資源簡介

北京市魯迅中學
2024-2025學年第一學期期中測試
高三數學
2024.10
本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）兩部分，全卷共150分，考試時間120分鐘.
第一部分（共40分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
（1）已知集合，，那么（ ）
A. B. C. D.
（2）在復平面內，復數z對應的點的坐標是，則z的共軛復數（ ）
A. B. C. D.
（3）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A. B. C. D.
（4）已知向量，滿足，，則（ ）
A. B.0 C.5 D.7
（5）在的展開式中，x的系數為（ ）
A. B.40 C. D.80
（6）設等差數列的前n項和為，且，則的最大值為（ ）
A. B.9 C.3 D.36
（7）已知函數，則“”是“”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
（8）函數是（ ）
A.奇函數，且最大值為2 B.偶函數，且最大值為2
C.奇函數，且最大值為 D.偶函數，且最大值為
（9）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為（，2）.已知太陽的星等是，天狼星的星等是，則太陽與天狼星的亮度的比值為（ ）
A. B.10.1 C. D.
（10）在坐標平面內，橫、縱坐標均為整數的點稱為整點.點P從原點出發，在坐標平面內跳躍行進，每次跳躍的長度都是5且落在整點處。則點P到達點所跳躍次數的最小值是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
第二部分（共110分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
（11）函數的定義域為 .
（12）邊長為1的正方形中，設，，，則 .
（13）設等比數列的公比為q（），其前n項和為，且，，則 ， .
（14）如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數，其中，且函數在與時分別取得最小值和最大值.這段時間的最大溫差為 ；的一個取值為 .
（15）已知函數給出下列四個結論：
①當時，的最小值為0；
②當時，存在最小值；
③的零點個數為，則函數的值域為；
④當時，對任意，，.
其中所有正確結論的序號是 .
三、解答題：本大題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題14分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的面積.
（17）（本小題15分）
已知函數（）在處取得極小值.
（Ⅰ）求a的值，并求函數的單調區間；
（Ⅱ）求在區間上的最大值和最小值.
（18）（本小題15分）
已知函數.
（Ⅰ）求函數的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）若，求函數的值域.
（Ⅲ）若函數在上有且僅有兩個零點，則求m的取值范圍.
（19）（本小題13分）
某景區有一人工湖，湖面有A，B兩點，湖邊架有直線型棧道CD，長為50m，如圖所示.現要測是A，B兩點之間的距離，工作人員分別在C，D兩點進行測量，在C點測得，；在D點測得，.（ABCD在同一平面內）
（Ⅰ）求A，B兩點之間的距離；
（Ⅱ）判斷直線CD與直線AB是否垂直，并說明理由.
（20）（本小題15分）
已知函數（）.
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）若在區間上恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）試比較與的大小，并說明理由.
（21）（本小題13分）
已知：，，…，（）為有窮數列.若對任意的，都有（規定），則稱具有性質P.
設.
（Ⅰ）判斷數列：1，0.1，，，：1，2，2.5，1.5，2是否具有性質P？若具有性質P，寫出對應的集合；
（Ⅱ）若具有性質P，證明：；
（Ⅲ）給定正整數n，對所有具有性質P的數列，求中元素個數的最小值.

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