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2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市岳陽縣一中高三（上）月考
數(shù)學(xué)試卷（10月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.關(guān)于三個(gè)不同平面，，與直線，下列命題中的假命題是( )
A. 若，則內(nèi)一定存在直線平行于 B. 若與不垂直，則內(nèi)一定不存在直線垂直于
C. 若，，，則 D. 若，則內(nèi)所有直線垂直于
4.已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，，若在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，則( )
A. 在是增函數(shù)，在是減函數(shù) B. 在是減函數(shù)，在是增函數(shù)
C. 在，都是增函數(shù) D. 在，都是減函數(shù)
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，記，則( )
A. B. C. D.
6.如今我們?cè)跍y(cè)量視力的時(shí)候，常用對(duì)數(shù)視力表如圖，視力值從到，每行相差，這種計(jì)算視力的方法稱為五分記錄法，“對(duì)數(shù)視力表”和“五分記錄法”是由我國(guó)著名眼科專家繆天榮在年研制發(fā)明的，這種獨(dú)創(chuàng)的視力表的核心在于：將視力和視角設(shè)定為對(duì)數(shù)關(guān)系，因此被認(rèn)為是一種最符合視力生理的，而又便于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的視力檢測(cè)系統(tǒng)，這使中國(guó)的眼科研究一下子站到了世界的巔峰，年，對(duì)數(shù)視力表在第屆國(guó)際眼科大會(huì)羅馬宣讀，引起轟動(dòng)，年標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表被制定為國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，并在全國(guó)實(shí)施已知在五分記錄法中，規(guī)定視力值，其中為人眼的視角，單位為分度分，視角的大小，決定了人眼能看到的最小物體的長(zhǎng)度，這個(gè)長(zhǎng)度約等于以眼球?yàn)閳A心眼球大小忽略不計(jì)，視角為圓心角，眼球與物體之間的距離為半徑的扇形的弧長(zhǎng)如果某人的一只眼睛的視力值為，那么這只眼睛能看到距離米外的最小物體的長(zhǎng)度約為參考數(shù)據(jù)：，( )
A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米
7.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)，則的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知過點(diǎn)可以作函數(shù)的三條切線，如果，則和應(yīng)該滿足的關(guān)系是( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知，則下列說法正確的是( )
A. 且 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
10.如圖，在直三棱柱中，，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，在線段上，則下列說法中正確的有( )
A. 平面
B. 平面
C. 的最小值為
D. 存在點(diǎn)，滿足
11.下列不等關(guān)系中，正確的是是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)( )
A. B.
C. D.
12.函數(shù)，則下列說法正確的是( )
A.
B.
C. 若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，則
D. 若，，均為正數(shù)，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知向量，則向量在向量的方向上的投影向量為______結(jié)果用坐標(biāo)表示
14.已知和是方程的兩根，則 ______．
15.的展開式中，的系數(shù)為______．
16.定義在上的函數(shù)滿足已知方程，當(dāng)時(shí)，，已知方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知函數(shù)．
求函數(shù)的值域；
求不等式的解集．
18.本小題分
已知函數(shù)的圖像如圖所示．
求的解析式；
在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若角滿足，求的取值范圍．
19.本小題分
在，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．
問題：在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知_____．
求角；
若，，內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
20.本小題分
某學(xué)校為學(xué)生開設(shè)了一門模具加工課，經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，擬舉行一次模具加工大賽，學(xué)生小明、小紅打算報(bào)名參加大賽．
賽前，小明進(jìn)行了一段時(shí)間的強(qiáng)化訓(xùn)練，加工完成一個(gè)模具的平均速度秒與訓(xùn)練天數(shù)天有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表數(shù)據(jù)：
天
秒
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，可用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過天訓(xùn)練后，加工完成一個(gè)模具的平均速度約為多少秒？
小明和小紅擬先舉行一次模擬賽，每局比賽各加工一個(gè)模具，先加工完成模具的人獲勝，兩人約定先勝局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前局中小明勝局，小紅勝局．若每局不存在平局，請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率．
參考數(shù)據(jù)：其中
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
21.本小題分
已知函數(shù)，，．
當(dāng)時(shí)，
證明：，；
是否存在點(diǎn)，使得和在處的切線相同？如果存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
討論函數(shù)在的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
22.本小題分
已知函數(shù)，．
討論函數(shù)的單調(diào)性；
若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
，
令，，
則
；
故函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>不等式可化為，
即，
解得或，
故或，
解得或；
故不等式的解集為或．
18.解：由圖像可得，
因?yàn)榍以诟浇鼏握{(diào)遞減，所以．
又，所以，．
解得，
又，得，
所以，直接寫不扣分
所以．
由且，
可得，解得．
由正弦定理可得．
由銳角三角形可得，解得，
所以，則的取值范圍是．
19.解：選擇條件：
由正弦定理知，，
，
，
，
，即，，
，，
又為銳角三角形，．
選擇條件：
，，即，
，解得，
為銳角三角形，．
選擇條件：
，且，
，
由正弦定理知，，
，
，，即，
為銳角三角形，，
，
，即．
在中，由正弦定理得，，
，
為銳角三角形，
，
，
是角的平分線，，
，
即為等腰三角形，
．
20.解：由題意，，
令，設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，
則，
則，，
關(guān)于的回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，
預(yù)測(cè)小明經(jīng)過天訓(xùn)練后，加工完成一個(gè)模具的平均速度約為秒．
設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局小明最終贏得比賽，
已知在前局中小明勝局，小紅勝局．若每局不存在平局，則最多再進(jìn)行局就有勝負(fù)，
所以的可能取值為、、．
又小明每局獲勝的概率為，
所以當(dāng)時(shí)，小明以：的比分獲勝，；
當(dāng)時(shí)，小明以：的比分獲勝，；
當(dāng)時(shí)，小明以：的比分獲勝，．
所以小明最終贏得比賽的概率為．
21.解：證明：當(dāng)時(shí)，，
由可知，要證，
只需證，
設(shè)，，
設(shè)，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增且，
所以，；，，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，可得，，
所以，；
存在；切線方程為證明如下：
由中取等條件可知，當(dāng)時(shí)，存在唯一，使得，
又恰好，進(jìn)而得出公切線方程，
而當(dāng)時(shí)，，，又，故無其他結(jié)果．
令，即，
等價(jià)于，
設(shè)，
由得，當(dāng)時(shí)，在有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，，，
所以在，各有個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)．
22.解：，，
，
時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
證明：．
函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，
，，
，，
解得，
要證明，即證明，即，
令，即證明：，化為：，
令，，，
，
令，，，
則，
在上單調(diào)遞增，
，
在上單調(diào)遞增，，
，
結(jié)論成立．
第1頁，共1頁

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