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第一章 集合與常用邏輯用語
1．3 集合的基本運算（第一課時）
知識回顧
子集的概念：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集．記作： A B（或B A），讀作： “A包含于B”（或“B包含A”）．
集合相等：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B中的任何一個元素都是集合A的元素，則稱集合A等于集合B，記作A=B．
若A B且B A，則A=B; 反之也成立
真子集：對于兩個集合A與B，如果A B，但存在素 ，則稱集合A是集合B的真子集．
集合相等：（1）任何一個集合是它本身的子集，即A A；（2）對于集合A，B，C，如果A B，且B C，則A C；（3）空集是任何集合的子集；（4）空集是任何非空集合的真子集．
集合元素個數與其子集的個數的關系：
設集合A中含有n個元素，則集合A共有2n個子集，有 2n-1個真子集．
問題引入
我們知道，實數有加、減、乘、除等運算．那么集合是否也有類似的運算呢？
觀察下面的集合，類比實數的加法運算，你能說出集合C與集合A、B之
間的關系嗎？
（1） A=｛1，3，5｝， B=｛2，4，6｝， C=｛1，2，3，4，5，6｝；
（2）A=｛x|x是有理數｝， B=｛x|x是無理數｝，C=｛x|x是實數｝．
上述兩個問題中，集合A、B和C之間都具有這樣一種關系：集合C是
由所有屬于A或屬于集合B的元素組成的．
思考
并集
一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。
記作：A∪B（讀作：“A并B”）
即：
A∪B ={ x | x ∈ A ，或 x ∈ B}
這樣，在問題（1）（2）中，集合A與B的并集是C，即A∪B = C．
這說明：兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與B 的所有
元素組成的集合（由集合的互異性，重復元素只看成一個元素，不能重復寫出）．
并集三種情況其Venn圖表示：
A∪B
A
B
A∪B
A
B
A∪B
A
B
例題精講
【例1】 設A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B
A
4，6
B
3，7
5，8
解：A∪B={4，5，6，8} ∪ {3，5，7，8}
={3，4，5，6，7，8}．
注意：求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次．
例題精講
【例2】 設集合A={x|-11
0
2
-1
3
A
B
解：A∪B={x|-1={x|-1在解決集合的運算時：
①若給定的集合是不等式的解集，用數軸求解；
②若給定的集合是點集，用數形結合法求解；
③若給定的集合是抽象集合，用Venn圖求解．
思考
下列關系式成立嗎？
（1）A∪A=A；（2）A∪ =A
并集的性質：
（1）A∪A=A；
（2）A∪ =A；
（3）若A (A∪B)，B (A∪B)；
（4）若A B，則A∪B=B，反之也成立．
思考
觀察下面的集合，集合C與集合A、B之間有什么關系嗎？
（1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}；
（2）A={x|x是立德中學2020年9月在校的女同學}，
B={x|x是立德中學2020年9月在校的高一年級同學}，
C={x|x是立德中學2020年9月在校的高一年級女同學}．
上述兩個問題中，集合A、B和C之間都具有這樣一種關系：集合C
是由所有既屬于A又屬于集合B的元素組成的．
交集
一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集（intersection set）．
記作：A∩B（讀作：“A交B”）
即：
A∩B ={ x | x ∈ A ，且 x ∈ B}．
這樣，在上述問題（1）（2）中，集合A與B的交集是C，即A∩B = C．
交集的三種情況其Venn圖表示：
A
B
A∩B=
A∩B=A
A
B
A
B
A∩B=C
C
例題精講
【例3】立德中學開運動會，設
A={x|x是立德中學高一年級參加百米賽跑的同學}，
B={x|x是立德中學高一年級參加跳高比賽的同學}，
求A∩B．
解：A∩B就是立德中學高一年級中那些既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學組成的集合．所以，
A∩B={x|x是立德中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學}．
例題精講
【例4】設平面內直線l1上的點的集合為L1，直線l2上點的集合為L2，試用集合的運算表示l1，l2的位置關系．
解：（1）直線l1與直線l2相交于一點P可表示為：L1∩L2={P}；
（2）直線l1與直線l2平行可表示為：L1∩L2= ；
（3）直線l1與直線l2重合可表示為：L1∩L2=L1=L2 。
思考
下列關系式成立嗎？
（1）A∩A=A；（2）A∩ = ．
交集的性質：
（1）A∩A=A；
（2）A∩ = ；
（3）(A∩B) B，(A∩B) A；
（4）若A B，則A∩B=A，反之也成立．
課堂練習
已知集合A={1，3， }，B={1，m}，若A∪B=A，則m等于
A．0或√3 B．0或3 C．1或√3 D．1或3或0
解：因為A={1，3， }，B={1，m}，所以 m≠1，m≠9，
因為A∪B=A，所以B A，
所以m=3或m= ，即m=3或m=0或m=1(舍去)，
所以m=0或m=3，故選B．
課堂小結
并集的概念： 一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集．記作：A∪B（讀作：“A并B”）即： A∪B ={x|x∈A，或x∈ B}．
并集的性質：（1）A∪A=A；
（2）A∪ =A；
（3）若A (A∪B)，B (A∪B)；
（4）若A B，則A∪B=B，反之也成立
交集的概念：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，
稱為集合A與B的交集．記作：A∩B（讀作：“A交B”） 即：
A∩B ={ x | x ∈ A ，且 x ∈ B}．
交集的性質：（1）A∩A=A；
（2）A∩ = ；
（3）(A∩B) B，(A∩B) A；
（4）若A B，則A∩B=A，反之也成立．
課后練習
1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，則M∩N＝
2．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜5}，求A∩B，A∪B．
3．已知集合A＝{-1，1，3}，B＝{a+2，a2}，若A∩B＝{3}，求實數a的值

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