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專題二 30°角的用法
【知識聚焦】
直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質：兩銳角互余 (角的關系)、勾股定理 (邊的關系)、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半(邊角關系)，這些性質在求線段的長度、證明線段倍分關系、證明線段平方關系等方面有廣泛的應用.
【典例精講】
題型1 含 的直角三角形斜邊上的高
【例1】如圖, 在△ABC 中, AB=c, ∠A:∠B:∠ACB=1:2:3, CD⊥AB,垂足為點 D, 求 DB的長.
【分析】根據比例設∠A, ∠B, ∠C分別為k, 2k, 3k, 利用三角形內角和定理求出k, 從而得到. ∠B, ∠C的度數, 再求出. 然后根據直角三角形 角所對的直角邊等于斜邊的一半解答.
舉一反三。
1. 如圖, 在 中， 垂足為點 D， , 求BC的長.
題型2 利用 角作高構造直角三角形
【例2】如圖, CD是 的中線， 求證：
【分析】過點A作. 于E，構造出. 的直角三角形，即可求解.
舉一反三。
2. 如圖, 在 中， 求 的面積.
題型3 利用30°角補形構造直角三角形
【例3】如圖, 四邊形 ABCD 中, 若 求 AD的長.
【分析】挖掘本題三角形的形狀特征，補形列方程即可解決.
舉一反三。
3. 如圖, 四邊形 ABCD中, 求AD的長.
題型4 利用底角為15°的等腰三角形構造30°角的直角三角形
【例4】如圖, ∠AOC=15°, OC平分∠AOB, 點P為OC上一點, PD∥OA交OB于點D, PE⊥OA于點E, 若OD=4cm, 求PE的長.
【分析】作 PF⊥OB于點F，轉化PE長，發現圖中隱藏30°角，找出來利用30°的直角三角形性質計算.
舉一反三。
4. 如圖, 已知OC平分∠AOB,P是射線OC上任意一點, PD∥OA交OB于 D, PE⊥OA于點 E, ∠OPE=75°, 如果PE=6cm, 求OD的長.
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題型5 利用 角構造 角的直角三角形
【例5】如圖, 在 中， ，點D為BC上一點，以AD為腰作等腰 且 連接CE, 若 求 的面積.
【分析】挖掘出 是含有 的三角形，作高構造 的直角三角形.
舉一反三。
5. 某市在“舊城改造”中計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環境，已知這種草皮每平方米的售價為a元，求購買這種草皮至少需要多少元 專題五 60°角的用法
【知識點】
合理利用60°角構造等邊三角形得到相等線段，再進行推理.
【典例精講】
題型1 過60°角的邊上一點作平行線構造等邊三角形
【例1】如圖1, △ABC為等邊三角形, D為B上任一點, ∠ADE=60°, 邊DE與. 外角的平分線相交于點 E.
(1) 求證: AD=DE;
(2) 如圖2，若點D在 CB的延長線上，(1) 中的結論 .(填成立或不成立)
【分析】(1) 作DM∥CA交AB于M. 則. 是等邊三角形，則易證. 根據ASA 即可證得△AMD≌△DCE，根據全等三角形的對應邊相等，即可；
(2) 作DM∥BA交CA于M. 與(1) 相同, 可證△CDM是等邊三角形，然后證明. 根據全等三角形的對應邊相等，即得AD=DE.
舉一反三。
1. 如圖, 是等邊三角形，點D是AC的中點，點E，F分別在BC，AB的延長線上，
(1) 求證:
(2) 若 求 的值.
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題型2 在 角的兩邊上截取兩條相等線段構造等邊三角形
【例2】如圖, 為等邊三角形，
(1) 如圖1, 當. 時, 直接寫出DA, DC, DB之間的數量關系為 .
(2) 如圖2, 當. 時，①中的關系式是否成立 說明理由.
【分析】直接在DB上截取 證 為等邊三角形，再證
舉一反三。
2. 已知 是邊長為5 的等邊三角形.
(1)如圖1，若點P是BC上一點，過點C，點 P分別作AB，AC的平行線，兩線相交于點Q，連接BQ，AP的延長線交 BQ于點D. 試問：線段AD，BD，CD之間是否存在某種確定的數量關系 若存在，請寫出它們之間數量關系并證明你的結論； 若不存在，說明理由.
(2) 如圖2，若點 P是BC延長線上一點，連接AP，以AP為邊作等邊. (點 E, 點 A在直線BC同側), 連接CE交AP 于點 F, 求CE--CP的值.
題型3 利用60°角延長構造等邊三角形
【例3】已知點D, 點 E分別為等邊△ABC邊BC, AC上的點, CD=AE, AD與BE交于點F.
(1) 如圖1, 求∠AFE的度數;
(2) 點G為AC中點, ∠BFG=120°, 如圖2, 求證: AF=2FG.
【分析】(1) 挖掘本題隱含的幾何條件及運用三角形外角定理轉化求角.
(2) 延長 FE 至點 M, 使 FM=AF, 連 MC, 延長 PG 交 MC 手 N. 易證△AFM 為等邊三角形,△ABF≌△ACM, 易證△FMN為等邊三角形AF=FM=FN, 再證△AFG≌△CNG, 得FG=GN.
舉一反三。
3. 如圖, 在△ABC中, ∠BAC=60°, 以BC為邊在△ABC的同側作等邊△DBC, BD, AC相交于點 E,連結AD.
(1) 如圖1, 若 求證: △ABC≌△ADC;
(2) 如圖2, 若 求 的值.
20第2講 直角三角形
專題一 45°角的用法
【知識點】
1. 利用45°角構造等腰直角三角形進而構造出三角形全等；
2. 利用45°構造對稱全等；
3. 利用45°角構造等腰直角三角形進而構造出K型全等(內K或外K).
題型1 利用 角作垂線構造等腰直角三角形
【例1】如圖,點D為Rt△ACB外一點, ∠ACB=90°, AC=BC, ∠ADC=45°, 求證: ∠CDB=45°.
【分析】過點C作CD的垂線交直線DA于點E, 易得∠E=45°, 易證△ACE≌△BCD即可.
舉一反三。
1. 如圖, 點D為BC上一點， 求 的度數.
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題型2 過 角的頂點作一邊的垂線構造對稱型全等
【例2】如圖, 在 中， 點F在AB上, 求證：
【分析】利用 作CF的垂線，則CE為角平分線，構造對稱型全等，相當于變相“補短法”，再用全等轉化BF即可.
舉一反三。
2. 如圖: 已知. 點O為AB中點, 點E為AC上一點, 點F在BC上, 求`證：
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題型3 利用 角作高構造K型全等
【例3】如圖, 在平面直角坐標系中, A(0, 3), B(-4, 3), AB交x軸于點 D,
(1) 求AD的長及點 D的坐標:
(2) 點C在y軸上, 求 的面積.
【分析】(1) 過點B作x軸的垂線，垂足為H，證 即可：
(2) 過D作BD的垂線與BC延長線交于點E，作 軸，垂足為點F，易證 得EF=HD=2, DF=BH=3, ∴OF=DF--OD=1, E(1, 2), 根據梯形BHFE的面積求出OC的長.
舉一反三·
3. 平面直角坐標系中， B為y軸正半軸上一點， 求點 B 坐標.

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