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2024學年第一學期南模中學高二年級期中考試數學學科
（本次考試時間120分鐘，滿分150分）
一、填空題（本大題共有12題）
1．空間兩直線所成角的取值范圍是__________．
2．如圖所示：在直三棱柱中，，，則平面與平面所成的銳二面角的大小為__________．
3．已知圓柱的母線長為，底面半徑為，是上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線，如圖．若直線與所成角的大小為，則__________．
4．以下五個命題中，所有真命題的序號為__________．
①三角形（及其內部）繞其一邊所在的直線旋轉一周所形成的幾何體叫圓錐；
②正棱柱的側棱垂直于底面；
③棱錐的各側棱和底面所成的角相等；
④圓錐的軸截面一定是等腰三角形．
5．正方體中，點為的中點，則異面直線，所成的角的大小為__________．
6．已知在圓錐中，底面圓的直徑，的面積為，點在母線上，且，一只螞蟻若從點出發，沿圓錐側面爬行到達點，則它爬行的最短距離為__________．
7．如圖，在正四棱柱中，，，為的中點，則點到平面的距離為__________．
8．已知、是兩個相交平面，空間兩條直線、在上的射影是直線、，在上的射影是直線、．用與，、的位置關系，寫出一個總能確定與是異面直線的充分條件：__________．
9．已知某商品的形狀為圓臺，上下底面圓的半徑分別為和，高為將兩個這樣完全相同的商品水平放入形狀為長方體的外包裝盒中（不考慮外包裝的厚度），則外包裝盒的表面積的最小值為__________．
10．已知正四面體中，，，，…，在線段上，且，過點作平行于直線，的平面，截面面積為，則所有截面積之和為__________．（公式：）
11．在棱長為1的正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且滿足直線平面，當直線與平面所成角最小時，記過點，，的平面截正方體所得到的截面為，所有的面積組成的集合記為，則__________．
12．在棱長為1的正方體中，、分別為線段和平面上的動點，點為線段的中點，則周長的最小值為__________．
二、選擇題（本大題共有4題）
13．如圖，用斜二測面法作的直觀圖得，其中，是邊上的中線，由圖形可知，在（是的中點）中，下列結論中正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
14．如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點，聯結、，對空間任意兩點、若線段上不存在點在線段、上，則稱、兩點可視，則下列選項中與點可視的是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
15．分別以直角三角形的斜邊和兩直角邊所在直線為軸，將三角形旋轉一周所得旋轉體的體積依次為、、，則（ ）
A． B． C． D．
16．已知是正方體的中心，過點的直線與該正方體的表面交于、兩點，現有如下命題：①線段在正方體6個表面的投影長度為，則為定值；②直線與正方體12條棱所成的夾角的，則為定值．下列判斷正確的是（ ）
A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
三、解答題（本大題共有5題）
17．已知長方體中，，，，分別是，的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
18．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，點的曲率為，，分別為，的中點，且，．
（1）求異面直線和所成角：
（2）求二面角的正切值．
19．如圖，一矩形的一邊在軸上，另兩個頂點、在函數，的圖像上，設、的縱坐標為．
（1）求此矩形繞軸旋轉而成的幾何體的體積和表面積關于的表達式；
（2）求、的取值范圍．
20．對于函數和數列、，若，，則稱為函數的“影數列”，為函數的一個“鏡數列”．已知，，．
（1）若為的“影數列”，為的“鏡數列”，求的值：
（2）在（1）的條件下，當，時，比較和的大小，并說明理由．
（3）若為函數的“影數列”，為函數的“鏡數列”，現將與的公共項按從小到大的順序重新構成數列，試問在數列中是否存在連續三項構成等比數列？請說明理由．
21．如圖，在平行六面體中，，，平面，與底面所成角為，設直線與平面、平面、平面所成角的大小分別為、、．
（1）若，求平行六面體的體積的取值范圍．
（2）若且，求、、中的最大值；
（3）若，（其中是指，中的最大的數），求的最小值．
2024學年第一學期南模中學高二年級期數學學科期中考試
（本次考試時間120分鐘，滿分150分）
一、填空題（本大題共有12題）
1． 2． 3． 4．②④
5． 6． 7．
8．，并且與相交（或，并且與相交）
9． 10．（公式：）
11． 12．
二、選擇題（本大題共有4題）
13．C 14．B 15．C 16．D
三、解答題（本大題共有5題）
17．【解】（1）取的中點，連接，，由條件，分別是，的中點可知，且，故為平行四邊形，所以
平面，且平面
平面
（2）平面平面
直線與平面所成角就是直線與平面所成角．
平面，在平面內的射影為
因此就是直線與平面所成角．
在中，，
，則直線與平面所成角的正弦值為．
18．【解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，
則，，所以點的曲率為，
所以，所以為正三角形，
取中點，連，則可得，所以即為異面直線和所成角
設，則可得，，
所以，即異面直線和所成角為．
（2）取的中點，連接，則，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面．
又平面，所以，過作的垂線，垂足為，連接，
則，又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以為二面角的平面角的補角．
設，，則，，．
由等面積法可得，則，
則，故二面角的正切值為．
19．【解】（1）由，當且僅當時取等號，即
又矩形繞軸旋轉得到的旋轉體是圓柱，設、的坐標為，
則圓柱的底面圓半徑為，高為，
令，則，得
所以，
（2）由（1），，得
令，則，
在嚴格遞增，得
所以綜上所述：，
20．【解】（1）由題意，，，，；以
（2）當，時，猜想，數學歸納法證明如下
（ⅰ）當時，，命題成立；
（ⅱ）假設當時，命題成立，即，
則當時，
（*）
，，即命題也成立
由（ⅰ）（ⅱ）可知，當，時，成立．
（3），則，，
設，即，則，
設函數，函數單調遞增，對于任意，有唯一的與之對應，
即數列中每一項，都有中的項與之相等，
又單調遞增，所以新，
假設數列中存在連續三項構成等比數列，，，，
故，整理得到，
當時，為偶數，等式不成立；所以等式無正整數解．
故假設不成立，即不存在連續三項構成等比數列．
21．【解】（1）由已知，，，
由面積公式，可求四邊形的面積為，
平行六面體的體積．
所以，平行六面體的體積的取值范圍為．
（2）由題平面，，
，即
又平面，
又，平面，
，即
過作，連，
由平面，得，平面
又可得，，，即
所求最大值為
（3）由題，設，則
由（2）可得，，
在中，，
又，，
令，
則
由當時，：當時，；且

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