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2024-2025學(xué)年江蘇省鹽城中學(xué)高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，，則( )
A. B.
C. D.
2.若復(fù)數(shù)滿足，則( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.在中，，則( )
A. B. C. D.
5.在一個(gè)空曠的房間中大聲講話會(huì)產(chǎn)生回音，這種現(xiàn)象叫做“混響”用聲強(qiáng)的大小來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為，則經(jīng)過(guò)秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)闉槌?shù)把混響時(shí)間定義為聲音的聲強(qiáng)衰減到講話之初的倍所需時(shí)間，則約為( )
參考數(shù)據(jù)，
A. B. C. D.
6.化簡(jiǎn)( )
A. B. C. D.
7.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，對(duì)于任意的，均有，若在數(shù)列中去掉的項(xiàng)，余下的項(xiàng)組成數(shù)列，則( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C. 若，則
D. 若，則
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列命題中，正確的是( )
A. 在中，，則
B. 在銳角中，不等式恒成立
C. 在中，若，則必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，則必是等邊三角形
10.已知，，，則( )
A. B. C. D.
11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 若，則
B.
C. 若，則
D. 若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若：：：：，則 ______．
13.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
14.已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，和一個(gè)極大值點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列若的解集為，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數(shù)，對(duì)，有．
求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
若時(shí)，求．
16.本小題分
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
在與之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
17.本小題分
在中，，且邊上的中線長(zhǎng)為．
若，求的長(zhǎng)；
若，求的長(zhǎng)．
18.本小題分
設(shè)函數(shù)，．
已知對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
已知直線與曲線，分別切于點(diǎn)，，其中．
求證：；
已知對(duì)任意恒成立，求的最大值．
19.本小題分
若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)，，，都滿足，則稱(chēng)該數(shù)列為“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，若對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)，，，都滿足，則稱(chēng)該數(shù)列為“凸數(shù)列”．
已知正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)“凸數(shù)列”，且，其中為自然常數(shù)，，證明：數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，且有；
若關(guān)于的函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中證明：數(shù)列，，，是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”；
設(shè)正項(xiàng)數(shù)列，，，是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，求證：．
參考答案
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14.
15.解：因?yàn)樵谏铣闪ⅲ?br/>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值或最小值．
由，解得．
結(jié)合，取得，所以．
由，得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
由且，
得，其中，可得舍負(fù)，
所以．
16.解：因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
又，所以．
當(dāng)時(shí)，，
式減去式，得，
所以．
又，，
所以對(duì)，都有，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以．
依題設(shè)得，
所以，所以．
所以，
所以，
上面兩式相減可得
，
所以．
17.解：設(shè)，，，則，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
在中，又因?yàn)闉橹芯€，
可得，，
可得，可得，
由，則，得，
可得；
設(shè)，，，則，
在中，，可得，
在中，，可得，
所以，則，
在和中，由余弦定理得：
，
所以，
在中，得，
即，即，
將代入，得，
由得，可得，
化簡(jiǎn)可得，
由，可得，
可得，得，
故BC的長(zhǎng)為．
18.解：易知，，
設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以；
令，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
證明：因?yàn)椋?br/>可得，，
此時(shí)直線可表示為，
即，
直線的方程也可表示為，
即，
所以，
則，
所以，
即，
設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得，
令，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得對(duì)任意的恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br/>所以，，
則函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>所以存在，使得，
所以，
則；
由知，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>可得對(duì)任意的恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
則，
解得．
故實(shí)數(shù)的最大值為．
19.解：因?yàn)椋裕驗(yàn)檎?xiàng)數(shù)列是一個(gè)“凸數(shù)列”，
所以，
所以，所以，
所以數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，，
所以，變形可得到，
所以數(shù)列是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，且有．
根據(jù)題意及三次函數(shù)的性質(zhì)易知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
所以，
又，所以，
顯然，即不是的零點(diǎn)，
又，
令，則也有三個(gè)零點(diǎn)，
即有三個(gè)零點(diǎn)，
令，
則有三個(gè)零點(diǎn)，
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以同上有，
故數(shù)列，，，為一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”；
記則欲證不等式，
可化歸為，即，
由數(shù)列為對(duì)數(shù)性凸數(shù)列知，即，
故
再由，
得
故式成立．從而，原不等式成立．
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