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因式分解
一、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對多項(xiàng)式，而不是針對單項(xiàng)式，是對這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.
（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.
1、下列各式，從左到右的變形是因式分解的是（　　）
A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay B．2x2﹣x＝x（2x﹣1）
C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）
2、下列各式從左到右的變形是分解因式的是（　　）
A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）＝2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 D．x2+x＝x2（1+）
3、下列從左邊到右邊的變形，是正確的因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
4、下列從左到右的運(yùn)算是因式分解的是（　　）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2
C．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy D．（xy）2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1）
5、下列等式從左到右變形中，屬于因式分解的是（　　）
A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
二、提公因式法
多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.
要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.
（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.
（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.
把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．
要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，
即 .
　　（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.
　　（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號.
　　（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.
1、多項(xiàng)式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2、多項(xiàng)式－6ab2x－3a2by＋12a2b2的公因式是( )
A.－3a b B.－3a2b2xy　 C.－3a2b2　 D.3a2b2
3、把多項(xiàng)式-axy-ax2y2+2axz提公因式后，另一個(gè)因式是 （ ）
A.y+xy2-2z B.y-xy2+2z C.xy+x2y2-2xz D.-y+xy2-2z
4、因式分解
2x2y﹣8y＝___________________ a2﹣ab＝______________.
= =
= =
= =
= =
5、把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，結(jié)果是（　　）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
6、下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣y B．x2﹣2x C．x2+y2 D．x2﹣xy+y2
7、多項(xiàng)式21x2﹣35x分解因式的結(jié)果是（　　）
A．x（21x﹣35） B．7（3x2﹣5x） C．7x2（3﹣） D．7x（3x﹣5）
8、計(jì)算9992+999的結(jié)果是（　　）
A．999999 B．999000 C．99999 D．99900
9、已知，，則_______．
10、若，互為相反數(shù)，則________．
11、因式分解：___________．
12、________．
13、化簡：a＋1＋a(a＋1)＋a(a＋1)2＋…＋a(a＋1)99＝_______．
14、因式分解：=__________．
15、可以分解為，則 ．
三、公式法
1、公式法——平方差公式
兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：
要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.
（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.
（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
2、公式法——完全平方公式
兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；
（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.
（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
1、填空:
(1)4a2=（ )2 (2)25b2=（ ）2 (3) 16a4=（ )2
(4) 1.21a2b2=（ )2 (5) 0.81x4=（ )2 (6) 225x4y2=（ )2
2、平方差因式分解
(1)4a2－y2= (2)x2y4－49=
(3)4a2－(3b－c)2= (4)(x＋y)2－4x2=
(5)(4x－3y)2－25y2= (6)25(a＋b)2－4(a－b)2=
(7)9x2－(2x－y)2= (8)(2x＋y)2－(x－2y)2=
(9) 9(a＋b)2－16(a－b)2= (10) 9(3a＋2b)2－25(a－2b)2=
(11)x4－16= (12)(a＋b)4－(a－b)4=
(13)492－512= (14)6（x-y）2-12（y-x）3=
完全平方公式因式分解
x2-4x+4= (2)1+2m+m2=
（3）(3a)2+6ab+b= (4)4-4t+t2=
（5）a2+2a+4= (6)a2-a+0.25=
（7）a2-4ab+4b2= （8）4a2+12ab+9b2 =
（8）-x2+4xy-y2= =
4、下列因式分解的過程是否正確，請分別說明理由。
（1）x2+5x+4=(x+2)2 (2)4m2-9n2=(2m-3n)2
（3）16-8x+x2=(16-x)2 (4)x3-2x2y+xy2=x(x2-2xy+y2）
5下列因式分解正確的是（　　）
A．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）
B．9x2﹣4y2＝（9x+4y）（9x﹣4y）
C．x2﹣x+＝
D．﹣x2﹣4xy﹣4y2＝﹣（x+2y）2
6、下列各多項(xiàng)式中，能用平方差公式分解因式是（　　）
A．﹣x2+16 B．x2+9 C．﹣x2﹣4 D．x2﹣2y
7、多項(xiàng)式4a2+ma+25是完全平方式，則m=
8、若x-2y=8,x+2y=6,則x2-4y2+2x-4y的值為
9、已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值為
10、已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值為
11、已知x+y=7,xy=7,求（x-y）2的值為
四、十字相乘
1、十字相乘法的因式分解：+（p+q)x+pq=（x+p)(x+q)。
2、十字相乘法步驟：（1）豎著拆；（2）交叉乘（十字乘）；（3）橫著寫。
要點(diǎn)詮釋：
用十字相乘法時(shí)需注意，多項(xiàng)式是三項(xiàng)式；
豎著拆的是首項(xiàng)和尾項(xiàng)，首、尾項(xiàng)是帶字母的平方或是常數(shù)項(xiàng)；
例如:因式分解：+3x+2=（x+1）（x+2）；
1、因式分解：
（1）+5x+6 （2）-5a+6 （3）+7k-8 （4）-5b-14
-12+4c （6）-n+ （7）2+9x-5 （8）4+8x+3
-75xy-2500 （10）-5xy+6 （11）6+6-13mn
2、若可以分解為(x-2)(x+b），那么a+b的值為
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3、已知多項(xiàng)式可以分解因式，一個(gè)因式是x-6，則另一個(gè)因式為
A. x+2 B. x-2 C. x+3 D. x-3
五、分組分解法
對于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.
要點(diǎn)詮釋：分組分解法分解因式常用的思路有：
分類 分組方法 特點(diǎn)
四項(xiàng) 二項(xiàng)、二項(xiàng) ①按字母分組②按系數(shù)分組
③符合公式的兩項(xiàng)分組
三項(xiàng)、一項(xiàng) 先完全平方公式后平方差公式
例：
1、將下列各式分解因式
（1）
（2）.
（3）1﹣x2+2xy﹣y2
（4）
（5）
2、因式分解：
x2﹣y2﹣2x+2y＝___________________
a2b+ab2﹣a﹣b＝___________________．
x2﹣1+y2﹣2xy＝
x3－x2＋1－x＝
x＋y－xy－x2＝___________________．
ab－2a－2b＋4＝___________________．
3ax－3ay－6by＋6xb＝_________________
b2－2ab＋2a－b＝
3ax＋x＋3ay＋y＝
a2＋abc－3a－3bc＝
5x＋mx＋5y＋my＝ ．
x2－2xy＋4x－8y=
3、把x2﹣y2+2y﹣1分解因式結(jié)果正確的是（　　）
A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）
C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）
4、下列分解因式錯(cuò)誤的是（　　）
A．15a2+5a＝5a（3a+1）
B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．a(chǎn)x+x+ay+y＝（a+1）（x+y）
D．a(chǎn)2﹣bc﹣ab+ac＝（a﹣b）（a+c）
綜合練習(xí)
1．選擇題
1．多項(xiàng)式4x﹣x3分解因式的結(jié)果是（　　）
A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x）
C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）2
2．下列代數(shù)式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（　　）
A．x2﹣1 B．x2+xy+y2 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x﹣1
3．下列等式從左到石的變形，屬于因式分解的是（　　）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1
B．（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3
C．x2+4＝（x+2）2
D．x2+y2＝（x+y）（y﹣x）
二．填空題
4．分解因式4x2﹣（y﹣2）2＝　　．
5．分解因式：m2n﹣n3＝　　．
6．a(chǎn)與b互為相反數(shù)，則a3+2a2b+ab2＝　　．
三．解答題
7．分解因式：
（1）x2y﹣9y； （2）﹣m2+4m﹣4．
（3）x2﹣4y2+4﹣4x （4）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
（5）5m（2x﹣y）2﹣5mn2 (6)2x2－x； (7)16x2－1；
(8)6xy2－9x2y－y3； (9)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
(11)x2－2xy＋6x－12y； (12)x2－4x－5.
8、十字相乘
9、分組因式分解
(1)x3－x2＋1－x； (2)x＋y－xy－x2；
(3)ab－2a－2b＋4； (4)3ax－3ay－6by＋6xb.

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