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2024-2025學年廣東省珠海市香洲區九洲中學教育集團九年級（上）期中數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列圖形中，你認為既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是( )
A. B. C. D.
4.拋物線的頂點坐標是( )
A. B. C. D.
5.方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.如圖，是的直徑，，，是的弦且，則等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如圖，將繞點順時針旋轉得到若線段，則( )
A.
B.
C.
D.
8.蘋果熟了，從樹上落下所經過的路程與下落的時間滿足是不為的常數，則與的函數圖象大致是( )
A. B.
C. D.
9.若二次函數的圖象經過點，則該圖象必經過點( )
A. B. C. D.
10.已知二次函數的與的部分對應值如表：
下列結論錯誤的是( )
A. 該函數有最大值 B. 該函數圖象的對稱軸為直線
C. 當時，函數值隨增大而減小 D. 方程有一個根大于
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.將拋物線的圖象向上平移個單位，則平移后的拋物線的解析式為______．
12.點、是二次函數的圖象上兩點，則與的大小關系為______填“”、“”、“”．
13.若是一元二次方程的一個根，則的值是 ．
14.如圖，一次函數與二次函數的圖象分別交于點，則關于的方程的解為______．
15.在平面直角坐標系中，，，點繞點順時針旋轉得到點，則點的坐標是______．
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
解一元二次方程．
17.本小題分
如圖，是的直徑，弦，垂足為若，求的面積．
18.本小題分
為了減輕百姓醫療負擔，某制藥廠將一種藥劑價格逐年降低年這種藥劑價格為元，年該藥劑價格為元．
求年到年這種藥劑價格的年平均下降率；
若該制藥廠計劃年對此藥劑按此下降率繼續降價，預計年該藥劑的價格為多少元？
19.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，，．
將繞原點逆時針旋轉后得到，請畫出；
判斷以，，為頂點的三角形的形狀．
20.本小題分
年月，教育部正式印發義務教育課程方案，勞動教育成為一門獨立的課程，某校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻墻的最大可用長度為米，用長為米的籬笆，圍成一個封閉的矩形菜地，供同學們進行勞動實踐，若設菜地的寬為米．
______米用含的代數式表示；
當為何值時，圍成的菜地面積最大，最大面積為多少？
21.本小題分
關于的一元二次方程有兩個實數根、．
求的取值范圍；
若、分別是一個矩形的長和寬．
是否存在，使得矩形的面積為，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
是否存在，使得矩形的對角線長為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
22.本小題分
【綜合與實踐】
問題情境：數學課上，老師帶領同學們“玩轉直角三角形”的探究活動，老師將全等的兩張直角三角形紙片，按如圖所示在同一平面內擺放，點與點重合，點與點重合，已知：≌，，．
初步探究：“勤思小組”進行了如下操作：保持不動，將繞點順時針方向旋轉，如圖所示，旋轉角度為，直線與直線交于點，在旋轉過程中，發現始終有≌，請你幫他們寫出證明過程；
深入探究：“敏學小組”在“勤思小組”的操作方式下繼續探究，提出問題：
如圖，若連接，，請判斷線段與的關系，并說明理由；
如圖，當旋轉角度時，的邊與邊重合時，求與的長度比．
23.本小題分
【實踐探究】
數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐應用探究的過程：
實踐：他們對一條拋物線形拱橋進行測量，測得當拱頂高離水面時，水面寬，并畫出了拱橋截面圖，建立了如圖所示的直角坐標系，求該拋物線的解析式；
應用：按規定，船通過拱橋時，頂部與拱橋頂部在豎直方向上的高度差至少為一場大雨，讓水面上升了，為了確保安全，問該拱橋能否讓寬度為、高度為的貨船通過？請通過計算進行說明貨船看作長方體；
探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，并過原點作一條的直線，交拋物線于點，交拋物線對稱軸于點，提出了以下問題，
如圖，為直線上方拋物線上一動點，過作垂直于軸，交軸于，交直線于，過點作垂直于直線，交直線于，則的最大值為______．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.，
15.
16.解：，
，
或，
解得，．
17.解：連接，
，過圓心，，
，
設的半徑為，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
的半徑為，
的面積．
18.設年到年這種藥劑價格的年平均下降率為，
根據題意得：，
解得：，不符合題意，舍去．
答：年到年這種藥劑價格的年平均下降率為；
元，
所以預計年該藥劑的價格為元．
答：預計年該藥劑的價格為元．
19.解：如圖，即為所作圖形；
如圖，
從圖形中可以看出：以、、為頂點的三角形是等腰直角三角形．
20.

21.解：根據題意得，
解得，
即的取值范圍為；
不存在．
理由如下：
矩形的面積為，
，
解得，
而，
不存在實數，使得矩形的面積為；
存在．
根據根與系數的關系得，，
矩形的對角線長為，
即，
，
即，
解得，
而，
的值為．
22.證明：由題意可知，≌，
，，，
，即，
在和中，
，
≌；
解：垂直平分；理由如下：
如圖，連接連接，，
由知，，，
在和中，
，
≌，
，
點在線段的垂直平分線上，
，
點在線段的垂直平分線上，
垂直平分；
如圖，
，，
．
轉角度，，
為等邊三角形，
，
，
：：．
23.
（3）
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