資源簡介

【培優版】浙教版數學八上5.5 一次函數的簡單應用同步練習
一、選擇題
1．（2023九上·江油開學考）一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運往乙地，其中快車送達后立即沿原路返回，且往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y(單位：km)與慢車行駛時間t(單位：h)的函數關系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時間是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】根據題意和圖可知：慢車的速度為，快車的速度為，
慢車的y-t表達式：
快車的y-t表達式：
相遇，即兩車的y相等
解得t=3h
解得t=4.5h
故兩車兩次相遇時間間隔為4.5-3=1.5h
故選：B
【分析】兩次相遇的t，就是三條線段的兩個交點橫坐標，故要先找到這三條線段的函數解析式；橫軸是時間，線段的傾斜程度即速度，甲乙間路程是a，根據路程=速度時間列出函數解析式，聯立解一元一次方程組即可；分別求出2次相遇的t值，再相減。
2．（2024八下·荷塘期末）彈簧秤中彈簧的長度與所掛物體的質量的對應關系如圖所示，則這個彈簧秤不掛物體時彈簧的長度為(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】通過函數圖象獲取信息；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：設彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）的對應函數關系式為：，
該函數經過點和，
，
解得：，
即彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）的對應函數關系式為：，
當時，，即這個彈簧稱不掛物體時彈簧的長度為10cm，
故答案為：C．
【分析】根據題意和函數圖象中的數據，可以求得彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）的對應函數關系式，然后將x=0代入所求函數關系式即可求解．
3．（2024·山西）生物學研究表明，某種蛇在一定生長階段，其體長是尾長的一次函數，部分數據如下表所示，則與之間的關系式為（　　）
尾長 6 8 10
體長 45.5 60.5 75.5
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：∵ 某種蛇其體長是尾長的一次函數，設該一次函數解析式是y=kx+b（k≠0）
由表格可知，該一次函數過點（6，45.5），（10，60.5），代入得：
解得：k=7.5，b=0.5
則y與x之間的關系式為y=7.5x+0.5
故答案為：A.
【分析】本題考查待定系數法求一次函數解析式，掌握該方法，準確計算是解題關鍵。由表格任選兩個點坐標，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。
4．（2024·館陶模擬）珍珍的爸爸是某單位的一名銷售員，他的月工資（基本工資＋計件提成）總額隨月銷售量x（件）的變化而變化，下表是他應得工資w（元）與x之間的關系：
銷售量x（件） 100 110 120 130 …
月工資總額w（元） …
求珍珍爸爸的月收入不低于5000元時應銷售件數的取值范圍，有如下解題方法：
方法一： 建立w與x的函數關系式：． 由，求得x的范圍． 　 方法二： 月工資因計件提成不同而不同， ． 由，求得x的范圍．
下列判斷正確的是（　　）．
A．方法一的思路正確，函數表達式也正確
B．方法一的思路和函數表達式都不正確
C．方法二的思路正確，所列不等式也正確
D．方法二的思路和所列不等式都不正確
【答案】C
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】方法一：思路正確的，但函數表達式不正確，缺少了x的取值范圍，x≥100
方法二思路正確，列不等式也正確.
故答案為：C.
【分析】根據表格可以的到函數關系式，但要注意x的取值范圍。
5．（2024八下·東坡月考） 如圖，點A，B，C在一次函數的圖象上，它們的橫坐標依次為，，，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設直線與y軸交于點D，軸于點E，如圖所示．
當時，，
∴點D的坐標為；
當時，，
∴點A的坐標為，
∴點E的坐標為，，
∴，
∴．
同理，可求出另兩個三角形的面積均為（陰影部分組成的小三角形），
∴陰影部分面積之和為：．
故答案為：A．
【分析】設直線與y軸交于點D，AE⊥y軸于點E，利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點A，D的坐標，利用三角形的面積計算公式可求出三角形DAE的面積，同理可得出另外兩個小三角形的面積，據此求解。
6．（2024·廣東模擬）古秤是一種人類智慧的產物，也是華夏文明的瑰寶之一．如圖，我們可以用秤砣到秤紐（秤桿上手提的部分）的水平距離得出秤鉤上所掛物體的重量，稱重時，若秤鉤所掛物重為x（斤），秤砣到秤紐的水平距離為．下表中為若干次稱重時所記錄的一些數據：
x（斤） 1 2 3 4 5 6
y（厘米） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
當x為11斤時，對應的水平距離y為（　　）
A．3cm B．3.25cm C．3.5cm D．3.75cm
【答案】B
【知識點】一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：觀察表格數據發現y與x之間存在一次函數關系，故設y=kx+b，
將點（2，1）與（6，2）分別代入得，
解得，
∴y關于x的函數關系式為y=0.25x+0.5，
將x=11代入得y=0.25×11+0.5=3.25，
即當x為11斤時，對應的水平距離y為3.25厘米.
故答案為：B.
【分析】觀察表格數據發現y與x之間存在一次函數關系，故借助表格數據，利用待定系數法求出y關于x的函數關系式，進而舉哀那個x=11代入所求的函數解析式，算出對應的函數值即可.
7．（2024·青秀模擬）九章算術記載：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺問幾何日相逢？意思是有一道墻，高尺，在墻頭種一株瓜，瓜蔓沿墻向下每天長寸；同時地上種著瓠沿墻向上每天長尺，問瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南繪制如圖的函數模型解決了此問題圖中單位：尺表示瓜蔓與瓠蔓離地面的高度，單位：天表示生長時間根據小南的模型，點的橫坐標和點的實際意義分別是（　　）
A．，點表示瓜蔓枯萎 B．，點表示瓜蔓垂到地面
C．，點表示瓜蔓垂到地面 D．，點表示瓠蔓垂到地面
【答案】C
【知識點】一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：7寸＝0.7尺．
∵瓜蔓在高9尺的墻上，向下伸，每天長7寸，
∴x天時瓜蔓離地面的高度h＝9﹣0.7x．
∵地上種著瓠蔓向上長，每天長1尺，
∴x天時高度h＝x．
∵相遇時高度相同，
∴9﹣0.7x＝x．
解得：x＝
∴兩圖象交點P的橫坐標為，點A表示瓜蔓垂到地面．
故答案為：C．
【分析】一尺＝10寸，因此7寸＝0.7尺．根據題意，x天時瓜蔓離地面的高度h＝9﹣0.7x；x天時瓠蔓高度h＝x．相遇時高度h相同，算出x即可．
8．（2024九上·廣水期末）某網紅店生產并銷售一種特色食品，每天均能限量生產并銷售完畢，如圖中的線段，分別表示某天生產成本（單位：元），收入（單位：元）與產量x（單位：千克）之間的函數關系．根據圖象信息可知，該網紅店某一天中盈利120元時的產量是（　　）
A．30千克 B．42千克 C．45千克 D．48千克
【答案】C
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】解：根據題意：可設段的解析式為：，且經過點，，
∴，
解得：，
∴段的解析式為：；
設段的解析式為：，且經過點，
∴，
解得：，
∴段的解析式為：．
∵該網紅店某一天中盈利120元時，即，
∴，
解得：．
∴這天的產量是45千克．
故答案為：C．
【分析】先結合函數圖象上的數據利用待定系數法求出直線AB和OC的解析式，再結合“該網紅店某一天中盈利120元”列出方程，再求出x的值即可.
二、填空題
9．（2024八下·定興期末）在同一直線上，甲騎自行車，乙步行，分別由，兩地同時向右勻速出發，當甲追上乙時，兩人同時停止行駛如圖表示兩人之間的距離與所經過的時間之間的函數關系圖象，觀察圖象，出發后　 　甲追上乙；若乙的速度為，則經過甲行駛的路程為　 　．
【答案】2；
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】
解：由圖象可知，出發后2h甲追上乙，故答案為2.
設甲的速度為xkm/h，
由圖象可知：A，B兩地相距24km，
根據題意得：2x=8x2+24，
解得：x=20
∴20×1.5=30(km)
故答案為2；.
【分析】
由圖象可知：A，B兩地相距24km，當t=2時，y=0，即：出發后2h甲追上乙；再設甲的速度為xkm/h，根據等量關系：甲走的路程=乙走的路程+24，列出方程，解出x，再乘以1.5即可.
10．（2024·澄海模擬）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發向乙地．如圖，線段OA表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系式；折線B﹣C﹣D﹣表示轎車離甲地距離y（千米）與x（小時）之間的函數關系，則貨車出發　 　小時與轎車相遇．
【答案】3.9
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：設OA段對應的函數解析式為y=kx，
將（5，300）代入，得：5k=300，
解得k=60，
∴OA段對應的函數解析式為y=60x，
設CD段對應的函數解析式為y=ax+b，
解得
∴CD段對應的函數解析式為y=110x-195，
110x-195=60x，解得x=3.9，
∴貨車出發3.9小時與轎車相遇，
故答案為：3.9.
【分析】先分別求得OA段，CD段對應的函數解析式，再求出兩個函數圖象的交點的橫坐標即可.
11．某超市糯米的價格為 5 元/千克， 端午節推出促銷活動：一次購買的數量不超過 2 千克時， 按原價售出， 超過 2 千克時， 超過的部分打八折． 若某人付款 14 元，則他購買了　 　 千克糯米； 設某人的付款金額為 元， 購量為 千克， 則購買量 關于付款金額 的函數解析式為 　 　
【答案】3；
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】解：設某人的付款金額為 元， 購量為 千克，
則，化簡得，
當x=14時，y=3.
故答案為：3；.
【分析】設某人的付款金額為 元， 購量為 千克，根據題意可得，化簡得，再代入x=14，求得y值.
12．（2023八上·包河期中）已知合肥到蕪湖的距離為千米，現有一輛郵政車往返兩城市之間，該郵政車每次到達合肥或蕪湖后，均需停留小時再重新出發．暑假期間，合肥某旅游公司計劃在同線路上加開一輛旅游大巴車，在試運行期間，該郵政車與旅游大巴車同時從合肥出發，兩輛車均保持勻速行駛，經過小時兩車第一次相遇．兩車之間的距離千米與行駛時間小時之間的部分函數關系如圖所示．已知行駛過程時，郵政車的速度大于旅游大巴車的速度，請完成以下探究：
（1）郵政車的速度為　 　千米小時；
（2）當兩車第一次在行駛的路上相遇時，相遇點到合肥的距離為　 　千米．
【答案】（1）80
（2）
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：（1）由圖可以知道；郵政車由合肥到蕪湖所用時間為小時，
∴郵政車的速度為150÷=80（千米/小時）；
故答案為：80.
（2）設大巴車的速度為m千米/小時，
由題意知：兩車第一次相遇時路程之和為150×2=300（千米），
∴
∴m=40，
∴
∴相遇點距合肥的距離為千米；
故答案為：.
【分析】（1）由圖形可以知道郵政車由合肥到蕪湖所用時間為小時，可得到郵政車的速度為150÷=80（千米/小時）；
（2）設大巴車的速度為m千米/小時，由題意可知兩車第一次相遇時路程之和為150×2=300（千米），可以列方程解方程求出m，再代入，即可求解.
三、解答題
13．（2024八下·玉山期末）某手機專賣店銷售部甲型手機和部乙型手機的利潤為元，銷售部甲型手機和部乙型手機的利潤為元．
（1）求每部甲型手機和乙型手機的利潤；
（2）該專賣店計劃購進這兩種型號的手機共部，其中乙型手機的進貨量不低于甲型手機的倍設購進甲型手機部，這部手機全部銷售的總利潤為元．
求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；
該商店如何進貨才能使銷售總利潤最大？
【答案】（1）解：設每部甲型手機的利潤為元，每部乙型手機的利潤為元，
根據題意得：，
解得，
每部甲型手機的利潤為元，每部乙型手機的利潤為元；
（2）解：乙型手機的進貨量不低于甲型手機的倍，
，
解得，
根據題意得，
；
在中，隨的增大而增大，
當時，取最大值，
此時，
購進甲型手機部，乙型手機部，才能使銷售總利潤最大．
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設每部甲型手機的利潤為元，每部乙型手機的利潤為元，根據兩種購買情況所得的利潤分別列出方程并組成方程組進行求解即可。
（2）①結合（1）中所得結果，根據總利潤＝甲型手機利潤+乙型手機利潤列出關系式。根據甲乙兩型手機的進貨量的關系列不等式求出X的取值范圍。
②根據關系式得出y與X間的變化關系，再根據X的取值范圍求出y的最大值即可。
14．（2024七下·萍鄉期末）如圖（1），B地在A地的正東方向，某一時刻，乙車從B地開往A地，1小時后，甲車從A地開往B地，當甲車到達B地的同時乙車也到達A地.如圖（2），橫軸x（小時）表示兩車的行駛時間（從乙車出發的時刻開始計時），縱軸y（千米）表示兩車與A地的距離.
問題：
（1）A、B兩地相距　 　千米；
（2）和兩段線分別表示兩車距A地的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的關系，請問：表示甲車的圖象為　 　，表示乙車的圖象為　 　；
（3）求兩車相遇時距A地多少千米？
【答案】（1）400
（2）；
（3）解：設兩車相遇時距A地x千米，由圖象知甲車的速度：400÷(5-1)=100千米/小時，
，乙車速度為：400÷5=80千米/小時，
根據題意可列方程為：
得.
答：兩車相遇時距A地千米.
【知識點】一元一次方程的實際應用-行程問題；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】（1）從圖示中，我們可以看到，當x=0時，乙車處于B地，其與A地的距離為400千米，因此，可以得出，A、B兩地相距400千米，故答案為400.
（2）根據圖象可知：可表示甲車圖象，可表示乙車圖象，故答案為：，.
【分析】（1）根據圖象，可以得出A，B兩地之間的距離
（2）根據甲遲出發1個小時，可得：可表示甲車圖象，可表示乙車圖象
（3）設兩車相遇時距A地x千米，根據等量關系：甲所用的時間+1=乙所用的時間，列出方程：解得即可.
四、實踐探究題
15．（2024八下·岳陽期末）【綜合實踐】新能源汽車多數采用電能作為動力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少了二氧化碳等氣體的排放，從而達到保護環境的目的．
【實驗操作】為了解汽車電池需要多久能充滿，以及充滿電量狀態下電動汽車的最大行駛里程，某綜合實踐小組設計兩組實驗．
實驗Ⅰ：探究電池充電狀態下電動汽車儀表盤增加的電量與時間t（分鐘）的關系，數據記錄如表1：
電池充電狀態
時間t（分鐘） 0 10 30 60
增加的電量 0 10 30 60
實驗Ⅱ：探究充滿電量狀態下電動汽車行駛過程中儀表盤顯示剩余電量與行駛里程s（千米）的關系，數據記錄如表2：
汽車行駛過程
已行駛里程s（千米） 0 160 200 280
顯示剩余電量 100 60 50 30
【建立模型】（1）觀察表1、表2發現都是一次函數模型，請結合表1、表2的數據，直接寫出函數關系式（不寫自變量的取值范圍）．
y關于t的函數表達式為____________，e關于s的函數表達式為_____________；
【解決問題】（2）某電動汽車在充滿電量的狀態下，從A地出發前往距出發點480千米的B地，在途中服務區進行一次充電后繼續行駛，其已行駛里程數（s）和顯示剩余電量（e）的函數關系如下圖所示：
①該車到達B地時，顯示剩余電量e的值為____________；該車進入服務區充電前顯示剩余電量e的值為_____________．
②該車中途充電用了多少分鐘？
③當汽車顯示剩余電量e的值為60時，該車距出發點A地多少千米？
【答案】（1），
（2）①10，40；
②把代入中，得
∴增加的電量為，即
∴，即該車中途充電用了30分鐘
③當汽車到達服務區前，汽車顯示剩余電量e的值為60時，由表格數據得此時該車距出發點A地160千米
當汽車離開服務區后，汽車顯示剩余電量e的值為60時，
∵離開服務區時的剩余電量為，汽車顯示剩余電量e的值為60時，耗電量為，
∵每千米耗電量為
∴耗電量行駛的路程為千米
故此時該車距出發點A地千米
綜上，當汽車顯示剩余電量e的值為60時，該車距出發點A地160或280千米．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；通過函數圖象獲取信息；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：（1）根據題意，設y關于t的函數表達式為
將代入，得
∴y關于t的函數表達式為
設e關于s的函數表達式為
將代入，得
∴e關于s的函數表達式為
故答案為：；.
（2）①由圖知，該車到達B地時，顯示剩余電量e的值為10
把代入中，得
∴該車進入服務區充電前顯示剩余電量e的值為40故答案為：10，40.
【分析】（1）分別設y關于t的函數表達式為，e關于s的函數表達式為利用待定系數法求解函數關系式即可
（2）①根據圖象直接回答： 該車到達B地時，顯示剩余電量e的值為 10，然后把代入中，解出e即可
②先求得離開服務區走完剩余路程千米時，需要耗電量，結合該車到達B地時，顯示剩余電量為，可求得增加的為，令y=，解出t即可
③本題需要分類討論：
分當汽車到達服務區前，汽車顯示剩余電量e的值為60時，由表格可得：s=160千米
當汽車離開服務區后，汽車顯示剩余電量e的值為60時，計算出離開服務區時，剩余電量，得出耗電量為，得出每千米耗電量為，則求出耗電量行駛的路程為千米即可.
16．根據以下素材，探索完成任務.
如何確定木板分配方案？
素材1 某校開展愛心義賣活動，小藝和同學們打算推銷自己的手工制品.他們以每張15元的價格買了100張矩形木板，每張木板長和寬分別為 80cm，40 cm.
素材2 如圖①，現將部分木板按虛線裁剪，剪去四個邊長相同的小正方形（陰影部分）.把剩余五個矩形拼制成無蓋長方體收納盒，使其底面長與寬之比為3：1.如圖②，其余木板按虛線裁木板（陰影部分是余料），剪出兩塊給部分盒子配上蓋子。
素材3 售價如標簽所示：
問題解決
任務1 計算盒子高度 求出長方體收納盒的高度.
任務2 確定分配方案1 若制成的有蓋收納盒個數大于無蓋收納盒，但不到無蓋收納盒個數的2倍，木板該如何分配？請給出分配方案.
任務3 確定分配方案2 在任務2的條件下，為了提高利潤，小藝打算把圖②裁剪下來的余料（陰影部分）利用起來，一張矩形余料可以制成一把小木劍，并以5元/個的價格銷售.請確定木板分配方案，使銷售后獲得最大利潤.
【答案】解：任務1：設長方體收納盒的高度為，
，
解得，
長方體收納盒的高度為10cm.
任務2：設有a個收納盒，
得，
解得，
，
共有4種方案：①76張木板制作無蓋收納盒，24張制作盒蓋；②77張木板制作無蓋收納盒，23張制作盒蓋；③78張木板制作無蓋收納盒，22張制作盒蓋；④79張木板制作無蓋收納盒，21張制作盒蓋.
任務3：設利潤為w元，
得，
當a=76時，利用最大，
76張木板制作無蓋收納盒，24張制作盒蓋.
【知識點】一元一次方程的實際應用-幾何問題；一次函數的實際應用-方案問題；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】任務1：長方體收納盒的高度為，可得收納盒底面的長為cm，寬為cm，再根據底面長與寬之比為3：1列出方程，解得x=10，即長方體收納盒的高度為10cm.
任務2：設有a個收納盒，故有蓋收納盒個數為個，無蓋收納盒為個，根據制成的有蓋收納盒個數大于無蓋收納盒，但不到無蓋收納盒個數的2倍列出不等式組，解得，進而得到a的值，共有4種方案.
任務3：由任務2 可得有蓋收納盒個數為個，無蓋收納盒為個，小木劍為個，再利用利潤計算公式表示出w=-a+600，然后通過一次函數的性質可得當a=76時，利用最大，故76張木板制作無蓋收納盒，24張制作盒蓋.
五、綜合題
17．（2023·蘇州）某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止．設時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記與具有函數關系．已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；滑塊從點出發到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）．請你根據所給條件解決下列問題：
（1）滑塊從點到點的滑動過程中，的值　 　；（填“由負到正”或“由正到負”）
（2）滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數表達式；
（3）在整個往返過程中，若，求的值．
【答案】（1）由負到正
（2）解：設軌道AB的長為n，當滑塊從左向右滑動時，
∵，
∴，
∴
∴d是t一次函數，
∵當t=4.5s和5.5s時，與之對應d的兩個值互為相反數；
∴當t=5時，d=0，
∴，
∴，
∴滑塊從點A到點B所用的時間為(91-1)÷9=10s，
∵整個過程總用時27s（含停頓時間）．當滑塊右端到達點B時，滑塊停頓2s，
∴滑塊從點B到點A的滑動時間為27-2-10=15s，
∴滑塊返回的速度為(91-1)÷15=6m/s，
∴當時，，
∴，
∴，
∴d與t的函數表達式為；
（3）解：當d=18時，有兩種情況，
由（2）可得，
①當0≤t≤10時，，
解得：；
②當12≤t≤27時，，
解得：，
綜上所述，當或時，．
【知識點】一次函數的實際應用
【解析】【解答】解：（1）∵d=l1-l2，
當滑塊左端在點A時，l1=0，d=-l2＜0，
當滑塊的右端在點B時，l2=0，d=l1＞0，
∴d的值由負到正；
故答案為：由負到正；
【分析】（1）根據d=l1-l2，求出兩個特殊位置：當滑塊左端在點A時與當滑塊的右端在點B時a的值，即可判斷得出答案；
（2）設軌道AB的長為n，由題意可得l1+l2+1=n，則d=l1-l2=18t-n+1，由當t=4.5s和5.5s時，與之對應d的兩個值互為相反數可得當t=5時，d=0，據此可求出d=91，從而根據路程、速度、時間三者的關系可算出滑塊返回的速度6m/s，l2=6(t-12)，再代入d=l1-l2，即可求解；
（3）當d=18時，有兩種情況，①當0≤t≤10時，②當12≤t≤27時，分別列出方程，求解即可.
1 / 1【培優版】浙教版數學八上5.5 一次函數的簡單應用同步練習
一、選擇題
1．（2023九上·江油開學考）一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運往乙地，其中快車送達后立即沿原路返回，且往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y(單位：km)與慢車行駛時間t(單位：h)的函數關系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時間是 (　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·荷塘期末）彈簧秤中彈簧的長度與所掛物體的質量的對應關系如圖所示，則這個彈簧秤不掛物體時彈簧的長度為(　　)
A． B． C． D．
3．（2024·山西）生物學研究表明，某種蛇在一定生長階段，其體長是尾長的一次函數，部分數據如下表所示，則與之間的關系式為（　　）
尾長 6 8 10
體長 45.5 60.5 75.5
A． B． C． D．
4．（2024·館陶模擬）珍珍的爸爸是某單位的一名銷售員，他的月工資（基本工資＋計件提成）總額隨月銷售量x（件）的變化而變化，下表是他應得工資w（元）與x之間的關系：
銷售量x（件） 100 110 120 130 …
月工資總額w（元） …
求珍珍爸爸的月收入不低于5000元時應銷售件數的取值范圍，有如下解題方法：
方法一： 建立w與x的函數關系式：． 由，求得x的范圍． 　 方法二： 月工資因計件提成不同而不同， ． 由，求得x的范圍．
下列判斷正確的是（　　）．
A．方法一的思路正確，函數表達式也正確
B．方法一的思路和函數表達式都不正確
C．方法二的思路正確，所列不等式也正確
D．方法二的思路和所列不等式都不正確
5．（2024八下·東坡月考） 如圖，點A，B，C在一次函數的圖象上，它們的橫坐標依次為，，，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·廣東模擬）古秤是一種人類智慧的產物，也是華夏文明的瑰寶之一．如圖，我們可以用秤砣到秤紐（秤桿上手提的部分）的水平距離得出秤鉤上所掛物體的重量，稱重時，若秤鉤所掛物重為x（斤），秤砣到秤紐的水平距離為．下表中為若干次稱重時所記錄的一些數據：
x（斤） 1 2 3 4 5 6
y（厘米） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
當x為11斤時，對應的水平距離y為（　　）
A．3cm B．3.25cm C．3.5cm D．3.75cm
7．（2024·青秀模擬）九章算術記載：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺問幾何日相逢？意思是有一道墻，高尺，在墻頭種一株瓜，瓜蔓沿墻向下每天長寸；同時地上種著瓠沿墻向上每天長尺，問瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南繪制如圖的函數模型解決了此問題圖中單位：尺表示瓜蔓與瓠蔓離地面的高度，單位：天表示生長時間根據小南的模型，點的橫坐標和點的實際意義分別是（　　）
A．，點表示瓜蔓枯萎 B．，點表示瓜蔓垂到地面
C．，點表示瓜蔓垂到地面 D．，點表示瓠蔓垂到地面
8．（2024九上·廣水期末）某網紅店生產并銷售一種特色食品，每天均能限量生產并銷售完畢，如圖中的線段，分別表示某天生產成本（單位：元），收入（單位：元）與產量x（單位：千克）之間的函數關系．根據圖象信息可知，該網紅店某一天中盈利120元時的產量是（　　）
A．30千克 B．42千克 C．45千克 D．48千克
二、填空題
9．（2024八下·定興期末）在同一直線上，甲騎自行車，乙步行，分別由，兩地同時向右勻速出發，當甲追上乙時，兩人同時停止行駛如圖表示兩人之間的距離與所經過的時間之間的函數關系圖象，觀察圖象，出發后　 　甲追上乙；若乙的速度為，則經過甲行駛的路程為　 　．
10．（2024·澄海模擬）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發向乙地．如圖，線段OA表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系式；折線B﹣C﹣D﹣表示轎車離甲地距離y（千米）與x（小時）之間的函數關系，則貨車出發　 　小時與轎車相遇．
11．某超市糯米的價格為 5 元/千克， 端午節推出促銷活動：一次購買的數量不超過 2 千克時， 按原價售出， 超過 2 千克時， 超過的部分打八折． 若某人付款 14 元，則他購買了　 　 千克糯米； 設某人的付款金額為 元， 購量為 千克， 則購買量 關于付款金額 的函數解析式為 　 　
12．（2023八上·包河期中）已知合肥到蕪湖的距離為千米，現有一輛郵政車往返兩城市之間，該郵政車每次到達合肥或蕪湖后，均需停留小時再重新出發．暑假期間，合肥某旅游公司計劃在同線路上加開一輛旅游大巴車，在試運行期間，該郵政車與旅游大巴車同時從合肥出發，兩輛車均保持勻速行駛，經過小時兩車第一次相遇．兩車之間的距離千米與行駛時間小時之間的部分函數關系如圖所示．已知行駛過程時，郵政車的速度大于旅游大巴車的速度，請完成以下探究：
（1）郵政車的速度為　 　千米小時；
（2）當兩車第一次在行駛的路上相遇時，相遇點到合肥的距離為　 　千米．
三、解答題
13．（2024八下·玉山期末）某手機專賣店銷售部甲型手機和部乙型手機的利潤為元，銷售部甲型手機和部乙型手機的利潤為元．
（1）求每部甲型手機和乙型手機的利潤；
（2）該專賣店計劃購進這兩種型號的手機共部，其中乙型手機的進貨量不低于甲型手機的倍設購進甲型手機部，這部手機全部銷售的總利潤為元．
求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；
該商店如何進貨才能使銷售總利潤最大？
14．（2024七下·萍鄉期末）如圖（1），B地在A地的正東方向，某一時刻，乙車從B地開往A地，1小時后，甲車從A地開往B地，當甲車到達B地的同時乙車也到達A地.如圖（2），橫軸x（小時）表示兩車的行駛時間（從乙車出發的時刻開始計時），縱軸y（千米）表示兩車與A地的距離.
問題：
（1）A、B兩地相距　 　千米；
（2）和兩段線分別表示兩車距A地的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的關系，請問：表示甲車的圖象為　 　，表示乙車的圖象為　 　；
（3）求兩車相遇時距A地多少千米？
四、實踐探究題
15．（2024八下·岳陽期末）【綜合實踐】新能源汽車多數采用電能作為動力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少了二氧化碳等氣體的排放，從而達到保護環境的目的．
【實驗操作】為了解汽車電池需要多久能充滿，以及充滿電量狀態下電動汽車的最大行駛里程，某綜合實踐小組設計兩組實驗．
實驗Ⅰ：探究電池充電狀態下電動汽車儀表盤增加的電量與時間t（分鐘）的關系，數據記錄如表1：
電池充電狀態
時間t（分鐘） 0 10 30 60
增加的電量 0 10 30 60
實驗Ⅱ：探究充滿電量狀態下電動汽車行駛過程中儀表盤顯示剩余電量與行駛里程s（千米）的關系，數據記錄如表2：
汽車行駛過程
已行駛里程s（千米） 0 160 200 280
顯示剩余電量 100 60 50 30
【建立模型】（1）觀察表1、表2發現都是一次函數模型，請結合表1、表2的數據，直接寫出函數關系式（不寫自變量的取值范圍）．
y關于t的函數表達式為____________，e關于s的函數表達式為_____________；
【解決問題】（2）某電動汽車在充滿電量的狀態下，從A地出發前往距出發點480千米的B地，在途中服務區進行一次充電后繼續行駛，其已行駛里程數（s）和顯示剩余電量（e）的函數關系如下圖所示：
①該車到達B地時，顯示剩余電量e的值為____________；該車進入服務區充電前顯示剩余電量e的值為_____________．
②該車中途充電用了多少分鐘？
③當汽車顯示剩余電量e的值為60時，該車距出發點A地多少千米？
16．根據以下素材，探索完成任務.
如何確定木板分配方案？
素材1 某校開展愛心義賣活動，小藝和同學們打算推銷自己的手工制品.他們以每張15元的價格買了100張矩形木板，每張木板長和寬分別為 80cm，40 cm.
素材2 如圖①，現將部分木板按虛線裁剪，剪去四個邊長相同的小正方形（陰影部分）.把剩余五個矩形拼制成無蓋長方體收納盒，使其底面長與寬之比為3：1.如圖②，其余木板按虛線裁木板（陰影部分是余料），剪出兩塊給部分盒子配上蓋子。
素材3 售價如標簽所示：
問題解決
任務1 計算盒子高度 求出長方體收納盒的高度.
任務2 確定分配方案1 若制成的有蓋收納盒個數大于無蓋收納盒，但不到無蓋收納盒個數的2倍，木板該如何分配？請給出分配方案.
任務3 確定分配方案2 在任務2的條件下，為了提高利潤，小藝打算把圖②裁剪下來的余料（陰影部分）利用起來，一張矩形余料可以制成一把小木劍，并以5元/個的價格銷售.請確定木板分配方案，使銷售后獲得最大利潤.
五、綜合題
17．（2023·蘇州）某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止．設時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記與具有函數關系．已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；滑塊從點出發到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）．請你根據所給條件解決下列問題：
（1）滑塊從點到點的滑動過程中，的值　 　；（填“由負到正”或“由正到負”）
（2）滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數表達式；
（3）在整個往返過程中，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】根據題意和圖可知：慢車的速度為，快車的速度為，
慢車的y-t表達式：
快車的y-t表達式：
相遇，即兩車的y相等
解得t=3h
解得t=4.5h
故兩車兩次相遇時間間隔為4.5-3=1.5h
故選：B
【分析】兩次相遇的t，就是三條線段的兩個交點橫坐標，故要先找到這三條線段的函數解析式；橫軸是時間，線段的傾斜程度即速度，甲乙間路程是a，根據路程=速度時間列出函數解析式，聯立解一元一次方程組即可；分別求出2次相遇的t值，再相減。
2．【答案】C
【知識點】通過函數圖象獲取信息；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：設彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）的對應函數關系式為：，
該函數經過點和，
，
解得：，
即彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）的對應函數關系式為：，
當時，，即這個彈簧稱不掛物體時彈簧的長度為10cm，
故答案為：C．
【分析】根據題意和函數圖象中的數據，可以求得彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）的對應函數關系式，然后將x=0代入所求函數關系式即可求解．
3．【答案】A
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：∵ 某種蛇其體長是尾長的一次函數，設該一次函數解析式是y=kx+b（k≠0）
由表格可知，該一次函數過點（6，45.5），（10，60.5），代入得：
解得：k=7.5，b=0.5
則y與x之間的關系式為y=7.5x+0.5
故答案為：A.
【分析】本題考查待定系數法求一次函數解析式，掌握該方法，準確計算是解題關鍵。由表格任選兩個點坐標，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。
4．【答案】C
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】方法一：思路正確的，但函數表達式不正確，缺少了x的取值范圍，x≥100
方法二思路正確，列不等式也正確.
故答案為：C.
【分析】根據表格可以的到函數關系式，但要注意x的取值范圍。
5．【答案】A
【知識點】一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設直線與y軸交于點D，軸于點E，如圖所示．
當時，，
∴點D的坐標為；
當時，，
∴點A的坐標為，
∴點E的坐標為，，
∴，
∴．
同理，可求出另兩個三角形的面積均為（陰影部分組成的小三角形），
∴陰影部分面積之和為：．
故答案為：A．
【分析】設直線與y軸交于點D，AE⊥y軸于點E，利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點A，D的坐標，利用三角形的面積計算公式可求出三角形DAE的面積，同理可得出另外兩個小三角形的面積，據此求解。
6．【答案】B
【知識點】一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：觀察表格數據發現y與x之間存在一次函數關系，故設y=kx+b，
將點（2，1）與（6，2）分別代入得，
解得，
∴y關于x的函數關系式為y=0.25x+0.5，
將x=11代入得y=0.25×11+0.5=3.25，
即當x為11斤時，對應的水平距離y為3.25厘米.
故答案為：B.
【分析】觀察表格數據發現y與x之間存在一次函數關系，故借助表格數據，利用待定系數法求出y關于x的函數關系式，進而舉哀那個x=11代入所求的函數解析式，算出對應的函數值即可.
7．【答案】C
【知識點】一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：7寸＝0.7尺．
∵瓜蔓在高9尺的墻上，向下伸，每天長7寸，
∴x天時瓜蔓離地面的高度h＝9﹣0.7x．
∵地上種著瓠蔓向上長，每天長1尺，
∴x天時高度h＝x．
∵相遇時高度相同，
∴9﹣0.7x＝x．
解得：x＝
∴兩圖象交點P的橫坐標為，點A表示瓜蔓垂到地面．
故答案為：C．
【分析】一尺＝10寸，因此7寸＝0.7尺．根據題意，x天時瓜蔓離地面的高度h＝9﹣0.7x；x天時瓠蔓高度h＝x．相遇時高度h相同，算出x即可．
8．【答案】C
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】解：根據題意：可設段的解析式為：，且經過點，，
∴，
解得：，
∴段的解析式為：；
設段的解析式為：，且經過點，
∴，
解得：，
∴段的解析式為：．
∵該網紅店某一天中盈利120元時，即，
∴，
解得：．
∴這天的產量是45千克．
故答案為：C．
【分析】先結合函數圖象上的數據利用待定系數法求出直線AB和OC的解析式，再結合“該網紅店某一天中盈利120元”列出方程，再求出x的值即可.
9．【答案】2；
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】
解：由圖象可知，出發后2h甲追上乙，故答案為2.
設甲的速度為xkm/h，
由圖象可知：A，B兩地相距24km，
根據題意得：2x=8x2+24，
解得：x=20
∴20×1.5=30(km)
故答案為2；.
【分析】
由圖象可知：A，B兩地相距24km，當t=2時，y=0，即：出發后2h甲追上乙；再設甲的速度為xkm/h，根據等量關系：甲走的路程=乙走的路程+24，列出方程，解出x，再乘以1.5即可.
10．【答案】3.9
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：設OA段對應的函數解析式為y=kx，
將（5，300）代入，得：5k=300，
解得k=60，
∴OA段對應的函數解析式為y=60x，
設CD段對應的函數解析式為y=ax+b，
解得
∴CD段對應的函數解析式為y=110x-195，
110x-195=60x，解得x=3.9，
∴貨車出發3.9小時與轎車相遇，
故答案為：3.9.
【分析】先分別求得OA段，CD段對應的函數解析式，再求出兩個函數圖象的交點的橫坐標即可.
11．【答案】3；
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】解：設某人的付款金額為 元， 購量為 千克，
則，化簡得，
當x=14時，y=3.
故答案為：3；.
【分析】設某人的付款金額為 元， 購量為 千克，根據題意可得，化簡得，再代入x=14，求得y值.
12．【答案】（1）80
（2）
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：（1）由圖可以知道；郵政車由合肥到蕪湖所用時間為小時，
∴郵政車的速度為150÷=80（千米/小時）；
故答案為：80.
（2）設大巴車的速度為m千米/小時，
由題意知：兩車第一次相遇時路程之和為150×2=300（千米），
∴
∴m=40，
∴
∴相遇點距合肥的距離為千米；
故答案為：.
【分析】（1）由圖形可以知道郵政車由合肥到蕪湖所用時間為小時，可得到郵政車的速度為150÷=80（千米/小時）；
（2）設大巴車的速度為m千米/小時，由題意可知兩車第一次相遇時路程之和為150×2=300（千米），可以列方程解方程求出m，再代入，即可求解.
13．【答案】（1）解：設每部甲型手機的利潤為元，每部乙型手機的利潤為元，
根據題意得：，
解得，
每部甲型手機的利潤為元，每部乙型手機的利潤為元；
（2）解：乙型手機的進貨量不低于甲型手機的倍，
，
解得，
根據題意得，
；
在中，隨的增大而增大，
當時，取最大值，
此時，
購進甲型手機部，乙型手機部，才能使銷售總利潤最大．
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設每部甲型手機的利潤為元，每部乙型手機的利潤為元，根據兩種購買情況所得的利潤分別列出方程并組成方程組進行求解即可。
（2）①結合（1）中所得結果，根據總利潤＝甲型手機利潤+乙型手機利潤列出關系式。根據甲乙兩型手機的進貨量的關系列不等式求出X的取值范圍。
②根據關系式得出y與X間的變化關系，再根據X的取值范圍求出y的最大值即可。
14．【答案】（1）400
（2）；
（3）解：設兩車相遇時距A地x千米，由圖象知甲車的速度：400÷(5-1)=100千米/小時，
，乙車速度為：400÷5=80千米/小時，
根據題意可列方程為：
得.
答：兩車相遇時距A地千米.
【知識點】一元一次方程的實際應用-行程問題；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】（1）從圖示中，我們可以看到，當x=0時，乙車處于B地，其與A地的距離為400千米，因此，可以得出，A、B兩地相距400千米，故答案為400.
（2）根據圖象可知：可表示甲車圖象，可表示乙車圖象，故答案為：，.
【分析】（1）根據圖象，可以得出A，B兩地之間的距離
（2）根據甲遲出發1個小時，可得：可表示甲車圖象，可表示乙車圖象
（3）設兩車相遇時距A地x千米，根據等量關系：甲所用的時間+1=乙所用的時間，列出方程：解得即可.
15．【答案】（1），
（2）①10，40；
②把代入中，得
∴增加的電量為，即
∴，即該車中途充電用了30分鐘
③當汽車到達服務區前，汽車顯示剩余電量e的值為60時，由表格數據得此時該車距出發點A地160千米
當汽車離開服務區后，汽車顯示剩余電量e的值為60時，
∵離開服務區時的剩余電量為，汽車顯示剩余電量e的值為60時，耗電量為，
∵每千米耗電量為
∴耗電量行駛的路程為千米
故此時該車距出發點A地千米
綜上，當汽車顯示剩余電量e的值為60時，該車距出發點A地160或280千米．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；通過函數圖象獲取信息；一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：（1）根據題意，設y關于t的函數表達式為
將代入，得
∴y關于t的函數表達式為
設e關于s的函數表達式為
將代入，得
∴e關于s的函數表達式為
故答案為：；.
（2）①由圖知，該車到達B地時，顯示剩余電量e的值為10
把代入中，得
∴該車進入服務區充電前顯示剩余電量e的值為40故答案為：10，40.
【分析】（1）分別設y關于t的函數表達式為，e關于s的函數表達式為利用待定系數法求解函數關系式即可
（2）①根據圖象直接回答： 該車到達B地時，顯示剩余電量e的值為 10，然后把代入中，解出e即可
②先求得離開服務區走完剩余路程千米時，需要耗電量，結合該車到達B地時，顯示剩余電量為，可求得增加的為，令y=，解出t即可
③本題需要分類討論：
分當汽車到達服務區前，汽車顯示剩余電量e的值為60時，由表格可得：s=160千米
當汽車離開服務區后，汽車顯示剩余電量e的值為60時，計算出離開服務區時，剩余電量，得出耗電量為，得出每千米耗電量為，則求出耗電量行駛的路程為千米即可.
16．【答案】解：任務1：設長方體收納盒的高度為，
，
解得，
長方體收納盒的高度為10cm.
任務2：設有a個收納盒，
得，
解得，
，
共有4種方案：①76張木板制作無蓋收納盒，24張制作盒蓋；②77張木板制作無蓋收納盒，23張制作盒蓋；③78張木板制作無蓋收納盒，22張制作盒蓋；④79張木板制作無蓋收納盒，21張制作盒蓋.
任務3：設利潤為w元，
得，
當a=76時，利用最大，
76張木板制作無蓋收納盒，24張制作盒蓋.
【知識點】一元一次方程的實際應用-幾何問題；一次函數的實際應用-方案問題；一元一次不等式組的實際應用-方案問題
【解析】【分析】任務1：長方體收納盒的高度為，可得收納盒底面的長為cm，寬為cm，再根據底面長與寬之比為3：1列出方程，解得x=10，即長方體收納盒的高度為10cm.
任務2：設有a個收納盒，故有蓋收納盒個數為個，無蓋收納盒為個，根據制成的有蓋收納盒個數大于無蓋收納盒，但不到無蓋收納盒個數的2倍列出不等式組，解得，進而得到a的值，共有4種方案.
任務3：由任務2 可得有蓋收納盒個數為個，無蓋收納盒為個，小木劍為個，再利用利潤計算公式表示出w=-a+600，然后通過一次函數的性質可得當a=76時，利用最大，故76張木板制作無蓋收納盒，24張制作盒蓋.
17．【答案】（1）由負到正
（2）解：設軌道AB的長為n，當滑塊從左向右滑動時，
∵，
∴，
∴
∴d是t一次函數，
∵當t=4.5s和5.5s時，與之對應d的兩個值互為相反數；
∴當t=5時，d=0，
∴，
∴，
∴滑塊從點A到點B所用的時間為(91-1)÷9=10s，
∵整個過程總用時27s（含停頓時間）．當滑塊右端到達點B時，滑塊停頓2s，
∴滑塊從點B到點A的滑動時間為27-2-10=15s，
∴滑塊返回的速度為(91-1)÷15=6m/s，
∴當時，，
∴，
∴，
∴d與t的函數表達式為；
（3）解：當d=18時，有兩種情況，
由（2）可得，
①當0≤t≤10時，，
解得：；
②當12≤t≤27時，，
解得：，
綜上所述，當或時，．
【知識點】一次函數的實際應用
【解析】【解答】解：（1）∵d=l1-l2，
當滑塊左端在點A時，l1=0，d=-l2＜0，
當滑塊的右端在點B時，l2=0，d=l1＞0，
∴d的值由負到正；
故答案為：由負到正；
【分析】（1）根據d=l1-l2，求出兩個特殊位置：當滑塊左端在點A時與當滑塊的右端在點B時a的值，即可判斷得出答案；
（2）設軌道AB的長為n，由題意可得l1+l2+1=n，則d=l1-l2=18t-n+1，由當t=4.5s和5.5s時，與之對應d的兩個值互為相反數可得當t=5時，d=0，據此可求出d=91，從而根據路程、速度、時間三者的關系可算出滑塊返回的速度6m/s，l2=6(t-12)，再代入d=l1-l2，即可求解；
（3）當d=18時，有兩種情況，①當0≤t≤10時，②當12≤t≤27時，分別列出方程，求解即可.
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