資源簡介

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浙教版九年級上冊期中名校真題精選卷
數 學
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．函數y＝﹣x2﹣4x﹣3圖象頂點坐標是（　　）
A．(2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(2，1)
2．下列函數是二次函數的是（　　）
A．y=x（x+1） B．x2y=1
C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5
3．如圖，在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長1.2米，在同一時刻旗桿AB的影長不全落在水平地面上，有一部分落在樓房的墻上，他測得落在地面上影長為BD＝9.6米，留在墻上的影長CD＝2米，則旗桿的高度（　　）
A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
4．下列關于拋物線的性質說法正確的是（　　）
A．開口向上 B．頂點坐標是(2，3)
C．對稱軸是直線x=-2 D．當-55．如圖，是的直徑，是弦，于E，，，則的長為（　　）
A．8 B．10 C． D．
6．下列說法正確的是（　　）
A．“打開電視機，正在播《都市報道60分》”是必然事件
B．“從一個裝有6個紅球的不透明的袋中摸出一個球是紅球”是隨機事件
C．“概率為0.0001的事件”是不可能事件
D．“經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是隨機事件
7．如圖，矩形AEHC是由三個全等矩形拼成的，AH與BE、BF、DF、DG、CG分別交于點P、Q、K、M、N．設△BPQ，△DKM，△CNH的面積依次為S1，S2，S3．若S1+S3＝20，則S2的值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．二次函數的圖象如圖所示. 下列結論：①；②；③m為任意實數，則；④；⑤若且，則；⑥. 其中正確的有（　　）個.
A．2 B．3 C．4 D．5
9．二次函數 ，對稱軸為直線 ，若關于 的一元二次方程 （ 為實數）在 的范圍內有解，則 的取值范圍是（　　）．
A． B． C． D．
10．將2張相同的正方形紙片和2張相同的小長方形紙片按如圖所示擺放在矩形ABCD內，中間留有一個小正方形未被覆蓋.經過EF的直線交AD于點，交BC于點，若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11．若扇形的圓心角為60°，半徑為6，則該扇形的弧長為　 　．
12．拋物線y＝（x﹣7）2﹣4的對稱軸是直線x＝　 　．
13．某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數關系式是，該型號飛機著陸后滑行　 　m才能停下來．
14．直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到，則點的坐標是　 　．
15．已知函數y＝ ，且使y＝k成立的x值恰好有2個，則k的取值范是　 　．
16．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2，把△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△AB1C1，連接CB1，則點B1到直線AC的距離為　 　.
三、綜合題（本大題共7小題，共66分）
17．（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
18．每個小方格都是邊長為1個單位長度，正方形ABCD在坐標系中的位置如圖所示．
（1）畫出正方形ABCD關于原點中心對稱的圖形；
（2）畫出正方形ABCD繞點D點順時針方向旋轉90°后的圖形；
（3）求出正方形ABCD的點B繞點D點順時針方向旋轉90°后經過的路線長．
19．物價問題涉及民生，關系全局，為保證市場秩序穩定，某超市積極配合市場運作，誠信經營．據了解，該超市每天調運一批成本價為8元/千克的大蒜，以不超過12元/千克的單價銷售，且每天銷售大蒜的數量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示．
（1）求出每天銷售大蒜的數量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系式；
（2）該超市將大蒜銷售單價定為多少元時，每天銷售大蒜的利潤可達到318元；
（3）求該超市大蒜銷售單價定為多少元時，每天銷售大蒜的利潤最大，并求出最大利潤．
20．某學校游戲節活動中，設計了一個有獎轉盤游戲，如圖，A轉盤被分成三個面積相等的扇形，B轉盤被分成四個面積相等的扇形，每一個扇形都標有相應的數字，先轉動A轉盤，記下指針所指區域內的數字，再轉動B轉盤，記下指針所指區域內的數字（當指針在邊界線上時，重新轉動一次，直到指針指向一個區域內為止），然后，將兩次記錄的數據相乘.
（1）請利用畫樹狀圖或列表的方法，求出乘積為負數的概率；
（2）如果乘積是無理數時獲得一等獎，那么獲得一等獎的概率是多少？
21．把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證 ．此時， ＝　 　．
（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，問 的值是否改變？說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，設2＜x＜4，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．
22．如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過B、C兩點，與x軸另一交點為A，頂點為D.
（1）求拋物線的解析式.
（2）如果一個圓經過點O、點B、點C三點，并交于拋物線AC段于點E，求∠OEB的度數.
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD為等腰三角形，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由.
23．如圖，在直角坐標系中，直線BC經過點B（﹣4，0）和點C（0，3），A點坐標為（3，0），點P為直線BC上一點，連接AC、AP．
（1）求直線BC的解析式；
（2）如圖，當點P在線段BC上，∠APC＝45°時，求P點坐標；
（3）點P在直線BC上移動，當△APB與△BOC相似時，求點P的坐標．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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浙教版九年級上冊期中名校真題精選卷
數 學
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．函數y＝﹣x2﹣4x﹣3圖象頂點坐標是（　　）
A．(2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(2，1)
【答案】B
【知識點】二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【解答】∵y=-x2-4x-3=-（x2+4x+4-4+3）=-（x+2）2+1
∴頂點坐標為（-2，1）；
故答案為：B.
【分析】將二次函數的一般式化為頂點式，從而求出結論.
2．下列函數是二次函數的是（　　）
A．y=x（x+1） B．x2y=1
C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5
【答案】A
【知識點】二次函數的定義
【解析】【解答】解：A、該函數符合二次函數的定義，故符合題意；
B、整理后：y= ，不符合二次函數形式，故不符合題意；
C、整理后，該函數的自變量的最高次數是1，屬于一次函數，故不符合題意；
D、該函數屬于一次函數，故不符合題意.
故答案為：A.
【分析】把一個函數解析式化為一般形式后，形如“y=ax2+bx+c (a≠0）”的函數就是二次函數，根據定義即可一一判斷得出答案。
3．如圖，在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長1.2米，在同一時刻旗桿AB的影長不全落在水平地面上，有一部分落在樓房的墻上，他測得落在地面上影長為BD＝9.6米，留在墻上的影長CD＝2米，則旗桿的高度（　　）
A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
【答案】C
【知識點】相似三角形的應用
【解析】【解答】解：如圖，
過點C作CE⊥AB于點E，可得四邊形BDCE為矩形，
∴CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，
由題意可得：，
∴AE=8(米)，
∴AB=AE+BE=8+2=10(米).
故答案為：C.
【分析】過點C作CE⊥AB于點E，可得四邊形BDCE為矩形，可得CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，根據同一時刻物高：物影=桿高：桿影，求出AE的長，利用AB=AE+BE即可求解.
4．下列關于拋物線的性質說法正確的是（　　）
A．開口向上 B．頂點坐標是(2，3)
C．對稱軸是直線x=-2 D．當-5【答案】C
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的圖象；二次函數y=a（x-h）²+k的性質
【解析】【解答】解：由拋物線解析式可知二次項系數為-1<0，
∴拋物線開口向下，A不符合題意；
由拋物線解析式可知頂點坐標是(-2，3)，B不符合題意；
由拋物線解析式可知對稱軸是直線x=-2，C符合題意；
∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x=-2，
∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，
∴當-5故答案為：C．
【分析】利用二次函數的圖象和性質逐項判斷即可。
5．如圖，是的直徑，是弦，于E，，，則的長為（　　）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【知識點】勾股定理；垂徑定理
【解析】【解答】解：連接OA，如圖所示：
∵CD⊥AB，
∴，
設，則，
在Rt△OAE中，，
即，
解得：，
∴，
∴，故C符合題意．
故答案為：C．
【分析】設，則，利用勾股定理可得，求出，利用線段的和差求出CE的長，最后利用勾股定理求出AC的長即可。
6．下列說法正確的是（　　）
A．“打開電視機，正在播《都市報道60分》”是必然事件
B．“從一個裝有6個紅球的不透明的袋中摸出一個球是紅球”是隨機事件
C．“概率為0.0001的事件”是不可能事件
D．“經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是隨機事件
【答案】D
【知識點】事件發生的可能性；真命題與假命題
【解析】【解答】解：“打開電視機，正在播《都市報道60分》”是隨機事件，A不符合題意；
“一個不透明的袋中裝有6個紅球，從中摸出1個球是紅球”是必然事件，B不符合題意；
“概率為0.0001的事件”是隨機事件，C不符合題意；
“經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是隨機事件，D符合題意，
故答案為：D．
【分析】根據真命題的定義逐項判斷即可。
7．如圖，矩形AEHC是由三個全等矩形拼成的，AH與BE、BF、DF、DG、CG分別交于點P、Q、K、M、N．設△BPQ，△DKM，△CNH的面積依次為S1，S2，S3．若S1+S3＝20，則S2的值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知識點】矩形的性質；相似三角形的判定與性質
【解析】【解答】∵矩形AEHC是由三個全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四邊形BEFD，四邊形DFGC是平行四邊形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴ ， ，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH
∴ ，
∴
∴S2=4S1，S3=9S1，
∵S1+S3=20，
∴S1=2，
∴S2=8．
故答案為：B．
【分析】
8．二次函數的圖象如圖所示. 下列結論：①；②；③m為任意實數，則；④；⑤若且，則；⑥. 其中正確的有（　　）個.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：①拋物線開口方向向下，則．
拋物線對稱軸位于軸右側，則、異號，即．
拋物線與軸交于正半軸，則．
所以．
故①錯誤．
②拋物線對稱軸為直線，
，即，
故②正確；
③拋物線對稱軸為直線，
函數的最大值為：；
，即，
故③錯誤；
④拋物線與軸的一個交點在的左側，而對稱軸為直線，
拋物線與軸的另一個交點在的右側，
當時，，
，
故④錯誤；
⑤，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故⑤正確．
∵當時，，，
∴，
故⑥正確；
綜上所述，正確的有②⑤⑥．
故答案為：B．
【分析】利用二次函數的圖象與系數的關系（①當a>0時，二次函數的圖象開口向上；②當a<0時，二次函數的圖象開口向下；③當二次函數圖象的對稱軸在y軸的右側時，ab<0；④當二次函數圖象的對稱軸在y軸的左側時，ab>0；⑤當c>0時，函數的圖象交在y軸的正半軸；⑥當c<0時，函數的圖象交在y軸的負半軸）和二次函數的性質與系數的關系（①當a>0時，二次函數的函數值在對稱軸的左邊隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊隨x的增大而增大；②當a<0時，二次函數的函數值在對稱軸的左邊隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊隨x的增大而減小；）分析求解即可.
9．二次函數 ，對稱軸為直線 ，若關于 的一元二次方程 （ 為實數）在 的范圍內有解，則 的取值范圍是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】二次函數與一元二次方程的綜合應用
【解析】【解答】∵二次函數 的對稱軸是直線 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函數解析式為 ，
∵關于 的一元二次方程 （ 為實數）在 的范圍內有解，
∴ 且 ，
∴ 時， ，
時， ，即 ．
故答案為： ．
【分析】利用拋物線的對稱軸求出m的值，再將二次函數解析式轉化為頂點式，再根據關于 x 的一元二次方程 x2+mx t=0 （ t 為實數）在 210．將2張相同的正方形紙片和2張相同的小長方形紙片按如圖所示擺放在矩形ABCD內，中間留有一個小正方形未被覆蓋.經過EF的直線交AD于點，交BC于點，若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】矩形的性質；正方形的性質；相似三角形的判定與性質
【解析】【解答】解：設MD=x，AI=y，則OG=MD=x，過M作BC的垂線，分別交FG、BC于O、P，
∴四邊形MOGD是矩形，四邊形OGCP是矩形，
∵，∴DG=2x，∴MO=DG=2x，
∵四邊形HLGD與四邊形JKJB是相同的長方形，
∴HL=DG=IB=KJ=2x.
∵四邊形AHEI與四邊形FGCJ是相同的正方形，
∴HE=FJ=IE=AI=y.
∵四邊形LFKE是正方形，
∴EK=FK，∠EFK=45°，
∵∠GFK=90°，∠EFK+∠GFK+∠MFG=180°，
∴45°+90°+∠MFG=180°，解得∠MFG=45°.
∴FO=MO=2x.
∴FG=FO+OG=2x+x=3x.
∴LF=EK=FK=LE=HE-HL=y-2x.
∴BJ=IK=IE+EK=y+y-2x=2y-2x.
LG=FL+FG=y-2x+3x.
∵BJ=LG，
∴2y-2x=y-2x+3x，即y=3x.
∴
故答案為：A.
【分析】設MD=x，正方形的邊長為y，結合圖形推導出x與y的關系式，用含有x、y的代數式分別表示出AB、BC，再求出比值.
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11．若扇形的圓心角為60°，半徑為6，則該扇形的弧長為　 　．
【答案】2π
【知識點】弧長的計算
【解析】【解答】解：扇形的弧長==2π.
故答案為：2π.
【分析】根據弧長的計算公式，l=，其中n指圓心角的度數.
12．拋物線y＝（x﹣7）2﹣4的對稱軸是直線x＝　 　．
【答案】7
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的圖象
【解析】【解答】解：根據拋物線的解析式的頂點式，可得其對稱軸為直線x=7.
故答案為：7.
【分析】根據二次函數的性質，由拋物線的頂點式可直接確定其對稱軸.
13．某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數關系式是，該型號飛機著陸后滑行　 　m才能停下來．
【答案】800
【知識點】二次函數的其他應用
【解析】【解答】解：∵
，
∴當時y的值最大，最大值為 ，所以該型號飛機著陸后需要滑行米才能停下來，
故答案為800．
【分析】將二次函數的一般式化為頂點式，再利用二次函數的性質求解即可。
14．直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到，則點的坐標是　 　．
【答案】(7，3)
【知識點】坐標與圖形變化﹣旋轉；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：根據題意令x=0，得y=4；令y=0，得 x=3 ．
∴A(3，0)， B(0，4)．
由旋轉可知，∠O′AO=∠ B′O′A=90°，OA=O′A，OB=O′B′，如圖．
∴點B′ 的縱坐標為OA長，即為3；橫坐標為OA+O′B′=OA+OB=3+4=7 ．
故點B′的坐標是(7，3) ．
故答案為：(7，3)．
【分析】先求出點A、B的坐標，利用旋轉的性質可得∠O′AO=∠ B′O′A=90°，OA=O′A，OB=O′B′，再求出點B′的坐標是(7，3) 即可。
15．已知函數y＝ ，且使y＝k成立的x值恰好有2個，則k的取值范是　 　．
【答案】k＝1或k＜-8
【知識點】二次函數y=a（x-h）²+k的性質
【解析】【解答】解：y＝-（x-1）2+1的頂點坐標為（1，1），
y＝-（x-7）2+1的頂點坐標為（7，1），
當 得：x＝4，
則拋物線y＝-（x-1）2+1和拋物線y＝-（x-7）2+1相交于點（4，-8），
如圖，直線y＝-8與函數圖象有三個交點，
當k＜-8時，直線y＝k與函數圖象有2個交點，
當k＝1時，直線y＝k與函數圖象有2個交點，
所以使y＝k成立的x值恰好有2個時，k＝1或k＜-8．
故答案為：k＝1或k＜-8．
【分析】根據拋物線的解析式求出頂點坐標，再作圖求解即可。
16．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2，把△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△AB1C1，連接CB1，則點B1到直線AC的距離為　 　.
【答案】
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；旋轉的性質；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如圖，連接CC1，過點B1作B1H⊥AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2 ，
∵把△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2 ，∠CAC1＝60°，AB1＝AB＝2，BC＝B1C1＝2，
∴△ACC1是等邊三角形，
∴C1C＝AC，B1C＝B1C，AB1＝B1C1，
∴△AB1C≌△C1B1C（SSS）
∴ ×（2 ）2＝ ×2×2+2× ×2 ×B1H，
∴B1H＝ ，
故答案為： .
【分析】連接CC1，過點B1作B1H⊥AC，由旋轉的性質可得AC=AC1=2 ，∠CAC1=60°，AB1=AB=2，BC=B1C1=2，可得∴△ACC1是等邊三角形，由“SSS”可證△AB1C≌△C1B1C，可得S△AB1C=S△C1B1CS，由三角形的面積關系可求解.
三、綜合題（本大題共7小題，共66分）
17．（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
【答案】（1）解：設線段x是線段a，b的比例中項，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（負值舍去）.
∴線段a，b的比例中項是3.
（2）解：設x＝4k，y＝3k，
∴＝＝.
【知識點】比例的性質；比例線段
【解析】【分析】（1） 設線段x是線段a，b的比例中項 ，根據比例的性質可得x2=ab，據此建立方程，求解檢驗即可；
（2）根據比例的性質這x＝4k，y＝3k，再代入待求式子合并約分即可得出答案.
18．每個小方格都是邊長為1個單位長度，正方形ABCD在坐標系中的位置如圖所示．
（1）畫出正方形ABCD關于原點中心對稱的圖形；
（2）畫出正方形ABCD繞點D點順時針方向旋轉90°后的圖形；
（3）求出正方形ABCD的點B繞點D點順時針方向旋轉90°后經過的路線長．
【答案】（1）解：如圖，正方形A′B′C′D′為所作；
（2）解：如圖，正方形CFED為所作；
（3）解：BD ，
所以正方形ABCD的點B繞點D點順時針方向旋轉90°后經過的路線長 π．
【知識點】弧長的計算；中心對稱及中心對稱圖形；作圖﹣旋轉
【解析】【分析】（1）根據中心對稱圖形的定義作圖即可；
（2）根據旋轉的性質作圖即可；
（3）利用勾股定理求出 BD ， 再利用弧長公式計算求解即可。
19．物價問題涉及民生，關系全局，為保證市場秩序穩定，某超市積極配合市場運作，誠信經營．據了解，該超市每天調運一批成本價為8元/千克的大蒜，以不超過12元/千克的單價銷售，且每天銷售大蒜的數量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示．
（1）求出每天銷售大蒜的數量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系式；
（2）該超市將大蒜銷售單價定為多少元時，每天銷售大蒜的利潤可達到318元；
（3）求該超市大蒜銷售單價定為多少元時，每天銷售大蒜的利潤最大，并求出最大利潤．
【答案】（1）解：設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b，
將（9，110），（10，108）代入，得 ，
解得： ，
∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣2x+128（8≤x≤12）
（2）解：根據題意得：（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318，
解得：x＝11或61（舍去），
∴x＝11．
即：超市將大蒜銷售單價定為11元時，每天銷售大蒜的利潤可達到318元；
（3）解：設每天的銷售利潤為W（元），則：
W＝（x﹣8）y，
＝（x﹣8）（﹣2x+128），
＝﹣2（x﹣8）（x﹣64），
∵a＝﹣2＜0，
∴當 即x＜36時，W隨x的增大而增大，
∵8≤x≤12，
∴當x＝12時，W取得最大值，最大值為416．
答：當超市大蒜銷售單價定為12元時，每天銷售大蒜的利潤最大，最大利潤是416元．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式即可；
（2）根據題意求出 （x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318， 再求解即可；
（3）先求出W ＝﹣2（x﹣8）（x﹣64）， 再根據函數的性質求解即可。
20．某學校游戲節活動中，設計了一個有獎轉盤游戲，如圖，A轉盤被分成三個面積相等的扇形，B轉盤被分成四個面積相等的扇形，每一個扇形都標有相應的數字，先轉動A轉盤，記下指針所指區域內的數字，再轉動B轉盤，記下指針所指區域內的數字（當指針在邊界線上時，重新轉動一次，直到指針指向一個區域內為止），然后，將兩次記錄的數據相乘.
（1）請利用畫樹狀圖或列表的方法，求出乘積為負數的概率；
（2）如果乘積是無理數時獲得一等獎，那么獲得一等獎的概率是多少？
【答案】（1）解：列表如下：
　 1.5 -3 -
0 0 0 0 0
1 1.5 -3 -
-1 -1.5 3 -
所有等可能的情況有12種，
乘積結果為負數的情況有4種，則P（乘積結果為負數）= ；
（2）解：乘積是無理數的情況有2種，
則P（乘積為無理數）= .
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數，找出乘積為負數的情況數，即可求出所求的概率；（2）找出乘積為無理數的情況數，即可求出一等獎的概率.
21．把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證 ．此時， ＝　 　．
（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，問 的值是否改變？說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，設2＜x＜4，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．
【答案】（1）8
（2）解： 的值不會改變，理由如下：
在 與 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
．
；
∴ 的值不會改變；
（3）解：
當 ，即 時， ，
此時兩三角板重疊部分為四邊形 ，過D作 于G， 于N，
，
由（2）知： ，
∴ ，
則
，
與x的函數關系式為： ．
【知識點】三角形的面積；相似三角形的判定與性質；旋轉的性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1） ， ，
．
．
，
，斜邊中點為 ，
，
；
故答案為：8；
【分析】（1）證明，利用相似三角形的對應邊成比例即可求解；
（2）不會改變，理由：證明，可得 ，從而得出；
（3）當 時，此時兩三角板重疊部分為四邊形 ，過D作 于G， 于N，可得DG=DN=2，利用即可得出函數關系式.
22．如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過B、C兩點，與x軸另一交點為A，頂點為D.
（1）求拋物線的解析式.
（2）如果一個圓經過點O、點B、點C三點，并交于拋物線AC段于點E，求∠OEB的度數.
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD為等腰三角形，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由.
【答案】（1）解：令 ，代入直線解析式可得C點坐標（0，3），令y＝0，代入直線解析式可得B點坐標（3，0），
將點B，C代入拋物線得：
，
解得： ，
∴拋物線解析式 ；
（2）解：如圖，
∵ ， ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
根據圓周角定理可得： ；
（3）解：存在點P使 為等腰三角形；
理由如下：如圖，
由（1）可知拋物線 ，
∴拋物線對稱軸 ，頂點D坐標（1，4），
設P點坐標為（1，m），
∴ ，
，
，
①當 時， ，解得 ；
②當 時， ，解得 ， ；
③當 時， ，解得 ， ；
綜上所述，當點P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1， ）、（1， ）時， 為等腰三角形.
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；線段上的兩點間的距離；等腰三角形的性質；圓周角定理
【解析】【分析】（1）根據直線求得點B與點C坐標，再由待定系數法求解拋物線解析式；
（2）由題意易得△OBC是等腰直角三角形，再由圓周角定理可求解；
（3）由直角坐標系內兩點間距離公式，分三種情況：①當PC=PD時，可得關于m的方程，解方程可求解；②當PC=CD時，可得關于m的方程，解方程可求解；③當PD=CD時，可得關于m的方程，解方程可求解；討論求解．
23．如圖，在直角坐標系中，直線BC經過點B（﹣4，0）和點C（0，3），A點坐標為（3，0），點P為直線BC上一點，連接AC、AP．
（1）求直線BC的解析式；
（2）如圖，當點P在線段BC上，∠APC＝45°時，求P點坐標；
（3）點P在直線BC上移動，當△APB與△BOC相似時，求點P的坐標．
【答案】（1）解：設直線的解析式為：，
∵直線BC經過點B（﹣4，0）和點C（0，3），
∴，解得，
∴直線的解析式為：；
（2）解：當點P在線段BC上，
∵C（0，3），A（3，0），
∴，為等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
設，
∴，
∴，
過點作軸于點，
在中，，
即，
∴（舍去正值），
∴，
此時，
∴；
（3）解：過點作交延長線于點，
∵，，
∴，
過點作軸于點，
∵B（﹣4，0），C（0，3），A（3，0），
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
過點作交直線于點，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，
∴，
綜上：當點的坐標為或時，△APB與△BOC相似．
【知識點】一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；勾股定理；相似三角形的判定與性質；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用待定系數法求出直線BC的解析式即可；
（2）證明，可得，據此求出CP=，設， 過點作軸于點，由勾股定理得，據此建立關于m方程并解之，即得點P坐標；
（3）分兩種情況：當或時，據此分別解答即可.
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