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28第27章《相似》單元檢測卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠H等于（　　）
A．70° B．80° C．110° D．120°
【思路點拔】利用相似多邊形的對應角相等求得答案即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，
∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，
故選：D．
2．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是它們的高，若AD＝6，A′D′＝3，則△ABC與△A′B′C′的面積比是（　　）
A．2：1 B．3：2 C．4：1 D．3：4
【思路點拔】根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方進行求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是它們的高，
∴△ABC與△A′B′C′的面積比＝AD2：A′D′2＝62：32＝4：1，
故選：C．
3．（3分）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O為位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周長為8，則△DEF的周長為（　　）
A．4 B． C．16 D．32
【思路點拔】根據位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根據相似三角形的性質求出，再根據相似三角形的周長比等于相似比計算即可．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴，
∴△ABC的周長：△DEF的周長＝1：2，
∵△ABC的周長為8，
∴△DEF的周長為16，
故選：C．
4．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【思路點拔】根據平行線分線段成比例定理判斷即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，故A錯誤，
，故B錯誤；
，即，故C正確；
，即，故D錯誤．
故選：C．
5．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知A（4，2），B（2，﹣2），以原點O為位似中心，按位似比1：2把△OAB縮小，則點A的對應點A′的坐標為（　　）
A．（3，1） B．（﹣2，﹣1）
C．（3，1）或（﹣3，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
【思路點拔】在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k，結合題意即可得出答案．
【解答】解：∵A（4，2），B（2，﹣2）兩點，以坐標原點O為位似中心，相似比為，
∴對應點A′的坐標分別是：A′（2，1）或（﹣2，﹣1）．
故選：D．
6．（3分）已知如圖①②中各有兩個三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，圖②中AB，CD交于O點，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（　　）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
【思路點拔】根據三角形內角和定理、相似三角形的判定解決此題．
【解答】解：圖①：左邊的三角形的三個內角的度數分別為35°、75°、70°；右邊的三角形的三個內角的度數分別為35°、75°、70°；所以這兩個三角形相似．
圖②：由圖可知，∠AOC＝∠DOB．
∵，
∴．
∴△AOC∽△DOB．
∴圖②中兩個三角形相似．
故選：A．
7．（3分）已知：如圖，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，圖中相似三角形共有（　　）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
【思路點拔】根據已知先判定線段DE∥BC，再根據相似三角形的判定方法進行分析，從而得到答案．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACD＝∠ABC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，
∴△ADE∽△ACD
∴共4對
故選：D．
8．（3分）“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術》．意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E、南門點F分別是AB、AD中點，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG經過A點，則FH＝（　　）
A．1.2 里 B．1.5 里 C．1.05 里 D．1.02 里
【思路點拔】首先根據題意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的對應邊的比相等列出比例式求得答案即可．
【解答】解：如圖所示：
∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG經過A點，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴．
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，
∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，
∴，
解得：FH＝1.05里．
故選：C．
9．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD與⊙O相切于點D，過點B作PD的垂線交PD的延長線于點C，若⊙O的半徑為4，BC＝6，則PA的長為（　　）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
【思路點拔】直接利用切線的性質得出∠PDO＝90°，再利用相似三角形的判定與性質分析得出答案．
【解答】解：連接DO，
∵PD與⊙O相切于點D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴，
設PA＝x，則，
解得：x＝4，
故PA＝4．
故選：A．
10．（3分）△ABC的邊上有D、E、F三點，各點位置如圖所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，BE：EF：FC＝6：5：4，則四邊形ADEF與△ABC面積的比值為（　　）
A．1：3 B．3：7 C．5：11 D．7：15
【思路點拔】設BE＝6k，EF＝5k，CF＝4k（k≠0），證明△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF CB，推出AC＝2k，可得，推出S△ACF：S△ACB＝4：15，同法S△BDE：S△ABC＝4：15，由此可得結論．
【解答】解：∵BE：EF：FC＝6：5：4，
∴S△ACF：S△ACB＝4：15，
由△BDE∽△BCA，
∵BD＝AC，
∴，
∴S△BDE：S△ABC＝4：15，
∴S四邊形ADEF：S△ABC＝（15﹣4﹣4）：15＝7：15，
故選：D．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）已知，則的值為　　．
【思路點拔】設x＝7a，則y＝4a，代入所求的式子，然后進行化簡即可求解．
【解答】解：∵，
∴設x＝7a，則y＝4a，
則．
故答案為：．
12．（3分）如圖，已知△ABC∽△AMN，點M是AC的中點，AB＝6，AC＝8，則AN＝　　．
【思路點拔】根據相似三角形的性質，得，代入數據得出AN的長即可．
【解答】解：∵△ABC∽△AMN，
∴，
∵M是AC的中點，AB＝6，AC＝8，
∴AM＝MC＝4，
∴，
解得AN，
故答案為：．
13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BA的延長線上，AB＝2AE，EC、BD交于點F．BD＝10，則DF的長為 　4　．
【思路點拔】利用平行四邊形的性質可得AB∥CD，AB＝CD，再結合已知可得EB＝3AE，CD＝2AE，然后再證明8字模型相似三角形△EBF∽△CDF，從而利用相似三角形的性質可得，進行計算即可解答．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AB＝2AE，
∴EB＝3AE，CD＝2AE，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠ECD，∠EBD＝∠BDC，
∴△EBF∽△CDF，
∴，
∴DFBD＝4，
故答案為：4．
14．（3分）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為 　　．
【思路點拔】設AD交EH于點R，由矩形EFGH的邊FG在BC上證明EH∥BC，∠EFC＝90°，則△AEH∽△ABC，得，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6EH，可以列出方程，解方程求出EH的值即可．
【解答】解：設AD交EH于點R，
∵矩形EFGH的邊FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于點D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EFEH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6EH，
∴，
解得EH，
∴EH的長為，
故答案為：．
15．（3分）如圖，矩形OABC的面積為，對角線OB與雙曲線y（k＞0，x＞0）相交于點D，且OB：OD＝5：3，則k的值為　12　．
【思路點拔】設D的坐標是（3m，3n），則B的坐標是（5m，5n），根據矩形OABC的面積即可求得mn的值，把D的坐標代入函數解析式y即可求得k的值．
【解答】解：設D的坐標是（3m，3n），則B的坐標是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面積為，
∴5m 5n，
∴mn．
把D的坐標代入函數解析式得：3n，
∴k＝9mn＝912．
故答案為：12．
16．（3分）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一點，過點P沿直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是 　6≤AP＜8　．
【思路點拔】分四種情況討論，依據相似三角形的對應邊成比例，即可得到AP的長的取值范圍．
【解答】解：如圖所示，過P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，則△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此時0＜AP＜8；
如圖所示，過P作∠APF＝∠B交AB于F，則△APF∽△ABC，
此時0＜AP≤8；
如圖所示，過P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，則△CPG∽△CBA，
此時，△CPG∽△CBA，
當點G與點B重合時，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，
∴CP＝2，AP＝6，
∴此時，6≤AP＜8；
綜上所述，AP長的取值范圍是6≤AP＜8．
故答案為：6≤AP＜8．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（8分）已知：如圖，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的長．
【思路點拔】根據相似三角形的性質得到∠ACD＝∠B，，把已知數據代入比例式求出AC，根據角平分線的性質、等腰三角形的判定定理求出DC．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3，
∴∠ACD＝∠B，，即，
解得，AC，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠B，
∴DC＝BD＝3．
18．（8分）如圖， ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，
（1）求△AEF與△CDF周長之比；
（2）如果△CDF的面積為25cm2，求四邊形ABCD的面積．
【思路點拔】（1）根據兩對應角相等，兩三角形是相似三角形，可判斷△AEF與△CDF是相似三角形，根據相似三角形的周長比等于相似比即可求解；
（2）根據△AEF∽△CDF，于是得到，，求得S△ACD＝35cm2，于是得到S四邊形ABCD＝2S△ACD＝70cm2．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∵AE：EB＝2：3，
∴，
∴；
（2）∵△AEF∽△CDF，
∴，
∴，
∵△CDF的面積為25cm2，
∴S△ADF＝10cm2，
∴S△ACD＝35cm2，
∴S四邊形ABCD＝2S△ACD＝70cm2．
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中點，連接EF交AD于點G，連接DF．
（1）求證：AD2＝AB AE；
（2）若CD＝2，CE＝1，求的值．
【思路點拔】（1）證AD2＝AB AE，即證AD2＝AC AE，考慮證△DAE與△CAD相似；
（2）要求，考慮求，證明△DFG與△AEG相似．Rt△ADB斜邊AB上的中線DF的長是斜邊長度的一半．
【解答】（1）證明：∵AD⊥BC于點D，作DE⊥AC于點E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°．
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC AE．
∵AB＝AC，
∴AD2＝AB AE．
（2）解：∵DE⊥AC于E，CD＝2，CE＝1，
∴DE．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC．
∵∠ADB＝90°，F是AB中點，
∴DFAB．
∵F是AB中點，BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴∠AGE＝∠DGF，∠GAE＝∠GDF，
∴△DFG∽△AEG，
∴．
∵AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，
∴∠ADE+∠CDE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠DCE，
∴Rt△ADE∽Rt△DCE，
∴．
∵，而，
∴．
20．（8分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的中點，E是邊BC上的點，AE與CD交于點F，且AC2＝CE CB．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）連接BF，如果點E是BC中點，求證：∠EBF＝∠EAB．
【思路點拔】（1）先根據題意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性質得出CD＝AD，由∠CAD+∠ABC＝90°可得出∠ACD+∠EAC＝90°，進而可得出∠AFC＝90°；
（2）根據AE⊥CD可得出∠EFC＝90°，∠ACE＝∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由點E是BC的中點可知CE＝BE，故，根據∠BEF＝∠AEB得出△BEF∽△AEB，進而可得出結論．
【解答】證明：（1）∵AC2＝CE CB，
∴．
又∵∠ACB＝∠ECA＝90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC＝∠EAC．
∵點D是AB的中點，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD
∵∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠ACD+∠EAC＝90°
∴∠AFC＝90°，
∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ACE＝∠EFC
又∵∠AEC＝∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵點E是BC的中點，
∴CE＝BE，
∴
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF＝∠EAB．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB的長為半徑的圓交BC于點D，交AB于點E，AD為⊙O的切線．
（1）求證：∠B＝∠CAD；
（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半徑的長．
【思路點拔】（1）連接OD，利用圓的切線的性質定理，直角三角形的兩個銳角互余，同角的余角相等得到∠CAD＝∠ODB，利用同圓的半徑相等，等腰三角形的性質即可得出結論；
（2）通過證明△CBA∽△CAD求得線段AC的長，過點O作OF⊥CB于點F，利用垂徑定理則DF＝FBBD＝6，證得△OFB∽△DCA，可求得線段OF，利用勾股定理即可求得結論．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵AD為⊙O的切線，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADC+∠ODB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠CAD．
（2）解：∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴CA2＝CD CB＝4×（4+12）＝64，
∴CA＝8．
過點O作OF⊥CB于點F，則DF＝FBBD＝6，
∵∠B＝∠CAD，∠OFB＝∠C＝90°，
∴△OFB∽△DCA，
∴，
∴OFBF＝3，
∴OB3．
∴⊙O的半徑的長為3．
22．（10分）如圖，嘉嘉同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，墻到木板的水平距離AC＝5.4m，燈泡到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的長．
（2）求燈泡到地面的高度．
【思路點拔】（1）直接利用相似三角形的判定與性質得出BC的長；
（2）根據相似三角形的性質列方程進而求出AG的長．
【解答】解：（1）由題意可得：FC∥DE，
則△BFC∽△BED，
故，
即，
解得：BC＝3，
經檢驗，BC＝3是上述分式方程的解，
∴BC的長為3m；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（ m），
∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
∴，
解得：AG＝1.2（ m），
∴燈泡到地面的高度AG為1.2m．
23．（10分）（1）如圖1，已知△ABC和△DCE，點B、C、E在一條直線上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求證：BC＝DE；
（2）如圖2，在等邊△ABC中，M、N分別為BC，AB邊上的點，且ND＝NM，∠DNM＝60°，連接AD．若∠DAN＝30°，求證：CM＝2BN；
（3）如圖3，等邊△ABC的面積是25，AB＝6，點D、F分別為AC、BC邊上的動點，AD＝2CF，連接DF，以DF為邊在△ABC內作等邊△DEF，連接BE，當點D從點A運動到點C，請在圖3中作出點E的運動軌跡，并求出點E的運動路程．
【思路點拔】（1）證△ABC≌△CED即可得證；
（2）在AB上截取AF＝DF構造△FDN≌△BNM（AAS），從而證出FD＝BN＝AF，FN＝BM，再用線段和差即可得證；
（3）類比探究，根據前問思路，構造“一線三等角”的全等，證明BE平分∠ABC，即可得出點E的運動軌跡，再利用面積法求出BN的長度即可．
【解答】（1）證明：∵∠B＝∠ACD，∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴BC＝DE；
（2）證明：在AB上截取AF＝DF，連接DF，如圖2，
∵∠DAN＝30°，
∴∠DAN＝∠ADF＝30°，
∴∠DFN＝60°＝∠B，
∵∠ANM＝∠AND+∠DNM＝∠PMN+∠B，且∠DNM＝∠B＝60°，
∴∠AND＝∠BMN，
在△FDN和△BNM中，
，
∴△FDN≌△BNM（AAS），
∴FD＝BN，FN＝BM，
∴AF＝BN，
∵AB＝BC，
∴AB﹣NF＝BC﹣BM，即AF+BN＝CM，
∴CM＝2BN；
（3）解：如圖3，在BC上截取BM＝CF，連接EM，
∵AD＝2CF＝BM+CF，且AC＝BC，
∴CD＝FM，
∵△DEF是等邊三角形，
∴DF＝EF，∠DFE＝60°，
∵∠DFM＝∠CDF+∠C＝∠MFE+∠DFE，且∠C＝∠DFE＝60°，
∴∠CDF＝∠MFE，
∴△DFC≌△FEM（SAS），
∴∠FME＝∠C＝60°，EM＝CF，
∵BM＝CF，
∴BM＝EM，
∴∠EBM＝30°，
∴BE平分∠ABC，
∴如圖所示，點E在△ABC的內角∠ABC的角平分線上BN上運動．
∴點E的運動路程也就是BN的長度，
∵△ABC是等邊三角形，BN是角平分線，
∴BN⊥AC，
∴，
∵AC＝6，
∴，
即點E的運動路程為．
24．（12分）如圖，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過B，C兩點，與x軸另一交點為A．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點A的坐標；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一動點，連接AD，交BC于點N，連接BD，記△BND的面積為S1，△BNA的面積為S2，求的最大值；
（3）若點P（m，y1），Q（m+3，y2）是拋物線圖象上的兩點，若P，Q之間的圖象（包括點P，Q）的最高點與最低點縱坐標的差為，求m的值．
【思路點拔】（1）先求出B（4，0），C（0，﹣2），再運用待定系數法即可求得拋物線解析式，令y＝0，解方程即可求得點A的坐標；
（2）過點A作AE∥y軸交BC于E，過點D作DF∥y軸交BC于F，則AE，設D（t，t2t﹣2），則F（t，t﹣2），可得DFt2+2t，由AE∥DF，得△AEN∽△DFN，可得（t﹣2）2，運用二次函數的性質即可求得答案；
（3）當m時，點P，Q之間的圖象的最高點是點P，最低點是點Q，可得（m2m﹣2）﹣[（m+3）2（m+3）﹣2]m2，當m≤0時，點P，Q之間的圖象的最高點是點P，最低點是頂點，可得m2m﹣2﹣（）m2，當0＜m時，點P，Q之間的圖象的最高點是點Q，最低點是頂點，可得[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（）m2，當m時，點P，Q之間的圖象的最高點是點Q，最低點是點P，可得[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（m2m﹣2）m2，分別解方程并檢驗可得答案．
【解答】解：（1）∵直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
∵拋物線經過B，C兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為yx2x﹣2，
當y＝0時，x2x﹣2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
∴點A的坐標為（﹣1，0）；
（2）如圖1，過點A作AE∥y軸交BC于E，過點D作DF∥y軸交BC于F，
則E（﹣1，），
∴AE，
設D（t，t2t﹣2），則F（t，t﹣2），
∴DF＝（t﹣2）﹣（t2t﹣2）t2+2t，
∵AE∥y軸，DF∥y軸，
∴AE∥DF，
∴△AEN∽△DFN，
∴，
∵（t﹣2）2，
∴當t＝2時，的最大值為；
（3）∵yx2x﹣2（x）2，
∴該函數圖象的對稱軸是直線x，頂點坐標為（，），
當m時，m＜m+3，則y1＞y2，
∴點P，Q之間的圖象的最高點是點P，最低點是點Q，
∴（m2m﹣2）﹣[（m+3）2（m+3）﹣2]m2，
解得：m1＝﹣6，m2＝0 （舍去）；
當m≤0時，m+3≤3，則y1＞y2，
∴點P，Q之間的圖象的最高點是點P，最低點是頂點，
∴m2m﹣2﹣（）m2，
解得：m；
當0＜m時，3＜m+3，則y2＞y1，
∴點P，Q之間的圖象的最高點是點Q，最低點是頂點，
∴[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（）m2，
解得：m（不符合題意，舍去）；
當m時，y2＞y1，
∴點P，Q之間的圖象的最高點是點Q，最低點是點P，
∴[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（m2m﹣2）m2，
解得：m1＝0（舍去），m2＝6；
綜上所述，m的值是﹣6或6．中小學教育資源及組卷應用平臺
28第27章《相似》單元檢測卷
考試范圍：第27章；考試時間：120分鐘；,滿分：120分
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠H等于（　　）
A．70° B．80° C．110° D．120°
2．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是它們的高，若AD＝6，A′D′＝3，則△ABC與△A′B′C′的面積比是（　　）
A．2：1 B．3：2 C．4：1 D．3：4
3．（3分）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O為位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周長為8，則△DEF的周長為（　　）
A．4 B． C．16 D．32
4．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知A（4，2），B（2，﹣2），以原點O為位似中心，按位似比1：2把△OAB縮小，則點A的對應點A′的坐標為（　　）
A．（3，1） B．（﹣2，﹣1）
C．（3，1）或（﹣3，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
6．（3分）已知如圖①②中各有兩個三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，圖②中AB，CD交于O點，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（　　）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
7．（3分）已知：如圖，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，圖中相似三角形共有（　　）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
8．（3分）“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術》．意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E、南門點F分別是AB、AD中點，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG經過A點，則FH＝（　　）
A．1.2 里 B．1.5 里 C．1.05 里 D．1.02 里
9．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD與⊙O相切于點D，過點B作PD的垂線交PD的延長線于點C，若⊙O的半徑為4，BC＝6，則PA的長為（　　）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
10．（3分）△ABC的邊上有D、E、F三點，各點位置如圖所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，BE：EF：FC＝6：5：4，則四邊形ADEF與△ABC面積的比值為（　　）
A．1：3 B．3：7 C．5：11 D．7：15
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）已知，則的值為　 　．
12．（3分）如圖，已知△ABC∽△AMN，點M是AC的中點，AB＝6，AC＝8，則AN＝　 　．
13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BA的延長線上，AB＝2AE，EC、BD交于點F．BD＝10，則DF的長為 　 　．
14．（3分）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為 　 　．
15．（3分）如圖，矩形OABC的面積為，對角線OB與雙曲線y（k＞0，x＞0）相交于點D，且OB：OD＝5：3，則k的值為　 　．
16．（3分）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一點，過點P沿直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是 　 　．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（8分）已知：如圖，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的長．
18．（8分）如圖， ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，
（1）求△AEF與△CDF周長之比；
（2）如果△CDF的面積為25cm2，求四邊形ABCD的面積．
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中點，連接EF交AD于點G，連接DF．
（1）求證：AD2＝AB AE；
（2）若CD＝2，CE＝1，求的值．
20．（8分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的中點，E是邊BC上的點，AE與CD交于點F，且AC2＝CE CB．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）連接BF，如果點E是BC中點，求證：∠EBF＝∠EAB．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB的長為半徑的圓交BC于點D，交AB于點E，AD為⊙O的切線．
（1）求證：∠B＝∠CAD；
（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半徑的長．
22．（10分）如圖，嘉嘉同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，墻到木板的水平距離AC＝5.4m，燈泡到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的長．
（2）求燈泡到地面的高度．
23．（10分）（1）如圖1，已知△ABC和△DCE，點B、C、E在一條直線上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求證：BC＝DE；
（2）如圖2，在等邊△ABC中，M、N分別為BC，AB邊上的點，且ND＝NM，∠DNM＝60°，連接AD．若∠DAN＝30°，求證：CM＝2BN；
（3）如圖3，等邊△ABC的面積是25，AB＝6，點D、F分別為AC、BC邊上的動點，AD＝2CF，連接DF，以DF為邊在△ABC內作等邊△DEF，連接BE，當點D從點A運動到點C，請在圖3中作出點E的運動軌跡，并求出點E的運動路程．
24．（12分）如圖，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過B，C兩點，與x軸另一交點為A．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點A的坐標；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一動點，連接AD，交BC于點N，連接BD，記△BND的面積為S1，△BNA的面積為S2，求的最大值；
（3）若點P（m，y1），Q（m+3，y2）是拋物線圖象上的兩點，若P，Q之間的圖象（包括點P，Q）的最高點與最低點縱坐標的差為，求m的值．

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