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惠州市正弘實驗學校2024-2025學年第一學期第一次月考
九年級數學試卷
滿分120分 考試時間120分鐘
一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．
1．方程的二次項系數和一次項系數分別為（ ）
A．3和 B．2和 C．2和3 D．和2
2．下列函數中，是二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函數的圖象開口向下，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．將拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則得到的拋物線的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
6．拋物線的圖象上有兩點，，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
7，電影《志愿軍》不僅講述了中國人民志愿軍抗美援朝的故事，更是通過鮮活生動的人物塑造，讓觀眾體會到歷史事件背后的人性和情感，一上映就獲得全國人民的追捧，某地第一天票房約3億元，若以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達18億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（ ）
A． B．
C． D．
8．在同一直角坐標系中，一次函數和二次函數的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
9．為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應的兩條拋物線關于y軸對稱，軸，cm，最低點C在x軸上，高cm，cm，則右輪廓DFE所在拋物線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，拋物線與x軸交于點A、B．把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得到，與x軸交于B、D兩點，若直線與、共有3個不同的交點，則k的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11、拋物線的頂點是______．
12．已知關于x的一元二次方程沒有實數根，即實數c的取值范圍是______．
13．已知，分別是一元二次方程的兩個實數根，則______．
14．已知二次函數（h為常數），在自變量x的值滿足的情況下，與其對應的函數值y的最大值為0，則h的值為______．
15．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．
①；②；③；④；⑤．
其中正確的結論有______．
三、解答題（16-18題，每小題7分；19-21題，每小題9分；22題13分，23題14分．）
16．解一元二次方程：（1）；（2）．
17．如圖，已知二次函數的圖象與坐標軸分別交于點A，B與C．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）直接寫出當函數值時，自變量x的取值范圍．
18．如圖是一張長12dm，寬6dm的長方形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣的邊長為的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋的長方體紙盒．
（1）無蓋方盒盒底的長為______dm，寬為______dm（用含x的式子表示）；
（2）若要制作一個底面積是40dm2的無蓋的長方體紙盒，求剪去的正方形邊長．
19．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點．拋物線經過點A且交線段AB于點C．
（1）求k的值；
（2）求點C的坐標；
（3）直接寫出當x在何范圍時，．
20．已知關于x的方程．
（1）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根；
（2）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根．
21．打水漂是孩子們經常玩的游戲，如圖，水漂從水面上（點O）第一次飛起，飛行的最大高度為0.5米，第二次從距離點O，4米處的A處飛起，據試驗，水漂在水面彈起的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．（）
（1）求水漂第一次飛越時，該拋物線的函數表達式；
（2）求水漂第二次飛越時，該拋物線的函數表達式；
（3）若此次水漂可以在水面上飛越2次，且第一次擊打水面時距離河岸1米，問水漂能否飛過8米寬的河面．
22．2024年巴黎奧運會8月6日單人10米決賽中，全紅嬋以425.60分的總分奪得第一獲得金牌，陳芋汐位列第二獲得銀牌，在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極其難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系，如果她從點起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數關系式．（）
水平距離x/m 3 h 4 4.5
豎直高度y/m 10 11.25 10 6.25
（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如上：根據上述數據，直接寫出h的值為______，直接寫山滿足的函數關系式為______；
（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅蟬的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系：，記她訓練的入水點的水平距離為；比賽當天入水點的水平距離為，則______，（填）；
（3）在（2）的情況下，全紅蟬起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足，如果全紅蟬在達到最高點后需要1.4秒的時間才能完成極具難度的207C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？
23．如圖1，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B左側），與y軸交于點C．
（1）拋物線頂點為D，連接AD、AC、CD，求的面積及點D到AC的距離；
（2）如圖2，在y軸正半軸有一點E滿足，點P為直線AC下方拋物線上的一個動點，連接PA、AE過點E作交x軸于點F，求最大值；
（3）如圖3，連接AC、BC，將拋物線沿著射線BC平移得到新的拋物線，上是否存在一點R，使得？若存在，直接寫出點R的坐標，若不存在，請說明理由．

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