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衡陽縣一中2024-2025學年上學期高一期中考試
數 學
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1．設集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．有下列四個命題，其中真命題是（ ）
A．，
B．，，
C．若命題p：，，那么是，
D．，
3．已知關于的不等式的解集為，其中為常數，則不等式的解集是（ ）
A． B．，或
C．，或 D．
4．若函數是定義在上的奇函數，函數是偶函數，則（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
5．若，，，則a，b，c的大小關系為（ ）.
A． B． C． D．
6．函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
7．函數的部分圖象如圖，則的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定義在R上的奇函數滿足：，且當時，（a為常數），則的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9．設正實數，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
10．下列說法正確的有（ ）
A．的最小值為2
B．已知，則的最小值為
C．函數的最小值為2
D．若正數滿足，則的最小值為3
11．已知函數的定義域為R，且，的圖象關于對稱.當時，，若，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為4 B．的圖象關于對稱
C． D．當時，
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．已知函數，若對任意，存在，使，則實數a的取值范圍是 ．
13．不等式的解集為 ．
14．已知集合，，且，則實數的取值集合是
四、解答題（本題共6小題，共70分）
15．（13分）設命題，，命題，．
(1)若q為真命題，求實數m的取值范圍；
(2)若p為假命題、q為真命題，求實數m的取值范圍．
16．（15分）已知函數，
(1)若，試用定義法證明：為單調遞增函數；
(2)若對任意的，都有，求實數的取值范圍．
17．（15分）已知函數是定義在上的偶函數，且當時，．現已畫出函數在軸左側的圖象，如圖所示，并根據圖象．
(1)畫出在軸右側的圖象并寫出函數的增區間；
(2)寫出函數的解析式；
(3)若函數，求函數的最小值．
18．（17分）已知函數是偶函數.
(1)求的值；
(2)設函數，其中.若函數與的圖象有且只有一個交點，求的取值范圍.
19．（17分）學習機是一種電子教學類產品，也統指對學習有輔助作用的所有電子教育器材．學習機較其他移動終端更注重學習資源和教學策略的應用，課堂同步輔導 全科輔學功能 多國語言學習 標準專業詞典以及內存自由擴充等功能成為學習機的主流競爭手段，越來越多的學習機產品全面兼容網絡學習 情境學習 隨身學習機外教 單詞聯想記憶 同步教材講解 互動全真題庫 權威詞典 在線圖書館等多種模式，以及大內存和SD/MMC卡內存自由擴充功能根據市場調查．某學習機公司生產學習機的年固定成本為20萬元，每生產1萬部還需另投入16萬元．設該公司一年內共生產該款學習機萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當該公司一年內共生產該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元；當該公司一年內共生產該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元．
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬部）的函數解析式；
(2)當年產量為多少萬部時，公司在該款學習機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
數學答案
1．【答案】C
【解析】因為，所以且，
所以.
故選：C.
2．【答案】B
【解析】對于A，不妨取，即可得A錯誤；
對于B，只需取，即可得，均成立，故B正確；
對于C，由 命題p：，，可得是，，故C錯誤；
對于D，不妨取，則.故D錯誤.
故選：B.
3．【答案】A
【解析】關于的一元二次不等式的解集為，
則，且是一元二次方程的兩根，
于是解得
則不等式化為，
即，解得，
所以不等式的解集是.
故選：A.
4．【答案】B
【解析】因為函數是R上的奇函數，所以，
又函數是偶函數，則，令，
.
故選：B.
5．【答案】A
【解析】因為是上的增函數，
所以，即，
又因為是增函數，所以，
又是上的增函數，
所以，即，
綜上所述，a，b，c的大小關系為.
故選：A.
6．【答案】A
【解析】函數，因為，解得．
所以函數的定義域為，且，．
因為函數在區間,上單調遞增，
在區間,上單調遞減，函數單調遞增，
所以由復合函數的單調性知函數在區間,上單調遞增，
在區間,上單調遞減,
故選：A
7．【答案】B
【解析】根據函數圖象的對稱性可知為偶函數，
A選項的定義域為，C選項的定義域為，
它們的定義域都不關于原點對稱，所以不可能是偶函數，即可排除AC選項；
又不在函數的定義域內，而D選項定義域包括，
所以排除D選項；
故選：B
8．【答案】C
【解析】因為在上的奇函數，所以，解得，
所以，
因為，所以的周期為6，
所以，
，
故選：C
9．【答案】ACD
【解析】對于A,,則,計算可得,當且僅當時，取得最大值為.故A正確；
對于B,，當且僅當,即,有最小值4，故B錯誤；
對于C,，解得,當且僅當,有最大值為，故C正確；
對于D，由于，則，當且僅當,有最小值為，故D正確.
故選：ACD.
10．【答案】BD
【解析】對于A，當時，，即的最小值為2錯誤；
對于B，時，，則，
當且僅當，即時取等號，
則的最小值為，正確；
對于C，，
令，則在上單調遞增，
故的最小值為，C錯誤；
對于D，正數滿足，即，
則，當且僅當時取等號，D正確，
故選：BD
11．【答案】AB
【解析】因為的圖象關于對稱，所以，
又，所以，所以，
所以的周期為4，故A正確；
因為的圖象關于對稱，所以的圖象關于對稱，
因為，所以關于對稱，所以的圖象關于對稱，
又的周期為4，所以可得的圖象關于對稱，故B正確；
因為關于對稱，所以，
又的圖象關于對稱，所以，所以，
，
又，所以，解得,
所以當時，，
，故C錯誤；
當，則，
因為，所以，故D錯誤.
故選：AB.
12．【答案】
【解析】因為，
所以在時單調遞減，
所以，，
即；
因為對任意，存在，使，
所以，
所以存在,使得，
即,即能成立,
令,則要使在能成立,
只需使,
由對勾函數的性質可知，函數在上單調遞減,
所以,
故只需.
故答案為：
13．【答案】
【解析】，解得.
故答案為：
14．【答案】，或
【解析】因為方程的解集為，
所以，
因為，所以或或或，
又，
所以或或或，
所以或，
所以的取值集合是，或.
故答案為：，或.
15．
【解析】（1）由，，得關于的方程無實根，
因此，解得，
所以實數m的取值范圍是.
（2）由p為假命題，得，為真命題，即，，
而當時，，當且僅當時取等號，因此，
由（1）知，，則，
所以實數m的取值范圍是.
16．
【解析】（1）證明：當時，，
當時，
，
由于，則，，，
則，，即；
當時，，
由于，則，則，
，即；
當時，，
由于，則，
，即；
綜上，為單調遞增函數；
（2）①當時，恒成立，即恒成立，
或，解得；
②當時，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，則；
綜上，實數的取值范圍為．
17．
【解析】（1）
函數是定義在上的偶函數，
即函數的圖象關于軸對稱，其遞增區間為，；
（2）根據題意，令，則，則，
又由函數是定義在上的偶函數，
則，則；
（3）根據題意，，則，
則，其對稱軸為，
當時，即時，在區間上為增函數，；
當時，即時，；
當時，即時，在區間上為減函數，，
則．
18．
【解析】（1）函數是偶函數，
故，
即，，故.
（2），故，
若函數與的圖象有且只有一個交點，
即在上只有一個解，故，
即，即，
設
故只有一個解，即，
當時，，則，不符合，故舍去；
當時，函數的對稱軸為，
故在單調遞減，且，故方程在無解；
當時，函數的對稱軸為，且，，
故方程 在上有唯一解，符合題意，
綜上所述，的取值范圍是.
19．
【解析】（1）因為當生產該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元，
所以，解得，
當該公司一年內共生產該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元，
所以，解得，
當時，，
當時，，
綜上．
（2）①當時，單調遞增，所以；
②當時，，
由于，
當且僅當，即時取等號，
所以此時的最大值為，
綜合①②知，當時，取得最大值為3680萬元．

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