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2024—2025學年第一學期回龍觀東西學區
期中考試試卷
初三數學
2024.10
本試卷共8頁，共三部分，28個小題，滿分100分．考試時間120分鐘．考生務必將答案填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，請交回答題卡．
一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）
第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個
1．如果，那么下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．拋物線的圖象開口向下，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．m可取一切實數
3．如圖，在中，，DE分別與AB、AC相交于點D、E，若，，則的值為（ ）
A．0.5 B．2 C． D．
4．，若，，則與的周長比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2
5．將函數化為頂點式，結果是（ ）
A． B．
C． D．
6．如圖，線段AD，BC交于點O，由下列條件，不能得出的是（ ）
A． B． C． D．
7．關于二次函數的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向上 B．最高點是（2，0）
C．對稱軸是直線 D．當時，y隨x的增大而減小
8．拋物線的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，直線與拋物線都經過點．下列說法：①；②；③若與是拋物線上的兩個點，則；④程的兩根為，；⑤當時，函數有最大值．其中正確的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）
9．函數的最大值是______．
10．如圖，為了估計河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B，使AB與河岸垂直，在近岸取點C、E，使，，AE與BC交于點D．已測得，，，則河寬AB為______．
11．二次函數的圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的二次函數圖象表達式是______．
12．寫出一個當時，y隨x增大而增大的二次函數表達式______．
13．如圖，在菱形ABCD中，點E在邊AD上，BE與AC交于點F．若，，，則的值為______．
14．如圖，在邊長為1的正方形網格中，的頂點均在格點上，點M，N分別是AB，AC與網格線的交點，則______．
15．已知二次函數的圖象與x軸有交點，則a的取值范圍是______．
16．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點，若P是x軸上一動點，點在y軸上，連接PD，則C點的坐標是______，的最小值是______．
三、解答題（本題共12道小題，第17題4分，第18-21題，每小題5分，第22-26題，每小題6分，第27、28題，每小題7分，共68分）
17．如圖，D，E分別是的邊AB，AC上的點，，求證：．
18．拋物線與x軸交于A、B兩點，A在B左側，與y軸交于C點．
（1）C點坐標為______，的面積為______；
（2）請在平面直角坐標系中畫出函數圖象，并回答：不等式的解集是______．
19．已知拋物線與x軸相交于點，，且過點．
（1）求此函數的表達式；
（2）求頂點坐標．
20．如圖，在矩形ABCD中點E、F分別在邊AD，DC上，，，，．
（1）求EF的長；
（2）求證；．
21．已知二次函數的圖象經過，兩點．
（1）求這個二次函數的解析式：
（2）若C點坐標為，拋物線上是否存在點D，使的面積為4？若存在，求出D點坐標；若不存在，請說明理由．
22．已知：在在直角坐標系中，點、點的位置如圖所示，為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把分割成兩部分．問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與相似？請在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應的點C的坐標．
23．如圖，．
（1）與是否相似？請說明理由；
（2）若，，求BD的值．
24．某公園在垂直于湖面的立柱上安裝了一個多孔噴頭，從噴頭每個孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當噴頭向四周同時噴水時，形成一個環狀噴泉．安裝后，通過測量其中一條水柱，獲得如下數據，在距立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面的高度為h米．
d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0
h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8
請解決以下問題：
（1）在網格中建立適當的平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接；
（2）結合表中所給數據或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點距離湖面的高度；
（3）求所畫圖象對應的函數表達式；
（4）從安全的角度考慮，需要在這組噴泉外圍設立一圈正方形護欄，這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，請通過計算說明公園至少需要準備多少米的護欄（不考慮接頭等其他因素）．
25．小新想探究一元三次方程的解的情況．根據以往的學習經驗，他想到了方程與函數的關系：一次函數的圖像與x軸交點的橫坐標即為一次方程的解；二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標即為一元二次方程的解．如：二次函數的圖象與x軸的交點為和，交點的橫坐標和3即為方程的解．根據以上方程與函數的關系，如果我們知道函數的圖象與x軸交點的橫坐標，即可知道方程的解．小新為了解函數的圖象，通過描點法畫出函數的圖象：
x 0 1 2
y 0 m 0 12
（1）直接寫出m的值______，并畫出函數圖象；
（2）根據表格和圖象可知，方程的解有______個，分別為______；
（3）借助函數的圖象，直接寫出不等式的解集______．
26．在平面直角坐標系中，已知拋物線．
（1）求拋物線的頂點坐標（用含t的代數式表示）：
（2）點，在拋物線上，其中，．
①若的最小值是，求的最大值；
②若對于，，都有，直接寫出t的取值范圍．
27．在正方形ABCD中，E為BC上一點，點M在AB上，點N在DC上，且，垂足為點F．
（1）如圖1，當點N與點C重合時，求證：；
（2）將圖1中的MN向上平移，使得F為DE的中點，此時MN與AC相交于點H，
①依題意補全圖2；
②用等式表示線段MH，HF，FN之間的數量關系，并證明．
28．對于平面直角坐標系中的直線l：與矩形OABC給出如下定義：設直線l與坐標軸交于點M，N（M，N不重合），直線與矩形OABC的兩邊交于點P，Q（P，Q不重合），稱線段MN，PQ的較小值為直線l的關聯距離，記作．特別地，當時，．已知，，．
（1）若，則______，______；
（2）若，，求b的值；
（3）若，直接寫出的最大值及此時以M，N，P，Q為頂點的四邊形的對角線交點坐標．

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