總計
高三年級學生 54
高一年級學生 16
總計 100
(1)請完成2×2列聯表，依據小概率值1的獨立性檢驗，分析“對公式的掌握情況”與“學生所在年級”是否有關？
(2)以頻率估計概率，從該校高一年級學生中抽取3名學生，記合格的人數為X，求X的分布列和數學期望．
附表及公式：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中
【變式3】（2024上·福建泉州·高三統考期末）教育部印發的《國家學生體質健康標準》，要求學校每學年開展全校學生的體質健康測試工作.某中學為提高學生的體質健康水平，組織了“坐位體前屈”專項訓練.現隨機抽取高一男生和高二男生共60人進行“坐位體前屈”專項測試.高一男生成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績在的男生有4人.
高二男生成績（單位：）如下：
10.2 12.8 6.4 6.6 14.3 8.3 16.8 15.9 9.7 17.5
18.6 18.3 19.4 23.0 19.7 20.5 24.9 20.5 25.1 17.5
(1)估計高一男生成績的平均數和高二男生成績的第40百分位數；
(2)《國家學生體質健康標準》規定，高一男生“坐位體前屈”成績良好等級線為，高二男生為.已知該校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校男生“坐位體前屈”成績優良等級與年級有關？
等級 年級 良好及以上 良好以下 合計
高一
高二
合計
附：，其中.
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
題型04獨立性檢驗的基本思想
【典例1】（2024·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）在某病毒疫苗的研發過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗．現隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下2×2列聯表（部分數據缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合計 30 100
計算可知，根據小概率值α＝________的獨立性檢驗，分析 “給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”（　　）
附：，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．0.001 B．0.05
C．0.01 D．0.005
【典例2】（2024上·全國·高三專題練習）為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經常性有影響，為此隨機抽取了40名學生，按照性別和體育鍛煉情況整理得到如下的列聯表：
性別 鍛煉 合計
不經常 經常
女生 5 10 15
男生 5 20 25
合計 10 30 40
(1)根據上表數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素會影響學生體育鍛煉的經常性？
(2)如果將表中的數據都擴大為原來的倍，在相同的檢驗標準下，得到與（1）中不一樣的結論.
（i）求的最小值；
（ii）如果抽樣方式不變，你認為（1）和（2）的結論哪個更可靠，并說明理由.
附：，其中
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【變式1】（多選）（2024上·安徽·高三合肥市第八中學校聯考開學考試）電影《八角籠中》是由王寶強導演并參演的一部電影，講述了年輕人為理想而努力奮斗的故事. 該電影一上映就引起了廣大觀眾的熱議，票房也超出了預期，現隨機抽取若干名觀眾進行調查，所得數據統計如下表所示，則（ ）
喜歡該電影 不喜歡該電影
男性觀眾 160 40
女性觀眾 140 60
附：.
0. 10 0. 05 0. 01 0. 001
2. 706 3. 841 6. 635 10. 828
A．若在被調查的觀眾中隨機抽取1人，則抽到喜歡該電影的男性觀眾的概率為
B．在被調查的觀眾中，男性不喜歡該電影的比例高于女性
C．根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為被調查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異
D．根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為被調查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異
【變式2】（2024上·全國·高三專題練習）通過隨機詢問某中學110名中學生是否愛好跳繩，得到如下列聯表：
跳繩 性別 合計
男 女
愛好 40 20 60
不愛好 20 30 50
合計 60 50 110
已知，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
則以下結論正確的是（ ）
A．根據小概率值的獨立性檢驗，愛好跳繩與性別無關
B．根據小概率值的獨立性檢驗，愛好跳繩與性別無關，這個結論犯錯誤的概率不超過0.001
C．根據小概率值的獨立性檢驗，有99%以上的把握認為“愛好跳繩與性別無關”
D．根據小概率值的獨立性檢驗，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好跳繩與性別無關”
題型05獨立性檢驗解決實際問題
【典例1】（2024·湖南長沙·統考一模）某廠為了考察設備更新后的產品優質率，質檢部門根據有放回簡單隨機抽樣得到的樣本測試數據，制作了如下列聯表：
產品 優質品 非優質品
更新前 24 16
更新后 48 12
(1)依據小概率值的獨立性檢驗，分析設備更新后能否提高產品優質率？
(2)如果以這次測試中設備更新后的優質品頻率作為更新后產品的優質率.質檢部門再次從設備更新后的生產線中抽出5件產品進行核查，核查方案為：若這5件產品中至少有3件是優質品，則認為設備更新成功，提高了優質率；否則認為設備更新失敗.
①求經核查認定設備更新失敗的概率；
②根據的大小解釋核查方案是否合理.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【典例2】（2024上·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）李連貴熏肉大餅是吉林省四平市極具傳統特色的美味小吃，有著悠久的歷史，創始于1908年，距今已經有著一百多年的歷史了.李連貴熏肉大餅的制作方法十分考究，選用豬肉和面粉為主要原料，將豬肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉 ，沙仁等幾十種配料謷煮，最后加入調料抹在餅內，夾肉而食，吃起來外酥里軟，美味可口，是一道集美味和藥膳于一體的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品嘗.某調查機構從年齡在歲的游客中隨機抽取100人，對是否有意向購買熏肉大餅進行調查，結果如下表：
年齡/歲
抽取人數
有意向購買熏肉大餅的人數
(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統計數據完成下面的列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為購買熏肉大餅與人的年齡有關
年齡低于歲的人數 年齡不低于歲的人數 總計
有意向購買熏肉大餅的人數
無意向購買熏肉大餅的人數
總計
(2)用樣本估計總體，用頻率估計概率，從年齡在的所有游客中隨機抽取3人，設這3人中打算購買熏肉大餅的人數為，求的分布列和數學期望.
【參考數據及公式】，其中.
【變式1】（2024上·甘肅·高三統考階段練習）第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預計會吸引億萬球迷觀看.為了了解某校大學生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關，該大學記者站隨機抽取了100名學生進行統計，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數的，男生有10人表示不喜歡看足球比賽.
(1)完成下面列聯表，試根據小概率值的獨立性檢驗，判斷能否認為喜愛觀看足球比賽與性別有關聯？
男 女 合計
喜愛看足球比賽
不喜愛看足球比賽
合計 60
(2)在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人參加校記者站的訪談節目，設抽到的男生人數為，求的分布列和期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【變式2】（2024上·廣東·高三統考期末）學校為了讓學生的學習與活動兩不誤，在延時課開設籃球、書法兩項活動，為了了解學生的選擇意向，隨機調查了部分同學，得到如下列聯表.
性別 選擇籃球 選擇書法
男生 40 10
女生 25 25
(1)根據上表，分別估計該校男、女生選擇籃球的概率；
(2)試根據小概率值的獨立性檢驗，分析性別與選擇意向是否有關聯.
附：，其中.
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024下·全國·高二隨堂練習）下列關于獨立性檢驗的說法正確的是（　　）
A．獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關關系的一種檢驗
B．獨立性檢驗可以確定兩個變量之間是否具有某種關系
C．利用獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關聯中，根據小概率值的獨立性檢驗，認為吸煙與患肺病有關系時，則我們可以說在個吸煙的人中，有人患肺病
D．對于獨立性檢驗，隨機變量的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大
2．（2024下·全國·高二隨堂練習）某村莊對該村內50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進行了調查，統計數據如表所示：
每年體檢 每年未體檢 合計
老年人 7
年輕人 6
合計 50
已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯表數據錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024下·全國·高二隨堂練習）觀察下圖的等高條形圖，其中最有把握認為兩個分類變量，之間沒有關系的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024下·全國·高二隨堂練習）千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯表（單位：天），并計算得到，下列小波對地區A天氣的判斷不正確的是（ ）
日落云里走 夜晚天氣 下雨 未下雨
出現 25 5
未出現 25 45
參考公式：
臨界值參照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．夜晚下雨的概率約為
B．未出現“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為
C．據小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現與夜晚天氣有關
D．出現“日落云里走”， 據小概率值的獨立性檢驗，可以認為夜晚會下雨
5．（2024上·全國·高三專題練習）有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀，得到列聯表如下：
優秀 非優秀 總計
甲班
乙班
總計 105
已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為，則下列說法正確的是(　　)
A．列聯表中c的值為30，b的值為35
B．列聯表中c的值為15，b的值為50
C．列聯表中c的值為20，b的值為50
D．由列聯表可看出成績與班級有關系
6．（2024上·全國·高三專題練習）假設有兩個變量x與y的列聯表如下表：
a b
c d
對于以下數據，對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
7．（2024·全國·高三專題練習）在新高考改革中，浙江省新高考實行的是7選3的模式，即語數外三門為必考科目，然后從物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術（含信息技術和通用技術）7門課中選考3門.某校高二學生選課情況如下列聯表一和列聯表二（單位:人）
選物理 不選物理 總計
男生 340 110 450
女生 140 210 350
總計 480 320 800
表一
選生物 不選生物 總計
男生 150 300 450
女生 150 200 350
總計 300 500 800
表二
試根據小概率值的獨立性檢驗，分析物理和生物選課與性別是否有關（ ）
附:
A．選物理與性別有關，選生物與性別有關
B．選物理與性別無關，選生物與性別有關
C．選物理與性別有關，選生物與性別無關
D．選物理與性別無關，選生物與性別無關
8．（2024·全國·高三專題練習）在一次聯考后，某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規定：大于或等于120分為優秀，120分以下為非優秀，統計成績后，得到如下2×2列聯表：
優秀 非優秀 合計
甲班人數 50
乙班人數 20
合計 30 110
附：，其中.
根據獨立性檢驗，可以認為數學考試成績與班級有關系的把握為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024上·山西運城·高三校考期末）某校有在校學生900人，其中男生400人，女生500人，為了解該校學生對學校課后延時服務的滿意度，隨機調查了40名男生和50名女生．每位被調查的學生都對學校的課后延時服務給出了滿意或不滿意的評價，統計過程中發現隨機從這90人中抽取一人，此人評價為滿意的概率為．在制定列聯表時，由于某些因素缺失了部分數據，而獲得如下列聯表，下列結論正確的是（ ）
滿意 不滿意 合計
男 10
女
合計 90
參考公式與臨界值表，其中．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．滿意度的調查過程采用了分層抽樣的抽樣方法
B．50名女生中對課后延時服務滿意的人數為20
C．的觀測值為9
D．根據小概率的獨立性檢驗，不可以認為“對課后延時服務的滿意度與性別有關系”
10．（2024上·貴州·高三統考開學考試）某學校高三年級于2023年5月初進行了一次高三數學備考前測考試．按照分數大于或等于120的同學評價為“優秀生”，其它分數的同學評價為“潛力生”進行整體水平評價，得到下面表（1）所示的列聯表．已知在這105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為，根據表（2）的數據可斷定下列說法正確的是（ ）
班級 戰績 合計
優秀生 潛力生
甲班 10 b
乙班 c 30
合計 105
表（1）
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
表（2）
A．列聯表中c的值為30，b的值為35
B．列聯表中c的值為20，b的值為45
C．根據列聯表中的數據，有95%的把握認為成績與班級有關
D．根據列聯表中的數據，沒有95%的把握認為成績與班級有關
三、填空題
11．（2024下·全國·高二隨堂練習）為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯表：
藥物 疾病 合計
未患病 患病
服用 a 50
未服用 50
合計 80 20 100
若在本次考察中得出“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效”的結論，則a的最小值為 ．（其中且）（參考數據：，）
附：，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
12．（2024下·全國·高二隨堂練習）2022年3月，我國疫情發生頻次明顯增加．為了防止奧密克戎變異株的傳播，各地方政府都采取了有效防治措施．社區志愿者小王參加了防止奧密克戎變異株傳播的科普宣傳活動，并隨機調查了100名居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況，得到如下的2×2列聯表：
了解 不了解 總計
年齡不小于60歲 a b a＋b
年齡小于60歲 c d c＋d
總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
給出下列4組數據：
① ；② ；
③ ；④ ．
則居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性最大的是 ．（填序號）
四、解答題
13．（2024上·河南焦作·高二統考期末）近年來，直播帶貨逐漸興起，成為鄉村振興的新動力，為了解甲 乙兩個推銷農產品的直播間的銷售情況，統計了兩個直播間一段時間內觀眾下單的相關數據，得到如下的表格：
下單的觀眾數 未下單的觀眾數
甲直播間 120 80
乙直播間 60 80
(1)分別估計甲 乙直播間的觀眾下單的概率；
(2)是否有的把握認為兩個直播間觀眾的下單意愿有差異？
附.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
14．（2024上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學校考期末）某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創新活動，A，B在實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗，為觀測其生長情況，分別在實驗地隨機抽取各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖，記綜合評分為80及以上的花苗為優質花苗.

(1)求圖中a的值，并求綜合評分的中位數；
(2)填寫下面的列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，分析優質花苗與培育方法是否有關，請說明理由.
優質花苗 非優質花苗 合計
甲培育法 20
乙培育法 10
合計
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
B能力提升
15．（2024上·河北唐山·高三統考期末）目前，國際上常用身體質量指數（Body Mass Index，縮寫BMI）來測量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是．中國成人的BMI數值標如下表所示：
BMI ＜18.5 ≥28
體重情況 過輕 正常 超重 肥胖
為了解某單位職工的身體情況，研究人員從單位職工體檢數據中，采用分層隨機抽樣方法抽取了90名男職工、50名女職工的身高和體重數據，計算得到他們的BMI值，并進行分類統計，如右表所示：
性別 BMI 合計
過輕 正常 超重 肥胖
男 10 60 11 9 90
女 15 25 5 5 50
合計 25 85 16 14 140
(1)參照附表，對小概率值a逐一進行獨立性檢驗，依據檢驗，指出能認為職工體重是否正常與性別有關聯的a的一個值；
(2)在該單位隨機抽取一位職工的BMI值，發現其BMI值不低于28．由上表可知男女職工的肥胖率都為0.1，視頻率為概率，能否認為該職工的性別是男還是女的可能性相同？若認為相同則說明理由，若認為不相同，則需要比較可能性的大小．
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：
16．（2024上·廣東汕頭·高三統考期末）《國家學生體質健康標準》是我國對學生體質健康方面的基本要求，是綜合評價學生綜合素質的重要依據.為促進學生積極參加體育鍛煉，養成良好的鍛煉習慣，提高體質健康水平，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調查.獲得如下信息：
①男生所占比例為；
②不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為；
③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.
(1)完成列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關聯？
性別 體育鍛煉 合計
喜歡 不喜歡
男
女
合計
(2)（ⅰ）從這200名學生中采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.記事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、“至多有1名喜歡體育鍛煉的女生”.請計算和的值.
（ⅱ）對于隨機事件，，，試分析與的大小關系，并給予證明
參考公式及數據：，.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
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第03講 8.3 列聯表與獨立性檢驗
（8.3.1分類變量與列聯表+8.3.2獨立性檢驗）
課程標準 學習目標
①了解分類變量與數值變量的區別，了解回歸與相關的區別。 ②通過實例，理解通過比較相關比率，利用2×2列聯表或等高圖可以初步檢驗兩個隨機變量的獨立性. 理解通過比較相關比率判斷隨機變量獨立性得到的結果有可能會犯錯誤。 ③理解通過比較相關比率判斷隨機變量獨立性得到的結果有可能會犯錯誤。 本節課要求會通過比較相關比率，判斷兩個隨機變量的獨立性. 會對簡單的數據分析案例進行初步獨立性分析.恰當構造卡方統計量及利用小概率事件原理實現對兩個分類變量的是否獨立的科學檢驗.能解決簡單的與獨立性檢驗相關的實際問題
知識點1：分類變量與列聯表
(1)分類變量
為了方便,會使用一種特殊的隨機變量,區別不同的現象或性質,這隨機變量稱為分類變量.
(2)列聯表
①2×2列聯表給出了兩個分類變量數據的交叉分類頻數．
②定義一對分類變量和，我們整理數據如下表所示：
合計
合計
知識點2：獨立性檢驗
(1)獨立性檢驗定義:
利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”．簡稱獨立性檢驗．
(2)獨立性檢驗公式：
其中（注意使用公式時分子的平方不要忽略了）
【即學即練1】（2024上·江西九江·高二統考期末）某校隨機調查了100名高中生是否喜歡籃球，按照男女區分得到列聯表，經計算得.根據獨立性檢驗的相關知識，對照下表，可以認為有（ ）把握喜歡籃球與性別有關.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，
有把握認為與性別有關，
故選：B.
題型01通過等高堆積條形圖判斷兩個分類變量是否存在差異
【典例1】（2014·吉林長春·統考三模）觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關系最強的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】觀察等高條形圖發現與相差很大，就判斷兩個分類變量之量關系最強．
故選：D
【典例2】（2017·廣東佛山·統考一模）現行普通高中學生在高一時面臨著選科的問題，學校抽取了部分男 女學生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：
根據這兩幅圖中的信息，下列哪個統計結論是不正確的（ ）
A．樣本中的女生數量多于男生數量
B．樣本中有兩理一文意愿的學生數量多于有兩文一理意愿的學生數量
C．樣本中的男生偏愛兩理一文
D．樣本中的女生偏愛兩文一理
【答案】D
【詳解】解：由條形圖知女生數量多于男生數量，故A正確；
有兩理一文意愿的學生數量多于有兩文一理意愿的學生數量，故B正確；
男生偏愛兩理一文，故C正確；
女生中有兩理一文意愿的學生數量多于有兩文一理意愿的學生數量，故D錯誤.
故選：D.
【典例3】（2012下·山東青島·高二山東省青島第一中學校考期中）為了了解某高校學生喜歡使用手機支付是否與性別有關，抽取了部分學生作為樣本，統計后作出如圖所示的等高條形圖，則下列說法正確的是（ ）
A．喜歡使用手機支付與性別無關
B．樣本中男生喜歡使用手機支付的約
C．樣本中女生喜歡使用手機支付的人數比男生多
D．女生比男生喜歡使用手機支付的可能性大些
【答案】D
【詳解】A錯誤，根據等高條形圖，喜歡和不喜歡使用手機支付的比例因性別差距很明顯，所以喜歡使用手機支付與性別有關；
B錯誤，樣本中男生喜歡使用手機支付的約為40%；
女生比男生喜歡使用手機支付的可能性大些，由于不知道男女生人數，所以不能認定女生喜歡使用手機支付的人數是否比男生多.所以C錯誤，D正確.
故選：D
【變式1】（2021·高二課時練習）在等高條形圖中，下列哪兩個比值相差越大，要推斷的論述成立的可能性就越大（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】C
【詳解】由等高條形圖可知與的值相差越大，|ad－bc|就越大，相關性就越強．
故選：C
【變式2】（2023·四川達州·統考一模）四川省將從2022年秋季入學的高一年級學生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學生的首選意愿，對部分高一學生進行了抽樣調查，制作出如下兩個等高條形圖，根據條形圖信息，下列結論正確的是（ ）
A．樣本中選擇物理意愿的男生人數少于選擇歷史意愿的女生人數
B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數多于男生選擇歷史意愿的人數
C．樣本中選擇物理學科的人數較多
D．樣本中男生人數少于女生人數
【答案】C
【詳解】根據等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學科的人數較多，故C正確；
根據等高條形圖圖2可知樣本中男生人數多于女生人數，故D錯誤；
樣本中選擇物理學科的人數多于選擇歷史意愿的人數，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，
所以樣本中選擇物理意愿的男生人數多于選擇歷史意愿的女生人數，故A錯誤；
樣本中女生選擇歷史意愿的人數不一定多于男生選擇歷史意愿的人數，故B錯誤.
故選：C.
題型02 獨立性檢驗的概念及辨析
【典例1】（2024上·全國·高三專題練習）根據分類變量與的觀測數據，計算得到.依據的獨立性檢驗，結論為（ ）
A．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
B．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
C．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
D．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
【答案】B
【詳解】因為時，所以，
所以變量與不獨立，且這個結論犯錯誤的概率不超過.
故選:B.
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯進行了一次調查，其中被調查的男生 女生人數均為人，男生中喜歡短視頻的人數占男生人數的，女生中喜歡短視頻的人數占女生人數的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【詳解】根據題意，不妨設，
于是，
由于依據的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，
根據表格可知，解得，于是最小值為.
故選：C
【變式1】（2024上·全國·高三專題練習）北京冬奧會的舉辦掀起了一陣冰雪運動的熱潮．某高校在本校學生中對“喜歡滑冰是否與性別有關”做了一次調查，參與調查的學生中，男生人數是女生人數的倍，有的男生喜歡滑冰，有的女生喜歡滑冰．若根據獨立性檢驗的方法，有的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關，則參與調查的男生人數可能為（ ）
參考公式：，其中．
參考數據：
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設男生人數為，則女生人數為，且,
可得列聯表如下：
男生 女生 合計
喜歡滑冰
不喜歡滑冰
合計
所以，
因為有的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關，
所以，解得，
所以，結合選項只有，
故選:C.
【變式2】（多選）（2024上·全國·高三期末）為考察一種新型藥物預防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數據后將所得結果填入相應的列聯表中，由列聯表中的數據計算得.參照附表，下列結論正確的是（　　）
附表：
A．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
B．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
C．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”
D．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”
【答案】BC
【【詳解】因為，所以，
所以根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”；
根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”；
故選：BC.
題型03卡方的計算
【典例1】（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）為檢驗預防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗其血液中某項醫學指標（該醫學指標范圍為，統計如下：
該項醫學指標
接種疫苗人數 10 50
接種疫苗人數 30 40
個別數據模糊不清，用含字母的代數式表示.
(1)為檢驗該項醫學指標在內的是否需要接種加強針，先從醫學指標在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗進行判斷.從這8人中隨機抽取4人調研醫學指標低的原因，記這4人中接種疫苗的人數為，求的分布列與數學期望；
(2)根據（1）化驗研判結果，醫學認為該項醫學指標低于50，產生抗體較弱，需接種加強針，該項醫學指標不低于50，產生抗體較強，不需接種加強針.請先完成下面的列聯表，若根據小概率的獨立性檢驗，認為接種疫苗與志愿者產生抗體的強弱有關聯，求的最大值.
疫苗 抗體 合計
抗體弱 抗體強
疫苗
疫苗
合計
附：，其中.
0.25 0.025 0.005
1.323 5.024 7.879
【答案】(1)分布列見解析，
(2)列聯表見解析，2
【詳解】（1）從醫學指標在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人中，
接種疫苗有2人，接種疫苗有6人，
由題意可知，可能取值為，
，
的分布列為：
2 3 4
則；
（2）列聯表如下：
疫苗 抗體 合計
抗體弱 抗體強
疫苗 100
疫苗 100
合計 60 140 200
則，
由題意可知，，
整理得，，
解得或，
又，則，
所以，
故的最大值為2.
【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）全國“村BA”籃球賽點燃了全民的運動激情，深受廣大球迷的喜愛.每支球隊都有一個或幾個主力隊員，現有一支“村BA”球隊，其中甲球員是其主力隊員，經統計該球隊在某個賽季的所有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況如表.
甲球員是否上場 球隊的勝負情況 合計
勝 負
上場 40 45
未上場 3
合計 42
(1)完成列聯表，并判斷依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關；
(2)由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調整，根據以往的數據統計，甲球員上場時，打前鋒、中鋒、后衛的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應球隊贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.
（i）當甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；
（ii）當甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）
附：，.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)列聯表見解析；有99%的把握認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關.
(2)（i）；（ii）
【詳解】（1）解：根據題意，可得的列聯表：
甲球員是否上場 球隊的勝負情況 合計
勝 負
上場 40 5 45
未上場 2 3 5
合計 42 8 50
零假設：球隊的勝負與甲球員是否上場無關
此時，
所以，有99%的把握認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關.
（2）解：由甲球員上場時，打前鋒、中鋒、后衛的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應球隊贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.
（i）設事件：甲球員上場打前鋒，事件：甲球員上場打中鋒，事件：甲球員上場打后衛，事件：球隊贏球，
則,
所以，當甲球員上場參加比賽時，球隊贏球的概率：
.
（ii）當甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，
甲球員打中鋒的概率為.
【典例3】（2024上·廣西北海·高二統考期末）在對人們休閑方式的一次調查中，共調查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運動；男性中有20人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運動．
(1)根據以上數據完成以下列聯表；
休閑方式 性別 看電視 運動 合計
女
男
合計
(2)能否有把握認為性別與休閑方式有關系？
附：，其中．
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)列聯表見解析；
(2)沒有的把握認為性別與休閑方式有關.
【詳解】（1）
休閑方式 性別 看電視 運動 合計
女 40 30 70
男 20 30 50
合計 60 60 120
（2）易知，
由卡方公式可知：，
故沒有的把握認為性別與休閑方式有關.
【變式1】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研發過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯表（部分數據缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合計 30 100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
計算可知，根據小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005
【答案】B
【詳解】完善列聯表如下：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合計 30 70 100
假設：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預防該病毒感染的效果”.
因為：，而，
所以根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.
即認為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預防該病毒感染的效果”.
故選：B
【變式2】（2024上·江西鷹潭·高二統考期末）積化和差的重要應用在于求解傅里葉級數．為了解學生掌握該組公式的情況，在高一 高三兩個年級中隨機抽取了100名學生進行考查，其中高三年級的學生占，其他相關數據如下表：
合格 不合格 總計
高三年級學生 54
高一年級學生 16
總計 100
(1)請完成2×2列聯表，依據小概率值1的獨立性檢驗，分析“對公式的掌握情況”與“學生所在年級”是否有關？
(2)以頻率估計概率，從該校高一年級學生中抽取3名學生，記合格的人數為X，求X的分布列和數學期望．
附表及公式：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中
【答案】(1)填表見解析；認為“對公式的掌握情況”與“學生所在年級”有關；
(2)分布列見解析；期望為.
【詳解】（1）由100名學生中高三年級的學生占，可知高三年級的學生有60人，高一年級的學生有40人.
補充完整的列聯表，如下：
合格 不合格 合計
高三年級的學生 54 6 60
高一年級的學生 24 16 40
合計 78 22 100
提出零假設：“對公式的掌握情況”與“學生所在年級”無關．
根據列聯表中的數據，得．
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷H 不成立，
即認為“對公式的掌握情況”與“學生所在年級”有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．
（2）由（1）得，高一年級的學生對公式的掌握情況合格的頻率為．
依題意，得
則，，
，．
所以的分布列為
0 1 2 3
．
【變式3】（2024上·福建泉州·高三統考期末）教育部印發的《國家學生體質健康標準》，要求學校每學年開展全校學生的體質健康測試工作.某中學為提高學生的體質健康水平，組織了“坐位體前屈”專項訓練.現隨機抽取高一男生和高二男生共60人進行“坐位體前屈”專項測試.高一男生成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績在的男生有4人.
高二男生成績（單位：）如下：
10.2 12.8 6.4 6.6 14.3 8.3 16.8 15.9 9.7 17.5
18.6 18.3 19.4 23.0 19.7 20.5 24.9 20.5 25.1 17.5
(1)估計高一男生成績的平均數和高二男生成績的第40百分位數；
(2)《國家學生體質健康標準》規定，高一男生“坐位體前屈”成績良好等級線為，高二男生為.已知該校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校男生“坐位體前屈”成績優良等級與年級有關？
等級 年級 良好及以上 良好以下 合計
高一
高二
合計
附：，其中.
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)15，16.35
(2)詳見解析
【詳解】（1）依題意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.
因為高一男生成績在[5,10)的男生有4人，所以，解得.
由，解得.
由樣本估計總體，可估計高一男生成績的平均數
.
由，可知樣本數據的第40百分位數是第8項和第9項數據的均值，
高二男生“坐位體前屈”成績在[5,15)有7人，[15,20) 有8人,
所以第40百分位數在[15,20)中，故.
由樣本估計總體，可估計高二男生成績的第40百分位數為 16.35.
（2）根據樣本，知高一男生成績良好及以上占，良好以下占，高二男生成績良好
及以上占，良好以下占，由樣本估計總體，可得列聯表如下：
良好及以上 良好以下 合計
高一 300 300 600
高二 300 200 500
合計 600 500 1100
零假設為：該校男生“坐位體前屈”成績等級與年級之間無關.
根據列聯表中的數據，得
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“坐位體前屈”成績等級與年級有關，此推斷犯錯誤的概率不大于.
題型04獨立性檢驗的基本思想
【典例1】（2024·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）在某病毒疫苗的研發過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗．現隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下2×2列聯表（部分數據缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合計 30 100
計算可知，根據小概率值α＝________的獨立性檢驗，分析 “給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”（　　）
附：，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．0.001 B．0.05
C．0.01 D．0.005
【答案】B
【詳解】完善2×2列聯表如下：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合計
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合計 30 70 100
零假設為H0：“給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預防該病毒感染的效果”．
因為χ2＝，
所以根據小概率值的獨立性檢驗，推斷H0不成立，
即認為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”．
故選：B.
【典例2】（2024上·全國·高三專題練習）為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經常性有影響，為此隨機抽取了40名學生，按照性別和體育鍛煉情況整理得到如下的列聯表：
性別 鍛煉 合計
不經常 經常
女生 5 10 15
男生 5 20 25
合計 10 30 40
(1)根據上表數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素會影響學生體育鍛煉的經常性？
(2)如果將表中的數據都擴大為原來的倍，在相同的檢驗標準下，得到與（1）中不一樣的結論.
（i）求的最小值；
（ii）如果抽樣方式不變，你認為（1）和（2）的結論哪個更可靠，并說明理由.
附：，其中
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)根據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此認為成立，即學生體育鍛煉的經常性與學生性別沒有關系
(2)（i）的最小值為8，（ii）在抽樣方式不變的情況下，（2）中的結論更可靠，理由見解析
【詳解】（1）：學生體育鍛煉的經常性與學生性別沒有關系.
根據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此認為成立，即學生體育鍛煉的經常性與學生性別沒有關系.
（2）（i）當表中的數據都擴大為原來的倍時，
根據的獨立性檢驗，若推斷不成立，即在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學生體育鍛煉的經常性與學生性別有關系.
則有：，解得，又，故的最小值為8.
（ii）在抽樣方式不變的情況下，（2）中的結論更可靠.
這是因為對于隨機樣本而言，頻率具有隨機性，我們的推斷可能犯錯誤，樣本容量越小，犯錯誤的可能性會越大，因此在抽樣方式不變的前提下，樣本容量大的結果更可靠.
【變式1】（多選）（2024上·安徽·高三合肥市第八中學校聯考開學考試）電影《八角籠中》是由王寶強導演并參演的一部電影，講述了年輕人為理想而努力奮斗的故事. 該電影一上映就引起了廣大觀眾的熱議，票房也超出了預期，現隨機抽取若干名觀眾進行調查，所得數據統計如下表所示，則（ ）
喜歡該電影 不喜歡該電影
男性觀眾 160 40
女性觀眾 140 60
附：.
0. 10 0. 05 0. 01 0. 001
2. 706 3. 841 6. 635 10. 828
A．若在被調查的觀眾中隨機抽取1人，則抽到喜歡該電影的男性觀眾的概率為
B．在被調查的觀眾中，男性不喜歡該電影的比例高于女性
C．根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為被調查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異
D．根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為被調查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異
【答案】AC
【詳解】根據題意，喜歡該電影的男性觀眾有160人，可得，所以A正確；
由男性不喜歡該電影的比例為，女性不喜歡該電影的比例為，
可得，所以B錯誤；
由，因為，所以C正確，D錯誤.
故選：AC.
【變式2】（2024上·全國·高三專題練習）通過隨機詢問某中學110名中學生是否愛好跳繩，得到如下列聯表：
跳繩 性別 合計
男 女
愛好 40 20 60
不愛好 20 30 50
合計 60 50 110
已知，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
則以下結論正確的是（ ）
A．根據小概率值的獨立性檢驗，愛好跳繩與性別無關
B．根據小概率值的獨立性檢驗，愛好跳繩與性別無關，這個結論犯錯誤的概率不超過0.001
C．根據小概率值的獨立性檢驗，有99%以上的把握認為“愛好跳繩與性別無關”
D．根據小概率值的獨立性檢驗，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好跳繩與性別無關”
【答案】A
【詳解】由題知
因為，所以愛好跳繩與性別無關且這個結論犯錯誤的概率超過0.001，故A正確，B錯誤，又因為，所以有99%以上的把握認為“愛好跳繩與性別有關，或在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好跳繩與性別有關.故C和D錯誤.
故選：A.
題型05獨立性檢驗解決實際問題
【典例1】（2024·湖南長沙·統考一模）某廠為了考察設備更新后的產品優質率，質檢部門根據有放回簡單隨機抽樣得到的樣本測試數據，制作了如下列聯表：
產品 優質品 非優質品
更新前 24 16
更新后 48 12
(1)依據小概率值的獨立性檢驗，分析設備更新后能否提高產品優質率？
(2)如果以這次測試中設備更新后的優質品頻率作為更新后產品的優質率.質檢部門再次從設備更新后的生產線中抽出5件產品進行核查，核查方案為：若這5件產品中至少有3件是優質品，則認為設備更新成功，提高了優質率；否則認為設備更新失敗.
①求經核查認定設備更新失敗的概率；
②根據的大小解釋核查方案是否合理.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)可以認為設備更新后能夠提高產品優質率
(2)①0.05792；②合理
【詳解】（1）零假設為：設備更新與產品的優質率獨立，即設備更新前與更新后的產品優質率沒有差異.
由列聯表可計算，
依據小概率值的獨立性檢驗，
我們可以推斷不成立，因此可以認為設備更新后能夠提高產品優質率.
（2）根據題意，設備更新后的優質率為0.8.可以認為從生產線中抽出的5件產品是否優質是相互獨立的.
①設表示這5件產品中優質品的件數，則，可得
②實際上設備更新后提高了優質率.
當這5件產品中的優質品件數不超過2件時，認為更新失敗，此時作出了錯誤的判斷，
由于作出錯誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.
【典例2】（2024上·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）李連貴熏肉大餅是吉林省四平市極具傳統特色的美味小吃，有著悠久的歷史，創始于1908年，距今已經有著一百多年的歷史了.李連貴熏肉大餅的制作方法十分考究，選用豬肉和面粉為主要原料，將豬肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉 ，沙仁等幾十種配料謷煮，最后加入調料抹在餅內，夾肉而食，吃起來外酥里軟，美味可口，是一道集美味和藥膳于一體的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品嘗.某調查機構從年齡在歲的游客中隨機抽取100人，對是否有意向購買熏肉大餅進行調查，結果如下表：
年齡/歲
抽取人數
有意向購買熏肉大餅的人數
(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統計數據完成下面的列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為購買熏肉大餅與人的年齡有關
年齡低于歲的人數 年齡不低于歲的人數 總計
有意向購買熏肉大餅的人數
無意向購買熏肉大餅的人數
總計
(2)用樣本估計總體，用頻率估計概率，從年齡在的所有游客中隨機抽取3人，設這3人中打算購買熏肉大餅的人數為，求的分布列和數學期望.
【參考數據及公式】，其中.
【答案】(1)列聯表見解析，購買熏肉大餅與人的年齡有關
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）列聯表如下：
年齡低于 歲的人數 年齡不低于 歲的人數 總計
有意向購買熏肉大餅的人數
無意向購買熏肉大餅的人數
總計
零假設為購買熏肉大餅與人的年齡無關.
根據表中數據計算得：，
所以依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即購買熏肉大餅與人的年齡有關，該推斷犯錯誤的概率不超過.
（2）由已知得，，，
，，
，.
所以隨機變量的分布列為:
所以.
【變式1】（2024上·甘肅·高三統考階段練習）第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預計會吸引億萬球迷觀看.為了了解某校大學生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關，該大學記者站隨機抽取了100名學生進行統計，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數的，男生有10人表示不喜歡看足球比賽.
(1)完成下面列聯表，試根據小概率值的獨立性檢驗，判斷能否認為喜愛觀看足球比賽與性別有關聯？
男 女 合計
喜愛看足球比賽
不喜愛看足球比賽
合計 60
(2)在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人參加校記者站的訪談節目，設抽到的男生人數為，求的分布列和期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列聯表見解析，認為喜愛觀看足球比賽與性別有關聯.
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）根據表格數據可知抽取的女生共40人，喜歡觀看足球比賽的女生為人，
可得得列聯表如下：
男 女 合計
喜愛看足球比賽 50 10 60
不喜愛看足球比賽 10 30 40
合計 60 40 100
根據列聯表中的數據計算得
，
根據小概率值的獨立性檢驗，即認為喜愛觀看足球比賽與性別有關聯.
（2）按照分層隨機抽樣的方式抽取8人，根據抽樣比可知其中男生2人，女生6人，
則的可能取值為，
，
，
所以的分布列為
0 1 2
期望值.
【變式2】（2024上·廣東·高三統考期末）學校為了讓學生的學習與活動兩不誤，在延時課開設籃球、書法兩項活動，為了了解學生的選擇意向，隨機調查了部分同學，得到如下列聯表.
性別 選擇籃球 選擇書法
男生 40 10
女生 25 25
(1)根據上表，分別估計該校男、女生選擇籃球的概率；
(2)試根據小概率值的獨立性檢驗，分析性別與選擇意向是否有關聯.
附：，其中.
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)；；
(2)性別與選擇意向有關聯.
【詳解】（1）以頻率估計概率,
所以該校男生選擇籃球的概率為,
所以該校女生選擇籃球的概率為.
（2）結合題意：,
整理計算得：，
故能在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下認為性別與選擇意向有關.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024下·全國·高二隨堂練習）下列關于獨立性檢驗的說法正確的是（　　）
A．獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關關系的一種檢驗
B．獨立性檢驗可以確定兩個變量之間是否具有某種關系
C．利用獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關聯中，根據小概率值的獨立性檢驗，認為吸煙與患肺病有關系時，則我們可以說在個吸煙的人中，有人患肺病
D．對于獨立性檢驗，隨機變量的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大
【答案】D
【分析】根據獨立性檢驗的意義分別判斷各選項.
【詳解】對于A，獨立性檢驗是通過卡方計算來判斷兩個變量存在關聯的可能性的一種方法，并非檢驗二者是否是線性相關，故錯誤；
對于B，獨立性檢驗并不能確定兩個變量相關，故錯誤；
對于C，是指“抽煙”和“患肺病”存在關聯的可能性，并非抽煙人中患肺病的發病率，故錯誤；
對于D，根據卡方計算的定義可知該選項正確；
故選:D.
2．（2024下·全國·高二隨堂練習）某村莊對該村內50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進行了調查，統計數據如表所示：
每年體檢 每年未體檢 合計
老年人 7
年輕人 6
合計 50
已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯表數據錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】已知抽取的老年人、年輕人各有25名，計算各個變量的值，進而得到答案.
【詳解】因為，，
，，，，
所以，，，，．
故選：D．
3．（2024下·全國·高二隨堂練習）觀察下圖的等高條形圖，其中最有把握認為兩個分類變量，之間沒有關系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由等高條形圖的意義分析可得答案．
【詳解】根據題意，在等高的條形圖中，當，所占比例相差越大時，越有把握認為兩個分類變量，之間有關系，
由選項可得：B選項中，，所占比例相差無幾，所以最有把握認為兩個分類變量，之間沒有關系，
故選：B
4．（2024下·全國·高二隨堂練習）千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯表（單位：天），并計算得到，下列小波對地區A天氣的判斷不正確的是（ ）
日落云里走 夜晚天氣 下雨 未下雨
出現 25 5
未出現 25 45
參考公式：
臨界值參照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．夜晚下雨的概率約為
B．未出現“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為
C．據小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現與夜晚天氣有關
D．出現“日落云里走”， 據小概率值的獨立性檢驗，可以認為夜晚會下雨
【答案】D
【分析】應用古典概型的概率求法求概率判斷A、B，應用卡方計算公式求卡方值，與臨界值比較，應用獨立檢驗的基本思想得到結論，判斷C、D.
【詳解】由列聯表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為，A正確；
未出現“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為，B正確；
，因此據小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現與夜晚天氣有關，C正確，D錯誤．
故選：D
5．（2024上·全國·高三專題練習）有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀，得到列聯表如下：
優秀 非優秀 總計
甲班
乙班
總計 105
已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為，則下列說法正確的是(　　)
A．列聯表中c的值為30，b的值為35
B．列聯表中c的值為15，b的值為50
C．列聯表中c的值為20，b的值為50
D．由列聯表可看出成績與班級有關系
【答案】D
【分析】根據成績優秀的概率求得，進而求得，結合比例判斷出正確答案.
【詳解】依題意，解得，由解得.
補全列聯表如下：
優秀 非優秀 總計
甲班
乙班
總計 105
甲班的優秀率為，乙班的優秀率為，
，所以成績與班級有關.所以D選項正確，ABC選項錯誤.
故選：D
6．（2024上·全國·高三專題練習）假設有兩個變量x與y的列聯表如下表：
a b
c d
對于以下數據，對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】計算每個選項中的值，最大的即對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大.
【詳解】對于A， ，
對于B，，
對于C，，
對于D，
顯然B中最大，該組數據能說明x與y有關系的可能性最大,
故選:B.
7．（2024·全國·高三專題練習）在新高考改革中，浙江省新高考實行的是7選3的模式，即語數外三門為必考科目，然后從物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術（含信息技術和通用技術）7門課中選考3門.某校高二學生選課情況如下列聯表一和列聯表二（單位:人）
選物理 不選物理 總計
男生 340 110 450
女生 140 210 350
總計 480 320 800
表一
選生物 不選生物 總計
男生 150 300 450
女生 150 200 350
總計 300 500 800
表二
試根據小概率值的獨立性檢驗，分析物理和生物選課與性別是否有關（ ）
附:
A．選物理與性別有關，選生物與性別有關
B．選物理與性別無關，選生物與性別有關
C．選物理與性別有關，選生物與性別無關
D．選物理與性別無關，選生物與性別無關
【答案】C
【分析】結合題干數據，以及公式，分別計算物理和生物學科的值，與比較，分析即得解
【詳解】由題意，先分析物理課是否與性別有關：
根據表格數據，
結合題干表格數據，，
因此，有充分證據推斷選擇物理學科與性別有關
再分析生物課是否與性別有關：
根據表格數據，
結合題干表格數據，，
因此，沒有充分證據推斷選擇生物學科與性別有關
故選：C
8．（2024·全國·高三專題練習）在一次聯考后，某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規定：大于或等于120分為優秀，120分以下為非優秀，統計成績后，得到如下2×2列聯表：
優秀 非優秀 合計
甲班人數 50
乙班人數 20
合計 30 110
附：，其中.
根據獨立性檢驗，可以認為數學考試成績與班級有關系的把握為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先完成列聯表,再計算，與臨界值進行比較，最后下結論
【詳解】
優秀 非優秀 合計
甲班人數 50
乙班人數 20
合計 30 110
由題表中的數據可得: ,
因為,
所以可以認為數學考試成績與班級有失系的把握為.
故選：D
二、多選題
9．（2024上·山西運城·高三校考期末）某校有在校學生900人，其中男生400人，女生500人，為了解該校學生對學校課后延時服務的滿意度，隨機調查了40名男生和50名女生．每位被調查的學生都對學校的課后延時服務給出了滿意或不滿意的評價，統計過程中發現隨機從這90人中抽取一人，此人評價為滿意的概率為．在制定列聯表時，由于某些因素缺失了部分數據，而獲得如下列聯表，下列結論正確的是（ ）
滿意 不滿意 合計
男 10
女
合計 90
參考公式與臨界值表，其中．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．滿意度的調查過程采用了分層抽樣的抽樣方法
B．50名女生中對課后延時服務滿意的人數為20
C．的觀測值為9
D．根據小概率的獨立性檢驗，不可以認為“對課后延時服務的滿意度與性別有關系”
【答案】AD
【分析】根據題意計算男女比例，即可判斷A選項；計算滿意的總人數人數，根據男生滿意人數即可得女生滿意人數判斷B選項；由列聯表中數據計算的值即可判斷C、D選項.
【詳解】A選項，因為在校學生中有400名男生，500名女生，隨機調查了40名男生和50名女生，
男女比例始終是4：5，所以采用了分層抽樣的方法，故A正確；
B選項，調查的90人中，對學校課后延時服務滿意的人數為，
其中男生滿意的人數為，所以女生滿意的人數為30，女生不滿意的人數為20，故B錯誤；
C選項，由B選項的分析，補全列聯表如下：
滿意 不滿意 合計
男 30 10 40
女 30 20 50
合計 60 30 90
由列聯表可得，故C錯誤；
D選項，：對課后延時服務的滿意度與性別無關，由，
根據小概率的獨立性檢驗，沒有充足的證據推斷不成立，
即不能認為“對課后延時服務的滿意度與性別有關系”，故D正確．
故選：AD．
10．（2024上·貴州·高三統考開學考試）某學校高三年級于2023年5月初進行了一次高三數學備考前測考試．按照分數大于或等于120的同學評價為“優秀生”，其它分數的同學評價為“潛力生”進行整體水平評價，得到下面表（1）所示的列聯表．已知在這105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為，根據表（2）的數據可斷定下列說法正確的是（ ）
班級 戰績 合計
優秀生 潛力生
甲班 10 b
乙班 c 30
合計 105
表（1）
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
表（2）
A．列聯表中c的值為30，b的值為35
B．列聯表中c的值為20，b的值為45
C．根據列聯表中的數據，有95%的把握認為成績與班級有關
D．根據列聯表中的數據，沒有95%的把握認為成績與班級有關
【答案】BC
【分析】根據題目條件計算判斷AB，再由卡方的計算判斷CD.
【詳解】因為在這105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為，
所以“優秀生”的人數為，“潛力生”的人數為，
所以，，故A錯B對；
因為，所以有95%的把握認為成績與班級有關，故C對D錯.
故選：BC．
三、填空題
11．（2024下·全國·高二隨堂練習）為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯表：
藥物 疾病 合計
未患病 患病
服用 a 50
未服用 50
合計 80 20 100
若在本次考察中得出“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效”的結論，則a的最小值為 ．（其中且）（參考數據：，）
附：，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】46
【分析】根據公式列不等式求解．
【詳解】由題意可得，
整理得，
所以或，
解得或，
又因為且，
所以，
所以a的最小值為46.
故答案為：46.
12．（2024下·全國·高二隨堂練習）2022年3月，我國疫情發生頻次明顯增加．為了防止奧密克戎變異株的傳播，各地方政府都采取了有效防治措施．社區志愿者小王參加了防止奧密克戎變異株傳播的科普宣傳活動，并隨機調查了100名居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況，得到如下的2×2列聯表：
了解 不了解 總計
年齡不小于60歲 a b a＋b
年齡小于60歲 c d c＋d
總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
給出下列4組數據：
① ；② ；
③ ；④ ．
則居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性最大的是 ．（填序號）
【答案】③
【分析】根據當的值越大時，居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性越大，計算每組的值，比較大小可得答案。
【詳解】當的值越大時，居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性越大，
在①中，，在②中，，在③中，，在④中，,
故居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性最大的是③,
故答案為：③
四、解答題
13．（2024上·河南焦作·高二統考期末）近年來，直播帶貨逐漸興起，成為鄉村振興的新動力，為了解甲 乙兩個推銷農產品的直播間的銷售情況，統計了兩個直播間一段時間內觀眾下單的相關數據，得到如下的表格：
下單的觀眾數 未下單的觀眾數
甲直播間 120 80
乙直播間 60 80
(1)分別估計甲 乙直播間的觀眾下單的概率；
(2)是否有的把握認為兩個直播間觀眾的下單意愿有差異？
附.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)甲乙直播間觀眾下單概率分別為，；
(2)有的把握認為兩個直播間觀眾的下單意愿有差異.
【分析】（1）根據表格中的數據，結合古典概型的概率計算公式，即可求解；
（2）根據題意，得出的列聯表，求得，結合附表，即可得到結論.
【詳解】（1）解：根據表格中的數據得，估計甲直播間觀眾下單的概率為，
估計乙直播間觀眾下單的概率為.
（2）解：根據題意，得到的列聯表：
下單的觀眾數 未下單的觀眾數 合計
甲直播間 120 80 200
乙直播間 60 80 140
合計 180 160 340
可得，
因為，所以有的把握認為兩個直播間觀眾的下單意愿有差異.
14．（2024上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學校考期末）某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創新活動，A，B在實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗，為觀測其生長情況，分別在實驗地隨機抽取各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖，記綜合評分為80及以上的花苗為優質花苗.

(1)求圖中a的值，并求綜合評分的中位數；
(2)填寫下面的列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，分析優質花苗與培育方法是否有關，請說明理由.
優質花苗 非優質花苗 合計
甲培育法 20
乙培育法 10
合計
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)，82.5
(2)表格見解析，有關
【分析】（1）根據題意，由頻率分布直方圖的性質可得，再由中位數的計算公式，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由的計算公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由直方圖的性質可知，，
解得，因為，所以中位數位于內，
設中位數為，則有，解得.
故綜合評分的中位數為82.5.
（2）由（1）得優質花苗的頻率為0.6，所以樣本中優質花苗的數量為60，
得如下列聯表：
優質花苗 非優質花苗 合計
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合計 60 40 100
零假設為：優質花苗與培育方法無關，
，
所以根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為優質花苗與培育方法有關.
B能力提升
15．（2024上·河北唐山·高三統考期末）目前，國際上常用身體質量指數（Body Mass Index，縮寫BMI）來測量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是．中國成人的BMI數值標如下表所示：
BMI ＜18.5 ≥28
體重情況 過輕 正常 超重 肥胖
為了解某單位職工的身體情況，研究人員從單位職工體檢數據中，采用分層隨機抽樣方法抽取了90名男職工、50名女職工的身高和體重數據，計算得到他們的BMI值，并進行分類統計，如右表所示：
性別 BMI 合計
過輕 正常 超重 肥胖
男 10 60 11 9 90
女 15 25 5 5 50
合計 25 85 16 14 140
(1)參照附表，對小概率值a逐一進行獨立性檢驗，依據檢驗，指出能認為職工體重是否正常與性別有關聯的a的一個值；
(2)在該單位隨機抽取一位職工的BMI值，發現其BMI值不低于28．由上表可知男女職工的肥胖率都為0.1，視頻率為概率，能否認為該職工的性別是男還是女的可能性相同？若認為相同則說明理由，若認為不相同，則需要比較可能性的大小．
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：
【答案】(1)0.1
(2)不能；是男性的可能性大于女性
【分析】（1）列出體重是否正常與性別的關系的列聯表，根據列聯表計算出卡方，結合附表即可判斷；
（2）分別計算出該職工的性別是男還是女的概率即可得.
【詳解】（1）由表可得到與體重是否正常與性別之間的列聯表：
正常 不正常 合計
男 60 30 90
女 25 25 50
合計 85 55 140
則，
由，
故能認為職工體重是否正常與性別有關聯的a的值為0.1；
（2）設事件為“抽到的員工為男員工”、設事件為“抽到的員工BMI值不低于28”，
則，，
即不能認為該職工的性別是男還是女的可能性相同，且是男性的可能性大于女性.
16．（2024上·廣東汕頭·高三統考期末）《國家學生體質健康標準》是我國對學生體質健康方面的基本要求，是綜合評價學生綜合素質的重要依據.為促進學生積極參加體育鍛煉，養成良好的鍛煉習慣，提高體質健康水平，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調查.獲得如下信息：
①男生所占比例為；
②不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為；
③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.
(1)完成列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關聯？
性別 體育鍛煉 合計
喜歡 不喜歡
男
女
合計
(2)（ⅰ）從這200名學生中采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.記事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、“至多有1名喜歡體育鍛煉的女生”.請計算和的值.
（ⅱ）對于隨機事件，，，試分析與的大小關系，并給予證明
參考公式及數據：，.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列聯表見解析；有關聯
(2)（ⅰ），；（ii），證明見解析
【分析】（1）依題意完善列聯表，求得，從而利用獨立性檢驗即可得解；
（2）（i）分析分層抽樣所得的樣本情況，再分析事件與的意義，利用組合數結合古典概型的概率公式即可得解；；（ii）利用條件概率公式即可得證明.
【詳解】（1）因為男生所占比例為，所以男生有人，
因為不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為，
所以不喜歡體育鍛煉的學生有人，
則喜歡體育鍛煉的學生有人，
又喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人，
所以喜歡體育鍛煉的男生有80人，喜歡體育鍛煉的女生有30人，
所以列聯表如下：
性別 體育鍛煉 合計
喜歡 不喜歡
男 80 40 120
女 30 50 80
合計 110 90 200
假設：是否喜歡體育鍛煉與性別無關聯.
根據表中數據，計算得到，
依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立.
即認為是否喜歡體育鍛煉與性別有關聯.
（2）（ⅰ）依題意，隨機抽取的20名學生中，喜歡體育鍛煉的男生有人，不喜歡體育鍛煉的男生有人，
喜歡體育鍛煉的女生有人，不喜歡體育鍛煉的女生有人，
事件表示：“在至少有2名男生的條件下，至少有2名男生喜歡體育鍛煉”，
事件表示：“2男生1女生都喜歡體育鍛煉”和“3男生中至少兩人喜歡體育鍛煉”，
所以，
；
（ⅰⅰ）對于隨機事件，，，
有，證明如下：
.
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