資源簡介

2024-2025學年九年級數學上學期期中素養測評
(
姓
名：
__________________________
) (
貼條形碼區
考生禁填
：
缺考標記
違紀標記
以上標志由監考人員用
2B
鉛筆
填涂
選擇題填涂樣例
：
正確填涂
錯誤填
涂
[
×
] [
√
] [
／
]
1
．答題前，考生先將自己的姓名，學號填寫清楚，并認真核準條形碼上的姓名、學號，在規定位置貼好條形碼。
2
．選擇題必須用
2B
鉛筆填涂；非選擇題必須用
0.5
mm
黑
色簽字筆答題，不得用鉛筆或圓珠筆答題；字體工整、筆跡清晰。
3
．請按題號順序在各題目的答題區域內作答，超出區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4
．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破。
注意事項
)答題卡
(
準考證號：
)
(
請在各題目的答題區域內作答，超出黑色矩形邊框限定區域的答案無效！
)
一、單選題（請用2B鉛筆填涂,每題3分，共30分） 1. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空題（請用2B鉛筆填涂,每題3分，共30分） 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
三、解答題（共60分）
21．計算：(每題3分，共12分) (1)； (2)； (3)； (4)．
22. (6分)
23. (6分)
24. (6分)
25. (8分)
26. (10分)
27. (12分)中小學教育資源及組卷應用平臺
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2024-2025學年人教版九年級上冊期中模擬試題
一、單選題（每題3分，共30分）
1．下面圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．
3．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．只有一個實數根 D．沒有實數根
4．拋物線的開口方向和頂點坐標分別是（ ）
A．開口向上， B．開口向下，
C．開口向上， D．開口向下，
5．二次函數的圖象如圖所示，下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．當時，y隨x的增大而增大
C．
D．函數圖象與x軸交點的橫坐標是方程的根
6．如圖，點P是等邊內一點，且，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
7．在同一直角坐標系中，一次函數和二次函數的圖象大致為（ ）
A． B．C． D．
8．如圖，中，，．將繞點逆時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，中，，，點B的坐標為，將繞點A逆時針旋轉得到，當點O的對應點C落在上時，點D的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
10．如圖，二次函數的圖象與x軸交于兩點，與y軸交于點C，且，下列結論中正確的個數是（ ）
①；②；③；④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（每題3分，共30分）
11．已知關于的一元二次方程有一個根為，則的值為 ．
12．設是方程的兩個實數根，則 ．
13．如圖，拋物線的對稱軸為，點P，點Q是拋物線與x軸的兩個交點，若點P的坐標為，則點Q的坐標為 ．
14．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為．點P是拋物線對稱軸上的一個動點，當的周長最小時，則點P的坐標為 ．
15．已知，是拋物線上的兩點，則，的大小關系是 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
16．飛機著陸后滑行的距離（單位：）與滑行的時間（單位：）的函數解析式是，那么飛機著陸后滑行 才能停下來．
17．如圖，已知拋物線與直線的兩個交點坐標分別為、，則關于x的不等式的解集是 ．

18．如圖，把繞點C按順時針方向旋轉后能與重合，且交于點E，若，則的度數是 ．
19．如圖，已知：正方形，點，分別是，上的點，連接，，，且，的周長為 ．
20．已知二次函數的圖象如下，在第三象限內的拋物線上有一動點P，過點P作軸，垂足為N，連接交于點Q，則的最大值是 ．
三、解答題（共60分）
21．用適當的方法求解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
22．已知是關于的一元二次方程的兩個實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)已知等腰三角形的底邊，若，恰好是另外兩條腰的長，求這個三角形的周長．
23．如圖，中，，點D在上，于E，于F，連接．
(1)求的最小值．
(2)要使四邊形的面積最大，點D應選在何處？
24．如圖，在正方形中，，是對角線上的兩點，且，將繞點順時針旋轉得到，連接．
(1)求證：．
(2)求的度數．
25．某種植基地種植一種蔬菜，它的成本為每千克12元，經過市場調查發現，該蔬菜的日銷售量y（千克）與銷售單價x（元）是一次函數關系，其銷售單價、日銷售量的三組對應數值如下表：
銷售單價x（元） 14 15 16
日銷售量y（千克） 2000 1800 1600
(1)直接寫出y與x的關系式____________；
(2)求種植基地銷售該蔬菜獲得的最大日利潤；
(3)銷售一段時間以后，由于某種原因，該蔬菜每千克成本增加了2元，在日銷售量y（千克）與銷售單價x（元）保持（1）中函數關系不變的情況下，該蔬菜的日銷售利潤能否達到6000元？
26．如圖，和都是等腰直角三角形，．
(1)如圖①，當點在上，點在上時，線段與的數量關系是__________，位置關系是__________；
(2)把繞點旋轉到如圖②的位置，連接與交于點與交于點，此時①中的結論還成立嗎？請說明理由；
(3)繞點在平面內旋轉的過程中，若，當點在線段上，直接寫出的長．
27．如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點Q是對稱軸左側拋物線上的一點，當是以為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出點Q的坐標______．
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參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A C D B D A B
1．C
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．
根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．圖案既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A選項不符合題意；
B．圖案是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B選項不符合題意；
C．圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C選項選符合題意；
D．圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不符合題意；
故選：C．
2．C
【分析】本題考查的知識點是因式分解法解一元二次方程，解題關鍵是熟練掌握一元二次方程的解法．
利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：，
，
，．
故選：．
3．B
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式：根據判別式判斷一元二次方程根的情況．先算出，再判斷該方程有兩個不相等的實數根，據此即可作答．
【詳解】解：∵，
∴，
則該方程有兩個不相等的實數根，
故選：B．
4．A
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，根據二次項系數可以判斷拋物線的開口方向，根據拋物線函數的頂點式可以直接得到頂點坐標，本題得以解決．
【詳解】解：∵，
∴該拋物線的開口向上，頂點坐標是，
故選：A．
5．C
【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵；由圖象可得，圖象開口向下，對稱軸為直線，然后根據二次函數的性質可進行求解．
【詳解】解：由圖象可得：，開口向下，對稱軸為直線，
∴，即，故A正確，C錯誤；
當時，y隨x的增大而增大，故B正確；
令時，則有，得出的解就是函數圖象與x軸的交點橫坐標，故D正確；
故選C．
6．D
【分析】該題主要考查了旋轉變換的性質、等邊三角形的判定及其性質、勾股定理逆定理等幾何知識點及其應用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．
將繞點順時針旋轉得，首先證明為等邊三角形得；再證明得到，由即可解決問題．
【詳解】∵為等邊三角形，
∴，
將繞點順時針旋轉得，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
7．B
【分析】本題考查一次函數和二次函數的圖象及性質，掌握系數對函數圖象的影響是解題的關鍵．
根據函數圖象分別確定系數的正負，同一字母在同一圖象中取值不能相異，據此判定即可．
【詳解】解：A． 由一次函數圖象得，由二次函數圖象得，矛盾，不符合題意；
B． 由一次函數圖象得，由二次函數圖象得，一致，符合題意；
C． 由一次函數圖象得，由二次函數圖象得，矛盾，不符合題意；
D． 由一次函數圖象得，由二次函數圖象得，矛盾，不符合題意；
故選：B．
8．D
【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解決本題的關鍵是掌握旋轉的性質．
根據旋轉可得，，得，根據，進而求解．
【詳解】解：，，
，
∵將繞點逆時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，
，，
，
．
故選：D．
9．A
【分析】證明是等邊三角形，則，，如圖，過作軸于，則，，則，，由勾股定理得，，進而可求點D的坐標．
【詳解】解：由旋轉的性質可知，，，，∴是等邊三角形，
∴，
∴，
如圖，過作軸于，則，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴點D的坐標為，
故選：A．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含的直角三角形，勾股定理，點坐標等知識．熟練掌握旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含的直角三角形，勾股定理，點坐標是解題的關鍵．
10．B
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質．利用拋物線開口方向得到，利用拋物線的對稱軸位置得到，利用拋物線與y軸的交點位置得到，則可對①進行判斷；利用拋物線與x軸有2個交點可對②進行判斷；把A點坐標代入解析式可對③進行判斷；設A、B兩點的橫坐標為m，n，則，，利用根與系數的關系可對④進行判斷．
【詳解】解：由拋物線的開口可知：，
由拋物線與y軸的交點位置可知：，
由對稱軸的位置可知：，
∴，
∴，故①錯誤；
由拋物線與x軸有兩個交點可知：，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∴A的橫坐標為：c，
∴令，
∴，
∴，則，
故③錯誤；
設拋物線與x軸交點的橫坐標為m，n，
∴，，
∵，
∴，故④正確；
故選：B．
11．
【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，將代入原方程，得出關于的一元一次方程，解方程，即可
【詳解】解：把代入方程得：，
解得：，
答案為：
12．
【分析】此題考查了一元二次方程根與系數關系．根據一元二次方程根與系數關系得到，再整體代入即可得到答案．
【詳解】解：∵是方程的兩個實數根，、
∴，
∴
故答案為：
13．
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點以及二次函數的性質，根據拋物線的對稱軸結合點的橫坐標，即可求出點的橫坐標，此題得解．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為，點P，點Q是拋物線與x軸的兩個交點，
∴點與點關于直線對稱，
點的橫坐標為，
點的坐標為．
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、軸對稱的性質、一次函數；其中熟練運用軸對稱的性質轉化線段是解題的關鍵．根據拋物線的對稱性可知：，所以當點在線段上時，的值最小，的周長也最小，以此為依據求解即可；
【詳解】解：令，則，
解得，，
，，
拋物線的對稱軸為：
點的橫坐標為：
當 時， ；
設直線解析式為，
則，
解得，
由拋物線的對稱性可知：
∴當點在線段上時，有最小值，則的周長最小，
將 代入得：
故此時點的坐標是
故答案為：．
15．
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，求出、，比較大小即可得解，熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征是解此題的關鍵．
【詳解】解：當時，，
當時，，
∵，
∴，
故答案為：．
16．
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，滑行距離最遠時，飛機才停下來，據此利用二次函數的性質求出有最大值時，的值即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴當時，有最大值，
∴飛機著陸后滑行才能停下來，
故答案為：．
17．
【分析】此題主要考查了二次函數與不等式，根據圖形拋物線與直線的兩個交點情況可知，不等式的解集為拋物線的圖象不在直線圖象的上方對應的自變量的取值范圍．
【詳解】解：拋物線與直線的兩個交點坐標分別為、，
由圖象可知，關于的不等式的解集是，
故答案為：．
18．/85度
【分析】本題考查了旋轉的性質、三角形的外角性質，利用旋轉的性質得到旋轉角度數是解答的關鍵．
利用旋轉性質得到，再根據三角形的外角性質求解即可．
【詳解】解：把繞點C按順時針方向旋轉后能與重合，
，
是的一個外角，，
，
故答案為：．
19．10
【分析】本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質，解題關鍵是利用旋轉變換作出全等三角形并用正方形的邊長表示出的周長．將繞點逆時針旋轉得到，根據旋轉的性質可得，然后求出，再利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，然后求出的周長，再根據正方形的邊長求解即可．
【詳解】解：如圖，將繞點逆時針旋轉得到，
由旋轉的性質得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周長
，
∵正方形的邊長為5，
∴的周長為．
故答案為：10．
20．
【分析】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數的最值，求一次函數解析式，過點Q作軸于點H，求出點C的坐標為，點B的坐標為，求出直線的解析式為：，設點P的坐標為，則點Q的坐標為：，求出，證明為等腰直角三角形，得出，求出，然后求出最大值即可．
【詳解】解：過點Q作軸于點H，如圖所示：
把代入得：，
∴點C的坐標為，
把代入得：，
解得：，，
∴點B的坐標為，
∴，
∴，
設直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
設點P的坐標為，則點Q的坐標為：，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴
，
∵，
∴當時，有最大值．
故答案為：．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．
（1）先利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可；
（2）先計算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（3）先利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；
（4）先移項，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．
【詳解】（1）解：∵
∴，
∴或，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，等腰三角形的定義：
（1）根據題意可得，據此求解即可；
（2）根據等腰三角形定義可得關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則，可求出，再解方程得到，據此根據三角形周長計算公式求解即可．，
【詳解】（1）解：∵關于的一元二次方程有兩個實數根，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，恰好是另外兩條腰的長，
∴關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴，
解得，
∴原方程為，
解得，
∴等腰三角形的腰長為4，
∴等腰三角形的周長為．
23．(1)
(2)點D取距離點A為3處（或中點）
【分析】本題主要考查了二次函數的應用、直角三角形的性質、勾股定理、矩形的判定與性質等知識點，靈活運用二次函數解決實際問題成為解題的關鍵．
（1）先根據直角三角形的性質及勾股定理可得，再證明四邊形為矩形；如圖：連接，則，當時，有最小值．然后求得的值即可；
（2）設，四邊形的面積為．易得、、；再根據矩形的面積公式可得，然后根據二次函數的性質求最值即可解答．
【詳解】（1）解：在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形為矩形，
如圖：連接，則，當時，有最小值．
在中，
∴，
∴的最小值為．
（2）解：設，四邊形的面積為．
依題意：，，，
由（1）知，四邊形為矩形，
∴，
配方得：
∴當時，取得最大值．即點D取距離點A為3處（或中點）．
24．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉前后的兩個三角形的對應邊相等，對應角相等這是解題的關鍵．
（1）由旋轉的性質得由可得然后根據證明，即可得出．
（2）由正方形性質可得，結合即可得出．
【詳解】（1）證明：∵正方形，
∴，，
∵將繞點A順時針旋轉后，得到，
，，，
，
在和中，
，
，
．
（2）∵正方形，
∴，
由旋轉得到：，
∴
25．(1)；
(2)種植基地銷售該蔬菜獲得的最大日利潤為元；
(3)該蔬菜的日銷售利潤不能達到元，理由見解析．
【分析】本題考查了二次函數的應用，一元二次方程的應用，待定系數法求一次函數的解析式，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）直接用待定系數法求解即可；
（2）根據總利潤每千克利潤銷售量列出函數解析式，根據函數的性質求最值；
（3）根據題意列出一元二次方程，根據根的判別式得出原方程無解，即可得到答案．
【詳解】（1）解：設y與x的函數關系式為：，
將，代入得：
，
解：，
∴y與x的函數關系式為：，
故答案為：；
（2）解：設種植基地銷售該蔬菜獲得的日利潤為w元，由題意得：
，
，
∴當時，w最大值，
∴種植基地銷售該蔬菜獲得的最大日利潤為元；
（3）解：該蔬菜的日銷售利潤不能達到元，理由如下：
根據題意得：，
整理得：，
，
∴原方程沒有實數根，
∴該蔬菜的日銷售利潤不能達到元．
26．(1)；
(2)成立，理由見解析
(3)
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質得出，得出，再用，即可得出結論；
（2）先由旋轉得出，進而判斷出，得出，進而得出，即可得出結論；
（3）過點C作于M，根據勾股定理得出，根據等腰直角三角形的性質得出，根據勾股定理求出，最后求出結果即可．
【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案為：；
（2）解：（1）中結論仍然成立，理由如下：
由旋轉知，，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
；
（3）解：如圖，過點C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
．
【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線構造出直角三角形是解本題的關鍵．
27．(1)
(2)點的坐標為或或
(3)點的坐標為或或
【分析】（1）待定系數法進行求解即可；
（2）分為當以為平行四邊形的邊時和當以為平行四邊形的邊時以及當以為對角線時，三種情況分別求解即可；
（3）分和兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將點，點，點代入，
，
解得，
；
（2）解：存在，
由（1）可得出，拋物線解析式為，對稱軸為直線，
設，，
當以為平行四邊形的邊時，如圖，
∵點，
則，
解得，
故；
當以為平行四邊形的邊長時，如圖，
∵點，，
則，
解得，
故；
當以為對角線時，如圖4，
，，
∴線段的中點的坐標為，即，
則，
解得，
故．
綜上所述，點的坐標為或或．
（3）解：存在，
（1）當時，，
∴點與點重合，
；
（2）當時，，
如圖1，當點在點上方時，過點作軸的垂線，過點作交于點，過點作交于點，
，
，
，
，
，
，
，
設，則，
∴，解得或．
或，
∵點在對稱軸的左側，
∴點坐標為．
如圖2，當點在點下方時，
，
，
，
，
，
，
，
設，則，
∴，解得（舍）或，
，
綜上所述：點的坐標為或或．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，待定系數法求二次函數關系式，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質和判定，求直線解系式，平行四邊形的判定，根據橫坐標的差表示線段的長等，解題的關鍵是注意多種情況討論，不能丟解．
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