資源簡介

2024-2025學年福建省部分優質高中高三（上）聯考數學試卷（10月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復數在復平面內對應的點為，則復數的虛部為( )
A. B. C. D.
3.若雙曲線的右支上一點到右焦點的距離為，則到左焦點的距離為( )
A. B. C. D. 或
4.已知某圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，則該圓臺的體積為( )
A. B. C. D.
5.函數的值域為( )
A. B. C. D.
6.“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”，增廣賢文是勉勵人們專心學習的如果每天的“進步”率都是，那么一年后是；如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“進步”的是“落后”的倍現假設每天的“進步”率和“落后”率都是，要使“進步”的是“落后”的倍，則大約需要經過天參考數據：，．
A. B. C. D.
7.函數的大致圖象是( )
A. B. C. D.
8.已知函數的定義域為，則“”是“是周期為的周期函數”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 既不充分又不必要條件 D. 充要條件
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知橢圓：，則( )
A. 的焦點在軸上 B. 的焦距為
C. 的離心率為 D. 的長軸長是短軸長的倍
10.設函數的最小正零點為，則( )
A. 的圖象過定點 B. 的最小正周期為
C. 是等比數列 D. 的前項和為
11.如圖，在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點，為線段上的一個動點，則下列說法正確的是( )
A. 三棱錐的體積為定值
B. 存在點，使平面平面
C. 設直線與平面所成角為，則的最大值為
D. 平面截正方體所得截面的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知一組數據，，，，，，，，則這組數據的第百分位數為______；若從這組數據中任意抽取個數據，則這個數據不相等的概率為______．
13.已知，的展開式中的系數為，則展開式中的系數為______用數字作答
14.在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點在棱上，且，過點作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
求；
若的面積為，求．
16.本小題分
已知直三棱柱中，底面為正三角形，為的中點，二面角的大小為．
證明：平面；
求直線與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區的一種水果，其果實個大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽面有暈貴妃杏口感甜美，肉質實心鮮嫩多汁，營養豐富，是河南省的知名特產之一已知該地區某種植園成熟的貴妃杏按個計算的質量單位：克服從正態分布，且，從該種植園成熟的貴妃杏中選取了個，它們的質量單位：克為，，，，，，，，，，這個貴妃杏的平均質量恰等于克．
求．
求．
甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機選取個，若選取的貴妃杏的質量大于克且不大于克，則贈送個貴妃杏；若選取的貴妃杏的質量大于克，則贈送個貴妃杏記甲和乙獲贈貴妃杏的總個數為，求的分布列與數學期望．
18.本小題分
已知函數．
討論的單調性；
證明：不是函數的極值點；
設，為正數，證明：．
19.本小題分
定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協同圓設橢圓：的協同圓為圓為坐標系原點，試解決下列問題：
寫出協同圓圓的方程；
設直線是圓的任意一條切線，且交橢圓于、兩點，求的值；
設、是橢圓上的兩個動點，且，過點作，交直線于點，求證：點總在某個定圓上，并寫出該定圓的方程．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又因為，所以；
因為的面積為，
所以，即，
由，則，
即，
所以，
即．
16.證明：連接交于，連接，顯然是的中點，
因為為的中點，所以，
而不在平面內，平面，
所以平面．
解：設的中點為，連接交于，
因為為正三角形，所以也是正三角形，
所以有，因為三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面，而平面平面，
所以平面，
因為三棱柱是直三棱柱，
所以側面是矩形，因此平面，
于是建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，
所以，
設平面的法向量為，
，
所以有，
因為平面，
所以設平面的法向量為，
因為二面角的大小為，
所以有負值舍去，
則，
設直線與平面所成角的正弦值為，
所以．
17.解：由題可得，；
因為，所以，
故；
設人獲贈貴妃杏的個數為，
由題可得，，，，
則的所有可能取值為，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以．
18.解：根據題意有．
設，則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，
所以，在單調遞增．
證明：設，則，
若是的極值點，
則，，．
設，則，
由可知，，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，所以，單調遞增，
所以不是函數的極值點．
證明：當時，，當時，．
因為是增函數，且由可知，單調遞增，．
所以，即，
另有，
即，
所以有．
19.解：由橢圓，可知，．
根據協同圓的定義，可得該橢圓的協同圓為圓；
解：設點、，則．
直線為圓的切線，故分直線的斜率存在和不存在兩種情況加以討論：
當直線的斜率不存在時，直線：．
若：，由，可解得，
此時，；
當：時，同理可得：．
當直線的斜率存在時，設：．
由，得．
，，
得．
又由于直線是圓的切線，故，得．
，即．
綜上，總有；
證明：、是橢圓上的兩個動點，且．
設、，則．
下面分直線、中有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況加以討論．
不妨設直線的斜率不存在，即點在軸上，則點在軸上，有，．
由，解得；
若直線、的斜率都存在，設：，則．
由，得，可得．
同理可得．
于是，．
由，可得．
因此，總有，即點在圓心為坐標原點，半徑為的圓上．
該定圓的方程為圓．
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