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2024-2025學年安徽省合肥七中高三（上）第四次統一作業數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則( )
A. B. C. D.
3.已知函數則( )
A. B. C. D.
4.若，則( )
A. B. C. D.
5.與以下哪個值相同( )
A. B. C. D.
6.已知，，，，則在下列選項中最小的是( )
A. B. C. D.
7.若，對恒成立，則( )
A. B. C. D.
8.定義在上的函數和的最小正周期分別是和，已知的最小正周期為，則下列選項中可能成立的是( )
A. ， B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數，則( )
A. 的最小正周期為 B. 的圖象關于直線對稱
C. 的圖象關于點中心對稱 D. 的值域為
10.已知為奇函數，且對任意，都有，，則( )
A. B. C. D.
11.設，，且，則下列關系式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.求值： ______．
13.已知和的圖像的連續三個交點，，構成，則的面積為______．
14.若對一切恒成立，則的最大值為______．
四、解答題：本題共4小題，共47分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在棱長為的正方體中，，，分別是，，的中點．
求證：；
求與平面所成角的正弦值．
16.本小題分
設函數為常數，且，，的部分圖象如圖所示．
求函數的解析式；
若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．
17.本小題分
已知函數．
討論的單調性；
若函數有極小值，且極小值大于，求實數的取值范圍．
18.本小題分
對于函數，定義域，為若存在實數，使，其中，則稱為“倒數函數”，為“的倒數點”已知，．
如果對成立求證：為周期函數；
若為“的倒數點”，且只有兩個不同的解，求函數的值；
設，若函數恰有個“的倒數點”，求的取值范圍．
參考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：證明：如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
所以，，
因為，所以，即；
由知，，，，
設平面的法向量為，
則，令，則，，
即，
設與平面所成角為，
則．
16.解：由圖得，，
所以，
故，
所以，
將代入，得，
所以，
又，所以，
所以；
因為，所以，
所以，
所以，
令，
因為不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，
又，
所以函數在上單調遞增，
所以當時，有，
所以，即．
所以實數的取值范圍為．
17.解：易知的定義域為，
可得，
當時，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
當時，恒成立，
所以在上單調遞增；
當時，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
當時，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；
由知，若函數有極小值，則，
當或時，在取得極小值，
因為，
所以，
解得，
則；
當時，在取得極小值，
因為，
所以，
即，
令，
可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
又，
由，
可得；
綜上所述，或．
即實數的取值范圍為．
18.解：證明：因為對成立，
所以，
所以，
所以為函數的周期；
由為“關于倒數點”，得，
即，
即，
又因為，所以，
設的定義域為，
求導得，
因為恒成立，
所以當時，，單調遞增；
時，，單調遞減；
時，，單調遞增；
所以的單調遞增區間為，，遞減區間為，
所以，，
當趨于時，趨于，當趨于時，趨于，
作出函數的大致圖象如下：
又因為只有兩個不同的解，
轉化為與有兩個交點，
由圖象可得；
依題意，，
由恰有個“的倒數點”，
即恰有個不等實數根，
當時，，方程可化為，
所以，解得，
這與矛盾，
因此在內沒有實數根；
當時，，方程可化為，
該方程又可化為．
設，則，
因為當時，，
所以在內單調遞增，
又因為，，
所以當時，，
因此，當時，方程在內恰有一個實數根；
當時，方程在內沒有實數根．
當時，，沒有意義，
所以不是的實數根．
當時，，
方程可化為，
即為，，
于是此方程在內恰有兩個實數根，
由韋達定理可得，解得，
因此當時，方程在內恰有兩個實數根，
當時，方程在內至多有一個實數根．
綜上，的取值范圍為．
第1頁，共1頁

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