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中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2025屆高三上學(xué)期10月測(cè)試
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.若，則( )
A. B. C. D.
3.已知單位向量和，若，則( )
A. B. C. D.
4.已知圓柱的底面半徑和球的半徑相等，圓柱的高與球的半徑相等，則圓柱與球的表面積之比為( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5.已知，，則( )
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D. 無窮
7.將的圖象變換為的圖象，下列變換正確的是( )
A. 將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮賹D象向右平移個(gè)單位
B. 將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮賹D象向右平移個(gè)單位
C. 將圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?br/>D. 將圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?br/>8.定義在上的函數(shù)滿足：，且，當(dāng)時(shí)，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為，則下列說法正確的是( )
A. 事件“為偶數(shù)”的概率為
B. 事件“為偶數(shù)”的概率為
C. 設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望為
D. 設(shè)，則在的所有可能的取值中最有可能取到的值是
10.在直棱柱中，底面為正方形，，為線段上動(dòng)點(diǎn)，，分別為和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A. 若，則經(jīng)過，，三點(diǎn)的直棱柱的截面為四邊形
B. 直線與所成角的余弦值為
C. 三棱錐的體積為定值
D. 的最小值為
11.一條動(dòng)直線與圓相切，并與圓相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為定直線上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A. 存在直線，使得以為直徑的圓與相切
B. 的最小值為
C. 的最大值為
D. 的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若的展開式中存在項(xiàng)，則由滿足條件的所有正整數(shù)從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
13.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，且是拋物線的焦點(diǎn)．過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，滿足，若點(diǎn)也在雙曲線上，則雙曲線的離心率為 ．
14.已知，則的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足．
若，，求的面積；
記邊的 中點(diǎn)為，，若為鈍角，求的取值范圍．
16.本小題分
如圖所示，在四棱錐中，，，．

若平面，證明：平面；
若底面，，二面角的正弦值為，求的長(zhǎng)．
17.本小題分
已知橢圓，的下頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若直線垂直于，則的周長(zhǎng)為．
求橢圓的方程；
若直線與坐標(biāo)軸不垂直，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，并說明理由．
18.本小題分
已知函數(shù)，．
若，證明：；
若，求的取值范圍；
若，記，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
19.本小題分
乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“局勝制”和“局勝制”，“局勝制”指局中勝局的一方取得勝利，“局勝制”指局中勝局的一方取得勝利．
甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，若采用局勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為；若采用局勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為已知甲、乙兩人共進(jìn)行了場(chǎng)比賽，請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來推斷賽制是否對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響．
若甲、乙兩人采用局勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為，沒有平局．記事件“甲只要取得局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為，事件“兩人賽滿局，甲至少取得局比賽勝利且甲獲勝”為，試證明：．
甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是，沒有平局．若采用“賽滿局，勝方至少取得局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為若采用“賽滿局，勝方至少取得局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為，試比較與的大小．
附：，其中．
參考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【小問詳解】
因?yàn)椋裕?br/>又，即，
所以，即，
所以．
【小問詳解】
因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，所以，
所以
，
又，
所以，
在三角形中，，所以，
所以，即，
又為鈍角，則，解得，
故由，可得，
所以．

16.【小問詳解】
證明：，，，即，
，即，
平面，平面，
，
，又平面，平面，
平面；
【小問詳解】
底面，底面，
，，又，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

令，則，
，則，
，
設(shè)平面的法向量為，
令，則，
，
設(shè)平面的法向量為，
令，則，
，
二面角的正弦值為，則余弦值為，
又二面角為銳角，，
解得，所以．

17.【小問詳解】
由題意可知，
因?yàn)殡x心率為，
所以，
所以，故是正三角形，如圖所示：
若直線，則直線垂直平分線段，
所以，
由于的周長(zhǎng)為，故的周長(zhǎng)為，
由定義可知：，
所以的周長(zhǎng)為，故，
所以，故，
所以橢圓的方程：．
【小問詳解】
由題意可設(shè)直線的方程為，，則，如圖所示：
可得直線的方程為：，
因?yàn)椋?br/>將其代入直線方程，可得，
可整理得：，
聯(lián)立方程得，
則，
所以，即，
將其代入式中，可得直線方程為：，
可見直線過定點(diǎn)，
所以直線過定點(diǎn)，坐標(biāo)為．

18.【小問詳解】
由題設(shè)且，則，
所以在上遞減，故，得證；
【小問詳解】
由解析式，易知時(shí)恒成立，
當(dāng)，只需恒成立，
令且，則，
令，則，即在上遞增，
所以，故，即在上遞增，且，
對(duì)于，，則，
故在上遞增，且時(shí)，
綜上，，即．
【小問詳解】
由題設(shè)，且定義域?yàn)椋@然，
令，且
只需研究與在上的交點(diǎn)情況，
若，則在上遞減，在上遞增，且時(shí)，
而，即在上遞減，且，
又，則，在處的圖象遞減趨勢(shì)比的圖象平緩，
故與在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；
若，在恒成立，而恒成立，
故與在上無交點(diǎn)，
此時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．

19.【小問詳解】
由題設(shè)，賽制與甲獲勝情況列聯(lián)表如下，
甲獲勝場(chǎng)數(shù) 乙獲勝場(chǎng)數(shù)
局勝
局勝
所以，若，
當(dāng)時(shí)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷賽制對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響．
當(dāng)時(shí)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有證據(jù)認(rèn)為推斷賽制對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響．
【小問詳解】
由題意，
，
，
綜上，，得證．
【小問詳解】
考慮賽滿局的情況，以賽完局為第一階段，第二階段為最后局，
設(shè)“賽滿局甲獲勝”為事件，結(jié)合第一階段結(jié)果，要使事件發(fā)生，有兩種情況：
第一階段甲獲勝，記為；第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了局，記為，
則，得，
若第一階段甲獲勝，即賽滿局甲至少勝局，有甲至少勝局和甲恰好勝局兩種情況，
甲至少勝局時(shí)，無論第二階段的局結(jié)果如何，最終甲獲勝；
甲恰好勝局時(shí)，有可能甲不能獲勝，此時(shí)第二階段的局比賽甲均失敗，概率為，
所以，
若第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了局，那么要使甲最終獲勝，第二階段的局甲全勝，得，
所以，
則
，
由，所以，得．

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