資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
蘇科版九年級上冊期中復習闖關必刷卷
數 學
時間：120分鐘 滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．若關于x的方程ax2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，則（　　）
A．a＞1 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一個根，則常數k的值為（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．“田忌賽馬”的故事家喻戶曉，若田忌出馬的順序一直是下等馬、中等馬、上等馬（上等馬跑得最快，中等馬次之，下等馬跑得最慢），而齊王隨機出馬，則田忌獲勝（三局兩勝則為勝）的可能性是（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，已知的半徑為6，，是的弦，若，則的長是（　　）
A． B．10π C． D．12π
5．現有甲組數據：1、2、3、4、5，乙組數據：11、12、13、14、15；若甲、乙兩組的方差分別為a、b，則a、b的關系是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命題中，正確的是（　　）
A．平分弦的直徑垂直于弦
B．三角形的三個頂點確定一個圓
C．圓心角的度數等于它所對弧上的圓周角度數的一半
D．相等的圓周角所對的弧相等
7．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直徑CD的長為（　　）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
8．如圖，用6個小正方形構造如圖所示的網格圖（每個小正方形的邊長均為2），設經過圖中M、P、H三點的圓弧與AH交于R，則圖中陰影部分面積（　　）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
9．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（　　）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2 +4 D．BC AB=2
10．如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.AB＝10，CD＝6，EF＝8，則圖中陰影部分的面積等于（　　）
A．10π B．12π C． D．15π
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．關于的一元二次方程有一個解是，另一個根為 　 　．
12．已知的半徑為，點在外，則點到圓心的距離的取值范圍是　 　．
13．如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是　 　．
14．小明為研究函數y＝的圖象，在﹣2、﹣1、1中任取一個數為橫坐標，在﹣2、﹣1、2中任取一個數為縱坐標組成點P的坐標，點P在函數y＝的圖象上的概率是　 　.
15．一個口袋中有3個紅球、7個白球，這些球除顏色外都相同，從口袋中隨機摸出一個球，這個球是白球的概率是　 　．
16．等腰三角形的三邊的長是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0兩個根，則此三角形的三邊長是　 　．
17．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10， ，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：
①∠BOE=60°；②∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正確的序號是　 　．
18．如圖，點 在反比例函數圖象 上，以 為直徑的圓交該雙曲線于點 ，交 軸于點 ，若 ，則該圓的直徑長是　 　.
三、綜合題（本大題共8小題，共66分）
19．如圖，已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D．
（1）求證：AC=BD；
（2）若大圓的半徑R=10，小圓半徑r=8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長
20．已知關于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
21．某地區2013年投入教育經費2500萬元，2015年投入教育經費3025萬元．
（1）求2013年至2015年該地區投入教育經費的年平均增長率；
（2）根據（1）所得的年平均增長率，預計2016年該地區將投入教育經費多少萬元．
22．已知 邊形的對角線共有 條（ 的整數）．
（1）五邊形的對角線共有　 　條；
（2）若 邊形的對角線共有35條，求邊數 ；
（3） 同學說，我求的一個多邊形共有10條對角線，你認為 同學說法符合題意嗎？為什么？
23．某廠規定，該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月該戶只要交10元用電費，如果超過A度，則這個月仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度 元交費.
（1）該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規定的度，則超過部分應交費　 　元.（用含A的式子表示）；
（2）下表是這戶居民3月，4月的用電情況和交費情況.
月份 用電量（度） 交電費總數（元）
3月 80 25
4月 45 10
根據上表的數據，求該廠規定的A是多少？
24．已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，DE⊥AC于E.
（1）如圖（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如圖（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的長；
（3）如圖（2）過點B作⊙O的切線，交AD延長線于F，若ED＝DF，求 的值.
25．我們知道：有一內角為直角的三角形叫做直角三角形.類似地，我們定義：有一內角為45°的三角形叫做半直角三角形.如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)，BC與經過A、B、D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結AE，BD.顯然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
（1）求證：△ABC是半直角三角形；
（2）求證：∠DEC=∠DEA；
（3）若點D的坐標為(0，8)，求AE的長.
26．已知如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(OA＜OB)，且OA、OB的長分別是一元二次方程x2-18x+72=0的兩根，點D為線段OB的中點，過點D作AB的垂線與線段AB相交于點C.
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求過點C的反比例函數解析式；
（3）已知點P在直線AD上，在平面內是否存在點Q，使以A、O、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由.
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蘇科版九年級上冊期中復習闖關必刷卷
數 學
時間：120分鐘 滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．若關于x的方程ax2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，則（　　）
A．a＞1 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
【答案】B
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：要使ax 2 -3x-2=0是一元二次方程，必須保證a≠0.
故答案為：B.
【分析】形如“ax 2 +bx+c=0 （a≠0）”的方程就是一元二次方程.
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一個根，則常數k的值為（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵2 是一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 的一個根，
∴22﹣3×2+k＝0， 解得，k＝2.
故答案為：B.
【分析】由題意把x=2代入原方程可得關于k的方程，解方程即可求解.
3．“田忌賽馬”的故事家喻戶曉，若田忌出馬的順序一直是下等馬、中等馬、上等馬（上等馬跑得最快，中等馬次之，下等馬跑得最慢），而齊王隨機出馬，則田忌獲勝（三局兩勝則為勝）的可能性是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：當齊王隨機出馬時，雙方對陣情況如下：
齊王的馬 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
田忌的馬 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上
輸贏情況 平局 田忌勝 齊王勝 平局 平局 平局
由上表可知，齊王出戰順序共有6種等可能的情況，只有順序為上、下、中時，田忌獲勝，因此田忌獲勝（三局兩勝則為勝）的可能性是．
故答案為：D．
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情況數，再利用概率公式求解即可。
4．如圖，已知的半徑為6，，是的弦，若，則的長是（　　）
A． B．10π C． D．12π
【答案】C
【知識點】圓周角定理；弧長的計算
【解析】【解答】解：∵，是的弦，，
∴，
∵的半徑為6，
∴，
故答案為：C．
【分析】先求出，再根據的半徑為6，最后根據弧長公式計算求解即可。
5．現有甲組數據：1、2、3、4、5，乙組數據：11、12、13、14、15；若甲、乙兩組的方差分別為a、b，則a、b的關系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】方差
【解析】【解答】解：∵乙組數據是甲組數據中的各數分別增加了10而得到的，
∴數據的波動性不變，
∴甲、乙兩組數據的方差相等，
∴a=b．
故答案為：A
【分析】根據題意先求出數據的波動性不變，再求出甲、乙兩組數據的方差相等，最后求解即可。
6．下列命題中，正確的是（　　）
A．平分弦的直徑垂直于弦
B．三角形的三個頂點確定一個圓
C．圓心角的度數等于它所對弧上的圓周角度數的一半
D．相等的圓周角所對的弧相等
【答案】B
【知識點】垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理
【解析】【解答】解：A、平分弦（表示直徑）的直徑垂直于弦，故A錯誤；
B、三角形的三個頂點確定一個圓，故B正確；
C、圓心角的度數等于它所對弧上的圓周角度數的2倍，故C錯誤；
D、在同圓和等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故D錯誤；
故答案為：B
【分析】利用垂徑定理的推論，可對A作出判斷；利用三角形的三個頂點確定一個圓，可對B作出判斷；利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可對C作出判斷；利用在同圓和等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，可對D作出判斷.
7．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直徑CD的長為（　　）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
【答案】D
【知識點】勾股定理；垂徑定理
【解析】【解答】解：如圖：
連接AO，
∵ CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E ，
∴AE=AB=5，
設OA=OC=x，則OE=x-1，
在Rt△AEO中，根據勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
∴25+(x-1)2=x2，
解得：x=13.
∴CCD=2CO=26.
故A，B，C錯誤，D正確.
故答案為：D.
【分析】連接AO，先求AE，設CO=x，在根據勾股定理建立方程求出x即可.
8．如圖，用6個小正方形構造如圖所示的網格圖（每個小正方形的邊長均為2），設經過圖中M、P、H三點的圓弧與AH交于R，則圖中陰影部分面積（　　）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
【答案】A
【知識點】勾股定理；垂徑定理的實際應用；圓周角定理；扇形面積的計算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如圖，連接MH交FN于O，連接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圓心在FN所在直線上，
∵∠MPH=90°，點M、P、H在圓上，
∴MN為直徑，
∴點O為圓心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S陰影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案為：A.
【分析】連接MH交FN于點O，連接AM、OR，則圓心在FN所在直線上，MN為直徑，點O為圓心，易證明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，結合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，則∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根據S陰影=S扇形ORH-S△ORH結合扇形、三角形的面積公式進行計算.
9．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（　　）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2 +4 D．BC AB=2
【答案】A
【知識點】勾股定理；三角形的內切圓與內心；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖，設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，
利用AAS易證△OMG≌△GCD，
所以OM=GC=1， CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.
又因AB=CD，所以可得BC AB=2.
設AB=a，BC=b，AC=c， ⊙O的半徑為r，
⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r= （a+b-c），
所以c=a+b-2.
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得 ，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC AB=2即b=2+a，
代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得 ，
所以 ，即可得BC+AB=2 +4.
再設DF=x，在Rt△ONF中，FN= ，OF=x，ON= ，
由勾股定理可得 ，
解得 ，
CD DF= ，CD+DF= .
綜上只有選項A錯誤.
故答案為：A.
【分析】設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，易證△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1， CD=GM=BC-2，結合AB=CD可得BC-AB=2，設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，則r=(a+b-c)，在Rt△ABC中，由勾股定理可得2ab-4a-4b+4=0，推出b=2+a，整理可求得a、b的值，設DF=x，則FN= ，OF=x，ON=，由勾股定理求出x的值，進而得到CD-DF、CD+DF的值.
10．如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.AB＝10，CD＝6，EF＝8，則圖中陰影部分的面積等于（　　）
A．10π B．12π C． D．15π
【答案】C
【知識點】三角形的面積；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；扇形面積的計算
【解析】【解答】解：連接DO并延長，交⊙O于點G，連接OC、OE、OF，
則∠DCG＝90°，
∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，
∴DG＝10，
∴CG＝ ，
∴CG＝EF，
∵△OEF的面積和△BEF的面積相等，
∴陰影部分BEF的面積和扇形OEF的面積相等，
同理，陰影部分ACD的面積和扇形COD的面積相等，
∵CG＝EF，
∴扇形OCG的面積和扇形OEF的面積相等，
∴陰影部分的面積和半圓DCG的面積相等，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴陰影部分的面積是： .
故答案為：C.
【分析】連接DO并延長，交⊙O于點G，連接OC、OE、OF，則∠DCG＝90°，由勾股定理求出DG、CG，推出S陰影BEF=S扇形OEF，S陰影ACD=S扇形COD，S陰影=S半圓DCG，據此求解.
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．關于的一元二次方程有一個解是，另一個根為 　 　．
【答案】
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：∵ 一元二次方程有一個解是，
∴，m-2≠0，
解得m=-2，
把m=-2代入原方程得，，
解得，.
故答案為：.
【分析】把方程的一個根0代入方程可得m的值，再把m的值代入方程，然后解方程即可求解.
12．已知的半徑為，點在外，則點到圓心的距離的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】點與圓的位置關系
【解析】【解答】解：∵的半徑為，點在外，
∴點到圓心的距離的取值范圍是．
故答案為：．
【分析】本題考查點與圓的位置關系的判斷.點與圓的位置關系為：若半徑為，點到圓心的距離為，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．根據題意可得點在外，據此可得，代入數據可求出答案.
13．如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是　 　．
【答案】3
【知識點】垂徑定理
【解析】【解答】解：過點O作OH⊥CD于H，
連接OC，如圖，則CH＝DH＝ CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝3，
所以CD與AB之間的距離是3．
故答案為3．
【分析】過點O作OH⊥CD于H，利用垂徑定理可得CH＝DH＝ CD＝4，再利用勾股定理求出OH的長即可得到答案。
14．小明為研究函數y＝的圖象，在﹣2、﹣1、1中任取一個數為橫坐標，在﹣2、﹣1、2中任取一個數為縱坐標組成點P的坐標，點P在函數y＝的圖象上的概率是　 　.
【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：列表如下：
所有的等可能的結果有9種，
其中點P在函數上的有，，共3種，
所有點P在函數y＝的圖象上的概率是
故答案為：
【分析】根據題意列表，可得到所有的可能的結果數及點P在函數y＝的圖象上的情況數，然后利用概率公式進行計算.
15．一個口袋中有3個紅球、7個白球，這些球除顏色外都相同，從口袋中隨機摸出一個球，這個球是白球的概率是　 　．
【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：∵一個口袋中有3個紅球，7個白球，這些球除色外都相同，
∴從口袋中隨機摸出一個球，這個球是白球的概率是： ，
故答案為： ．
【分析】利用概率公式求解即可。
16．等腰三角形的三邊的長是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0兩個根，則此三角形的三邊長是　 　．
【答案】2，4，4或3，3，4
【知識點】一元二次方程的根；三角形三邊關系；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： 是方程 的兩個根，
，
由等腰三角形的定義，分以下三種情況：（1）若 ，這個三角形是等腰三角形，
則 ，
此時三角形的三邊長是 ，滿足三角形的三邊關系定理；（2）若 ，這個三角形是等腰三角形，
則 ，
此時三角形的三邊長是 ，滿足三角形的三邊關系定理；（3）若 ，這個三角形是等腰三角形，
則 ，
此時三角形的三邊長是 ，滿足三角形的三邊關系定理；
綜上，此三角形的三邊長是 或 ，
故答案為： 或 ．
【分析】先根據一元二次方程的根與系數的關系可得a+b=6，再根據等腰三角形的定義、三角形的三邊關系求解即可。
17．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10， ，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：
①∠BOE=60°；②∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正確的序號是　 　．
【答案】①④
【知識點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；軸對稱的應用-最短距離問題
【解析】【解答】①∵弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠BOD=60°；
又∵點E是點D關于AB的對稱點，
∴∠BOE=60°；
故①正確；
②∵∠CED=∠COD，
故②錯誤；
③∵∠BOD=∠BOE=∠MOC=60°，
∴∠BMD=30°，
∴DM⊥CE；
故③正確；
④作C關于AB的對稱點F，連接CF交AB于點N，連接DF交AB于點M，此時CM+DM的值最短，即為DF長，連接CD，
∵弧AF=弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠D=60°，∠DFC=30°，
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，
∴DF是⊙O的直徑，
∵AB=10，
∴DF=10，
∴CM+DM=DF=10，
故④正確.
故答案為：①④.
【分析】①根據等弧所對的圓心角所對得∠BOD=60°；根據圓的對稱性得∠BOE=60°；故①正確；
②根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得∠CED=∠COD，故②錯誤；
③根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得∠BMD=30°，再根據三角形內角和即可得DM⊥CE；故③正確；
④作C關于AB的對稱點F，連接CF交AB于點N，連接DF交AB于點M，此時CM+DM的值最短，即為DF長，連接CD，根據圓周角定理得∠D=60°，
∠DFC=30°，再由三角形內角和得∠FCD=90°，再由圓周角定理得DF是⊙O的直徑，即可得出CM+DM的最小值，故④正確.
18．如圖，點 在反比例函數圖象 上，以 為直徑的圓交該雙曲線于點 ，交 軸于點 ，若 ，則該圓的直徑長是　 　.
【答案】
【知識點】勾股定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：連接AB、AC、BC、OC，過點C作CD⊥y軸于點D，如圖所示：
∵OA是圓的直徑
∴∠ABO=∠ACO=90°
∴
∴
∵
∴OC=OB
∵CD⊥y軸于點D
∴BD=OD
設點A的坐標為 ，則 ，
∵CD⊥y軸于點D，且點C在 的圖象上，
∴點C的坐標為
∴
化簡，得
解得 或 （舍去）
則A的坐標為
∴
故答案為： .
【分析】連接AB、AC、BC、OC，過點C作CD⊥y軸于點D，由圓周角定理可得∠ABO=∠ACO=90°，根據勾股定理可得OC2+AC2=AB2+OB2，根據可得OC=OB，推出BD=OD，設A（m，），則B（0，），D（0，），C（2m，），然后根據OC2+AC2=AB2+OB2可求出m的值，得到點A的坐標，進而可求出OA的長.
三、綜合題（本大題共8小題，共66分）
19．如圖，已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D．
（1）求證：AC=BD；
（2）若大圓的半徑R=10，小圓半徑r=8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長
【答案】（1）證明：過點O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知識點】垂徑定理
【解析】【分析】（1）過點O作 OE⊥AB于 E，根據垂徑定理得出AE=BE，CE=DE，再根據等式的性質，將兩個等式相減即可得出答案；
（2）連接OA，OC，根據勾股定理分別算出AE，CE，再根據線段的和差即可算出答案。
20．已知關于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【答案】（1）證明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）
=4k2+4k+1﹣16k+8，
=4k2﹣12k+9
=（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴無論k取何值，這個方程總有實數根
（2）解：當b=c時，△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，方程化為x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；
當a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，解得k= ，方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
所以△ABC的周長=4+4+2=10
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；等腰三角形的性質
【解析】【分析】（1）先計算判別式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根據非負數的性質易得△≥0，則根據判別式的意義即可得到結論；（2）分類討論：當b=c時，則△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，然后解方程得到b=c=2，根據三角形三邊關系可判斷這種情況不符號條件；當a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程可解得k= ，則方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后計算△ABC的周長．
21．某地區2013年投入教育經費2500萬元，2015年投入教育經費3025萬元．
（1）求2013年至2015年該地區投入教育經費的年平均增長率；
（2）根據（1）所得的年平均增長率，預計2016年該地區將投入教育經費多少萬元．
【答案】（1）解：設增長率為x，根據題意2014年為2500（1+x）萬元，2015年為2500（1+x）2萬元．
則2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合題意舍去）．
答：這兩年投入教育經費的平均增長率為10%
（2）解：3025×（1+10%）=3327.5（萬元）．
故根據（1）所得的年平均增長率，預計2016年該地區將投入教育經費3327.5萬元
【知識點】一元二次方程的其他應用
【解析】【分析】（1）一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），2014年要投入教育經費是2500（1+x）萬元，在2014年的基礎上再增長x，就是2015年的教育經費數額，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增長率來求2016年該地區將投入教育經費．
22．已知 邊形的對角線共有 條（ 的整數）．
（1）五邊形的對角線共有　 　條；
（2）若 邊形的對角線共有35條，求邊數 ；
（3） 同學說，我求的一個多邊形共有10條對角線，你認為 同學說法符合題意嗎？為什么？
【答案】（1）5
（2）解：由題意得： ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
所以邊數 為10；
（3）解： 同學說法是錯誤的，
理由：當 ，整理得： ，
解得： ，
∴符合方程 的正整數 不存在，
∴多邊形的對角線不可能有10條．
【知識點】一元二次方程的其他應用；多邊形的對角線
【解析】【解答】解：（1）當 時， ，
故答案為：5；
【分析】（1）把n＝5代入 即可求得五邊形的對角線條數；
（2）根據計算n邊形的對角線條數公式結合多邊形的對角線有35條，即可得出關于n的一元二次方程，求出n的值即可；
（3）根據計算n邊形的對角線條數公式結合多邊形的對角線有10條，即可得出關于n的一元二次方程，解之由方程的解不是正整數，可得出多邊形的對角線不可能有10條．
23．某廠規定，該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月該戶只要交10元用電費，如果超過A度，則這個月仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度 元交費.
（1）該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規定的度，則超過部分應交費　 　元.（用含A的式子表示）；
（2）下表是這戶居民3月，4月的用電情況和交費情況.
月份 用電量（度） 交電費總數（元）
3月 80 25
4月 45 10
根據上表的數據，求該廠規定的A是多少？
【答案】（1） ；
（2）解：3月應繳費為10+ =25
解得A=30或A=50
因為用電45千瓦時沒有超過A
所以A=50
【知識點】列式表示數量關系；一元二次方程的其他應用
【解析】【分析】（1）根據題意，先求出某戶居民2月份超出的用電量，再乘以，即可求解；
（2）根據題意，列出方程，求出方程的解，即可求解.
24．已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，DE⊥AC于E.
（1）如圖（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如圖（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的長；
（3）如圖（2）過點B作⊙O的切線，交AD延長線于F，若ED＝DF，求 的值.
【答案】（1）解：如圖所示，連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
∴∠ADO=∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是圓O的半徑，
∴DE是圓O的切線
（2）如圖所示，連接OD，BC交于F，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∴ ，
又∵∠E=∠FDE=90°，
∴四邊形ECFD是矩形，
∴DE=CF，∠CFD=90°，
∴ ，
∴ ；
（3）如圖所示，連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠BDA=∠BDF=90°，
∴∠F+∠FBD=90°
∵DA平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
∵BF是圓O的切線，
∴∠ABF=90°，
∴∠F+∠FAB=90°，
∴∠EAD=∠BAD=∠FBD，
∵∠E=∠BDF=90°，ED=FD，
∴△AED≌△BDF（AAS），
∴AD=BF，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
設 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ .
【知識點】等腰三角形的性質；矩形的判定與性質；圓周角定理；切線的判定與性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）連接OD，由等腰三角形性質得∠OAD=∠ODA，由角平分線概念得∠EAD=∠BAD，推出∠ADO=∠EAD，得到OD∥AE，由平行線的性質可得∠E+∠ODE=180°，由垂直的概念可得∠E=90°，求得∠ODE=90°，據此證明；
（2）連接OD，BC交于F，根據圓周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，由勾股定理求出BC，易得四邊形ECFD是矩形，則DE=CF，∠CFD=90°，求出CF=BF=4，據此可得DE的長；
（3）連接BD，根據圓周角定理可得∠BDA=∠BDF=90°，由角平分線的概念可得∠EAD=∠BAD，根據切線的性質可得∠ABF=90°，由同角的余角相等可得∠EAD=∠BAD=∠FBD，證明△AED≌△BDF，得到AD=BF，由勾股定理可推出 ，求解即可.
25．我們知道：有一內角為直角的三角形叫做直角三角形.類似地，我們定義：有一內角為45°的三角形叫做半直角三角形.如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)，BC與經過A、B、D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結AE，BD.顯然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
（1）求證：△ABC是半直角三角形；
（2）求證：∠DEC=∠DEA；
（3）若點D的坐標為(0，8)，求AE的長.
【答案】（1）證明：∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=45°，
∵∠ABE=∠ADE=45°，
∴△ABC是半直角三角形
（2）證明：∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四點共圓，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC
（3）解：如圖1，連接AM，ME，
設⊙M的半徑為r，
∵點D的坐標為（0，8），
∴OM=8﹣r，
由OM2+OA2=MA2得：（8﹣r）2+42=r2，
解得r=5，
∴⊙M 的半徑為5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50，
∴
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；角平分線的概念
【解析】【分析】（1）由角平分線的概念可得∠ADE=45°，據此判斷；
（2）由等腰三角形的判定可得AD=BD，由等腰三角形的性質可得∠DAB=∠DBA，由圓周角定理可得 ∠DEB=∠DAB， 進而推出∠DBA=∠DEB，由四點共圓可得∠DBA+∠DEA=180°，由鄰補角的性質可得 ∠DEB+∠DEC=180°， 據此解答；
（3）連接AM，ME，設⊙M的半徑為r，則OM=8-r，在Rt△OMA中，應用勾股定理可得r的值，由圓周角定理可得∠EMA=2∠ABE=90°，然后利用勾股定理求解即可.
26．已知如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(OA＜OB)，且OA、OB的長分別是一元二次方程x2-18x+72=0的兩根，點D為線段OB的中點，過點D作AB的垂線與線段AB相交于點C.
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求過點C的反比例函數解析式；
（3）已知點P在直線AD上，在平面內是否存在點Q，使以A、O、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）解：由x2-18x+72=0，解得：x=6或12，
∴OA=6，OB=12，
∴A(6，0)，B(0，12)；
（2）解：設直線AB的解析式為：y=kx+b，把A(6，0)，B(0，12)代入得： ，解得 ，
∴直線AB的解析式為：y=-2x+12，
延長CD，交x軸與點E，
∵DC⊥AB，D(0，6)，
∴∠AEC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠AEC=∠OBA，
∵∠DOE=∠AOB，OD=OA=6，
∴ DOE AOB（AAS），
∴OE=OB=12，
∴E(-12，0)，
設直線DC的解析式為：y=kx+b，
把D(0，6)，E(-12，0)代入y=kx+b，得： ，解得： ，
∴直線DC的解析式為：y= x+6，
由 ，解得 ，
∴交點C坐標( ， )，
∴過點C的反比例函數的解析式為：y= ；
（3）解：①當OA是菱形AP1OQ1的對角線時，易知P1(3，3)，
∵P1與Q1關于x軸對稱，
∴Q1(3，-3)；
②當OA為菱形AP2Q2O的邊時，
∵OA=AP2=P2Q2=6，∠OAD=45°，
∴P2(6-3 ，3 )，Q2(-3 ，3 )；
③當OA為菱形AP3Q3O的邊時，同理可得Q3(3 ，-3 )；
④當OA為菱形A Q4P4O的邊時，此時點P4與點D重合，菱形A Q4P4O變為正方形，Q4(6，6)，
綜上所述，滿足條件的點Q坐標為(3，-3)或( ， )或( ， )或(6，6).
【知識點】一元二次方程的根；坐標與圖形性質；反比例函數與一次函數的交點問題；菱形的性質
【解析】【分析】（1）直接求出一元二次方程的解，即可解決問題；
（2）先求出直線AB、CD的解析式，利用方程組求出點C坐標，即可解決問題；
（3）分四種情形①當OA是菱形AP1OQ1的對角線時，②當OA為菱形AP2Q2O的邊時，③當OA為菱形AP3Q3O的邊時，④當OA為菱形A Q4P4O的邊時，此時點P4與點D重合，菱形A Q4P4O變為正方形，分別求解即可.
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