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2024-2025學年四川省綿陽中學高三（上）月考數學試卷（10月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知全集，集合和的關系的韋恩圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 無窮多個
2.圍棋是中國傳統棋種，蘊含著中華文化豐富內涵圍棋棋盤橫豎各有條線，共有個落子點每個落子點都有落白子、落黑子和空白三種可能，因此圍棋空間復雜度的上限科學家們研究發現，可觀測宇宙中普通物質的原子總數則下列各數中與最接近的是參考數據：
A. B. C. D.
3.的定義域為( )
A. B.
C. D.
4.設，，，則( )
A. B. C. D.
5.設函數，則不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.下列選項可以使得成立的一個充分不必要條件的是( )
A. B. C. D.
7.函數的導函數，若函數僅在有極值，則的取值范圍是( )
A. B. 或
C. 或 D.
8.存在三個實數，，，使其分別滿足下述兩個等式：；，其中表示三個實數，，中的最小值，則( )
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最大值是
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知定義在上的奇函數，其周期為，當時，，則( )
A. B. 的值域為
C. 在上單調遞增 D. 在上有個零點
10.已知函數，下列說法正確的是( )
A. 關于對稱
B. 的值域為，當且僅當或
C. 的最大值為，當且僅當
D. 有極值，當且僅當
11.關于函數，下列說法中正確的是( )
A. 圖象關于直線對稱 B. 為偶函數
C. 為的周期 D. 最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，其終邊上一點的坐標為，則的值為______．
13.甲說：在上單調遞減，乙說：存在實數使得在成立，若甲、乙兩人至少有一人說的話是對的，則的取值范圍是______．
14.已知不等式對任意的實數恒成立，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
若，求函數的極值；
討論函數的單調性．
16.本小題分
已知函數，將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象．
求的解析式；
若關于的方程在區間上有且只有兩個實數解，求實數的取值范圍．
17.本小題分
已知，，，，
求的值；
求角的值．
18.本小題分
已知函數．
證明：曲線是中心對稱圖形；
若，求實數的取值范圍．
19.本小題分
已知函數．
函數與的圖像關于對稱，求的解析式；
在定義域內恒成立，求的值；
求證：，．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若，則，
所以，
所以當或時，，當時，，
所以在上遞減，在，遞增，
所以的極小值為，極大值為；
因為，
則，
所以當時，，所以在上遞增，
當時，
則當或時，，當時，，
所以在，上遞增，在上遞減，
當時，
則當或時，，時，，
所以在，上遞增，在上遞減，
綜上，當時，在，上遞增，在上遞減，
當時，在上遞增，
當時，在，上遞增，在上遞減．
16.解：函數，將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象．
將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，
得到的圖象，所以．
因為，所以．
，即在區間上有且只有兩個實數解，
于是函數與的圖象在區間上有且只有兩個交點，
，
，所以．
畫出在區間上的圖象如下圖所示，
所以，所以．
所以實數的取值范圍是．
17.解：因為，所以，可得，
解得或，由于，所以．
所以
．
由，知，因，
則，
由，
又因為，所以．
18.解：證明：函數，定義域為，
，
所以曲線關于點對稱．
，
因為，，所以，
所以在定義域上單調遞增．
方法一又關于點對稱，，
所以，
解得．
方法二因為關于點對稱，
所以是奇函數，且在區間上單調遞增．
由，即，
即，
所以，所以，
解得．
所以實數的取值范圍為．
19.解：依題意，設圖像上任意一點坐標為，
則其關于對稱的點在圖像上，
則，則，
故，；
令，，
則在在恒成立，
又，且在上是連續函數，則為的一個極大值點，
，，
下證當時，在恒成立，
令，，
當，，在上單調遞增，
當，，在上單調遞減，
故，在上恒成立，又，
則時，恒成立，
綜上，．
由可知：，
則，即，
則，
又由可知：在上恒成立，
則在上恒成立，當當且僅當時取等，
令，，則，
即，
則，
綜上，，即證．
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