資源簡介

《函數的單調性》教學設計
教學目標：
（一）知識與能力
學生通過經歷觀察、歸納、總結、證明等數學活動能夠：
1.理解增函數、減函數的概念及函數單調性的定義
2.會根據函數的圖像判斷函數的單調性
3.能根據單調性的定義證明函數在某一區間上是增函數還是減函數
（二）過程與方法
1.培養學生利用數學語言對概念進行概括的能力
2.學生利用定義證明單調性，進一步加強邏輯推理能力及判斷推理能力的培養
（三）情感、態度與價值觀
1.通過本節課的教學，啟發學生養成細心觀察，認真分析，嚴謹論證的良好習慣
2.通過問題鏈的引入，激發學生學習數學的興趣，學生通過積極參與教學活動，獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學習數學的自信心
教學重難點：函數單調性的定義及單調性判斷和證明
教學過程：
一、復習回顧，新課引入
1.函數與映射的定義。
2.函數的常用表示方法
3.觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律：
(
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
)
①隨x的增大，y的值有什么變化？②能否看出函數的最大（小）值？③函數圖象是否具有某種對稱性？
4．作出下列函數的圖象：
（1）y=x ； (2)y=x2 ；
二、師生互動，新課講解：
觀察函數y=x與y=x2的圖象，當x逐漸增大時，y的變化情況如何？
可觀察到的圖象特征：
（1）函數的圖象由左至右是上升的；
（2）函數的圖象在軸左側是下降的，在軸右側是上升的；也就是圖象在區間上，隨著的增大，相應的隨著減小，在區間上，隨著的增大，相應的也隨著增大．
歸納：從上面的觀察分析可以看出：不同的函數，其圖象的變化趨勢不同，同一函數在不同區間上的變化趨勢也不同．函數圖象的這種變化規律就是函數性質的反映
1．如何用函數解析式描述“隨著的增大，相應的隨著減小”，“隨著的增大，相應的也隨著增大”？
在區間上任取x1,x2，函數值的大小變化與自變量的大小變化有何關系？如何用數學符號語言來描述這種關系呢？
對于函數，經過師生討論得出：在區間上，任取兩個，當時，有．這時，我們就說函數在區間上是增函數．
課堂練習
請你仿照剛才的描述，說明函數在區間上是減函數．
2．增函數和減函數的定義
設函數的定義域為：
（1）如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數（increasing function）．區間D叫做函數的增區間。
（2）請你仿照增函數的定義給出函數在區間上是減函數的定義．
如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數（decreasing function）．區間D叫做函數的減區間。
3．對定義要點分析
問：（1）你能分析一下增函數定義的要點嗎？
（2）你能分析一下減函數定義的要點嗎？
引導學生分析增（減）函數定義的數學表述，體會定義中“區間上的任意兩個自變量都有…”的含義．
例題選講：
例1：（課本P29例1）圖2-10是定義在閉區間[-5，5]上的函數y=f(x)的圖象，根據圖象說出x=f(x)的單調區間，以及在每一單調區間上，y=f(x)是增函數還是減函數．
解：函數y=f(x)的單調區間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在區間[-5，-2)，[1，3)上是減函數，在區間[-2， 1)，[3， 5]上是增函數．
變式訓練1：如圖為2008年北京奧運會奧林匹克公園場館自動氣象站某日一天24小時內的氣溫變化圖（24時與0時氣溫相同為32C），觀察這張氣溫變化圖：
問：該圖形是否為函數圖象？定義域是什么？
問：如何用數學語言來刻畫溫度隨時間變化而變化的趨勢呢？
例2 證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數．
證明：設x1，x2 是R上的任意兩個實數，且x1＜x2，則
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)
=3(x1-x2)．
由x1＜x2，得x1-x2＜0，
于是 f(x1)-f(x2)＜0，[來源:]
即 f(x1)＜f(x2)．
所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函數．
想一想：函數f(x)=-3x+2在R上是增函數還是減函數？試畫出f(x)的圖象，判斷你的結論是否正確．
歸納：利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：
1 任取x1，x2∈D，且x12 作差f(x1)－f(x2)；
3 變形（通常是因式分解和配方）；
4 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
5 下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．
變式訓練2：
（1）證明函數在(0,+)上為減函數。
（2）證明函數在（1，+∞）上為增函數．
課堂練習：（課本P32練習NO：1；2；3；4）
三、課堂小結，鞏固反思：
（1）增減函數的圖象有什么特點？
增減函數的圖象從左自右是上升的，減函數的圖象從左自右是下降的．
（2）用定義證明函數的單調性：
取 值 →作 差 → 變 形 → 定 號 → 下結論
（3）如果函數在區間上是增函數或減函數，那么就說函數在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間叫做的單調區間．
四、布置作業：
A組：
1.（課本P39習題組NO：1）
2.（課本P39習題組NO：2）
3.（課本P39習題組NO：3）
4．證明函數在（0，1）上為減函數．
B組：
1.作出函數y =－x2 +2|x|+3的圖象并指出它的的單調區間。（提示：可以看作y=f(|x|)的圖象的作法）
2.已知函數f(x)是區間(0,+)上的減函數，那么
(1) f(3)與f(2)的大小關系是_____________；（答：f(3)(2)f(a2-a+1)與f()的大小關系是____________（答：f(a2-a+1)f()）
C組：
設f(x)是定義在R上的增函數，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

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