資源簡介

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北師大版九年級上冊期中真題匯編嚴選卷
數 學
時間：120分鐘 滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　?。?br/>A．2x2+y＝1 B．9y＝3y﹣1 C． ﹣2x2＝8 D．2x2＝1
2．a， b，c，d 是成比例線段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，則線段d的長為（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．已知 ，則 的值為（　　）
A．2 B． C． D．
4．已知 ， 是關于 的一元二次方程 的兩個不相等的實數根，且滿足 ，則 的值是（　?。?br/>A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
5．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖， 為 的黃金分割點（ ），如果 的長度為10 cm，那么 的長度為（　　）
A． cm B． cm C． cm D． cm．
6．如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB＝8，BE＝10，則ABEF的周長為（　?。?br/>A．25 B．26 C．27 D．28
7．如圖，在 中， ，若 ， ，則 的值為（　?。?br/>A． B．2 C． D．
8．如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（　?。?br/>A．1 B． C． D．2
9．如圖，已知點，，是軸上位于點上方的一點，平分，平分，直線交于點．若反比例函數的圖像經過點，則的值是（　?。?br/>A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
10．如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為頂點的正方形OBCD，其中點D（2，0），點B在y軸上，點C在第一象限，以BC為邊在正方形OBCD外作等邊△ABC，若將△ABC與正方形OBCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2020次旋轉結束時，點A的坐標為（　　）
A．（1，2+） B．（2+，﹣1）
C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，﹣1）
11．下列說法中正確的是（　　）
A．兩個直角三角形相似 B．兩個等腰三角形相似
C．兩個等邊三角形相似 D．兩個銳角三角形相似
12．如圖，菱形ABCD沿對角線AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，點A′恰好是AC的中點.若菱形ABCD的邊長為2，∠BCD＝60°，則陰影部分的面積為（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．一元二次方程的二次項系數是　 　．
14．已知， 則 的值為 　 　．
15．已知線段a=3，b=27，則線段a、b的比例中項為　 ?。?br/>16．若一元二次方程 有兩個不相等的實數根，則c的值可以是　 　（寫出一個即可）.
17．如圖，在矩形ABCD中，E為C邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處．若AB＝8，BC＝10，則EC＝　 ??；P，Q分別是AE，AD上的動點，PD＋PQ的最小值＝　 ?。?br/>18．若關于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則m的值為　 ?。?br/>三、綜合題（本大題共8小題，共66分）
19．方格圖中的每個小方格都是邊長為1小正方形，我們把小正方形的頂點稱為格點，格點連線為邊的四邊形稱為“格點四邊形”，圖1中的四邊形ABCD就是一個格點四邊形.
（1）小彬在圖2的方格圖中畫了一個格點四邊形EFGH.借助方格圖回答：四邊形ABCD與四邊形EFGH相似嗎？若相似，直接寫出四邊形ABCD與四邊形EFGH的相似比；若不相似說明理由；
（2）請在圖3的方格圖中畫一個格點四邊形，使它與四邊形ABCD相似，但與四邊形ABCD、四邊形EFGH都不全等.
20．一只不透明的袋子中，裝有2個白球，1個紅球，1個黃球，這些球除顏色外都相同．請用列表法或畫樹形圖法求下列事件的概率：
（1）攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是白球．
（2）攪勻后從中任意摸出2個球，2個都是白球．
（3）再放入幾個除顏色外都相同的黑球，攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是黑球的概率為 ，求放入了幾個黑球？
21．在平面直角坐標系中，一次函數 的圖象與反比例函數 （k≠0）圖象交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，其中A點坐標為（﹣2，3）．
（1）求一次函數和反比例函數解析式．
（2）若將點C沿y軸向下平移4個單位長度至點F，連接AF、BF，求△ABF的面積．
（3）根據圖象，直接寫出不等式 的解集．
22．
（1）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求線段c的長；
（2）已知 ，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
23．某大型水果超市銷售無錫水蜜桃，根據前段時間的銷售經驗，每天的售價x(元/箱)與銷售量y(箱)有如表關系：
每箱售價x(元) 68 67 66 65 … 40
每天銷量y(箱) 40 45 50 55 … 180
已知y與x之間的函數關系是一次函數．
（1）求y與x的函數解析式；
（2）水蜜桃的進價是40元/箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實惠，每箱售價是多少元？
（3）七月份連續陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價銷售，所以從7月17號開始水蜜桃銷售價格在(2)的條件下，下降了m%，同時水蜜桃的進貨成本下降了10%，銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時上漲了2m%(m＜100)，7月份(按31天計算)降價銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價銷售前的銷售總盈利少7120元，求m的值．
24．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上一動點，點A與點F關于DE對稱，點F在正方形ABCD的內部，作射線CF交DE延長線于點P，連接AP，EF，DF．
（1）若，求∠DPC的度數；
（2）試探究點E在邊AB的任意位置時，AP與PC的位置關系，并說明理由；
（3）若，直接寫出BF的最小值．
25．已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF．
（1）當四邊形EFGH為正方形時，求DG的長；
（2）當DG＝6時，求△FCG的面積；
（3）求△FCG的面積的最小值．
26．如果關于 的一元二次方程 有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的 倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”，例如，一元二次方程 的兩個根是 和 ，則方程 就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 是“倍根方程”，則c＝　 　．
（2）若關于x的一元二次方程 是“倍根方程”，則 ， ， 之間的關系為　 ?。?br/>（3）若 是“倍根方程”，求代數式 的值．
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北師大版九年級上冊期中真題匯編嚴選卷
數 學
時間：120分鐘 滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　?。?br/>A．2x2+y＝1 B．9y＝3y﹣1 C． ﹣2x2＝8 D．2x2＝1
【答案】D
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A．含有二個未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
D．是一元二次方程，故本選項符合題意；
故答案為：D．
【分析】根據一元二次方程的定義逐項判斷即可。
2．a， b，c，d 是成比例線段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，則線段d的長為（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【知識點】比例線段
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d是成比例線段，
∴a：b＝c：d，
∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，
∴d＝4cm；
故答案為：B．
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則三條線段叫成比例線段，根據定義，將a、b、c的值代入即可求出d的值。
3．已知 ，則 的值為（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案為：D.
【分析】根據比例的性質得出3a-3b=a，得出2a=3b，即可得出.
4．已知 ， 是關于 的一元二次方程 的兩個不相等的實數根，且滿足 ，則 的值是（　?。?br/>A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
【答案】C
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：由根與系數的關系得： ，
，
即 ，
解得： 或 ，
而當 時，原方程 ，無實數根，不符合題意，應舍去，
∴
故答案為：C．
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可以得到 ，再根據求出m的值，再利用一元二次方程根的判別式判斷即可。
5．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖， 為 的黃金分割點（ ），如果 的長度為10 cm，那么 的長度為（　?。?br/>A． cm B． cm C． cm D． cm．
【答案】A
【知識點】黃金分割
【解析】【解答】解：設 米，則 米
∵點P為線段AB的黃金分割點
∴
即：
化簡得：
解得：
∵PB＜AB
∴
即 的長度為 米
故答案為：A
【分析】設 米，則 米，根據點P為線段AB的黃金分割點，可得
即，據此求出x值即可.
6．如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB＝8，BE＝10，則ABEF的周長為（　?。?br/>A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】C
【知識點】勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】解：連接 ，由題意可知：
設 ，
在 中，
在 中，
在 中， ，∴
在 中， ，即
解得 ，即
，
ABEF的周長為
【分析】設 ， ，根據勾股定理求得AF，即可求得ADEF的周長。
7．如圖，在 中， ，若 ， ，則 的值為（　?。?br/>A． B．2 C． D．
【答案】B
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案為：B.
【分析】直接根據平行線分線段成比例的性質進行求解.
8．如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（　?。?br/>A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知識點】勾股定理；正方形的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，
∴，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∴，
解得．
故答案為：D．
【分析】設，則，根據題意列出方程，再求解即可。
9．如圖，已知點，，是軸上位于點上方的一點，平分，平分，直線交于點．若反比例函數的圖像經過點，則的值是（　?。?br/>A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
【答案】B
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；三角形全等的判定
【解析】【解答】如圖，過分別作的垂線，垂足分別為，，
平分，平分，
，
，
，
四邊形是正方形
，，
故答案為：B
【分析】利用全等三角形的判定與性質，勾股定理，結合函數圖象求解即可。
10．如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為頂點的正方形OBCD，其中點D（2，0），點B在y軸上，點C在第一象限，以BC為邊在正方形OBCD外作等邊△ABC，若將△ABC與正方形OBCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2020次旋轉結束時，點A的坐標為（　?。?br/>A．（1，2+） B．（2+，﹣1）
C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，﹣1）
【答案】A
【知識點】點的坐標；等邊三角形的性質；正方形的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉
【解析】【解答】如圖，過點作軸交于點，交于點，
，四邊形是正方形，
，，
，
等邊三角形，，
，，，
，
，
將與正方形組成的圖形繞點順時針旋轉，每次旋轉，
旋轉4次為一個循環，
，
剛好循環了505次，
第2020次旋轉結束時，點A的坐標為．
故答案為：A．
【分析】過點作軸交于點，交于點，根據正方形的性質可求，B（0，2），即得EF=2，由等邊三角形的性質及勾股定理可求出AF、BF，從而求出AE，即得A的坐標，由旋轉可得規律每旋轉4次為一個循環，進而求出第2020次旋轉結束時剛好與起點重合，即得結論.
11．下列說法中正確的是（　?。?br/>A．兩個直角三角形相似 B．兩個等腰三角形相似
C．兩個等邊三角形相似 D．兩個銳角三角形相似
【答案】C
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】根據相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到答案．
【解答】A、只知道一個直角相等，不符合相似三角形判定的條件，故選項錯誤；
B、因為沒有說明角或邊相等的條件，故選項錯誤；
C、因為其三對角均相等，符合相似三角形的判定條件，故選項正確；
D、因為沒有說明角或邊相等的條件，故選項錯誤．
故選：C．
【點評】考查相似三角形的判定定理：
（1）兩角對應相等的兩個三角形相似；
（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似；
（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．
12．如圖，菱形ABCD沿對角線AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，點A′恰好是AC的中點.若菱形ABCD的邊長為2，∠BCD＝60°，則陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B． C．1 D．
【答案】B
【知識點】菱形的性質；平移的性質；相似多邊形
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面積＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如圖，
由平移的性質得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四邊形A'ECF的面積是 ABCD面積的 ，
∴陰影部分的面積＝ ＝ ，
故答案為：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面積，由平移的性質可得四邊形A'ECF的面積是 ABCD面積的 ，即可求解.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．一元二次方程的二次項系數是　 　．
【答案】5
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：由題意得一元二次方程的二次項系數是5，
故答案為：5
【分析】根據一元二次方程的定義結合題意即可求解。
14．已知， 則 的值為 　 　．
【答案】4
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】解：∵，
可設a=3k，b=5k，
∴.
故答案為：4.
【分析】由 ，可設a=3k，b=5k，然后代入計算即可.
15．已知線段a=3，b=27，則線段a、b的比例中項為　 ?。?br/>【答案】9
【知識點】比例線段
【解析】【解答】設比例中項為c，
∵c是線段a，b的比例中項，
∴c2=ab，
∵a=3，b=27，
∴c2=81，
∴c=9，即線段a、b的比例中項為9，
故答案為：9．
【分析】利用已知c是線段a，b的比例中項，可得出c2=ab，再代入計算可求解。
16．若一元二次方程 有兩個不相等的實數根，則c的值可以是　 ?。▽懗鲆粋€即可）.
【答案】答案不唯一（只要c<4即可），如：0，1等
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：已知一元二次方程 有兩個不相等的實數根，可得△=16-4c＞0，解得c＜4，只要符合這個條件c的值即可.
【分析】開放性的命題，答案不唯一；已知一元二次方程 有兩個不相等的實數根，故其根的判別式的值應該大于0，從而列出不等式，求解即可得出c的取值范圍，在其取值范圍內隨便取一個值即可。
17．如圖，在矩形ABCD中，E為C邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處．若AB＝8，BC＝10，則EC＝　 ?。籔，Q分別是AE，AD上的動點，PD＋PQ的最小值＝　 ?。?br/>【答案】3；8
【知識點】矩形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠C=∠B=90°，
設EC=x，則EF=ED=8-x，
∵由翻折可知AF=AD=10，
∴ ，
∴CF=BC-BF=10-6=4，
∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+CF2，
∴（8-x）2=x2+42，
解得，x=3，
∴EC的長為3；
如圖，作FQ′⊥AD于點Q′，交AE于點P′，連結DP′；
連結QF，交AE于點P，連結DF、DP，
由翻折得，AE垂直平分DF，
∴PD=PF，P′D=P′F，
∴PD+PQ=PF+PQ=QF，P′D+P′Q′=P′F+P′Q′=Q′F，
由“兩點之間，線段最短”可知，線段QF的長即表示PD+PQ的最小值；
由“垂線段最短”可知，當點Q與點Q′重合時，QF=Q′F，此時QF的值最小，
PD+PQ的最小值；
∵∠FQ′A=∠Q′AB=∠B=90°，
∴四邊形ABFQ′是矩形，
∴Q′F=AB=8，
∴PD+PQ的最小值是8．
故答案為：3，8．
【分析】由翻折可知AF=AD=10，勾股定理求出BF=6，則CF=4，設EC=x，則EF=ED=8-x，在Rt△EFC中，EF2=EC2+CF2，即可求出CE的長；作FQ′⊥AD于點Q′，交AE于點P′，連結DP′，連結QF，交AE于點P，連結DF、DP，由翻折得，AE垂直平分DF，由“兩點之間，線段最短”可知，線段QF的長即表示PD+PQ的最小值，再求解即可。
18．若關于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則m的值為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；勾股定理
【解析】【解答】解：設某直角三角形的三邊長分別為a、b、c，
依題意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
設x2﹣6x+m＝0的兩根為a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根據根與系數關系，得a+b＝6，ab＝m，則c＝4，
①c為斜邊時，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合題意，舍去）；
②a為斜邊時，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案為 ．
【分析】運用根與系數關系、根的判別式，根據勾股定理列方程解答即可．
三、綜合題（本大題共8小題，共66分）
19．方格圖中的每個小方格都是邊長為1小正方形，我們把小正方形的頂點稱為格點，格點連線為邊的四邊形稱為“格點四邊形”，圖1中的四邊形ABCD就是一個格點四邊形.
（1）小彬在圖2的方格圖中畫了一個格點四邊形EFGH.借助方格圖回答：四邊形ABCD與四邊形EFGH相似嗎？若相似，直接寫出四邊形ABCD與四邊形EFGH的相似比；若不相似說明理由；
（2）請在圖3的方格圖中畫一個格點四邊形，使它與四邊形ABCD相似，但與四邊形ABCD、四邊形EFGH都不全等.
【答案】（1）解：相似；
根據題意，四邊形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四邊形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，相似比為： .
（2）解：根據題意，設相似比為 ，則四邊形MNPQ的各邊為：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如圖，四邊形MNPQ即為所求.
.
【知識點】相似多邊形；作圖﹣相似變換
【解析】【分析】（1）分別求出四邊形各邊的長度，求出對應邊的相似比，即可得到答案；（2）先確定相似比，然后求出個對應邊的長度，即可畫出圖形.
20．一只不透明的袋子中，裝有2個白球，1個紅球，1個黃球，這些球除顏色外都相同．請用列表法或畫樹形圖法求下列事件的概率：
（1）攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是白球．
（2）攪勻后從中任意摸出2個球，2個都是白球．
（3）再放入幾個除顏色外都相同的黑球，攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是黑球的概率為 ，求放入了幾個黑球？
【答案】（1）解：根據題意，恰好摸到白球有2種，
∴將“恰好是白球”記為事件A，P(A)＝ ；
（2）解：由樹狀圖，如下：
∴事件總數有12種，恰好抽到2個白球有2種，
∴將“2個都是白球”記為事件B，P(B)＝ ；
（3）解：設放入n個黑球，由題意得： ＝ ，
解得：n＝10．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式；概率的簡單應用
【解析】【分析】（1）摸到白球的可能為2種，根據求概率公式即可得到答案；（2）利用樹狀圖法，即可得到概率；（3）設放入黑球n個，根據摸到黑球的概率，即可求出n的值.
21．在平面直角坐標系中，一次函數 的圖象與反比例函數 （k≠0）圖象交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，其中A點坐標為（﹣2，3）．
（1）求一次函數和反比例函數解析式．
（2）若將點C沿y軸向下平移4個單位長度至點F，連接AF、BF，求△ABF的面積．
（3）根據圖象，直接寫出不等式 的解集．
【答案】（1）∵一次函數y＝﹣ x+b的圖象與反比例函數y＝ （k≠0）圖象交于A（﹣3，2）、B兩點，
∴3＝﹣ ×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝ ，k＝﹣6
∴一次函數解析式y＝﹣ ，反比例函數解析式y＝ .
（2）根據題意得： ，
解得： ，
∴S△ABF＝ ×4×（4+2）＝12
（3）由圖象可得：x＜﹣2或0＜x＜4
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【分析】（1）將點A坐標代入解析式，可求解析式；（2）一次函數和反比例函數解析式組成方程組，求出點B坐標，即可求△ABF的面積；（3）直接根據圖象可得．
22．
（1）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求線段c的長；
（2）已知 ，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
【答案】（1）解：∵a，b，c，d是成比例線段
∴ ，
，
∴c=4；
（2）解：設 =k，則a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b-5c=15
∴2k+3k-20k=15
解得：k=-1
∴c=-4．
【知識點】比例線段
【解析】【分析】（1）根據比例線段的定義得到a：b=c：d，然后把a=2cm，b=3cm，d=6cm代入進行計算即可；（2）設 =k，得出a=2k，b=3k，c=4k，代入a+b-5c=15，求出k的值，從而得出c的值．
23．某大型水果超市銷售無錫水蜜桃，根據前段時間的銷售經驗，每天的售價x(元/箱)與銷售量y(箱)有如表關系：
每箱售價x(元) 68 67 66 65 … 40
每天銷量y(箱) 40 45 50 55 … 180
已知y與x之間的函數關系是一次函數．
（1）求y與x的函數解析式；
（2）水蜜桃的進價是40元/箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實惠，每箱售價是多少元？
（3）七月份連續陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價銷售，所以從7月17號開始水蜜桃銷售價格在(2)的條件下，下降了m%，同時水蜜桃的進貨成本下降了10%，銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時上漲了2m%(m＜100)，7月份(按31天計算)降價銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價銷售前的銷售總盈利少7120元，求m的值．
【答案】（1）解：設y與x之間的函數關系是：y=kx+b， 根據題意可得： ，解得： ， 故y與x之間的函數關系是：y=﹣5x+380
（2）解：由題意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）=1600，解得：x1=56，x2=60， 顧客要得到實惠，售價低，所以x=60舍去，所以x=56， 答：要使顧客獲得實惠，每箱售價是56元
（3）解：在（2）的條件下，x=56時，y=100，由題意得到方程： 1600×16=[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120， 解得：m1=20，m2=﹣ （舍去）， 答：m的值為20．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）由于 y與x之間的函數關系是一次函數． 故隨便根據表中的兩對對應值，利用待定系數法即可求出 y與x之間的函數關系；
（2）每箱水蜜桃的利潤為 （x﹣40） 元，根據單箱的利潤乘以銷售的數量等于該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元 ，列出方程，求解并根據 要使顧客獲得實惠 檢驗即可得出答案；
（3） 在（2）的條件下，x=56時，y=100， 由于 從7月17號開始水蜜桃銷售價格在(2)的條件下，下降了m% ，故每箱的售價為 56×（1﹣m%） 元，由于水蜜桃的進貨成本下降了10% ，故每箱的進價為 40×（1﹣10%） 元，根據售價減去進價等于利潤得出每箱的利潤為 [56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）] 元，由于降價的原因， 銷售量也因此比原來每天獲得1600元盈利時上漲了2m% ，故每天的銷售量為 100×（1+2m%) 箱，根據單箱的利潤乘以銷售數量即可得出每天的總利潤，用每天獲得的總利潤乘以銷售時間即可算出7月份后15天獲得的總利潤，然后根據 7月份(按31天計算)降價銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價銷售前的銷售總盈利少7120元， 即可列出方程，求解并檢驗即可。
24．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上一動點，點A與點F關于DE對稱，點F在正方形ABCD的內部，作射線CF交DE延長線于點P，連接AP，EF，DF．
（1）若，求∠DPC的度數；
（2）試探究點E在邊AB的任意位置時，AP與PC的位置關系，并說明理由；
（3）若，直接寫出BF的最小值．
【答案】（1）解：∵，點A與點F關于DE對稱，
∴，，
∴．
∵ ，
∴．
又∵，
∴
（2）解：AP與PC垂直．
理由如下：
∵A、F關于DE對稱，
∴．
設，可得，．
∵，
∴．
又，
∴，
即，
所以AP與PC垂直；
（3）解：
【知識點】兩點之間線段最短；三角形的外角性質；等腰三角形的性質；正方形的性質；軸對稱的性質
【解析】【解答】(3)解：點F始終在以點D為圓心，4為半徑的圓上運動，根據兩點之間線段最短，
可知當點D、F、B三點共線時，BF有最小值，
此時，
所以最小值為．
【分析】（1）根據對稱性及正方形的性質可得∠FDE=∠ADE=20°，DC=AD=DF，從而求出∠CDF=50°，利用等腰三角形的性質可求出∠DFC=∠DCF=65°，根據三角形外角的性質可得∠DFC=∠DPC+∠FDP，繼而求解；
（2）垂直．理由：由對稱性可得∠APD=∠DPF，設，則，由DC=AD=DF可求，根據三角形外角的性質可得∠DFC=∠DPC+∠FDP，據此求出∠DPC=45°，即得∠APF=90°，即得結論；
（2）點F始終在以點D為圓心，4為半徑的圓上運動，根據兩點之間線段最短，可知當點D、F、B三點共線時，BF有最小值，由勾股定理求出BD，利用BF=BD-DF即得結論.
25．已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF．
（1）當四邊形EFGH為正方形時，求DG的長；
（2）當DG＝6時，求△FCG的面積；
（3）求△FCG的面積的最小值．
【答案】（1）解：∵四邊形EFGH為正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）解：過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，
因此S△FCG= ×FM×GC= ×2×（7-6）=1；
（3）解：設DG=x，則由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值為7- ，此時DG= ，
∴當DG= 時，△FCG的面積最小為（7- ）．
【知識點】三角形全等及其性質；菱形的性質；矩形的性質；正方形的判定與性質
【解析】【分析】（1）根據正方形的性質可得HG=HE，∠EAH=∠D=90°，從而求出∠DGH=∠AHE，根據AAS可證△AHE≌△DGH， 可得DG=AH=2；
（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE， 根據平行線的性質可得∠AEG=∠MGE，∠AEH=∠MGF，根據AAS可證△AHE≌△MFG，可得FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2.根據S△FCG= ×FM×GC計算即得；
（3）設DG=x，則由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7， 可得HE2≤53，即得x2+16≤53，解出x≤ ，可求出S△FCG的最小值為7- ，此時DG=
26．如果關于 的一元二次方程 有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的 倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”，例如，一元二次方程 的兩個根是 和 ，則方程 就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 是“倍根方程”，則c＝　 ?。?br/>（2）若關于x的一元二次方程 是“倍根方程”，則 ， ， 之間的關系為　 ?。?br/>（3）若 是“倍根方程”，求代數式 的值．
【答案】（1）2
（2）
（3）解：∵ 是“倍根方程”
∴方程的兩個根分別為x=2和x= ，
∴ =4或 =1，即n=4m或n=m
當n=4m時，原式為（m-n）（4m-n）=0，
當n=m時，原式為（m-n）（4m-n）=0，
∴代數式 =0
【知識點】代數式求值；因式分解法解一元二次方程；定義新運算
【解析】【解答】（1）∵一元二次方程 是“倍根方程”
∴令2x1=x2，有x1+ x2=3，x1x2=c
∴c=2（2）設x=m，x=2m是方程 的解
∴2m+m=- ，2m2=
消去m解得2b2=9ac
所以 ， ， 之間的關系為
【分析】（1）根據“倍根方程”的定義以及根與系數的關系求解即可；（2）設x=m或x=2m是方程的解，然后根據根與系數的關系求解即可；（3）根據定義可求出n=4m或n=m，代入原式即可求出答案。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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