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2024-2025學年上海師大附中閔行分校高三（上）第三次半月考
數學試卷
一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件
C. 充要條件 D. 既非充分也非必要條件
2.小明在某比賽活動中已經進入前四強，他遇到其余四強的三人之一的獲勝概率分別為、、，若小明等可能遇到其他選手，獲勝則進入決賽，反之被淘汰，則小明進入決賽的概率為( )
A. B. C. D.
3.已知是復數，是其共軛復數，則下列命題中正確的是( )
A.
B. 若，則的最大值為
C. 若，則復平面內對應的點位于第一象限
D. 若是關于的方程的一個根，則
4.已知函數的定義域為，將的所有零點按照由小到大的順序排列，記為：，，，，對于正整數有如下兩個命題：
甲：；
乙：恒成立，則( )
A. 甲正確，乙正確 B. 甲正確，乙錯誤 C. 甲錯誤，乙正確 D. 甲錯誤，乙錯誤
二、填空題：本題共12小題，共54分。
5.函數的定義域是__________．
6.已知向量，，若，則實數 ______．
7.已知復數，其中是虛數單位，，則 ______．
8.已知的展開式中各項系數的和為，則 ______．
9.已知雙曲線的漸近線方程為，且右頂點與橢圓的右焦點重合，則這個雙曲線的標準方程是______．
10.“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”增廣賢文是勉勵人們專心學習的如果每天的“進步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是，一年后“進步”的是“退步”的倍如果每天的“進步”率和“退步”率都是，那么“進步”的是“退步”的倍需要經過的時間大約是______天四舍五入精確．
11.已知函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是______．
12.若函數的值域為，則實數的取值范圍是______．
13.某醫院派出名護士、名內科醫生組成支援隊伍，現在需要從這人中任意選取人去城市支援，設表示其中內科醫生的人數，則的期望為______．
14.設函數的圖像與直線相交的連續的三個公共點從左到右依次記為，，，若，則正實數的值為______．
15.如圖，要在和兩地之間修建一條筆直的隧道，現在從地和地測量得到：，，，則 ______結果精確到
16.已知是平面向量，且是單位向量，若非零向量在方向上的投影向量為，向量滿足，則的最小值是______．
三、解答題：本題共5小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
如圖，已知正四棱柱，底面正方形的邊長為，．
求證：平面平面；
求點到平面的距離．
18.本小題分
已知函數．
當時，是否存在實數，使得是奇函數；
對于任意給定的非零實數，與軸負半軸總有交點，求實數的取值范圍．
19.本小題分
如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區域進行綠化，在此綠化區域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切．
若長度單位：米，求種植花卉區域的面積；
若扇形的半徑為米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最小？
20.本小題分
如圖，已知拋物線的方程為，直線的方程為，直線交拋物線于、兩點，為坐標原點．
若，求的面積的大小；
的大小是否是定值？證明你的結論；
如圖，過點、分別作拋物線的切線和兩切線交點為，，分別與軸交于，，求面積的最小值．
21.本小題分
定義：設和均為定義在上的函數，它們的導函數分別為和，若不等式對任意實數恒成立，則稱和為“相伴函數”．
給出兩組函數，和和，分別判斷這兩組函數是否為“相伴函數”只需直接給出結論，不需論證；
若、是定義在上的可導函數，是偶函數，是奇函數，，證明：和為“相伴函數”；
，，寫出“和為相伴函數”的充要條件，證明你的結論．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.
16.
17.證明：因為四棱柱為正四棱柱，
所以平面，且，
因為平面，所以，
因為，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面得證．
解：設點到平面的距離為，與相交于點，連接，
因為正方形的邊長為，，
所以，，
由三線合一可得：，且，
由勾股定理得：，
所以，
，
又，又平面，
故，
由，
故點到平面的距離為．
18.解：根據題意，函數，
當時，則，可知的定義域為，
若是奇函數，則，解得，
且當時，，
即，是奇函數，
綜上所述：當時，是奇函數．
令，可得，，
因為，則，且，
當時，則；
當時，則；
綜上所述：當時，實數的取值范圍為；
當時，實數的取值范圍為．
19.解：中，，，，
所以，
又因為，所以，
設扇形的半徑為，
則，
解得，
所以扇形的面積為，
所以兩塊花卉景觀扇形的面積為平方米；
連接與切點，設，過點作的垂線交延長線于點，
中，，
在中，，
在中，，
平行四邊形綠地的面積為
，，
令
，，
所以，
當，即時，取得最大值為，此時取得最小值；
所以時，平行四邊形綠地占地面積最小．
20.解：當時，直線的方程為，
由解得，，，
所以的面積為．
由中發現為等腰直角三角形，猜測．
證明：，
得，即，，
所以，所以為定值．
，對函數求導得到，
所以方程為，整理得，
同理方程為，
分別令得到，
，解得，
由第小題，，得到，
所以，
所以面積的最小值為．
21.解：第組是，第組不是，
和，
，
所以這兩組函數是“相伴函數”．
和，
不一定為非正數，
所以這兩組函數不是“相伴函數”．
證明：由題意得，，，
所以，
，所以，
因此成立，
即和為“相伴函數”．
證明：“和為相伴函數”的充要條件是，
充分性：已知，
則，
，
此時，所以，
即成立，和為相伴函數
必要性：已知和為相伴函數，
，，
所以，
，
，
，即，
由于取遍內的所有實數，因此當且僅當時成立，
所以，
所以“和為相伴函數”的充要條件是．
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