資源簡介

【培優版】浙教版數學八上5.4 一次函數的圖象與性質同步練習
一、選擇題
1．（2024九上·廣州開學考）已知直線：與直線：在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·宣化期末）如圖，在平面直角坐標系中，線段AB的端點，．若直線與線段AB有交點，則k的值可能是（　　）
A．2 B．3 C． D．
3．（2024·賀州模擬）已知點，，在同一個函數圖象上，則這個函數圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·岳陽期末）定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“和二點”．例如：點到x軸、y軸距離和為2，則點B是“和二點”，點也是“和二點”．一次函數的圖象l經過點，且圖象l上存在“和二點”，則k的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九上·上杭開學考）關于x的一次函數，當時，y的最大值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023八下·和平期末）直線y＝x+n與直線y＝mx+3n（m是常數，m≠0且m≠1）交于點A，當n的值發生變化時，點A到直線y＝x-3的距離總是一個定值，則m的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
7．（2023八下·潼南期末）定義一種新運算：，例如：，，給出下列說法：
①；
②若，則或4；
③的解集為或；
④若函數的圖象與直線（m為常數）只有1個交點，則．
以上說法中正確的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
8．（2024八下·香河期末）在平面直角坐標系xOy中，函數的圖象經過點和，與過點且平行于x軸的直線交于點C，當時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值，寫出m的取值范圍　 　
9．（2024九上·自貢開學考） 如圖，直線y＝3x+6交坐標軸于A、B兩點，C為AB中點，點D為AO上一動點，點E在x軸正半軸上，且滿足OE＝OD+OB，則的最小值為 　 　．
10．（2024八上·海曙期末）已知，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，在第一象限內有一點P，使得是等腰直角三角形，則點P的橫坐標為　 　.
11．（2023八下·武侯期末）定義：在平面直角坐標系中，若點M關于直線的對稱點在的內部（不包含邊界），則稱點M是關于直線的“伴隨點”．如圖，已知三點，連接，以為邊作．若在直線上存在點N，使得點N是關于直線的“伴隨點”，則n的取值范圍是 　 　．
三、解答題
12．（2024八上·寧波開學考）在平面直角坐標系 中， 直線 上有一點 A， 其橫坐標為 1 ， 經過點 的直線交 軸負半軸于一點 ， 且 ，
（1）求 的面積；
（2）求經過點 且平分 面積的直線解析式.
13．（2024八下·澄海期末）如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，已知A(6，0)，B(0，4)．
（1）求直線AB的函數解析式；
（2）若點C在坐標軸上，且，求點C的坐標；
（3）點P在第一象限內，且縱坐標為4．若點P關于直線AB的對稱點恰好落在x軸的正半軸上，P與AB相交于點Q，求點的坐標．
四、實踐探究題
14．（2023八下·南通期末）定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于的點叫做這個函數圖象的“n級限距點”．例如，點是函數圖象的“級限距點”；點是函數圖象的“2級限距點”．
（1）在①；②；③三點中，是函數圖象的“1級限距點”的有　 　（填序號）；
（2）若y關于x的一次函數圖象的“2級限距點”有且只有一個，求k的值；
（3）若y關于x的函數圖象存在“n級限距點”，求出n的取值范圍．
15．（2023八上·西安期中）
（1）問題發現：
如圖1，等腰直角置于平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，是上一點，，則點的坐標為
（2）問題探究：如圖2，若點，的坐標分別為，，其余條件與（1）相同，求經過，兩點的直線表達式。
（3）問題解決：國慶前夕，大唐芙蓉園景區為了提高服務質量，想盡可能美化每一個角落，給游客美的享受．如圖3，是景區東門的廣場一角，兩面墻互相垂直，景區管理部門設計將，墻面布置成歷史人文宣傳墻，邊上用建筑隔板搭出段將該角落與廣場其他區域隔開，段布置成長安八景圖，剩余部分為廣場角出入口，內部空間放置一些綠植和供游人休息的桌椅，考慮到出入安全，還需在靠近出入口的處建一個安檢點．已知，，平分，安檢點在與的交點處．求點分別到，墻面的距離。
五、綜合題
16．（2024九上·潮陽開學考）在平面直角坐標系中，對于兩點，若在軸上存在點，使得，且，則稱兩點互相等垂，其中一個點叫做另一個點的等垂點．已知點的坐標是．
（1）如圖①，在點中，點的等垂點是　 　（選填“”，“”或“”）
（2）如圖②，若一次函數的圖象上存在點的等垂點，求點的坐標；
（3）若一次函數的圖象上存在無數個點的等垂點，試寫出該一次函數的所有表達式：　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：兩直線的交點坐標為（，）.
當k>0，b>0時，兩直線的交點坐標的符號為（+，+），在第一象限，兩直線的草圖如圖：
沒有選項符合；
當k>0，b<0時，兩直線的交點坐標的符號為（-，-），在第三象限，兩直線的草圖如圖：
沒有選項符合；
當k<0，b>0時，兩直線的交點坐標的符號為（-，+），在第二象限，兩直線的草圖如圖：
選項B符合；
當k<0，b<0時，兩直線的交點坐標的符號為（+，-），在第四象限，兩直線的草圖如圖：
沒有選項符合.
故答案為：B.
【分析】分“k>0，b>0”、"k>0，b<0"、"k<0，b>0"、"k<0，b<0"四種情況，分別畫出草圖，再與各選項作比較即可得出結果.
2．【答案】D
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】 解：如圖，
令x=0，則y=0 k-2=2，
所以直線y=kx+2與y軸的交點坐標為C（0，2），
設直線AC的解析式為y=mx+n，
則
解得．
所以直線AC的解析式為y=4x+2，
設直線BC的解析式為y=ex+f，
則，
解得．
所以直線BC的解析式為y=-x+2，
若直線y=kx+2與線段AB有交點，則k的取值范圍是k≥4或k≤-1，
各選項中D符合條件，ABC不符合條件．
故答案為：D．
【分析】先求出直線y=kx+2與y軸的交點C的坐標，再利用待定系數法求出直線AC、BC的解析式，然后根據直線與線段AB有交點，則k值小于直線AC的k值，或大于直線BC的k值，然后根據此范圍進行選擇即可．
3．【答案】A
【知識點】函數的圖象
【解析】【解答】解：由N、P坐標可知，NP必垂直于y軸，則只有A函數和D函數滿足；同時對比M、P點坐標可知，6＞2，但a-3＜a，表明當x＞0時，存在x增大但y減小的情況，則只有函數A滿足.
故答案為：A.
【分析】首先根據坐標N、P判斷函數應關于y軸對稱；其次比較M、P坐標推測當x＞0時，函數是遞增還是遞減.
4．【答案】D
【知識點】點的坐標；一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的性質
【解析】【解答】解：取連，
在HG上任取一點P，作軸軸，垂直分別為
∴PN=OM
∵
∵，
∴均為等腰直角三角形
∴∠OHG=45°
∵∠PMH=90°
∴為等腰直角三角形
∴
∴
∴HG上任意一點P都是“和二點”
同理上的任意一點也是“和二點”
∴當一次函數的圖象與線或線有交點時，一次函數的圖象上存在“和二點”
把H(-2，0)，E(-3，-4)代入一次函數得：
解得：
把G(0，-2)，E(-3，-4)代入一次函數得：
解得：
∴k的取值范圍：
故選：D．
【分析】
先取連，，得到，即：均為等腰直角三角形，故：∠OHG=45°，在HG上任取一點P，作軸軸，垂直分別為，則，從而得到任意一點p是上的點為“和二點”，同理上的任意一點也是“和二點，可得到當一次函數的圖象與線或有交點時，一次函數的圖象上存在“和二點”，再分別求出當一次函數的圖象經過點E，H和E，G時的函數圖象的解析式即可.
5．【答案】A
【知識點】一次函數的性質
【解析】【解答】解：
∵0＜k＜1，
∴該一次函數y隨x的增大而增大，
當2≤x≤3時，取x=3時，y有最大值，
故答案為：A.
【分析】將一次函數化為y=kx+b的形式，先確定k的符號，再確定其增減性，然后根據自變量的范圍求最值.
6．【答案】C
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題；點到直線的距離
【解析】【解答】聯立方程組，
解得：，
∴點A的坐標為（，），
∴點A所在的直線解析式為，
∵點A到直線y＝x-3的距離總是一個定值，
∴直線與直線 y＝x-3 平行，
∴，
解得：m=，
故答案為：C.
【分析】先聯立方程組求出點A的坐標，求出點A所在直線解析式，再結合點A到直線y＝x-3的距離總是一個定值，可得，再求出m的值即可.
7．【答案】C
【知識點】解一元一次不等式；一次函數的圖象；解含括號的一元一次方程；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正確；
當即時，，
解得符合題意；
當即時，，
解得與矛盾，不合題意，故②錯誤；
當即時，，
解得，
∴不等式的解集是；
當即時，，
解得，
∴不等式的解集是；
綜上，不等式的解集為或，故③正確；
當即時，，
當即時，
函數圖象如下，當函數圖象與直線（m為常數）只有1個交點，則．
所以④正確；
正確的結論有①③④，共三個，
故選C．
【分析】①根據新定義且-4＞-5， 對直接列式計算，再判斷即可；②分情況討論：當和當，結合新定義分別解答，再判斷即可；③ 分情況討論：當和當，結合新定義分別建立不等式并解之，再判斷即可；分兩種情況：當和當時，利用新定義分別求出y值，再結合圖象判斷即可．
8．【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象、性質與系數的關系；比較一次函數值的大小
【解析】【解答】解：∵函數的圖象經過點和，
∴解得，
∴函數解析式y=x-1，
∵函數圖象過點且平行于x軸的直線交于點C，
∴當y=x-1=-3時x=-2，
∴點C（-2，-3），
把點C（-2，-3)代入得，
∴要滿足當時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值時m 的取值范圍為.
故答案為：.
【分析】本題先運用待定系數法求得一次函數與正比例函數的解析式，要滿足在時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值，圖象中必須當x每取一個值，一次函數表示的點在正比例函數表示的點的上方.
9．【答案】2
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如圖，以DE為斜邊，在DE的下方構造等腰Rt△MDE，連接CM，則DM=DE，
∴
當C、D、M三點共線時CD+DM=CM最小，此時CD+DE有最小值，
作點B關于y軸的對稱點Q，則OB=OQ，
∴OE=OB+OD=OQ+QE，
∴OD=QE，
∵∠DOE=∠DME=90°，∠DGO=∠EGM，
∴∠ODM=∠OEM，
∵DM=EM，
∴△ODM≌△QEM（SAS），
∴∠OMD=∠EMQ，OM=QM，
∴△OMQ為等腰直角三角形，
由直線y＝3x+6 ，可求A（0，6），B（-2，0），
∵C是AB的中點，
∴C（-1，3），
∵OB=2，∴OQ=2，
∴M（1，-1），
∴CM=，
此時=.
故答案為：
【分析】以DE為斜邊，在DE的下方構造等腰Rt△MDE，連接CM，則DM=DE，則∴，當C、D、M三點共線時CD+DM=CM最小，此時CD+DE有最小值，作點B關于y軸的對稱點Q，則OB=OQ，易得△OMQ為等腰直角三角形，再求出M的坐標，求出此時CM的長即可.
10．【答案】6，14，7
【知識點】三角形全等及其性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖：
令y=0，得 ，解得：x=8，故點A坐標（8，0），OA=8；
令x=0，則y=6，故點B坐標（0，6），OB=6；
①過B作BP⊥AB，并截取BP=AB，則△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y軸于點G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的橫坐標為6.
②過A作AP⊥AB，并截取AP=AB，則△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x軸于點H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H點坐標為（14，0），P點坐標為（14，8）.
故P的橫坐標為14.
③P為直角頂點.
作線段AB的垂直平分線DE，交AB于點D，交x軸于點E，截取DP=DB，作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的橫坐標為7.
故答案為：6，14，7.
【分析】根據題意求出A，B兩點的坐標，分別以A，B為頂點，AB長為一腰，作等腰直角三角形，構造全等三角形，即可求出第3個點P的坐標；再作AB的中垂線，在中垂線上找點P，構造全等三角形，即可求出坐標.
11．【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；坐標與圖形變化﹣對稱；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：在直線y=x+n中，
令y=0，則x=-n；令x=0，則y=n，即直線y=x+n經過點（-n，0）和（0，n），
∴點（-n，0）和（0，n）關于直線x=2對稱的點的坐標分別為：（4+n，0）和（4，n），
設直線y=x+n關于直線x=2對稱的直線為y=kx+b，則：
，解方程組，可得，
∴直線y=x+n關于直線x=2對稱的直線為：y=-x+n+4，
把點A（-2，0）代入直線y=-x+n+4中，得n=-6，
把點C（4，4）代入直線y=-x+n+4中，得n=4，
∴-6＜n＜4.
故第1空答案為：-6＜n＜4.
【分析】首先求出直線y=x+n與x軸和y軸的交點坐標分別為（-n，0）和（0，n），然后再求出這兩點關于直線x=2的對稱點的坐標分別為：（4+n，0）和（4，n），從而利用待定系數法求得直線y=x+n關于直線x=2對稱的直線解析式（系數含有n），然后分別代入臨界點的坐標，可求得兩個n的值，也就得出了n的取值范圍。
12．【答案】（1）解：∵ 直線 上有一點 ， 其橫坐標為 1 ，
∴y=2，
∴點A（1，2），
∵OP=3，
∴，
∴△AOP的面積為3.
（2）解：如圖，設直線l交AO于點Q，
∵ 經過點P且平分△AOP的面積，
∴
解之：yQ=±1，
∵點Q在第一象限，
∴yQ=1，
當y=1時2x=1，
解之：
∴點Q
設直線PQ的解析式為y=kx+b
∴
解之：
∴直線PQ的函數解析式為
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形的面積；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）將x=1代入函數解析式，可求出對應的y的值，可得到點A的坐標，再利用三角形的面積公式求出△AOP的面積.
（2）設直線l交AO于點Q，利用經過點P且平分△AOP的面積，可求出△POQ的面積，利用三角形的面積公式求出點Q的縱坐標，由此可得到點Q的橫坐標，即可得到點Q的坐標，設設直線PQ的解析式為y=kx+b，將點P、Q的坐標分別代入函數解析式，可得到關于k、b的方程組，解方程組求出k、b的值，可得到直線PQ的函數解析式.
13．【答案】（1）解：設直線AB的函數解析式為，
依題意得：，
解得：
直線AB的函數解析式為：．
（2）解：，
，
當點在軸上時，設，
由題意可得：，
解得：或，
點的坐標為或；
當點在軸上時，設，
由題意可得：，
解得：或，
點的坐標為或．
綜上所述，點的坐標為：
或或或．
（3）解：點與點關于直線AB對稱，
，且，
，
點的縱坐標為4，且點的縱坐標為4，
軸，
，
又，
，
，
設，則，
，
，
在Rt中，，
，
解得：，
，
點的坐標．
【知識點】一次函數的圖象；線段垂直平分線的性質；軸對稱的性質；列一次函數關系式
【解析】【分析】本題主要考查一次函數的解析式，絕對值方程，坐標與圖形，軸對稱的性質，垂直平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的運用，屬于較難題型.
（1）設直線AB的函數解析式為，然后將點A，B的坐標代入即可求解；
（2）由題意可得：分點C在x軸上，點C在y軸上兩種情況進行分類討論：當點在軸上時，設，由題意可得：，解出x進而即可求得點C的坐標；當點在軸上時，設，由題意可得：，解出y進而即可求得點C的坐標；
（3）利用對稱的性質可得：，又點的縱坐標為4，且點的縱坐標為4，軸，，進而可得，，設，則，進而得到，，然后在
Rt中，，建立方程解出m即可求解.
14．【答案】（1）①②
（2）如圖1，在以O為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當直線與正方形區域只有唯一交點時，圖象的“2級限距點”有且只有一個，
當直線經過點時，；
當直線經過點時，．
綜上所述：k的值為或．
（3）當時，，當時，，
在以O為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當圖象與正方形區域有公共部分時，
函數圖象的“n級限距點”一定存在．
設，，，，
如圖2，當圖象經過點時，代入得，
如圖3，當圖象經過點時，得．
∴當時，函數圖象的“n級限距點”一定存在．
【知識點】解含絕對值符號的一元一次方程；一次函數的圖象
【解析】【解答】解：（1）由題意可知，三點到兩坐標軸的距離都不大于1，即x坐標和y坐標的絕對值小于1，
可知①符合題意，②符合題意，③不符合題意，故答案為①②；
【分析】（1）根據定義逐個判斷即可；
（2）如圖作正方形，然后分 a >0和 a <0兩種情況，分別根據”2階方點“有且只有一個判斷出所經過的點的坐標，代入坐標求出 a 的值，并舍去不符合題意的值即可；
（3）由（3）二次函數解析式可知其頂點坐標在直線=-2x+1上移動，作出簡圖，由函數圖象可知，當二次函數圖象過點（ n ，- n ）和點（- n，n ）時為臨界情況，求出此時 n 的值，由圖象可得 n 的取值范圍．
15．【答案】（1）解：如圖1，過作于，
，是等腰直角三角形，點，的坐標分別為，，
，，
是等腰直角三角形，
，，，
點的坐標為
（2）解：如圖2，過作于，
，
點，的坐標分別為，，
，，
，，
設直線的解析式為，
則，，直線的解析式為，
設，，，
，
，
解得或（不合題意舍去），
，
設直線的解析式為，，，
直線的解析式為；
（3）解：如圖3，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，由（2）得直線的解析式為，
過作于，平分，，
，，
，
，
，
由（2）知，，，
，，，，
設直線的解析式為，
則，
直線的解析式為，
，解得，，
點分別到，墻面的距離分別為，
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；兩一次函數圖象相交或平行問題；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）過作于，則可得到是等腰直角三角形，根據OA的長，應用勾股定理計算出AD，DH，OH，即可得到點D的坐標；
（2）由A，B的坐標求出直線AB的表達式，點D在直線AB上，設出其坐標，同（1）由DH，OH，和AH求出點D的坐標，根據正比例函數表達式即可求解；
（3） 點到，墻面的距離即為點E的橫、縱坐標，聯立直線OD和直線BC的表達式即可求得點E的坐標。由（2）可得直線OD的表達式，過作于，通過和全等，求出AF，根據直角三角形ACF，解出OC，即得點C的坐標，用待定系數法求出直線BC的表達式，聯立直線OD表達式，即可得解。
16．【答案】（1）D
（2）解：①當A'在x軸上方時，過A'作A'F⊥y軸于F，如圖1：
是的等垂點，
，
，
設，則
．
將代入，
得：，
解得，
；
②當在軸下方時，過作軸于．如圖2：
同①可證明
，
設，則
，
將代入，
得：，
解得，
；
綜上所述，點的坐標為或；
（3）或．
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：（1）取點T(0，2)，連接DT、AT，如圖，
∵D(-2，0)，A(2，0)，T(0，2)，
∴OT=OD=OA=2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在點B(2，-2)，C(0，1)，D(-2，0)中，點A的等垂點是點D；
故答案為：D；
（3）若一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象上存在無數個點A的等垂點，該一次函數的所有表達式為y=x+2或y=-x-2，理由如下：
當一次函數為y=x+2時，設直線y=x+2上任意一點A'(t，t+2)，連接AA'，作AA'的垂直平分線交y軸于R，交AA'于P，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，如圖：
∵PR是線段AA'的垂直平分線，
∴RA=RA'， PA=PA'，
∴∠RPA=∠RPA'=90°，
∵A(2，0)，A' (t，t+2)，
∴，
∵PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴ РМ=РN=，
而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，
∴△PRN≌△PAM（ASA），
∴PR=PA，
∴РR=РА=РА'
∴△PRA與△PRA'都是等腰直角三角形，
∴∠ARP=∠A'RP=45°，
∴∠ARA'=90°，
根據等垂點定義，A'是A的等垂點，即直線y=x+ 2上任意一點都是A的等垂點，
∴一次函數y=x+2的圖象上存在無數個點A的等垂點，
同理可證一次函數y=-x-2的圖象上存在無數個點A的等垂點，
故答案為：y=x+2或y=-x-2.
【分析】（1）取點T(0，2)，連接DT、AT，由點的坐標與圖形的性質、等邊對等角及三角形的內角和定理可推出△ADT是等腰直角三角形，從而根據等垂點定義可得結論；
（2）①當A'在x軸上方時，過A'作A'F⊥y軸于F，由等垂點定義得∠A'EA=90°，A'E=AE，由等角的余角相等得∠A'EF=∠EAO，由AAS判斷出△A'FE≌△EOA，得EF=AO=2，A'F=OE，設A'F=OE=m，則OF=OE+EF=m+2，則A'（m，m+2），將點A'得坐標代入直線y=2x-1算出m的值，從而即可得到點A'得坐標；②當A'在x軸上方時，過A'作A'H⊥y軸于H，同①可證△AOG≌△GHA'，得A'H=OG，GH=OA=2，設A'H=OG=n，則OH=2-n，則點A'(-n，n-2)，將點A'得坐標代入直線y=2x-1算出n的值，從而即可得到點A'得坐標，綜上可得答案；
（3）設直線y=x+2上任意一點A'(t，t+2)，連接AA'，作AA'的垂直平分線交y軸于R，交AA'于P，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，如圖：由線段垂直平分線的性質得RA=RA'， PA=PA'，由中點坐標公式得，進而根據點的坐標與圖形性質得РМ=РN=，由同角的余角相等得∠RPN=∠APM，從而由ASA判斷出△PRN≌△PAM，得РR=РА=РА'，可推出∠ARA'=90°，根據等垂點定義，A'是A的等垂點，即直線y=x+ 2上任意一點都是A的等垂點，同理可證一次函數y=-x-2的圖象上存在無數個點A的等垂點.
1 / 1【培優版】浙教版數學八上5.4 一次函數的圖象與性質同步練習
一、選擇題
1．（2024九上·廣州開學考）已知直線：與直線：在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：兩直線的交點坐標為（，）.
當k>0，b>0時，兩直線的交點坐標的符號為（+，+），在第一象限，兩直線的草圖如圖：
沒有選項符合；
當k>0，b<0時，兩直線的交點坐標的符號為（-，-），在第三象限，兩直線的草圖如圖：
沒有選項符合；
當k<0，b>0時，兩直線的交點坐標的符號為（-，+），在第二象限，兩直線的草圖如圖：
選項B符合；
當k<0，b<0時，兩直線的交點坐標的符號為（+，-），在第四象限，兩直線的草圖如圖：
沒有選項符合.
故答案為：B.
【分析】分“k>0，b>0”、"k>0，b<0"、"k<0，b>0"、"k<0，b<0"四種情況，分別畫出草圖，再與各選項作比較即可得出結果.
2．（2024八下·宣化期末）如圖，在平面直角坐標系中，線段AB的端點，．若直線與線段AB有交點，則k的值可能是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】 解：如圖，
令x=0，則y=0 k-2=2，
所以直線y=kx+2與y軸的交點坐標為C（0，2），
設直線AC的解析式為y=mx+n，
則
解得．
所以直線AC的解析式為y=4x+2，
設直線BC的解析式為y=ex+f，
則，
解得．
所以直線BC的解析式為y=-x+2，
若直線y=kx+2與線段AB有交點，則k的取值范圍是k≥4或k≤-1，
各選項中D符合條件，ABC不符合條件．
故答案為：D．
【分析】先求出直線y=kx+2與y軸的交點C的坐標，再利用待定系數法求出直線AC、BC的解析式，然后根據直線與線段AB有交點，則k值小于直線AC的k值，或大于直線BC的k值，然后根據此范圍進行選擇即可．
3．（2024·賀州模擬）已知點，，在同一個函數圖象上，則這個函數圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】函數的圖象
【解析】【解答】解：由N、P坐標可知，NP必垂直于y軸，則只有A函數和D函數滿足；同時對比M、P點坐標可知，6＞2，但a-3＜a，表明當x＞0時，存在x增大但y減小的情況，則只有函數A滿足.
故答案為：A.
【分析】首先根據坐標N、P判斷函數應關于y軸對稱；其次比較M、P坐標推測當x＞0時，函數是遞增還是遞減.
4．（2024八下·岳陽期末）定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“和二點”．例如：點到x軸、y軸距離和為2，則點B是“和二點”，點也是“和二點”．一次函數的圖象l經過點，且圖象l上存在“和二點”，則k的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】點的坐標；一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的性質
【解析】【解答】解：取連，
在HG上任取一點P，作軸軸，垂直分別為
∴PN=OM
∵
∵，
∴均為等腰直角三角形
∴∠OHG=45°
∵∠PMH=90°
∴為等腰直角三角形
∴
∴
∴HG上任意一點P都是“和二點”
同理上的任意一點也是“和二點”
∴當一次函數的圖象與線或線有交點時，一次函數的圖象上存在“和二點”
把H(-2，0)，E(-3，-4)代入一次函數得：
解得：
把G(0，-2)，E(-3，-4)代入一次函數得：
解得：
∴k的取值范圍：
故選：D．
【分析】
先取連，，得到，即：均為等腰直角三角形，故：∠OHG=45°，在HG上任取一點P，作軸軸，垂直分別為，則，從而得到任意一點p是上的點為“和二點”，同理上的任意一點也是“和二點，可得到當一次函數的圖象與線或有交點時，一次函數的圖象上存在“和二點”，再分別求出當一次函數的圖象經過點E，H和E，G時的函數圖象的解析式即可.
5．（2023九上·上杭開學考）關于x的一次函數，當時，y的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】一次函數的性質
【解析】【解答】解：
∵0＜k＜1，
∴該一次函數y隨x的增大而增大，
當2≤x≤3時，取x=3時，y有最大值，
故答案為：A.
【分析】將一次函數化為y=kx+b的形式，先確定k的符號，再確定其增減性，然后根據自變量的范圍求最值.
6．（2023八下·和平期末）直線y＝x+n與直線y＝mx+3n（m是常數，m≠0且m≠1）交于點A，當n的值發生變化時，點A到直線y＝x-3的距離總是一個定值，則m的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題；點到直線的距離
【解析】【解答】聯立方程組，
解得：，
∴點A的坐標為（，），
∴點A所在的直線解析式為，
∵點A到直線y＝x-3的距離總是一個定值，
∴直線與直線 y＝x-3 平行，
∴，
解得：m=，
故答案為：C.
【分析】先聯立方程組求出點A的坐標，求出點A所在直線解析式，再結合點A到直線y＝x-3的距離總是一個定值，可得，再求出m的值即可.
7．（2023八下·潼南期末）定義一種新運算：，例如：，，給出下列說法：
①；
②若，則或4；
③的解集為或；
④若函數的圖象與直線（m為常數）只有1個交點，則．
以上說法中正確的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知識點】解一元一次不等式；一次函數的圖象；解含括號的一元一次方程；有理數的加法法則
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正確；
當即時，，
解得符合題意；
當即時，，
解得與矛盾，不合題意，故②錯誤；
當即時，，
解得，
∴不等式的解集是；
當即時，，
解得，
∴不等式的解集是；
綜上，不等式的解集為或，故③正確；
當即時，，
當即時，
函數圖象如下，當函數圖象與直線（m為常數）只有1個交點，則．
所以④正確；
正確的結論有①③④，共三個，
故選C．
【分析】①根據新定義且-4＞-5， 對直接列式計算，再判斷即可；②分情況討論：當和當，結合新定義分別解答，再判斷即可；③ 分情況討論：當和當，結合新定義分別建立不等式并解之，再判斷即可；分兩種情況：當和當時，利用新定義分別求出y值，再結合圖象判斷即可．
二、填空題
8．（2024八下·香河期末）在平面直角坐標系xOy中，函數的圖象經過點和，與過點且平行于x軸的直線交于點C，當時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值，寫出m的取值范圍　 　
【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象、性質與系數的關系；比較一次函數值的大小
【解析】【解答】解：∵函數的圖象經過點和，
∴解得，
∴函數解析式y=x-1，
∵函數圖象過點且平行于x軸的直線交于點C，
∴當y=x-1=-3時x=-2，
∴點C（-2，-3），
把點C（-2，-3)代入得，
∴要滿足當時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值時m 的取值范圍為.
故答案為：.
【分析】本題先運用待定系數法求得一次函數與正比例函數的解析式，要滿足在時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值，圖象中必須當x每取一個值，一次函數表示的點在正比例函數表示的點的上方.
9．（2024九上·自貢開學考） 如圖，直線y＝3x+6交坐標軸于A、B兩點，C為AB中點，點D為AO上一動點，點E在x軸正半軸上，且滿足OE＝OD+OB，則的最小值為 　 　．
【答案】2
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如圖，以DE為斜邊，在DE的下方構造等腰Rt△MDE，連接CM，則DM=DE，
∴
當C、D、M三點共線時CD+DM=CM最小，此時CD+DE有最小值，
作點B關于y軸的對稱點Q，則OB=OQ，
∴OE=OB+OD=OQ+QE，
∴OD=QE，
∵∠DOE=∠DME=90°，∠DGO=∠EGM，
∴∠ODM=∠OEM，
∵DM=EM，
∴△ODM≌△QEM（SAS），
∴∠OMD=∠EMQ，OM=QM，
∴△OMQ為等腰直角三角形，
由直線y＝3x+6 ，可求A（0，6），B（-2，0），
∵C是AB的中點，
∴C（-1，3），
∵OB=2，∴OQ=2，
∴M（1，-1），
∴CM=，
此時=.
故答案為：
【分析】以DE為斜邊，在DE的下方構造等腰Rt△MDE，連接CM，則DM=DE，則∴，當C、D、M三點共線時CD+DM=CM最小，此時CD+DE有最小值，作點B關于y軸的對稱點Q，則OB=OQ，易得△OMQ為等腰直角三角形，再求出M的坐標，求出此時CM的長即可.
10．（2024八上·海曙期末）已知，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，在第一象限內有一點P，使得是等腰直角三角形，則點P的橫坐標為　 　.
【答案】6，14，7
【知識點】三角形全等及其性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖：
令y=0，得 ，解得：x=8，故點A坐標（8，0），OA=8；
令x=0，則y=6，故點B坐標（0，6），OB=6；
①過B作BP⊥AB，并截取BP=AB，則△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y軸于點G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的橫坐標為6.
②過A作AP⊥AB，并截取AP=AB，則△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x軸于點H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H點坐標為（14，0），P點坐標為（14，8）.
故P的橫坐標為14.
③P為直角頂點.
作線段AB的垂直平分線DE，交AB于點D，交x軸于點E，截取DP=DB，作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的橫坐標為7.
故答案為：6，14，7.
【分析】根據題意求出A，B兩點的坐標，分別以A，B為頂點，AB長為一腰，作等腰直角三角形，構造全等三角形，即可求出第3個點P的坐標；再作AB的中垂線，在中垂線上找點P，構造全等三角形，即可求出坐標.
11．（2023八下·武侯期末）定義：在平面直角坐標系中，若點M關于直線的對稱點在的內部（不包含邊界），則稱點M是關于直線的“伴隨點”．如圖，已知三點，連接，以為邊作．若在直線上存在點N，使得點N是關于直線的“伴隨點”，則n的取值范圍是 　 　．
【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；坐標與圖形變化﹣對稱；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：在直線y=x+n中，
令y=0，則x=-n；令x=0，則y=n，即直線y=x+n經過點（-n，0）和（0，n），
∴點（-n，0）和（0，n）關于直線x=2對稱的點的坐標分別為：（4+n，0）和（4，n），
設直線y=x+n關于直線x=2對稱的直線為y=kx+b，則：
，解方程組，可得，
∴直線y=x+n關于直線x=2對稱的直線為：y=-x+n+4，
把點A（-2，0）代入直線y=-x+n+4中，得n=-6，
把點C（4，4）代入直線y=-x+n+4中，得n=4，
∴-6＜n＜4.
故第1空答案為：-6＜n＜4.
【分析】首先求出直線y=x+n與x軸和y軸的交點坐標分別為（-n，0）和（0，n），然后再求出這兩點關于直線x=2的對稱點的坐標分別為：（4+n，0）和（4，n），從而利用待定系數法求得直線y=x+n關于直線x=2對稱的直線解析式（系數含有n），然后分別代入臨界點的坐標，可求得兩個n的值，也就得出了n的取值范圍。
三、解答題
12．（2024八上·寧波開學考）在平面直角坐標系 中， 直線 上有一點 A， 其橫坐標為 1 ， 經過點 的直線交 軸負半軸于一點 ， 且 ，
（1）求 的面積；
（2）求經過點 且平分 面積的直線解析式.
【答案】（1）解：∵ 直線 上有一點 ， 其橫坐標為 1 ，
∴y=2，
∴點A（1，2），
∵OP=3，
∴，
∴△AOP的面積為3.
（2）解：如圖，設直線l交AO于點Q，
∵ 經過點P且平分△AOP的面積，
∴
解之：yQ=±1，
∵點Q在第一象限，
∴yQ=1，
當y=1時2x=1，
解之：
∴點Q
設直線PQ的解析式為y=kx+b
∴
解之：
∴直線PQ的函數解析式為
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形的面積；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）將x=1代入函數解析式，可求出對應的y的值，可得到點A的坐標，再利用三角形的面積公式求出△AOP的面積.
（2）設直線l交AO于點Q，利用經過點P且平分△AOP的面積，可求出△POQ的面積，利用三角形的面積公式求出點Q的縱坐標，由此可得到點Q的橫坐標，即可得到點Q的坐標，設設直線PQ的解析式為y=kx+b，將點P、Q的坐標分別代入函數解析式，可得到關于k、b的方程組，解方程組求出k、b的值，可得到直線PQ的函數解析式.
13．（2024八下·澄海期末）如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，已知A(6，0)，B(0，4)．
（1）求直線AB的函數解析式；
（2）若點C在坐標軸上，且，求點C的坐標；
（3）點P在第一象限內，且縱坐標為4．若點P關于直線AB的對稱點恰好落在x軸的正半軸上，P與AB相交于點Q，求點的坐標．
【答案】（1）解：設直線AB的函數解析式為，
依題意得：，
解得：
直線AB的函數解析式為：．
（2）解：，
，
當點在軸上時，設，
由題意可得：，
解得：或，
點的坐標為或；
當點在軸上時，設，
由題意可得：，
解得：或，
點的坐標為或．
綜上所述，點的坐標為：
或或或．
（3）解：點與點關于直線AB對稱，
，且，
，
點的縱坐標為4，且點的縱坐標為4，
軸，
，
又，
，
，
設，則，
，
，
在Rt中，，
，
解得：，
，
點的坐標．
【知識點】一次函數的圖象；線段垂直平分線的性質；軸對稱的性質；列一次函數關系式
【解析】【分析】本題主要考查一次函數的解析式，絕對值方程，坐標與圖形，軸對稱的性質，垂直平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的運用，屬于較難題型.
（1）設直線AB的函數解析式為，然后將點A，B的坐標代入即可求解；
（2）由題意可得：分點C在x軸上，點C在y軸上兩種情況進行分類討論：當點在軸上時，設，由題意可得：，解出x進而即可求得點C的坐標；當點在軸上時，設，由題意可得：，解出y進而即可求得點C的坐標；
（3）利用對稱的性質可得：，又點的縱坐標為4，且點的縱坐標為4，軸，，進而可得，，設，則，進而得到，，然后在
Rt中，，建立方程解出m即可求解.
四、實踐探究題
14．（2023八下·南通期末）定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于的點叫做這個函數圖象的“n級限距點”．例如，點是函數圖象的“級限距點”；點是函數圖象的“2級限距點”．
（1）在①；②；③三點中，是函數圖象的“1級限距點”的有　 　（填序號）；
（2）若y關于x的一次函數圖象的“2級限距點”有且只有一個，求k的值；
（3）若y關于x的函數圖象存在“n級限距點”，求出n的取值范圍．
【答案】（1）①②
（2）如圖1，在以O為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當直線與正方形區域只有唯一交點時，圖象的“2級限距點”有且只有一個，
當直線經過點時，；
當直線經過點時，．
綜上所述：k的值為或．
（3）當時，，當時，，
在以O為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當圖象與正方形區域有公共部分時，
函數圖象的“n級限距點”一定存在．
設，，，，
如圖2，當圖象經過點時，代入得，
如圖3，當圖象經過點時，得．
∴當時，函數圖象的“n級限距點”一定存在．
【知識點】解含絕對值符號的一元一次方程；一次函數的圖象
【解析】【解答】解：（1）由題意可知，三點到兩坐標軸的距離都不大于1，即x坐標和y坐標的絕對值小于1，
可知①符合題意，②符合題意，③不符合題意，故答案為①②；
【分析】（1）根據定義逐個判斷即可；
（2）如圖作正方形，然后分 a >0和 a <0兩種情況，分別根據”2階方點“有且只有一個判斷出所經過的點的坐標，代入坐標求出 a 的值，并舍去不符合題意的值即可；
（3）由（3）二次函數解析式可知其頂點坐標在直線=-2x+1上移動，作出簡圖，由函數圖象可知，當二次函數圖象過點（ n ，- n ）和點（- n，n ）時為臨界情況，求出此時 n 的值，由圖象可得 n 的取值范圍．
15．（2023八上·西安期中）
（1）問題發現：
如圖1，等腰直角置于平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，是上一點，，則點的坐標為
（2）問題探究：如圖2，若點，的坐標分別為，，其余條件與（1）相同，求經過，兩點的直線表達式。
（3）問題解決：國慶前夕，大唐芙蓉園景區為了提高服務質量，想盡可能美化每一個角落，給游客美的享受．如圖3，是景區東門的廣場一角，兩面墻互相垂直，景區管理部門設計將，墻面布置成歷史人文宣傳墻，邊上用建筑隔板搭出段將該角落與廣場其他區域隔開，段布置成長安八景圖，剩余部分為廣場角出入口，內部空間放置一些綠植和供游人休息的桌椅，考慮到出入安全，還需在靠近出入口的處建一個安檢點．已知，，平分，安檢點在與的交點處．求點分別到，墻面的距離。
【答案】（1）解：如圖1，過作于，
，是等腰直角三角形，點，的坐標分別為，，
，，
是等腰直角三角形，
，，，
點的坐標為
（2）解：如圖2，過作于，
，
點，的坐標分別為，，
，，
，，
設直線的解析式為，
則，，直線的解析式為，
設，，，
，
，
解得或（不合題意舍去），
，
設直線的解析式為，，，
直線的解析式為；
（3）解：如圖3，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，由（2）得直線的解析式為，
過作于，平分，，
，，
，
，
，
由（2）知，，，
，，，，
設直線的解析式為，
則，
直線的解析式為，
，解得，，
點分別到，墻面的距離分別為，
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；兩一次函數圖象相交或平行問題；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）過作于，則可得到是等腰直角三角形，根據OA的長，應用勾股定理計算出AD，DH，OH，即可得到點D的坐標；
（2）由A，B的坐標求出直線AB的表達式，點D在直線AB上，設出其坐標，同（1）由DH，OH，和AH求出點D的坐標，根據正比例函數表達式即可求解；
（3） 點到，墻面的距離即為點E的橫、縱坐標，聯立直線OD和直線BC的表達式即可求得點E的坐標。由（2）可得直線OD的表達式，過作于，通過和全等，求出AF，根據直角三角形ACF，解出OC，即得點C的坐標，用待定系數法求出直線BC的表達式，聯立直線OD表達式，即可得解。
五、綜合題
16．（2024九上·潮陽開學考）在平面直角坐標系中，對于兩點，若在軸上存在點，使得，且，則稱兩點互相等垂，其中一個點叫做另一個點的等垂點．已知點的坐標是．
（1）如圖①，在點中，點的等垂點是　 　（選填“”，“”或“”）
（2）如圖②，若一次函數的圖象上存在點的等垂點，求點的坐標；
（3）若一次函數的圖象上存在無數個點的等垂點，試寫出該一次函數的所有表達式：　 　．
【答案】（1）D
（2）解：①當A'在x軸上方時，過A'作A'F⊥y軸于F，如圖1：
是的等垂點，
，
，
設，則
．
將代入，
得：，
解得，
；
②當在軸下方時，過作軸于．如圖2：
同①可證明
，
設，則
，
將代入，
得：，
解得，
；
綜上所述，點的坐標為或；
（3）或．
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：（1）取點T(0，2)，連接DT、AT，如圖，
∵D(-2，0)，A(2，0)，T(0，2)，
∴OT=OD=OA=2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在點B(2，-2)，C(0，1)，D(-2，0)中，點A的等垂點是點D；
故答案為：D；
（3）若一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象上存在無數個點A的等垂點，該一次函數的所有表達式為y=x+2或y=-x-2，理由如下：
當一次函數為y=x+2時，設直線y=x+2上任意一點A'(t，t+2)，連接AA'，作AA'的垂直平分線交y軸于R，交AA'于P，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，如圖：
∵PR是線段AA'的垂直平分線，
∴RA=RA'， PA=PA'，
∴∠RPA=∠RPA'=90°，
∵A(2，0)，A' (t，t+2)，
∴，
∵PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴ РМ=РN=，
而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，
∴△PRN≌△PAM（ASA），
∴PR=PA，
∴РR=РА=РА'
∴△PRA與△PRA'都是等腰直角三角形，
∴∠ARP=∠A'RP=45°，
∴∠ARA'=90°，
根據等垂點定義，A'是A的等垂點，即直線y=x+ 2上任意一點都是A的等垂點，
∴一次函數y=x+2的圖象上存在無數個點A的等垂點，
同理可證一次函數y=-x-2的圖象上存在無數個點A的等垂點，
故答案為：y=x+2或y=-x-2.
【分析】（1）取點T(0，2)，連接DT、AT，由點的坐標與圖形的性質、等邊對等角及三角形的內角和定理可推出△ADT是等腰直角三角形，從而根據等垂點定義可得結論；
（2）①當A'在x軸上方時，過A'作A'F⊥y軸于F，由等垂點定義得∠A'EA=90°，A'E=AE，由等角的余角相等得∠A'EF=∠EAO，由AAS判斷出△A'FE≌△EOA，得EF=AO=2，A'F=OE，設A'F=OE=m，則OF=OE+EF=m+2，則A'（m，m+2），將點A'得坐標代入直線y=2x-1算出m的值，從而即可得到點A'得坐標；②當A'在x軸上方時，過A'作A'H⊥y軸于H，同①可證△AOG≌△GHA'，得A'H=OG，GH=OA=2，設A'H=OG=n，則OH=2-n，則點A'(-n，n-2)，將點A'得坐標代入直線y=2x-1算出n的值，從而即可得到點A'得坐標，綜上可得答案；
（3）設直線y=x+2上任意一點A'(t，t+2)，連接AA'，作AA'的垂直平分線交y軸于R，交AA'于P，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，如圖：由線段垂直平分線的性質得RA=RA'， PA=PA'，由中點坐標公式得，進而根據點的坐標與圖形性質得РМ=РN=，由同角的余角相等得∠RPN=∠APM，從而由ASA判斷出△PRN≌△PAM，得РR=РА=РА'，可推出∠ARA'=90°，根據等垂點定義，A'是A的等垂點，即直線y=x+ 2上任意一點都是A的等垂點，同理可證一次函數y=-x-2的圖象上存在無數個點A的等垂點.
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