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內蒙古赤峰市名校2025屆高三上學期聯合考試數學試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若集合，，則( )
A. B. C. D.
2.若復數滿足，則的虛部為( )
A. B. C. D.
3.已知，，，若，，三點共線，則( )
A. B. C. D.
4.已知曲線：在點處的切線與直線平行，則該切線方程是( )
A. B. C. D.
5.已知函數的部分圖象如圖所示，則( )
A. B. C. D.
6.已知在中，是線段上異于端點的任意一點．若向量，則的最小值為( )
A. B. C. D.
7.把某種物體放在空氣中，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度滿足若不變，在后該物體的溫度分別為，且，則下列結論正確的是( )
A.
B.
C. 若，則；若，則
D. 若，則；若，則
8.在中，，，，點在內部，且，，記，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知命題；命題，則( )
A. 是真命題 B. 是真命題 C. 是真命題 D. 是真命題
10.已知函數，則( )
A. 為偶函數 B. 的最大值為
C. 在上單調遞減 D. 在上有個零點
11.已知奇函數的定義域為，其導函數為，若，且，則( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數，則 ．
13.如圖，在邊長為的正方形中，點在邊上，且，則 ．
14.已知函數，若，則的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，，，且向量在軸非負半軸上的投影向量為．
求的坐標；
求；
求的面積及外接圓的半徑．
16.本小題分
已知的內角，，的對邊分別為，，已知的周長為，且，．
求的大小；
求，，的值．
17.本小題分
已知向量，，函數．
將化簡成的形式；
將的圖象向左平移個最小正周期的單位長度后，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象，求的單調遞增區間；
在的條件下，若，求的值．
18.本小題分
已知的內角，，的對邊分別為，，，且．
證明：．
已知為鈍角，記．
(ⅰ)求的取值范圍；
(ⅱ)若為邊上的中線，求的取值范圍．
19.本小題分
已知函數與的定義域的交集為若對恒成立，則稱與為同號函數，例如，則函數與為同號函數．若存在區間，使得對恒成立，則稱與為區間同號函數．
設函數，試問這三個函數中是否任意兩個都互為區間同號函數？請說明你的理由．
設函數．
(ⅰ)證明：與為同號函數．
(ⅱ)若恒成立，證明：．
參考答案
1.
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9.
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13.
14.
15.【小問詳解】
因為向量在軸非負半軸上的投影向量為，
所以可設，
因為，所以，即，則；
【小問詳解】
因為，，
所以；
【小問詳解】
因為，所以，
所以，
故的面積為，
因為，
所以，
則外接圓的半徑為．

16.【小問詳解】
由正弦定理可得，
即．
因為，所以，則．
因為，所以．
【小問詳解】
由得
由余弦定理得，即，
所以，解得或舍去，
故，．

17.【小問詳解】
．
【小問詳解】
因為的最小正周期，
所以，
則．
令，得，
故的單調遞增區間為．
【小問詳解】
根據題意可得，
令，則，．
由，
故．

18.【小問詳解】
由，可得，
由余弦定理可知，所以．
【小問詳解】
(ⅰ)由，可得，．
根據三角形三邊關系，知即
則解得，
所以的取值范圍為．
(ⅱ)因為為邊上的中線，所以，
則，
所以．
令，則，因為在上單調遞增，
所以，故的取值范圍為．

19.【小問詳解】
這三個函數中任意兩個都互為區間同號函數，理由如下：
因為，，，
所以，
則與為區間同號函數．
而，，
則，
令，即；令，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
所以對恒成立，
又，對都恒成立，
所以存在，使得，對都恒成立，
所以這三個函數中任意兩個都互為區間同號函數．
【小問詳解】
證明：(ⅰ)因為函數與的定義域的交集為，
當時，，則，
所以，即；
當時，，則，
所以，即，
所以恒成立，則與為同號函數．
(ⅱ)因為，
所以由，
整理得到，
令，
則，
當時，，可得，
當時，，可得．
對于函數，，
令，即；令，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，，
所以函數在和上各有一個零點，
不妨設，，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
且時，，
而，即時，，
則
，
設，
則，
所以函數在上單調遞減，
所以，即．

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