資源簡介

2024年秋季普通高中11月份高三年級階段性聯考
數學
本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
★祝考試順利★
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名 準考證號 考場號 座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷 草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷 草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.
4.考試結束后，請將答題卡上交.
一 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.在復平面內，復數對應的點位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
3.已知，且，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
4.已知曲線在點處的切線在軸上的截距為，則的值為（ ）
A.1 B.0 C. D.
5.暑假期間某校5名學生計劃去黃岡旅游，體驗黃岡的風俗與文化.現有黃梅東山問梅村 羅田天堂寨 黃州的東坡赤壁三個景區可供選擇若每名學生只去一個景區，且恰有2人前往黃梅東山問梅村，則不同的游覽方案種數為（ ）
A.40 B.90 C.80 D.160
6.已知函數的最小正周期為，將的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，若為偶函數，則正實數的最小值為（ ）
A. B. C. D.
7英國生物統計學家高爾頓設計了高爾頓釘板來研究隨機現象.如圖是一個高爾頓釘板的設計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數學課堂上，老師向學生們介紹了高爾頓釘板放學后，愛動腦的小明設計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經過5層釘板最終落到4號位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.是定義在上的函數，為的導函數，若方程在上至少有3個不同的解，則稱為上的“波浪函數”.已知定義在上的函數為“波浪函數”，則實數的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
二 多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.
9.下列結論中正確的有（ ）
A.已知，若，則；
B.某學生8次考試的數學成績分別為：101 108 109 120 132 135 141 141，則這8次數學成績的第75百分位數為135；
C.已知的平均值為8，則的平均值為7；
D.已知為兩個隨機事件，若，則.
10.已知正實數滿足，下列結論中正確的是（ ）
A.的最大值是 B.的最小值是
C.的最小值是3 D.的最小值為
11.高斯被譽為“數學王子”，是世界上偉大數學家.用他名字定義的函數（表示不超過的最大整數）稱為高斯函數.已知正項數列的前項和為，且，令，則下列結論正確的有（ ）
A. B.
C. D.
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知函數，則__________.
13.已知的角的對邊分別為，且，若，則__________.
14.已知函數在區間上存在零點，則的取值范圍為__________.
四 解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.
15.（本題滿分13分）
已知，函數.
（1）求的單調遞減區間；
（2）在中，若，求和長.
16.（本題滿分15分）
已知是公差不為0的等差數列，，且成等比數列，數列滿足：，且.
（1）求和的通項公式；
（2）若為數列的前項和，求.
17.（本題滿分15分）
東風學校有甲乙兩個食堂，學校后勤服務中心為了調查學生對兩個食堂的滿意度，隨機調査300名學生.設表示事件“學生喜歡去甲食堂”，表示事件“調査的學生是男生”.若.
調查的是男生 調查的是女生 合計
喜歡去甲食堂
喜歡去乙食堂
合計
（1）完成上列列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷學生喜歡去哪個食堂與性別是否有關？
（2）為了答謝參與調查的學生，學校后勤服務中心從參與調查的300名學生中按性別分層抽樣的方法選15名幸運學生參與抽獎活動，并為他們準備了15張獎券，其中一等獎獎券有3張，二等獎獎券有5張，三等獎獎券有7張，每人抽取一張.設15名幸運學生中男生抽中一等獎的人數為，寫出的分布列，并計算.
附
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（本題滿分17分）
已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）證明：.
19.（本題滿分17分）
馬爾科夫鏈是一種隨機過程，它具有馬爾科夫性質，也稱為“無記憶性”，即一個系統在某時刻的狀態僅與前一時刻的狀態有關.為了讓學生體驗馬爾科夫性質，數學老師在課堂上指導學生做了一個游戲.他給小明和小美各一個不透明的箱子，每個箱子中都有個紅球和1個白球，這些球除了顏色不同之外，其他的物質特征完全一樣規定“兩人同時從各自的箱子中取出一個球放入對方的箱子中”為一次操作，假設經過次操作之后小明箱子里的白球個數為隨機變量，且.
（1）求的值；
（2）求；
（3）證明：為定值.
2024年秋季普通高中11月份階段性聯考高三數學試卷
參考答案
一 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D
8.【解析】
，
顯然不滿足上式，所以，
令，則，
在，
且，
畫出的圖像，可知：.
二 選擇題（多選）【有錯選得0分，全對得6分，部分對得部分分.兩解題，每答對一個得3分，三解題，每答對一個得2分】
9.ACD 10.BCD 11.BCD
10.解析：（1）（當時取等號）；
（2）（當時取等號）；
（3）（當時取等號）；
（4）（當時取等號）.
11.解析：（1）當時，，又A錯，B對；
（2），
.故C對；
（3），
當時，，
，
；故D對；
三 填空題：
12. 13. 14.
14.【解析】
，令，
在，在，
作出的圖像，可知：.
四 解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.
15.（本題滿分13分）
解：（1）
由
減區間為
（2）
，或.
16.（本題滿分15分）
解：（1）設的公差為，
又
（2），
兩式相減，得：
17.（本題滿分15分）
解：（1）被調查的學生中男生有140人，女生有160人.男生中喜歡去乙食堂的有80人，喜歡去甲食堂的有60人..被調查的學生中喜歡去甲食堂的有160人.
調查的是男生 調查的是女生 合計
喜歡去甲食堂 60 100 160
喜歡去乙食堂 80 60 140
合計 140 160 300
零假設：假設學生喜歡去哪個食堂與性別無關.
，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為學生喜歡去哪個食堂與性別有關.此推斷犯錯誤的概率不大0.001.
（2）根據男女生人數之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人.
，
，
X的分布列為：
X 0 1 2 3
p
，
18.（本題滿分17分）
解（1）定義域為；
.
.當時，恒成立，；
.當時，有兩根，但兩根均為負數，
當時，
.當時，有兩正根和，
當時，；當時，；
當時；
綜上所述：
.當時，增區間為；
.當時，增區間為和；減區間為.
（2），令，則在，
若，則，與題意相符；
若，則，所以必存在，使得當時，，
從而使得當時，，與題意相矛盾；
綜上：.
（3）證明：由（2）知，當時，（僅當時取等號），
，令，則有：；，得證.
19.（本題滿分17分）
解：（1）
（2）
，
又，
.
（3）
，
令，則
而，
.
.得證.

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