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內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市松山區(qū)多校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期10月月考
數(shù)學(xué)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則( )
A. B. C. D.
2.已知命題；命題，則( )
A. 和都是真命題 B. 和都是真命題
C. 和都是真命題 D. 和都是真命題
3.已知向量，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
4.在年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)跳水隊(duì)表現(xiàn)卓越，成功包攬了全部枚跳水金牌，這一成績(jī)不僅創(chuàng)造了歷史，也再次證明了“夢(mèng)之隊(duì)”的實(shí)力和統(tǒng)治力跳水比賽計(jì)分規(guī)則如下：針對(duì)運(yùn)動(dòng)員每次跳水，共有個(gè)裁判評(píng)分，去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，剩下的分?jǐn)?shù)相加后乘以難度分，即可得出最終得分下列說(shuō)法正確的是( )
A. 去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定改變
B. 去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的方差可能不變
C. 去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變
D. 去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不變
5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則 的 值是( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離鍵長(zhǎng)相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離鍵長(zhǎng)均相等，任意兩個(gè)鍵之間的夾角為鍵角均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.記函數(shù)的最小正周期為若為的零點(diǎn)，則的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則( )
A. B. 以為直徑的圓與軸相切
C. 的坐標(biāo)為 D.
11.定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作定義：為一組數(shù)據(jù)相對(duì)于常數(shù)的“正弦方差”若，一組數(shù)據(jù)相對(duì)于的：“正弦方差”為，則的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知等差數(shù)列的公差不為零，且成等比數(shù)列，，則 ．
13.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則角 ．
14.年月日出版的第期求是雜志發(fā)表了中共中央總書記、國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平的重要文章培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人某校積極響應(yīng)總書記的指示，創(chuàng)造性提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng)高三年級(jí)共有個(gè)班，其中只有班有個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)一共個(gè)名額，勞動(dòng)模范必須參加并不占名額，每個(gè)班都必須有人參加給出以下四個(gè)命題：若班不再分配名額，則共有種分配方法；若班有除勞動(dòng)模范之外的學(xué)生參加，則共有種分配方法；若每個(gè)班至少人參加，則共有種分配方法；若每個(gè)班至少人參加，則共有種分配方法其中正確命題的序號(hào)是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且存在實(shí)數(shù)滿足．
求的值及通項(xiàng)公式；
已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
16.本小題分
已知函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17.本小題分
如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在上，且．
求證：平面平面；
當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值．
18.本小題分
某校高三年級(jí)部組織高中生數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為個(gè)人賽和團(tuán)體賽，競(jìng)賽規(guī)則如下：個(gè)人賽規(guī)則：每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，電腦同時(shí)給出道判斷題判斷對(duì)錯(cuò)和道選擇題每個(gè)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)中有且僅有一個(gè)是正確的，要求參賽者全都作答，若有道或道以上答對(duì)，則該選手挑戰(zhàn)成功團(tuán)體賽規(guī)則：以班級(jí)為單位，每班參賽人數(shù)不少于人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)，參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽：方式一：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成組，每組人，電腦隨機(jī)分配給同組兩個(gè)人一道相同試題，兩人同時(shí)獨(dú)立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功，若這個(gè)小組都挑戰(zhàn)成功，則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功方式二：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成組，每組個(gè)人，電腦隨機(jī)分配給同組個(gè)人一道相同試題，各人同時(shí)獨(dú)立答題，若這個(gè)人都回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功若這兩個(gè)小組至少有一個(gè)小組挑戰(zhàn)成功則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功．
在個(gè)人賽中若一名參賽選手全部隨機(jī)作答，求這名選手恰好答對(duì)一道判斷題并且答對(duì)兩道選擇題的概率；
甲同學(xué)參加個(gè)人賽，他能夠答對(duì)判斷題并且答對(duì)選擇題，其余題目只能隨機(jī)作答，求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率；
在團(tuán)體賽中，假設(shè)某班每位參賽同學(xué)對(duì)給出的 試題回答正確的概率均為常數(shù)，為使本班團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說(shuō)明理由．
19.本小題分
已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率．
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求面積的最小值．
如圖，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別與橢圓相交于點(diǎn)，設(shè)直線和相交于點(diǎn)證明點(diǎn)在定直線上．
參考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【小問(wèn)詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，，
由，
得，
兩式相減得，又，所以，
將代入可得，即，所以，
又，所以；
【小問(wèn)詳解】
由可知，則，
所以，則，即，
，
，
，
即，．

16.【小問(wèn)詳解】
由題設(shè)，則，
所以，故在處的切線方程．
【小問(wèn)詳解】
由恒成立，
對(duì)于且，則，
對(duì)于且，則，
所以在上遞增，則，故，
所以在上遞增，則，
綜上，只需．

17.【小問(wèn)詳解】
由于平面，平面，故，
根據(jù)題意可得，，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
由于平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，
又，平面，平面，
所以平面．
平面，故平面平面；
【小問(wèn)詳解】
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系：
所以，，，，
結(jié)合知，平面的法向量為，
又，，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，則，所以，
設(shè)平面與平面夾角為，
則．

18.【小問(wèn)詳解】
設(shè)事件：選手答對(duì)道選擇題；事件：選手答對(duì)都選擇題，
則，，
這名選手恰好答對(duì)一道判斷題并且答對(duì)兩道選擇題的概率：
【小問(wèn)詳解】
甲同學(xué)挑戰(zhàn)不成功可能得情況如下：
只答對(duì)一道判斷題和選擇題；除和外只答對(duì)一道填空題或一道選擇題中任意一道
甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率：
【小問(wèn)詳解】
方式一：小組調(diào)整成功的概率：，
該班級(jí)挑戰(zhàn)成功的概率：；
方式二：小組調(diào)整成功的概率：，
該班級(jí)挑戰(zhàn)成功的概率：
，
令
則
，則，，
可得，，
，即，單調(diào)遞增，
又，且，
，
從而，即，所以為使本班調(diào)整成功的可能性更大，應(yīng)該選方式一參賽．

19.【小問(wèn)詳解】
由題意，點(diǎn)在橢圓上得，可得
又由，所以，
由聯(lián)立且，可得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問(wèn)詳解】
易知，則，所以，
設(shè)，聯(lián)立與有，
則，由解得，
到的距離即為在邊上高的最小值，即，
此時(shí)面積的最小值；
【小問(wèn)詳解】
設(shè)，則，即
又由，得，
整理得，
再代入得，即，
所以
同理令，，則
則，，
則直線的方程為
，
同理的方程為
，
兩式相減，整理得，即點(diǎn)在定直線上

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