資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
滬科版九年級上冊期中復習精選模擬卷
數 學
（考試時間：120分鐘 考試滿分：120分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．已知2a=3b(ab≠0)，則下列比例式成立的是（　?。?br/>A．= B．= C．= D．=
2．下列命題中真命題是（　?。?br/>A．四個內角都相等的兩個四邊形一定相似
B．所有菱形都一定相似
C．所有的等邊三角形都相似
D．一條線段只有一個黃金分割點
3．將二次函數 的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數圖象的表達式是（　　）
A． B． C． D．
4．要得到函數的圖像，可以將函數的圖像（　　）
A．向左平移3個單位 B．向右平移3個單位
C．向上平移3個單位 D．向下平移3個單位
5．已知，則的值為（　?。?br/>A．4 B． C．2 D．
6．《九章算術》是我國數學經典，上面記載：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門三十步有木，出西門七百五十步見木．問邑方幾何？”其意思是：如圖，已知正方形小城ABCD，點E，G分別為CD，AD的中點，EF⊥CD，GH⊥AD，點F，D，H在一條直線上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的邊長是（　?。?br/>A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
7．如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點G，正方形的邊在x軸上，E，F在拋物線上，連結，，是正三角形，，則陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
8．如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點，平分交于點F，交于點G，若，則的長是（　　）
A．3 B． C． D．
9．已知二次函數y＝﹣x2﹣2x+3及一次函數y＝x+m，將該二次函數y＝﹣x2﹣2x+3在x軸下方的圖象沿x軸進行翻折，其余部分不變，得到一個新的函數圖象，當直線y＝x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍是（　?。?br/>A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
10．如圖，在菱形 中， ， ， 分別交 、 于點 、 ， ，連結 ，以下結論：① ；②點 到 的距離是 ；③ 與 的面積比為 ；④ 的面積為 ，其中一定成立的個數為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．已知函數是反比例函數，則　 　．
12．若，則　 　．
13．如圖，
在 中， 點 分別在邊 上， 與 相交于點 ， 若 ， 則 的長是　 　
14．在平面直角坐標系 中，二次函數 的圖象上兩點A， 的橫坐標分別為 ，2.若 為直角三角形，則 的值為　 　.
15．如圖，在平面直角坐標系中，，，第個正方形面積記為，第個正方形面積記為，第個正方形面積記為，，以此規律，則第個正方形的面積　 ?。?br/>16．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸是直線x＝-1，且過點（-3，0），有以下結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m為任意實數）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則-3＜x1＜x2＜1，其中說法正確的有　 　．
三、綜合題（本大題共9小題，共72分）
17．已知二次函數的圖象經過點（0，3），頂點坐標為（1，4）．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若將該拋物線繞原點旋轉180°，請直接寫出旋轉后的拋物線函數表達式。
18．已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，點P由B點出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為2cm/s；點Q由A點出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為 cm/s；若設運動的時間為t(s)(0＜t＜3)，解答下列問題：
（1）如圖①，連接PC，當t為何值時△APC∽△ACB，并說明理由；
（2）如圖②，當點P，Q運動時，是否存在某一時刻t，使得點P在線段QC的垂直平分線上，請說明理由；
（3）如圖③，當點P，Q運動時，線段BC上是否存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由．
19．如圖所示，在平行四邊形 中， 是 的延長線上一點， ，連接 與 ， ， 分別交于點 ， ．
（1）若 的面積為2，求平行四邊形 的面積．
（2）求證 ．
20．在籃球比賽中，東東投出的球在點A處反彈，反彈后球運動的路線為拋物線的一部分（如圖所示建立直角坐標系），拋物線頂點為點B．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）當球運動到點C時被東東搶到，CD⊥x軸于點D，CD=2.6m．求OD的長．
21．某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，第一檔次（最低檔次）的產品一天能生產95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件．
（1）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元（其中x為正整數，且 ），求出y關于x的函數關系式；
（2）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1120元，求該產品的質量檔次．
22．如圖①，在四邊形中，，，點在邊上，當 時，可知．（不要求證明）
（1）探究：如圖②，在四邊形中，點在邊上，當時，求證：．
（2）拓展：如圖③，在中，點是邊的中點，點、分別在邊、上若，，，則的長為 　 ?。?br/>23．四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝100°，∠ADC＝130°，BD≠BC，對角線BD平分∠ABC.求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；
（2）如圖2，已知格點△ABC，請你在正方形網格中畫出所有的格點四邊形ABCD，使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形；（注：頂點在小正方形頂點處的多邊形稱為格點多邊形）
（3）如圖3，四邊形AOBC中，點A在射線OP： （x≥0）上，點B在x軸正半軸上，對角線OC平分∠AOB，連接AB.若OC是四邊形AOBC的“相似對角線”，S△AOB＝6 ，求點C的坐標.
24．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝（x﹣2）2的頂點為C，與y軸正半軸交于點B．一次函數y＝kx+4（k≠0）圖像與拋物線交于點A、點B，與x軸負半軸交于點D．若AB＝3BD．
（1）求點A的坐標；
（2）聯結AC、BC，求△ABC的面積；
（3）如果將此拋物線沿y軸正方向平移，平移后的圖像與一次函數y＝kx+4（k≠0）圖像交于點P，與y軸相交于點Q，當PQ∥x軸時，試問該拋物線平移了幾個單位長度？
25．如圖，在矩形中，為邊上一點，，的平分線交的延長線于點.
（1）求的度數；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的條件下，連接，作交的延長線于點，當時，求的長.
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滬科版九年級上冊期中復習精選模擬卷
數 學
（考試時間：120分鐘 考試滿分：120分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．已知2a=3b(ab≠0)，則下列比例式成立的是（　?。?br/>A．= B．= C．= D．=
【答案】B
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】A、∵，∴ab=6，不能證出2a=3b，∴A不符合題意；
B、∵，∴2a=3b，∴B符合題意；
C、∵，∴3a=2b，不能證出2a=3b，∴C不符合題意；
D、∵，∴2b=3a，不能證出2a=3b，∴D不符合題意；
故答案為：B.
【分析】利用比例的性質逐項分析判斷即可.
2．下列命題中真命題是（　?。?br/>A．四個內角都相等的兩個四邊形一定相似
B．所有菱形都一定相似
C．所有的等邊三角形都相似
D．一條線段只有一個黃金分割點
【答案】C
【知識點】圖形的相似；真命題與假命題
【解析】【解答】A：四個內角都相等的兩個四邊形不一定相似，還需要對應邊成比例，A錯誤；B：所有菱形不一定都相似，還需要對應角相等；B錯誤；C：所有的等邊三角形都相似，C錯誤；D：一條線段有2個黃金分割點，D錯誤。故答案為：C
【分析】根據相似多邊形的定義可知：多邊形相似需要對應角相等，對應邊成比例。根據定義判斷即可。
3．將二次函數 的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數圖象的表達式是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】二次函數圖象的幾何變換；平移的性質
【解析】【解答】解：將二次函數 的圖象向右平移2個單位，可得：
再向下平移3個單位，可得：
故答案為：C.
【分析】根據平移的規律進行求解即可得答案.
4．要得到函數的圖像，可以將函數的圖像（　　）
A．向左平移3個單位 B．向右平移3個單位
C．向上平移3個單位 D．向下平移3個單位
【答案】C
【知識點】二次函數圖象的幾何變換
【解析】【解答】解：將向上平移3個單位即可得到：；
故答案為：C.
【分析】根據“左加右減、上加下減”的平移規則進行解答.
5．已知，則的值為（　?。?br/>A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知識點】分式的約分；比例的性質
【解析】【解答】解：∵，
∴設a=3x，b=5x，
∴.
故答案為：A
【分析】利用已知，設a=3x，b=5x，再將其代入代數式進行化簡.
6．《九章算術》是我國數學經典，上面記載：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門三十步有木，出西門七百五十步見木．問邑方幾何？”其意思是：如圖，已知正方形小城ABCD，點E，G分別為CD，AD的中點，EF⊥CD，GH⊥AD，點F，D，H在一條直線上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的邊長是（　?。?br/>A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【答案】D
【知識點】正方形的性質；相似三角形的應用
【解析】【解答】解：∵點E，G分別為CD，AD的中點，
∴，，
∴，
又題意可得，，
∴，
∴，
而EF＝30步，GH＝750步，
即，
∴，
解得：，
∴步；
故答案為：D.
【分析】先證出，再利用相似三角形的性質可得，再將數據代入求出，再求出步即可.
7．如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點G，正方形的邊在x軸上，E，F在拋物線上，連結，，是正三角形，，則陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求二次函數解析式；等邊三角形的性質；正方形的性質；二次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：如圖，設ED交BG于點H，
∵是正三角形，，
∴
∴
設過的拋物線解析式為，
將點A代入，得
∴
∴拋物線解析式為，
∵四邊形CDEF是正方形，且關于y軸對稱，
∴
設，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
設直線的解析式為，
∴
∴
∴直線的解析式為
∵H在上，
∴H的橫坐標為
代入
得
∴
∴
∴陰影部分面積為
故答案為：D.
【分析】設ED交BG于點H，根據等邊三角形的性質可得AO=BO=1，利用勾股定理算出OG的長，從而得出點G、A、B的坐標，利用待定系數法求出經過這三點的拋物線的解析式，根據正方形的性質設E（m，2m），將該點坐標代入拋物線的解析式，可算出m的值；利用待定相反數求出直線BG的解析式，將H的橫坐標代入直線BG，算出對應的函數值可得點H的坐標，從而可得DH、OG、OD的長，進而根據陰影部分的面積=2梯形ODHG的面積，利用梯形面積公式計算即可.
8．如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點，平分交于點F，交于點G，若，則的長是（　?。?br/>A．3 B． C． D．
【答案】B
【知識點】平行線的性質；等腰三角形的性質；菱形的性質；相似三角形的判定與性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：如圖，作 垂直 于H，延長 和 交于點M，
∵ ，
∴ ， ，
菱形 的邊長為4，
， ，
是 的中點，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
設 ，
則 ， ， ，
由 ，
，
∴ ，
，
解得 .
故答案為：B.
【分析】作 垂直 于H，延長 和 交于點M，由菱形的性質可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，利用等腰三角形的性質及平行線的性質可得BH=CH=BE=1，，利用平行線的性質及角平分線的定義可得，可得AG=GF，設 ，則，，，根據平行線可證 ，利用相似三角形對應邊成比例建立關于x方程并解之即可.
9．已知二次函數y＝﹣x2﹣2x+3及一次函數y＝x+m，將該二次函數y＝﹣x2﹣2x+3在x軸下方的圖象沿x軸進行翻折，其余部分不變，得到一個新的函數圖象，當直線y＝x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍是（　?。?br/>A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
【答案】C
【知識點】二次函數圖象的幾何變換；二次函數與一次函數的綜合應用
【解析】【解答】解：如圖，在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0，
得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
將該二次函數在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方的部分圖象的解析式為y＝（x﹣1）（x+3），
即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），
當直線y＝x+m經過點A（﹣3，0）時，﹣3+m＝0，解得m＝3；
當直線y＝x+m與拋物線y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共點時，方程﹣x2﹣2x+3＝x+m有相等的實數解，解得m＝，
所以當直線y＝x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍為3＜m＜．
故答案為：C．
【分析】利用二次函數解析式，由y=0，可得到關于x的方程，解方程求出x的值，可得到點A，B的坐標；將該二次函數在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方的部分圖象的解析式為y＝（x﹣1）（x+3），根據當直線y＝x+m與新圖象有4個交點時，可知當直線y＝x+m經過點A（﹣3，0）時；當直線y＝x+m與拋物線y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共點時；分別求出m的值，即可得到m的取值范圍.
10．如圖，在菱形 中， ， ， 分別交 、 于點 、 ， ，連結 ，以下結論：① ；②點 到 的距離是 ；③ 與 的面積比為 ；④ 的面積為 ，其中一定成立的個數為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知識點】等邊三角形的判定與性質；菱形的性質；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠DAB=120°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
又∵BF=BF，
∴ （SAS），故①正確；
②∵BC=AB=6， ，
∴BE=4，
過點E作EH⊥AB交AB的延長線于點H，如圖1，
在Rt△EBH中，∠EBH=180°-∠ABC=60°，
∴ ，
∴點E到AB的距離是 ，故②錯誤；
③∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴相似比為 ，
∴ 與 的面積比為 ，故③錯誤；
④過點F作FG⊥AB于點G，
∵AB=AD， ，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=6，
由③知△ADF∽△EBF，
∴ ，
∴BF= ，
在Rt△BFG中，∠ABD=60°，
∴FG= ，
∴ 的面積為 = ，故④正確；
故答案為：B.
【分析】由菱形的性質可得AB=BC，∠ABC=180°-∠DAB=120°，則∠ABD=∠CBD=60°，然后利用全等三角形的判定定理可判斷①；易得BE=4，過點E作EH⊥AB交AB的延長線于點H，求出∠EBH的度數，然后根據三角函數的概念求出EH，據此判斷②；易證△ADF∽△EBF，然后根據相似三角形的性質可判斷③；過點F作FG⊥AB于點G，易得△ABD是等邊三角形，則BD=AB=6，由相似三角形的性質可得BF，根據三角函數的概念求出FG，然后利用三角形的面積公式可判斷④.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．已知函數是反比例函數，則　 ?。?br/>【答案】3
【知識點】反比例函數的概念
【解析】【解答】解：∵是反比例函數，
∴
解得：
的值為．
故答案為：．
【分析】形如y=（k≠0）的函數，叫做反比例函數，據此可得，從而求解即可.
12．若，則　 ?。?br/>【答案】
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故答案為：．
【分析】由得，然后代入原式進行化簡即可.
13．如圖，
在 中， 點 分別在邊 上， 與 相交于點 ， 若 ， 則 的長是　 　
【答案】
【知識點】相似三角形的判定與性質
【解析】【解答】解：∵
∴
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴
∵ ，
∴.
故答案為： .
【分析】由已知條件可得，由DE//AB可得△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，然后根據相似三角形的性質進行求解.
14．在平面直角坐標系 中，二次函數 的圖象上兩點A， 的橫坐標分別為 ，2.若 為直角三角形，則 的值為　 　.
【答案】a=1或
【知識點】勾股定理；矩形的性質；二次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：如圖，當 時，
A， 的橫坐標分別為 ，2，
，
過 作 于 則
解得： （負根舍去）
當
同理可得：
解得： （負根舍去）
綜上：a=1或 .
故答案為：a=1或 .
【分析】當∠OAB=90°，OA2+AB2=OB2，根據點A、B的橫坐標可得A（-1，a），B（2，4a），表示出AB2，過A作AQ⊥BM于M，則 AE=QM=a，AQ=EM=3，BQ=3a，表示出AB2，據此可得a的值；當∠AOB=90°，同理表示出AB2，得到a的值.
15．如圖，在平面直角坐標系中，，，第個正方形面積記為，第個正方形面積記為，第個正方形面積記為，，以此規律，則第個正方形的面積　 ?。?br/>【答案】
【知識點】勾股定理；正方形的性質；相似三角形的判定與性質；探索圖形規律
【解析】【解答】解：由題意得，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴∠DAO+∠ADO=∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
由上可得，，
當時，，
故答案為：．
【分析】根據勾股定理得到，代入正方形面積公式得，由相似三角形的判定得到，根據相似三角形對應邊成比例建立方程得到，進而得到，又由相似三角形的判定得到，得到，，由此得到規律：，把代入，計算求解即可.
16．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸是直線x＝-1，且過點（-3，0），有以下結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m為任意實數）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則-3＜x1＜x2＜1，其中說法正確的有　 ?。?br/>【答案】②③④
【知識點】二次函數圖象與系數的關系
【解析】【解答】拋物線開口向上，
a>0，
拋物線對稱軸為直線
b=2a>0，
c<0，
abc<0，故①錯誤；
拋物線對稱軸為直線且過點(-3，0)，
拋物線過點（1，0），
x=2時，y>0，
4a+2b+c>0，故②正確；
拋物線對稱軸為直線
當時，y有最小值，
a-b≤m（am+b）（m為任意實數），故③正確；
方程a（x+3）（1-x）＝-1的兩根為x1，x2，且x1＜x2，
拋物線與直線y=-1有兩個交點（x1，1），（x2，1），
由圖象可知 -3＜x1＜x2＜1， 故④正確，
故答案為：②③④
【分析】根據拋物線開口方向、對稱軸、與y軸的交點可判斷 ① ；根據拋物線的對稱性可得x=2時，y>0，可判斷②；根據二次函數的性質可判斷③；根據函數與方程的關系可判斷④.
三、綜合題（本大題共9小題，共72分）
17．已知二次函數的圖象經過點（0，3），頂點坐標為（1，4）．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若將該拋物線繞原點旋轉180°，請直接寫出旋轉后的拋物線函數表達式。
【答案】（1）解：設二次函數解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把點（0，3）代入得a+4＝3，
解得：a＝﹣1，∴這個二次函數解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）解：y＝（x+1）2-4
【知識點】二次函數圖象的幾何變換；待定系數法求二次函數解析式
【解析】【分析】（1）根據函數的頂點坐標設函數的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，再把B的坐標代入計算即可.
（2）若將該拋物線繞原點旋轉180°，求旋轉后拋物線的關系式，把二次項系數的符號該變即可.
18．已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，點P由B點出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為2cm/s；點Q由A點出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為 cm/s；若設運動的時間為t(s)(0＜t＜3)，解答下列問題：
（1）如圖①，連接PC，當t為何值時△APC∽△ACB，并說明理由；
（2）如圖②，當點P，Q運動時，是否存在某一時刻t，使得點P在線段QC的垂直平分線上，請說明理由；
（3）如圖③，當點P，Q運動時，線段BC上是否存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由．
【答案】（1）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=3cm，
∴AB=6，
由運動知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴t= ；
（2）解：存在，
理由：如圖②，由運動知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，CQ= ，
∵點P是CQ的垂直平分線上，
過點P作PM⊥AC，
∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= = (3+t)
∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC
∴
∴解得t=1；
（3）解：不存在
理由：由運動知，BP=2t， ，
∴AP=6﹣2t，
假設線段BC上是存在一點G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，
∴PQ∥BG，PQ=BG，
∴△APQ∽△ABC， ，
∴ ，
∴BP=2t=3，
∴PQ≠BP，
∴平行四邊形PQGB不可能是菱形．即：線段BC上不存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形．
【知識點】線段垂直平分線的性質；菱形的判定；相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】（1）結合直角三角形性質，由△APC∽△ACB，得 ；（2）過點P作PM⊥AC，根據線段垂直平分線性質，求QM，AM的表達式，證△APM∽△ABC，得 ， ；（3）假設線段BC上是存在一點G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，則PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得 ， 得BP=2t=3，故PQ≠BP.
19．如圖所示，在平行四邊形 中， 是 的延長線上一點， ，連接 與 ， ， 分別交于點 ， ．
（1）若 的面積為2，求平行四邊形 的面積．
（2）求證 ．
【答案】（1）解： 四邊形 是平行四邊形，
，
，
，
四邊形 是平行四邊形，
，
，
，
又 ，
；
四邊形 是平行四邊形，
，
，
，
，
，
平行四邊形 的面積為： ．
（2）證明： ，
，
，
，
，
，
，
．
【知識點】平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質可得對邊相等，對邊分別平行，從而可判定，，從而可得相似比，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方及三角形DEF的面積為2，可求得答案；
（2）由AD//BC，AB//DC，分別判定，，從而可得比例式，等量代換，再變形即可得出結論。
20．在籃球比賽中，東東投出的球在點A處反彈，反彈后球運動的路線為拋物線的一部分（如圖所示建立直角坐標系），拋物線頂點為點B．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）當球運動到點C時被東東搶到，CD⊥x軸于點D，CD=2.6m．求OD的長．
【答案】（1）解：設 （ ），
把A（0，3）代入得， ，
解得 ，
∴拋物線的函數表達式為 ；
（2）解：①把 代入 ，
化簡得 ，
解得 （舍去）， ，
∴ ．
【知識點】二次函數的實際應用-拋球問題
【解析】【分析】（1）設 （ ），將A（0，3）代入求解即可；
（2）把 代入 ，解方程求出x，即可得出OD的值。
21．某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，第一檔次（最低檔次）的產品一天能生產95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件．
（1）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元（其中x為正整數，且 ），求出y關于x的函數關系式；
（2）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1120元，求該產品的質量檔次．
【答案】（1）解：生產第x檔次的產品每件利潤為[6+2（x－1）]元，可生產[95－5（x－1）]件，故總利潤 （其中x是正整數，且1≤x≤10），
（2）解：令 ，則 ，即 ，
解得： ， （舍去），
答：該產品的質量檔次為第6檔.
【知識點】二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）根據題意求函數解析式即可；
（2）先求出 ， 再解方程求解即可。
22．如圖①，在四邊形中，，，點在邊上，當 時，可知．（不要求證明）
（1）探究：如圖②，在四邊形中，點在邊上，當時，求證：．
（2）拓展：如圖③，在中，點是邊的中點，點、分別在邊、上若，，，則的長為 　 ?。?br/>【答案】（1）證明：．
，，
．
，
．
，
；
（2）
【知識點】勾股定理；相似三角形的判定與性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（2）解：，
點是邊的中點，
，
，
，
，
，
即且，
，，
在中，．
故答案為：．
【分析】（1）利用三角形外角的性質和角的構成，可證得∠BAP=∠CPD，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得結論；
（2）同理可證得△BDP∽△CPE，利用相似三角形的對應邊成比例，可證得，據此可求出BD的長；再證明∠A=90°，根據AD=AB-BD，可求出AD的長；利用AE=AC-CE，可求出AE的長；然后利用勾股定理求出DE的長.
23．四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝100°，∠ADC＝130°，BD≠BC，對角線BD平分∠ABC.求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；
（2）如圖2，已知格點△ABC，請你在正方形網格中畫出所有的格點四邊形ABCD，使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形；（注：頂點在小正方形頂點處的多邊形稱為格點多邊形）
（3）如圖3，四邊形AOBC中，點A在射線OP： （x≥0）上，點B在x軸正半軸上，對角線OC平分∠AOB，連接AB.若OC是四邊形AOBC的“相似對角線”，S△AOB＝6 ，求點C的坐標.
【答案】（1）解：∵對角線 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是四邊形 的“相似對角線”；
（2）解：如下圖所示：
∵∠ABC=∠ACD1=90°，
，
∴△ABC∽△ACD1，
故：以AC為“相似對角線”的四邊形有：ABCD1，
同理可得：以AC為“相似對角線”的四邊形還有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；
（3）解：如圖，作 于 ， 于 ，
∵點 在射線 ： 上，
∴ ，即 ，
∵對角線 平分 ，
∴ ，
∵ 是四邊形 的“相似對角線”，
∴ 與 相似且不全等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴點 的坐標為 .
【知識點】三角形的面積；三角形內角和定理；相似三角形的判定與性質；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）由角平分線的概念可得∠ABD=∠DBC=50°，由內角和定理可得∠BDC+∠C=130°，由角的和差關系可得∠ADB+∠BDC=130°，推出∠ADB=∠C，證明△BAD∽△BDC，據此證明；
（2）易證△ABC∽△ACD1，故以AC為“相似對角線”的四邊形有：ABCD1，同理可得：以AC為“相似對角線”的四邊形還有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；
（3）作AM⊥OB于M，CN⊥OB于N，由題意可得∠AOB=60°，根據角平分線的概念可得∠AOC=∠COB=30°，易得△AOC∽△COB，由相似三角形的性質可得OA·OB=OC2，由△AOB的面積可得OC，進而求出CN、ON，據此可得點C的坐標.
24．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝（x﹣2）2的頂點為C，與y軸正半軸交于點B．一次函數y＝kx+4（k≠0）圖像與拋物線交于點A、點B，與x軸負半軸交于點D．若AB＝3BD．
（1）求點A的坐標；
（2）聯結AC、BC，求△ABC的面積；
（3）如果將此拋物線沿y軸正方向平移，平移后的圖像與一次函數y＝kx+4（k≠0）圖像交于點P，與y軸相交于點Q，當PQ∥x軸時，試問該拋物線平移了幾個單位長度？
【答案】（1）解：如圖，過點 作 軸，交 軸于點 ，
，
，
，
令 ，代入 得： ，
，
，
，
，
，
點 的縱坐標為16，
令 ，代入 得： ，
解得： 或 ，
；
（2）解：如圖， 點 是拋物線 的頂點，
，
， ， ，
，
，
；
（3）解：如圖，設拋物線平移了 個單位長度，則拋物線為 ，
，
把 代入 得： ，
一次函數為 ，
令 ，代入 得： ，
，
把 代入 得： ，
解得： 或 （舍去），
拋物線平移了8個單位長度．
【知識點】二次函數圖象的幾何變換；相似三角形的判定與性質；二次函數與一次函數的綜合應用
【解析】【分析】（1）過點 作 軸，交 軸于點 ，先證明，得到，再求出點B的坐標，結合AB=3BD，可得，求出AE的長，可得點A的縱坐標，再將y=16代入即可求出點A的坐標；
（2）利用，將數據代入計算即可；
（3）設拋物線平移了 個單位長度，則拋物線為 ，得到M的坐標，將點A的坐標代入計算求出一次函數解析式，得到N的坐標，再將N的坐標代入即可求出h的值。
25．如圖，在矩形中，為邊上一點，，的平分線交的延長線于點.
（1）求的度數；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的條件下，連接，作交的延長線于點，當時，求的長.
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如圖，過點作于，過點作于，過點作于.
，
可以假設，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是矩形，
，
；
（3）解：由（2）可知，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
.
【知識點】等腰三角形的性質；勾股定理；矩形的判定與性質；相似三角形的判定與性質；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質可得 ， 由角平分線的定義可得 ， 根據三角形外角的性質可得∠AED=∠APD+∠PAE，據此列出等式即可求解；
（2）過點作于，過點作于，過點作于，由DE：EP=4：3，可設，，從而求出PH=5k， ，利用勾股定理求出AD=k， 由 可求出EK的長，證明四邊形是矩形，可得AB=EK，從而求出AB與AD的比值；
（3） 由（2）可知，求出k值，即得，證明 ， 利用相似三角形的對應邊成比例可求出PJ=15，再利用勾股定理求出AK=21，繼而求出DK，EJ，BJ，根據勾股定理求出PB即可.
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