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2024-2025學年重慶市名校聯(lián)盟高三（上）第一次月考數(shù)學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若集合，，則下列結(jié)論中正確的是( )
A. B. C. D.
2.記為數(shù)列的前項和．“任意正整數(shù)，均有”是“為遞增數(shù)列”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.已知向量，，，若點，，能構(gòu)成三角形，則實數(shù)不可以是( )
A. B. C. D.
4.已知，則的值是( )
A. B. C. D.
5.已知函數(shù)在點處的切線與曲線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
6.數(shù)學活動小組由名同學組成，現(xiàn)將這名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案有種．
A. B. C. D.
7.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)人體的血氧飽和度正常范圍是，當血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間單位：時的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù)已知，給氧小時后，血氧飽和度為若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間單位：時為( )
精確到，參考數(shù)據(jù)：，
A. B. C. D.
8.若的內(nèi)角滿足，則( )
A. 的最大值為 B. 的最大值為 C. 的最小值為 D. 的最小值為
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知的展開式中，二項式系數(shù)之和為，下列說法正確的是( )
A. ，，成等差數(shù)列 B. 各項系數(shù)之和為
C. 展開式中二項式系數(shù)最大的項是第項 D. 展開式中第項為常數(shù)項
10.甲、乙兩支田徑隊的體檢結(jié)果為：甲隊體重的平均數(shù)為，方差為，乙隊體重的平均數(shù)為，方差為，又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為：，則下列說法正確的是( )
A. 甲、乙兩隊全部隊員的平均體重是 B. 甲、乙兩隊全部隊員的平均體重是
C. 甲、乙兩隊全部隊員的方差是 D. 甲、乙兩隊全部隊員的方差是
11.若函數(shù)，則下列說法中正確的是( )
A. 的最大值是 B. 恒成立
C. 存在對稱軸 D. 存在對稱中心
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.復數(shù)，則復數(shù)的實部與虛部之和是______．
13.若函數(shù)在其定義域的一個區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是______．
14.已知平面向量，，滿足，，，，則 ______，若，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前三項和為，等比數(shù)列的前三項和為，且，．
求數(shù)列和的通項公式；
設(shè)，其中，求數(shù)列的前項和．
16.本小題分
已知．
求的單調(diào)遞增區(qū)間；
若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，．
求的取值范圍；
求的值．
17.本小題分
隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，個人駕駛已經(jīng)逐漸成為一項成年人的基本技能某免費“駕考”軟件是駕校學員的熱門學習工具，該軟件設(shè)置每天最多為一個學員提供次模擬考試機會學員小張經(jīng)過理論學習后，準備利用該進行模擬考試，若他每次的通過率均為，且計劃當出現(xiàn)第一次通過后，當天就不再進行模擬考試，否則直到利用完該軟件當天給的所有模擬考試機會為止．
求學員小張最多利用兩次機會就通過模擬考試的概率；
若學員小張每次模擬考試用分鐘，求他一天內(nèi)模擬考試花費的時間的期望．
18.本小題分
據(jù)報道，年月底重慶市某區(qū)縣將舉行馬拉松賽比賽某補給站平面設(shè)計圖如圖所示，根據(jù)比賽需要，在設(shè)計時要求，．
若，，求的值；
若，四邊形面積為，求的值．
19.本小題分
已知函數(shù)其中，．
當，，記的導函數(shù)為，證明：恒成立；
指出的對稱中心，并說明理由；
已知，設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求的最小值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
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12.
13.
14.
15.解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，等比數(shù)列的公比為，
由各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前三項和為，
可得，即，
由等比數(shù)列的前三項和為，，
可得，即為，
解得或，
由，，可得，
若，則，舍去；
若，則，，；
，
則數(shù)列的前項和為
．
16.解：，
，
，
．
由，得，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為；
令，當時，，
作函數(shù)的圖象，
數(shù)形結(jié)合可得，當或時，與有兩個交點，
即有兩解，
綜上，當函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，時，的取值范圍為．
設(shè)，是函數(shù)的兩個零點即，，
由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知，即，
所以．
17.解：設(shè)學員小張恰第次通過模擬考試的概率為，
則，，
所以學員小張最多利用兩次機會就通過模擬考試的概率為；
設(shè)表示一天內(nèi)模擬考試的次數(shù)，則，，，，，
由題意知：，，，，，
所以，
因為，
所以，
所以小張一天內(nèi)模擬考試花費的時間的期望為分鐘．
18.解：在中，因為，，
則，，
在中，由正弦定理得：，
即，
因為，，所以，
所以；
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理可得：，
可得，
即，
由，
即，，
得，，
即，
解得．
19.解：證明：易知函數(shù)的定義域為，
當，時，，
可得恒成立；
的對稱中心為，理由如下：
因為
，
所以的對稱中心為；
因為，函數(shù)定義域為，
可得，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增；
當時，，
此時函數(shù)的取值范圍為，
所以當時，函數(shù)的取值范圍為，不符合題意；
當時，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，
因為對任意的恒成立，
所以恒成立，
此時，
設(shè)，函數(shù)定義域為，
可得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以，
即，
當且僅當，時，等號成立．
故的最小值為．
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