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懷柔一中高二年級 2023-2024 學(xué)年度第一學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科期中檢測答案 2023.11
一、選擇題（共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）
1-5 AABCD 6-10 CCDBD
二、填空題（共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分）
4 3
11. 3 12. 2 13. 14. 7 15. ①③④
3
（說明：15 題對一個給 2 分，對兩個給 3 分，全對給 5 分，有錯答 0 分）
三、解答題（共 6 小題，共 85 分）
16. （本題 14 分）
m2 6m 8 0
解：（1）因為復(fù)數(shù) z為純虛數(shù)，所以 ，…………………………4 分
m 2 0
m 2或m 4
解的 ………………………………………………………6 分
m 2
解之得， m 4 ………………………………………………………………7 分
m2 6m 8 0
（2）因為復(fù)數(shù) z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以 { ….11 分m 2 0
2 m 4
解之得 { m 2 ……………………………………………… ………13 分
得 2 m 4 .所以實數(shù) m的取值范圍為 (2,4). ……………...…………14 分
17. （本題 13 分）
解：（1）由 A(2,3) B(0,1) k 1 3， 可得 AB 1，………………….………………2 分0 2
因為在平行四邊形 ABCD中， AB / /CD
所以 kAB kCD 1 ………………………………………………………4分
所以CD直線方程為 y 1 x 1，即 x y 2 0 .………………………6分
（2） AB (3 1)2 (2 0)2 2 2 ……………………………………………8 分
0 1 2
C 3 2到直線 AB的距離等于 B到CD的距離，即 d ………11 分
1 1 2
S AB d 2 2 3 2所以 6 ………………………………………………13 分
2
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18. （本題 14 分）
（1）證明：因為 PD 底面 ABCD，所以 PD AD， PD DC ，………………………2 分
因為 ABCD是矩形，所以 AD DC，…………………………………………4 分
因為 PD DC D， ……………………………………………………………6 分
所以 AD 平面 PCD. ……………………………………………………………7分
（2）解：由知（1）DA、DC、DP兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
M (0,1,1) ， B(1, 2, 0) ，

DM (0,1,1) ， DB (1, 2, 0) ，………………………………9分

設(shè)m (x, y , z ) 是平面 BDM的法向量，則有
m

DB 0 x 2y 0
得 ，
m DM 0 y z 0

令 y 1得平面 BDM 的一個法向量m (2, 1,1) ，……………………………11 分

由圖可知平面 BDC的法向量為 n (0, 0,1) ， ……………………………12 分
因為二面角M BD C為銳角，
M |m

n | 1 6
所以二面角 BD C的余弦值為 .……………………14 分|m | | n | 6 1 6
19. （本題 15 分）
（1）證明： 取 PD的中點 E，連接 AE,EN ，…………………1分
因為 N 為 PC中點， 所以 EN / /DC,EN
1
DC
2
1
因為M 為 AB中點，所以 AM / /DC , AM DC
2
所以 EN / /AM且EN AM
所以 ENMA為平行四邊形………………………4分
所以 AE / /MN ……………………………………5 分
因為 AE 平面PAD ,MN 平面PAD…………6 分
所以MN / /平面PAD ………………………………7分
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（2）解：取 AD的中點O，連接 PO，
因為 PAD是等邊三角形，所以 PO AD
因為側(cè)面 PAD 底面 ABCD，側(cè)面PAD 底面 ABCD AD， PO 側(cè)面 PAD
所以 PO 底面 ABCD……………………………………………………………………9 分
如圖在底面 ABCD內(nèi)過O做 AD的垂線，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
D( 1,0,0) ，C ( 1, 2, 0) ， P(0, 0, 3) ， B(1, 2, 0) ，

DC (0,2,0) ， DP (1, 0, 3) ， PB (1, 2, 3) ………………………………………11 分

設(shè)m (x, y , z ) 是平面 PDC的法向量，則有

m

DC 0 2y 0
得 ，
m DP 0 x 3z 0
z 1 令 得平面 PDC的一個法向量m ( 3, 0, 1) ，…………………………………13 分

PB m
設(shè) PB與平面PDC所成角為 ，則有 sin
3 3 6
……………15 分
PB m 2 2 2 4
20.（本題 14 分）
（1）由已知條件可知圓心 (1,0) 到 y軸的距離為 1，……………………………1 分
因為圓截 y軸所得弦長為 2
r 12 (2所以 )2 2 …………………………………………………4 分
2
所以圓的方程為 (x 1)2 y2 2 ………………………………………5分
（2）設(shè)直線 l的方程為 y x b
(x 1)2 y2 2
聯(lián)立方程 ，消 y得 2x2 (2b 2)x b2 1 0 ………6 分
y x b
由 (2b 2)2 4 2 (b2 1) 0 得 3 b 1 ………………………7分
2
設(shè) A(x1, y1),B(x2 , y2 ) ，則有 x
2b 2 b 1
1 x2 1 b,x1x2 ………9分2 2

由OA OB得OA OB 0 ………………………………………………10 分
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因為OA OB x1x2 y1y2 x1x2 (x1 b )(x2 b )
2x x b(x x 2 2 2 21 2 1 2 ) b (b 1) b(1 b) b b b 1
b2 b 1 0 b 1 5 ,b 1 5所以 ，解得 1 2 ………………………12 分2 2
所以直線方程為 y x 1 5 y x 1 5 或 …………………………14 分
2 2
21.（本題 15 分）
（1）證明：由已知DE//CF ， AE / /BF， AE DE E
所以平面 ADE // 平面 BCF ………………………………………3分
由已知平面 ADC 平面BFC l，平面 ADC 平面ADE AD
所以 AD / /l ………………………………………6 分
（也可以用線面平行的性質(zhì)證明）
（2）解：由已知 ABFE 為邊長為 2 的正方形， AE EF ，
因為平面 ABFE 平面 EFCD ，平面 ABFE 平面 EFCD EF ，
又DE EF， DE 平面 EFCD， DE 平面 ABFE，…………………8分
EA,EF ,ED兩兩垂直．
以 E為原點， EA,EF ,ED分別為 x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 E(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),F (0,2,0),D(0,0,1),C(0,2,2).

（i） AB 0,2,0 ， AC 2,2,2 ， AD 2,0,1 ，

平面 BAC法向量為 n1= x1, y1, z1 ，

n1 AB 0 2y 0
則 1，即
n AC 0 2x1 2y 2z 0
，

1 1 1

取 x1 1，則 n1 1,0,1 ，………………………9分

平面 ACD法向量為 n2 = x2 , y2 , z2 ，

n AD 0 2x z 0
則 2 2 2，即 ，
n2 AC 0 2x2 2y2 2z2 0
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取 x2 1，則 n2 1, 1,2 ，………………………………………………………10 分

cos n1,n2 =
n1 n2 = 3
n n 2 ，………………………………………………………11 分1 2
而二面角 B-AC-D為鈍二面角，
5
所以二面角 B-AC-D的平面角的大小為 ；…………………………………12 分
6
AP
（ii）假設(shè)線段 AC 上存在點 P ，使 FP 平面 ACD ，設(shè) = (0 1)，
AC

則 AP= AC=(-2 , 2 , 2 ) ， FP=FA+AP=(2-2 , -2+2 , 2 ) …………13 分
2 2 2 2 2
FP 平面 ACD ，則 FP // n2 ， ，………… 14 分1 1 2
2
可求 = [0,1].
3
AP 2
所以線段 AC 上存在點 P ，使 FP 平面 ACD ，且 = . ……………15 分
AC 3
{#{QQABJQaQgggoABIAAQgCQQEwCEOQkhACAQgOREAAoAIACRFABAA=}#}懷柔一中高二年級 2023-2024 學(xué)年度第一學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科期中檢測試題 2023.11
一、選擇題（共 10小題，每小題 4分，共 40分）
1. 已知復(fù)數(shù) z 1 2i（ i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z的虛部為（ ）
A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i
2.圓 x2 y2 4x 2y 4 0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為( )
A. ( 2,1), r 1 B. ( 2,1), r 2 C. (2, 1), r 1 D. (2, 1), r 2
3.若直線經(jīng)過 A 1,0 ,B 4,3 兩點，則直線 AB的傾斜角為( )
A. 30 B. 45 C. 60 D . 120
4. 已知m,n表示兩條不同的直線， 表示平面，則下列說法正確的是( )
A. 若m / /n,m / / ，則 n / / B. 若m / /n,n ，則m / /
C. 若m / /n,m ，則 n D. 若m n,m ，則 n / /
5.在空間直角坐標(biāo)系中，點 A(2, 1,3)

關(guān)于平面 xOz的對稱點為 B，則OA OB ( )
A. 10 B. 10 C. 12 D. 12
6. “ a 4”是“直線 l1 : ax 2y 2 0與直線 l2 :8x ay 4 0平行”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D. 既不充分也不必要條件
7.過點 (0, 2)作與圓 x2 y2 2x 0相切的直線 l，則直線 l的方程為
A. 3x 4 y 8 0 B. 3x 4 y 8 0 C. x 0 或 3x 4 y 8 0 D. x 0 或
3x 4 y 8 0
8. 已知復(fù)數(shù) z滿足 z 2（ i是虛數(shù)單位），則 z 3 的取值范圍是（ ）
A. [0, 2] B. [1,3] C. [3,5] D. [1,5]
9.如圖：在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， E是 BB1的中點，若 AB 6，
則點 B到平面 ACE的距離等于( )
A. 5 B. 6 C.
3 6 D. 3
2
10. 設(shè)m R ，過定點 A的動直線 x my 0 和過定點 B的動直線mx y m 3 0交于點 P(x, y)，
則 | PA | | PB |的取值范圍是( )
1
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A. [ 5,2 5] B. [2 5,4 5] C. [ 10,4 5] D. [ 10,2 5]
二、填空題（共 5小題，每小題 5分，共 25分）
11. 已知直線 l1 : ax 3y 1 0與直線 l2 : x (a 4)y a 0垂直，則實數(shù) a的值為 .
12. 已知復(fù)數(shù) z滿足 z(1 i) 2i（ i是虛數(shù)單位），則 z
13. 已知在四棱錐 S ABCD中，底面 ABCD為正方形，側(cè)面 SAB為邊長為 2的等邊三角形，則四棱錐
S ABCD體積的最大值為 .
14.若圓C ： x21 y2 6x 5 0與圓C ： x22 y2 8y m 0恰有 3 條公切線，則m的值為
15.如圖，在棱長為 2的正方體 ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是棱 A1B1， A1D1的中點，點 P在線段
CM上運動，給出下列四個結(jié)論：
①平面 CMN截正方體 ABCD A1B1C1D1 所得的截面圖形是五邊形；
②直線 B1D1到平面 CMN
2
的距離是 ；
2

③存在點 P，使得 B1PD1 90 ；
④ PDD 4 51面積的最小值是 .
5
其中所有正確結(jié)論的序號是______ .
2
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三、解答題（共 6 小題，共 85 分）
16. 2（本題 14 分）已知復(fù)數(shù) z (m 6m 8) (m 2)i(m R) .
（1）若復(fù)數(shù) z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；
（2）若復(fù)數(shù) z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.
17. （本題 13 分） 已知平行四邊形 ABCD的頂點為 A(2,3)， B(0,1)，C(1, 1) .
（1）求CD邊所在直線的方程；
（2）求平行四邊形 ABCD的面積.
18. （本題 14 分）如圖所示，在四棱錐 P ABCD 中， PD 底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，
PD CD 2， AD 1，M是線段 PC的中點．
（1）求證： AD 平面 PCD；
（2）求二面角M BD C的余弦值；
19. （本題 15 分） 如圖所示，四棱錐 P ABCD中，側(cè)面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，
側(cè)面 PAD是等邊三角形， AD 2 .M ,N分別為線段 AB,PC的中點.
（1）求證：MN / /平面 PAD；
（2）求直線 PB和平面PDC 所成角的正弦值.
3
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20. （本題 14 分）已知圓C的圓心為 (1,0)，圓C截 y軸所得的弦長為 2。
（1）求圓C的方程；
（2）斜率為1的直線 l與圓交于 A,B兩點，若OA OB，求直線 l的方程。
21.（本題 15 分） 已知四邊形 ABCD為直角梯形，AD //BC ，AB BC，BC=2AB=4，AD=3，F(xiàn) 為
BC 中點， EF //AB，EF與 AD交于點 E，沿 EF將四邊形 EFCD折起，連接 AD,BC,AC .
（1）若平面 ADC 平面BFC l，求證： AD / /l；
（2）若平面 ABFE 平面 EFCD .
（i）求二面角 B AC D 的大小；
AP
（ii）線段 AC 上是否存在點 P ，使 FP 平面 ACD ，若存在，求出 的值，若不存在，請說明
AC
理由．
4
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