資源簡(jiǎn)介

第五章 一元一次方程
5.3 一元一次方程和它的解
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.學(xué)生能理解一元一次方程的概念，準(zhǔn)確識(shí)別方程中的未知數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；
2.掌握一元一次方程的求解方法，能夠熟練求解簡(jiǎn)單的一元一次方程；
3.通過實(shí)際問題的解決，體會(huì)一元一次方程在數(shù)學(xué)和生活中的應(yīng)用價(jià)值。
核心素養(yǎng)目標(biāo)：
1. 重在引導(dǎo)其邏輯推理，通過方程求解鍛煉思維嚴(yán)謹(jǐn)性。
2. 增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程。
3. 培養(yǎng)問題解決能力，運(yùn)用方程知識(shí)準(zhǔn)確得出答案，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解一元一次方程的概念，掌握其解法及應(yīng)用，能準(zhǔn)確判斷方程的解。
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：熟練運(yùn)用等式性質(zhì)對(duì)方程變形求解，理解方程解的唯一性，處理含參一元一次方程。
一、知識(shí)鏈接
1.方程80%x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有______個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是______次，且兩邊都是______，這樣的方程叫作一元一次方程。
2.能使一元一次方程兩邊相等的______的值叫作一元一次方程的解，也叫作______。求方程的解的過程稱為______。（☆ 含有一個(gè)未知數(shù)的方程的______也可以稱為方程的______。）
3.____________是方程變形的依據(jù)，利用等式的性質(zhì)將一元一次方程一步一步變形，最后變形成“x＝a（a為已知數(shù)）”的形式，就求出了一元一次方程的解。
4.列方程就是把實(shí)際問題中的相等關(guān)系用______的形式表示出來。
5.設(shè)未知數(shù)可以直接設(shè),也可以間接設(shè),根據(jù)具體情況分析,本著______、______的原則設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。 二、自學(xué)自測(cè)
1. 有長(zhǎng)為20米的籬笆，利用它和房屋的一面墻圍成如圖形狀的長(zhǎng)方形園子，使得長(zhǎng)比寬長(zhǎng)2米。設(shè)園子的寬為t米，請(qǐng)列出一個(gè)含有未知t的方程，并判斷所列方程是不是一元一次方程。
2.. 利用等式的性質(zhì)求下列一元一次方程的解。
（1）11－x＝10x；
（2）4x－3＝2x－9。
一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課
2020年11月10日，我國(guó)載人潛水器“奮斗者”號(hào)在馬里亞納海溝成功坐底，下潛深度達(dá)到10909米，刷新了我國(guó)載人深潛紀(jì)錄，是世界上首次同時(shí)將3人帶到地球最深處。潛水器在水下時(shí)，怎樣根據(jù)承受的水壓計(jì)算它所在的深度？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
分析下列問題所給條件的數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)其中的等量關(guān)系列出方程。
（1）一件衣服按八折銷售的售價(jià)為120元，這件衣服的原價(jià)是多少元？
設(shè)這件衣服的原價(jià)為x元，可列出方程：______________ 。
（2）王老師和小明相差 18歲，6年后王老師的年齡正好是小明的 2倍，
問：小明今年多大？
設(shè)小明今年y歲，可列出方程：_____________________ 。
（3）在水下，水深每增加10米，物體承受的水壓大約增加1個(gè)大氣壓。
當(dāng)“奮斗者”號(hào)載人潛水器下潛至7000米時(shí)，它承受的水壓約為700個(gè)大氣壓。問：當(dāng)它承受水壓增加到850個(gè)大氣壓時(shí)，它又繼續(xù)下潛了多少米？
設(shè)它又繼續(xù)下潛了x米，可列出方程：_____________________ 。
觀察你所列的方程，這些方程有哪些共同的特點(diǎn)？
【強(qiáng)調(diào)】：
方程80%x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式，這樣的方程叫作一元一次方程。
能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根☆。求方程的解的過程稱為解方程。
☆ 含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也可以稱為方程的根。
做一做
1.下列方程中，哪些是一元一次方程？
(1)2x－3＝5； (2)－4＝3m；
(3)x＋y＋z＝7； (4)3a－5＝－6＋a；
(5)－5＝1。
2.判斷下列x的值是不是方程2x－3＝5的解。
(1)x＝2； (2)x＝4； (3)x＝－1。
【強(qiáng)調(diào)】：
等式的性質(zhì)是方程變形的依據(jù)，利用等式的性質(zhì)將一元一次方程一步一步變形，最后變形成“x＝a（a為已知數(shù)）”的形式，就求出了一元一次方程的解。
列方程就是把實(shí)際問題中的相等關(guān)系用方程的形式表示出來。列方程的一般步驟如下:
(1)審題,分析實(shí)際問題中的相等關(guān)系,找出已知量和未知量。
(2)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)x,并把涉及相等關(guān)系的量用x。
(3)利用相等關(guān)系列出方程。
注意：
列簡(jiǎn)單的一元一次方程的說明：
(1)設(shè)未知數(shù)時(shí),有單位的要帶單位。
(2)設(shè)未知數(shù)可以直接設(shè),也可以間接設(shè),根據(jù)具體情況分析,本著易列、易解的原則設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。
注意：
1.一元一次方程必須滿足的三個(gè)條件：
(1)整理化簡(jiǎn)后只含“一元”;
(2)整理化簡(jiǎn)后最高次為“一次”
(3)整理前兩邊均為整式。
2.若已知等式ax+b=0為關(guān)于x的一元一次方程,則默認(rèn)a≠0。
3.要檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)方程的解,只需把這個(gè)數(shù)分別代入方程的左右兩邊,看左右兩邊的值是否相等,若相等,則這個(gè)數(shù)是該方程的解，否則不是。
探究二：例題講解
教材第135頁
例 利用等式的性質(zhì)，解下列一元一次方程：
(1)5x＝50＋4x
(2)8－2x＝9－4x
注意：對(duì)一元一次方程，解的檢驗(yàn)過程可以省略不寫。
【例1】若關(guān)于x的方程(m-1)=6是一元一次方程,則m的值為（ ）
A.±1 B.-1 C.1 D.2
【例2】若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+2=14的解,則a=_______。
【例3】用150張白鐵皮做罐頭盒,每張白鐵皮可制盒身15個(gè)或盒底45個(gè),一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒,設(shè)用x張白鐵皮制盒身,則可列方程為（ ）
A.2×15x=45(150-x)
B.15x=2×45(150-x)
C.2×45x=15(150-x)
D.45x=2×15(150-x)
【例4】在地球表面以下，每下降1km溫度就上升約10 ℃,假設(shè)地表溫度是12℃,某礦井的溫度是18 ℃，設(shè)該礦井地表以下xkm處,則可列方程______________。
【選做】5.將方程2(x-1)=3(x-1)的兩邊同除以x-1,得2=3,其錯(cuò)誤的原因是（ ）
A.方程本身是錯(cuò)的
B.方程無解
C.兩邊同除以0
D.2(x-1)小于3(x-1)
【選做】6利用等式性質(zhì)解一元次方:7x-2=5x+8.
知識(shí)點(diǎn)1 一元一次方程的概念
1.一元一次方程:方程80% x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式，這樣的方程叫作一元一次方程。
2.一元一次方程的最簡(jiǎn)形式為x=-(a≠0).一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+b=0(a≠0)。
知識(shí)點(diǎn)2 一元一次方程的解和解方程
1.解方程:求方程的解的過程叫作解方程。
2.一元一次方程的解:使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作一元一次方程的解,也叫作方程的根。
知識(shí)點(diǎn)3 列簡(jiǎn)單的一元一次方程
列方程就是把實(shí)際問題中的相等關(guān)系用方程的形式表示出來。列方程的一般步驟如下:
(1)審題,分析實(shí)際問題中的相等關(guān)系,找出已知量和未知量。
(2)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)x,并把涉及相等關(guān)系的量用x。
(3)利用相等關(guān)系列出方程。
必做題：
1.下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A.2x=5+3y B. =y+4
C.3x+2=1-x D.x+=2
2.下列方程中,解為x=4的是（ ）
A.x-1=4 B.4x=1
C.4x-1=3x+3 D.2(x-1)=1
3.超市正在促銷種商品,其標(biāo)價(jià)為每件125元若該商品打8折銷售,則每件可獲利15元,設(shè)該商品每件的進(jìn)價(jià)為x元，則可列方程為______________。
4.已知方程(∣m∣-2)-(m+2)x-6=0是關(guān)于x的一元一次方程。
(1)求m的值;
(2)判斷x=3,x=-,x=是不是該方程的解。
選做題：
5.某廠的兩個(gè)車間10月份共生產(chǎn)1339個(gè)零件,第一車間10月份比9月份增產(chǎn)12%,第二車間10月份比9月份減產(chǎn)24%,若9月份第一車間的產(chǎn)量是第二間產(chǎn)量的3倍,那么9月份兩個(gè)車間各生產(chǎn)了多少個(gè)零件
6.眾所周知,中華詩詞博大精深,集大量的情感于短短數(shù)十字之間,或豪放,或婉約,或思民生疾苦,或抒發(fā)已身豪情逸致,文化價(jià)值極高 而數(shù)學(xué)與古詩詞更是有著密切聯(lián)系。古詩中,五言絕句是四句詩,每句都是五個(gè)字;七言絕句是四句詩,每句都是七個(gè)字,有一本詩集,其中五言絕句比七言絕句多13首,總字?jǐn)?shù)反而少了20個(gè)字問兩種詩各多少首 設(shè)七言絕句有x首,根據(jù)題意,可列方程為______________。
拓展題：若關(guān)于x的方程x+1=x-2的解為x=-2,那么關(guān)于x的方程+1=-2的解是______________。
參考答案
【預(yù)習(xí)自測(cè)】
1.2t+t+2=20得3t+2=20。該方程是一元一次方程，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次，且兩邊都是整式。
2(1)11-x=10x
11=11x
X=1
(2)4x-3=2x-9
2x=-6
x=-3
【作業(yè)布置】
必做
1.C【解析】2x=5+3y含有兩個(gè)未知數(shù),不是一元一次方程,故選項(xiàng)A不符合題意;=y+4的未知數(shù)的最高次數(shù)是2,不是一元一次方程，故選項(xiàng)B不符合題意:3x+2=1-x是一元一次方程,故選項(xiàng)C符合題意;x+=2的等號(hào)左邊不是整式,不是一元一次方程，故選項(xiàng)D不符合題意.故選C。
2.C【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)x=4時(shí),左邊=4-1=3≠右邊,故此選項(xiàng)不符合題意;B選項(xiàng)，當(dāng)x=4時(shí)，左邊=16≠右邊，故此選項(xiàng)不符合題意;C選項(xiàng)，當(dāng)x=4時(shí)，左邊=16-1=15,右邊=12+3=15,左邊=右邊，故此選項(xiàng)符合題意;D選項(xiàng),當(dāng)x=4時(shí),左邊=2×(4-1)=6≠右邊,故此選項(xiàng)不符合題意。故選C.
3.125×0.8-x=15 【解析】依題意得125×0.8-x=15。故答案為125×0.8-x=15。
4.【解析】(1)根據(jù)題意得∣m∣-2=0且-(m+2)≠0.解得 m=2.
(2)當(dāng)m=2時(shí),原方程是-4x-6=0.當(dāng)x=3時(shí),左邊=-18≠右邊,所以x=3不是該方程的解當(dāng)=-時(shí),左邊=0=右邊,所以x=-是方程的解；當(dāng)x=時(shí),左邊=-≠右邊,所以x=不是該方程的解,即-是該方程的解,x=3和x=不是該方程的解。
選做
5.【解析】設(shè)9月份第二車間生產(chǎn)了x個(gè)零件,則9月份第一車間生產(chǎn)了3x個(gè)零件.由題意得3x(1+12%)+x(1-24%)=1339,解得x=325,所以3x=975.
答:9月份第一車間生產(chǎn)了975個(gè)零件,第二車間生產(chǎn)了325個(gè)零件。
6. 28x-20(x+13)=20 【解析】已知七言絕句有x首,則五言絕句有(x+13)首,根據(jù)題意,可列方程為 4×7x-4×5×(x+13)=20,即28x-20(x+13)=20。
拓展
x=1【解析】令x-3=t,則方程+1=5-2可變形為t+1=-2。因?yàn)殛P(guān)于x的方程t+1=-2的解為x=-2,所以方程t+1=-2的解為t=-2,所以x-3=-2,所以x=1,故答案為x=1。

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