資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
第一課時《4.1正弦和余弦》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 《正弦》是湘教版九年級上冊第四章《銳角三角函數》的第一節內容。本節主要研究正弦函數，通過討論直角三角形中銳角與其對邊和斜邊比值之間的關系，引出正弦函數的概念。教材通過實際問題抽象出數學問題，即當直角三角形的銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值都固定（即正弦值不變）。這種設計有助于學生理解正弦函數的實際意義和應用價值。同時，教材也注重了知識的連貫性和系統性，為正弦函數后續的學習打下了堅實的基礎。
學習者分析 九年級學生已經學習了三角形、相似三角形、勾股定理以及函數相關知識，具備了一定的邏輯思維能力和推理能力。他們對數學有了一定的興趣和熱情，同時也具備了一定的自主學習和合作學習的能力。然而，對于首次接觸到的以角度為自變量的三角函數，學生可能會感到陌生和困難。因此，在教學過程中，教師需要注重引導學生從特殊到一般地認識正弦函數，幫助他們逐步理解正弦函數的概念和性質。
教學目標 1.初步了解銳角三角函數的意義，理解在直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比值就是這個銳角的正弦的定義，并會根據已知直角三角形的邊長求一個銳角的正弦值。 2.經歷探索直角三角形中邊與角的關系的過程，逐步發現一個銳角的對邊與斜邊的比值不變的規律，培養學生由特殊到一般的演繹推理能力。 3.在解決問題的過程中體驗求索的科學精神以及嚴謹的科學態度，進一步激發學習需求。同時，通過合作學習，培養學生的團隊協作精神和交流溝通能力。
教學重點 理解正弦（sinA）概念，能用正弦概念進行簡單的計算。
教學難點 比較、分析并得出正弦函數的概念，以及理解直角三角形中一個銳角與其對邊及斜邊比值的對應關系。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：新知導入教師活動1： 回顧： 直角三角形△ABC有什么性質？ 教師帶領回顧：直角三角形的兩個銳角互余。 ∠A+∠B=90° 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 CD=AB 直角三角形兩直角邊a,b的平方和，等于斜邊c的平方。 a2+b2=c2學生活動1： 跟隨教師的講授回顧舊知 舉手回答問題，認真聽講活動意圖說明：復習導入有利于銜接新舊知識，提高學習效率。通過舊知識引入新的知識有利于活躍課堂教學氛圍，激發學生學習動機。環節二：講授新知教師活動2： 做一做 畫一個直角三角形， 其中一個銳角為65°， 量出65°角的對邊長度和斜邊長度， 計算 = =_______________. 與同桌和鄰桌的同學交流， 看看計算出的比值是否相等(精確到0.01). 猜想：在有一個銳角為65°的所有直角三角形中，65°角的對邊與斜邊的比值是一個常數. 思考：若把65°角換成任意一個銳角α，則這個角的對邊與斜邊的比值是否也是一個常數呢？ 探究 如圖，△ABC 和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F =90°， 則=成立嗎？為什么？ 解： ∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ = . 即BC·DE=AB·EF， ∴ =. 教師講授：在有一個銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對邊與斜邊的比值是一個常數， 與直角三角形的大小無關. 在直角三角形中， 我們把銳角α的對邊與斜邊的比叫作角α的正弦(sine)，記作sinα. sin= 教師講授：根據“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”，容易得到sin30°= . 學生活動2： 動手測量，合作交流 提出猜想 認真思考 認真思考，獨立證明 認真聽講，經歷角α的對邊與斜邊的比值是一個常數的證明過程 認真聽講，了解正弦的定義 由舊知求特殊的正弦值活動意圖說明：數學是一門嚴謹的學科，它要求推理過程和結論都必須經過嚴格的邏輯推理和證明。讓學生通過自主證明，感受數學的嚴謹性，提高學生的邏輯推理能力和自主解題能力。環節三：例題精析教師活動3： 例1如圖，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5． (1)求sinA的值； (2)求sinB的值． 解: (1)∠A的對邊BC=3，斜邊AB=5 ． 于是sinA==． (2)∠B的對邊是AC，根據勾股定理得AC2=AB2-BC2=52-32=16． 于是AC=4． 因此sinB==．學生活動3： 學生認真思考，獨立完成習題 學生認真聽講 活動意圖說明：讓學生通過具體例題的教學理解和鞏固數學基礎知識，把數學理論與實踐相結合，掌握數學基礎知識理論的用途和方法，從而達到提高分析問題解決問題的能力的目標。環節四：課堂總結教師活動4： 教師講授： 在直角三角形中， 我們把銳角α的對邊與斜邊的比叫作角α的正弦(sine)，記作sinα. sin= 根據“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”，容易得到sin30°= .學生活動4： 學生跟隨教師對學習內容進行歸納梳理 活動意圖說明：對課堂教學進行歸納梳理，給學生一個整體印象，促進學生掌握知識總結規律。
板書設計
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.如圖，△ABC中，∠C＝90°，則∠A的正弦值可以表示為( ) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，則sinB的值為（　　） A． B． C． D． 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，則sinA=_____． 選做題： 4.如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=4，則sinA的值為（　　）. A． B． C． D． 5.計算：sin30°－|－2|＝　 　． 6.如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，則sin∠ADE的值為　 　． 【綜合拓展類作業】 如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D為垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，則sinA與sinA′的關系為 (　　) A．sinA=2sinA′　B．sinA=sinA′　C．2sinA=sinA′　D．不確定 2.填空： (1)sinA＝＝； (2)sinB＝＝. 3.在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，則sinC的值是_______. 【綜合拓展類作業】 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D. (1)求證：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的長和sinA的值．
教學反思 1.需要多花時間研究如何調控課堂氣氛，使課堂更加活躍，提高教學效果。 2.在新知探究過程中，應該更多地交由學生自主思考分析，將課堂還給學生，體現新課程理念。 3.需要精煉課堂語言，用語言引導本章的知識學習路徑和知識框架，激發學生的求知欲望。 4.板書設計需要詳略得當，避免非必要和非重點的內容出現和重復。
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學 科 數學 年 級 九 設計者
教材版本 湘教版 冊、章 上冊第四章
課標要求 1.利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(sinA,cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數值。 2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角。 3.能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。
內容分析 本章是湘教版九年級上冊第四章《銳角三角函數》，屬于《義務教育數學課程標準》中的“圖形與幾何”領域中的“圖形的變化”.在中學數學教育中，三角學內容被分為兩部分：一部分在義務教育第三學段（主要研究銳角三角函數和解直角三角形的內容），另一部分在高中階段（包括解斜三角形、三角函數、反三角函數和簡單的三角方程）。銳角三角函數作為三角學的初步內容，為后續學習三角函數和解斜三角形提供了重要的基礎。 本章主要內容包括：銳角三角函數（正弦、余弦和正切）以及解直角三角形。銳角三角函數是自變量為銳角時的三角函數，即縮小了定義域的三角函數。解直角三角形在實際應用中有著廣泛的應用，而銳角三角函數為解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知識和勾股定理也是學習銳角三角函數的重要基礎。并且研究圖形中各個元素之間的關系，并把這種關系進行量化，是分析和解決問題中常用的一種數形結合的方法，這種方法是一種重要的數學思想.因此本章還包含了數形結合的思想.
學情分析 《銳角三角函數》通常安排在初中數學課程的后期，學生在此之前已經學習了直角三角形、相似三角形以及勾股定理等相關知識。這些知識為學習銳角三角函數提供了必要的基礎。且經過之前的學習，學生已經具備了初步的邏輯思維能力和簡單的抽象概括能力，掌握了一些科學的學習方法，學會了獨立思考和與人合作交流的能力。大部分學生對數學學習有著濃厚的興趣，樂于參與到學習活動中去，特別是對一些動手操作、合作學習、實踐活動等學習內容尤為感興趣。 然而，也有部分學生基礎較差，上課聽到的知識課后不會運用，作業的正確率低，個別學生有拖拉作業的習慣。因此，在本章的數學課上，需要培養學生對數學的學習興趣，讓學生善于思考、樂于思考，不怕錯誤，具有問題意識，并養成良好的學習習慣。
單元目標 （一）教學目標 1.認識銳角三角函數（sinA,cosB,tanA）。 2.知道30°，45°，60°角的三角函數值。 3.會使用計算器求已知銳角的三角函數值，及由已知銳角的三角函數值求銳角。 4.能用銳角三角函數解決一些簡單的實際問題。 （二）教學重點、難點 教學重點： 1.正弦、余弦、正切的概念。 2.解直角三角形的方法。 教學難點： 1.用含有幾個字母的符號sinA、cosA、tanA表示正弦、余弦、正切。 2.銳角三角函數的概念反映了角度與數值之間對應的函數關系，這種角與數之間的對應關系是學生過去沒有接觸過的，因此有一定的難度。
單元知識結構框架及課時安排 （一）單元知識結構框架 （二）課時安排 課時編號單元主要內容課時數4.1正弦和余弦34.2正切14.3解直角三角形14.4解直角三角形的應用2小結與復習單元復習1
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務4.1正弦和余弦（1）1.初步了解銳角三角函數的意義，理解在直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比值就是這個銳角的正弦的定義，并會根據已知直角三角形的邊長求一個銳角的正弦值。 2.經歷探索直角三角形中邊與角的關系的過程會根據已知直角三角形的邊長求一個銳角的正弦值任務一：通過問題要求求銳角的對邊與斜邊的比值。 任務二：經歷探索直角三角形中邊與角的關系的過程。 任務三：例題精講，經歷求正弦值的過程。 任務四：習題檢測。4.1正弦和余弦（2）1.理解并掌握銳角正弦的定義，能夠根據定義求出特殊銳角的正弦值。 2.會用計算器求銳角的正弦值。 3.學會利用正弦函數解決直角三角形中的相關問題。1.能夠根據定義求出特殊銳角的正弦值。 2.會用計算器求銳角的正弦值。任務一：復習導入，回顧舊知。 任務二：動手計算，求出特殊銳角的正弦值。 任務三：用計算器求銳角的正弦值。 任務四：習題檢測。4.1正弦和余弦（3）1.理解銳角余弦的概念，掌握余弦函數的定義和計算方法，能夠運用余弦函數解決相關問題。 2.用計算器求銳角的余弦值。1.會根據已知直角三角形的邊長求一個銳角的余弦值。 2.用計算器求銳角的余弦值。任務一：復習導入，回顧舊知。 任務二：理解銳角余弦的概念。 任務三：掌握求余弦值計算方法。 任務四：習題檢測。4.2正切1.經歷銳角正切的探索過程，理解并掌握銳角正切的概念及其計算方法。 2.掌握正切的符號，會用符號表示一個銳角的正切函數 3.能夠運用正切函數解決相關的數學問題。1.會根據已知直角三角形的邊長求一個銳角的正切值。 2.用計算器求銳角的正切值。任務一：復習導入，回顧舊知。 任務二：理解銳角正切的概念。 任務三：掌握求正切值計算方法。 任務四：習題檢測。4.3解直角三角形1.理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形。 2.探索發現解直角三角形所需的最簡條件。 1.會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形。 2.運用數學知識解決一些簡單的實際問題任務一：回顧正弦、余弦和正切。 任務二：經歷解直角三角形的過程。 任務三：探索發現解直角三角形所需的最簡條件。 任務四：習題檢測。4.4解直角三角形的應用（1）1.學生能夠理解仰角和俯角的概念。 2.學生能夠掌握解直角三角形的基本方法。3.學生能夠經歷從實際問題抽象出數學模型的過程，學會將實際問題轉化為解直角三角形的問題。1.會根據直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關的實際問題。 2.利用三角函數求解邊長和角度等。 3.會將實際問題轉化為解直角三角形的問題并解決。任務一：回顧解直角三角形。 任務二：探究解直角三角形的應用。 任務三：將實際問題轉化為解直角三角形的問題并解決。 任務四：習題檢測。4.4解直角三角形的應用（2）運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，使學生能夠運用解直角三角形的知識解決有關方向角、坡度等實際問題。能夠運用解直角三角形的知識解決有關方向角、坡度等實際問題。任務一：新知導入，問題驅動。 任務二：探究解直角三角形的應用。 任務三：將實際問題轉化為解直角三角形的問題并解決。 任務四：習題檢測。小結與復習1.回顧銳角三角函數（sinA,cosB,tanA）。 2.鞏固30°，45°，60°角的三角函數值。 3.鞏固由已知銳角的三角函數值求銳角。 4.能用銳角三角函數解決一些簡單的實際問題。1.會求銳角三角函數。 2.能由已知銳角的三角函數值求銳角 3.能用銳角三角函數解決一些簡單的實際問題。任務一：回顧舊知，進行單元復習。 任務二：習題檢測，查漏補缺。
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（湘教版）九年級
上
4.1.1 正弦與余弦
銳角三角函數
第四章
“—”
教學目標
01
新知導入
02
新知講解
03
課堂練習
04
課堂總結
05
作業布置
06
目錄
內容總覽
教學目標
1.初步了解銳角三角函數的意義，理解在直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比值就是這個銳角的正弦的定義，并會根據已知直角三角形的邊長求一個銳角的正弦值。
2.經歷探索直角三角形中邊與角的關系的過程，逐步發現一個銳角的對邊與斜邊的比值不變的規律，培養學生由特殊到一般的演繹推理能力。
新知導入
直角三角形△ABC有什么性質？
回顧
直角三角形的兩個銳角互余。
∠A+∠B=90°
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
CD=AB
直角三角形兩直角邊a,b的平方和，等于斜邊c的平方。
a2+b2=c2
新知講解
做一做
畫一個直角三角形， 其中一個銳角為65°， 量出65°角的對邊長度和斜邊長度， 計算
= =_______________.
與同桌和鄰桌的同學交流， 看看計算出的比值是否相等(精確到0.01).
新知講解
猜想：在有一個銳角為65°的所有直角三角形中，65°角的對邊與斜邊的比值是一個常數.
思考：若把65°角換成任意一個銳角α， 則這個角的對邊與斜邊的比值是否也是一個常數呢？
新知講解
探究
如圖，△ABC 和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α ，∠C=∠F =90°， 則=成立嗎？ 為什么？
解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴ = .
即BC·DE=AB·EF，
∴ =.
新知講解
在有一個銳角等于 α 的所有直角三角形中， 角 α 的對邊與斜邊的比值是一個常數， 與直角三角形的大小無關.
在直角三角形中， 我們把銳角α的對邊與斜邊的比叫作角α的正弦(sine)，記作sinα.
sin =
新知講解
根據 “在直角三角形中， 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”， 容易得到sin30°= .
典例精析
例1
如圖，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．
(1)求sinA的值；
(2)求sinB的值．
解:(1)∠A的對邊BC=3，斜邊AB=5 ．
于是sinA==．
典例精析
例1
如圖，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．
(1)求sinA的值；
(2)求sinB的值．
解:(2)∠B的對邊是AC， 根據勾股定理， 得AC2=AB2-BC2=52-32=16．
于是AC=4．
因此sinB==．
1.如圖，△ABC中，∠C＝90°，則∠A的正弦值可以表示為( )
A.
B.
C.
D.
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
C
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，則sinB的值為（　　）
A． B． C． D．
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，則sinA=______．
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
B
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
4.如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=4， 則sinA的值為（　　）.
A．
B．
C．
D．
C
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
5.計算：sin30°－|－2|＝　 　．
6.如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，則sin∠ADE的值為　 　．
-
【綜合拓展類作業】
課堂練習
如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D為垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝4，BC＝3，
∴AB==5.
根據同角的余角相等，得∠ACD＝∠B.
∴sin∠ACD＝sinB＝＝.
課堂總結
在直角三角形中， 我們把銳角α的對邊與斜邊的比叫作角α的正弦(sine)，記作sinα.
sin =
sin30°=
板書設計
正弦：
sin =
sin30°:
4.1正弦（1）
習題講解書寫部分
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
1.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，則sinA與sinA′的關系為 (　　)
A．sinA=2sinA′
B．sinA=sinA′　
C．2sinA=sinA′　
D．不確定
B
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
2.填空：
(1)sinA==；
(2)sinB==.
CD
AB
BC
AC
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
3.在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，則sinC的值是_______.
【綜合拓展類作業】
作業布置
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D.
(1)求證：△ACD∽△CBD；
(2)若AD＝2，AB＝6，求CD的長和sinA的值．
(1)證明：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
【綜合拓展類作業】
作業布置
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D.
(1)求證：△ACD∽△CBD；
(2)若AD＝2，AB＝6，求CD的長和sinA的值．
(2)解∵△ACD∽△CBD，
∴=，
∴CD2＝AD·BD＝2×(6-2)＝8，
∴CD＝2.
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝2，
∴sinA＝.
Thanks!
2
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